Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
|
|
- Sudirman Rachman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul 1 Teor Hmpunan Dr. Subanar K PENDHULUN arena banyak karakterstk dar masalah probabltas dapat dnyatakan secara formal dan dmodelkan secara rngkas dengan menggunakan notas hmpunan elementer, maka pertama-tama kta pelajar teor hmpunan. Setelah mempelajar modul n nda dharapkan dapat: melakukan operas hmpunan; menghtung ttk sampel; menentukan ruang sampel dskrt dan kontnu dan melakukan perkalan hmpunan.
2 1.2 Pengantar Probabltas S Kegatan Belajar 1 Hmpunan dan Operasnya uatu hmpunan adalah koleks objek yang dnamakan anggota atau elemen. Msalnya {mobl, apel, pensl} adalah hmpunan dengan elemenelemen mobl, apel, dan pensl. Hmpunan {muka, belakang} mempunya dua elemen yatu muka dan belakang. Hmpunan {1, 2, 3, 5} mempunya empat elemen. Hmpunan basanya dlambangkan dengan huruf besar, B, H dan seterusnya. nggota atau elemen suatu hmpunan basanya dlambangkan dengan huruf kecl dan dhmpun dengan menggunakan suatu notas { }. Jad = { a, a,..., a } mempunya art hmpunan dengan anggota-anggota 1 2 n a1, a2,..., a n. Hmpunan bagan dar hmpunan atau basa dtuls dengan B adalah hmpunan yang elemen-elemennya juga anggota dar. Hmpunan-hmpunan yang dbcarakan adalah hmpunan-hmpunan bagan dar hmpunan S, d mana kemudan S dsebut semesta (space). Suatu hmpunan dapat pula dsajkan dengan syarat keanggotaan. Jad = {seluruh blangan bulat postf} mempunya art hmpunan dengan anggota-anggota 1, 2, 3, Bla P(x) menyatakan propors P tentang objek x, maka hmpunan yang ddefnskan dengan P(x), dtuls { x P( x )} adalah koleks objek-objek x yang mempunya sfat P. Sebaga contoh, { x x blangan bulat postf yang lebh kecl dar 4} adalah hmpunan {1, 2, 3}. Lambang menyatakan anggota dan bukan anggota. Contoh a mempunya art a anggota dar sedangkan a berart a bukan anggota dar. Hmpunan kosong atau hmpunan hampa adalah hmpunan yang tdak mempunya anggota. Hmpunan n dlambangkan dengan Ø. Sebaga contoh 2 = { x x blangan real dan x 1} adalah hmpunan kosong karena kuadrat blangan real x selalu taknegatf. Bla suatu hmpunan memuat n anggota, maka cacah seluruh hmpunan bagannya adalah 2 n.
3 STS4221/MODUL Contoh Msalkan a menyatakan angka yang tampak pada ss suatu dadu. ngka pada ss n adalah anggota dar hmpunan S= { a 1,a 2,...,a 6} Dalam keadaan 6 n, n = 6; karena tu S mempunya 2 64 hmpunan bagan, yatu,{ a }... { a },{ a,a },... { a,a,a }..., S Pada umumnya, anggota-anggota suatu hmpunan adalah sebarang objek. Sebaga contoh, 64 hmpunan bagan dar hmpunan S pada contoh d atas dapat dpandang sebaga anggota dar hmpunan lan. Hmpunan dketahu secara lengkap bla anggota-anggotanya semuanya dketahu. Jad kta mengatakan dua hmpunan dan B sama bla mereka mempunya anggota yang sama dan dtuls = B. Contoh Bla = {1, 2, 3} dan B = {x x blangan bulat postf yang memenuh : x 2 < 12} maka = B. 2. Bla = {LGOL, FORTRN, BSIC} dan B = {BSIC, FORTRN, LGOL} maka = B.. HIMPUNN BGIN Bla setap anggota dar juga anggota dar B, yatu, bla x maka x B, maka dsebut hmpunan bagan (subset) dar B, atau termuat dalam B, dan dtuls B. Bla bukan hmpunan bagan dar B, kta tuls B (lhat Gambar 1.1) Gambar 1.1.
4 1.4 Pengantar Probabltas Dagram, sepert yang terlhat pada Gambar 1.1, yang dgunakan untuk menunjukkan hubungan antar hmpunan dsebut dagram Venn. Pada pokok bahasan berkutnya dagram Venn akan dgunakan secara luas. Contoh Msalkan = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5} D = {6, 7, 8} Maka B, B C, C. Tetap D B, D C, D B. 2. Bla sebarang hmpunan, maka. In berart, semua hmpunan adalah hmpunan bagan dar drnya sendr. B. OPERSI HIMPUNN Sekarang kta akan membcarakan beberapa operas yang akan mengombnaskan beberapa hmpunan yang akan menghaslkan hmpunan lan. Operas-operas tersebut, yang analog dengan operas yang kta kenal pada blangan real, memankan peran pentng dalam teor probabltas. Defns Gabungan Bla dan B merupakan dua hmpunan, gabungan dan B dtuls B adalah hmpunan yang memuat semua elemen yang berada dalam atau B. B= { x x atau x B} Perhatkan bahwa x B bla x atau x B atau x berada dalam dan B kedua-duanya. Contoh Msalkan = { a,b,c,e, f }, B= { b,d,r,s }. Tentukan B. Penyelesaan Karena B memuat semua anggota yang berada dalam atau B, maka B={ a, b, c, d, e, f, r, s}. Kta dapat menglustraskan gabungan dua hmpunan dengan menggunakan dagram Venn sebaga berkut. Bla dan B
5 STS4221/MODUL adalah hmpunan-hmpunan yang terlhat dalam Gambar 1.2 (a), maka B adalah hmpunan ttk-ttk pada daerah yang darsr yang terlhat pada Gambar 1.2 (b). Gambar 1.2. Bla dan B hmpunan, rsan dar dan B, dtuls semua anggota yang berada dalam dan B B = { x x dan x B} B, adalah hmpunan Contoh Msalkan { a, b, c, e, f }, B { b, e, f, r, s}, C { a, t, u, v}. Tentukan B, C, dan B C. Penyelesaan nggota-anggota b, e, dan f adalah anggota yang berada dalam dan B bersama-sama. Sehngga B= { b,e, f } Dengan pengamatan yang sama, C= {} a Karena tdak ada anggota yang berada dalam B dan C bersama-sama maka B C Dua hmpunan yang tdak mempunya anggota yang berserkat (anggota bersama), sepert B dan C dalam contoh d atas, dsebut salng asng. Kta dapat menglustraskan rsan dua hmpunan dengan menggunakan dagram Venn sebaga berkut. Bla dan B hmpunan-hmpunan sepert terlhat dalam Gambar 1.3 (a), maka B adalah hmpunan semua ttk-ttk dalam
6 1.6 Pengantar Probabltas daerah terarsr sepert terlhat dalam Gambar 1.3(b). Gambar 1.4 menglustraskan dagram Venn untuk dua hmpunan yang salng asng. Gambar 1.3. Gambar 1.4. Operas gabungan dan operas rsan untuk tga atau lebh hmpunan dapat ddefnskan dengan cara yang sama dengan dua hmpunan. Jad dan B C= x x atau x B atau x C BC= x x dan x B dan x C. Daerah terarsr pada Gambar 1.5. adalah gabungan hmpunan-hmpunan, B, dan C yang terlhat pada Gambar 1.5 (a) dan daerah terarsr pada Gambar 1.5 (c) adalah rsan dan daerah terarsr hmpunan-hmpunan, B, dan C.
7 STS4221/MODUL Gambar 1.5. Secara umum, bla 1, 2,..., n hmpunan bagan dar S maka n akan dnyatakan dengan akan dnyatakan dengan n. 1 n dan n 1 Contoh Msalkan = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, B = {1, 3, 8, 9}, C = {1, 3, 6, 8}. B C adalah hmpunan elemen-elemen yang berada dalam, B dan C. Jad B C {1,3} Selsh. Bla dan B hmpunan, maka selsh dan B dtuls B kta defnskan sebaga B = { x x dan x B}
8 1.8 Pengantar Probabltas Contoh Msalkan = {a, b, c} dan B = {b, c, d, e}, Maka B = {a} dan B = {d, e}. Bla dan B hmpunan-hmpunan sepert terlhat pada Gambar 1.6 (a) maka B dan B adalah hmpunan ttk-ttk dalam daerah yang darsr pada Gambar 1.6 (b) dan (c). Gambar 1.6. Bla S hmpunan semesta yang memuat, maka S dsebut komplemen c c dan dtuls dengan. Jad { x x }. Contoh Msalkan { x xblangan bulat dan x 4}, maka c { x x blangan bulat dan x< 4}. Bla hmpunan dalam Gambar 1.7 maka komplemennya adalah daerah terarsr dalam gambar tersebut.
9 STS4221/MODUL Gambar 1.7. Bla dan B hmpunan, maka selsh smetrs (symmetrc dfference) dar dan B dtuls B kta defnskan sebaga hmpunan anggota-anggota yang berada dalam atau B, tetap tdak pada kedua dan B. Jad B= {( x dan xb)atau ( xb dan x )} Contoh Msalkan ={ a, b, c, d } dan B={ a, c, e, f, g } Maka B= { b,d,e, f,g}.` Bla dan B sepert terlhat pada Gambar 1.8 (a) maka selsh smetrs adalah terarsr sepert terlhat pada Gambar 1.8 (b). Dengan mudah dapat dlhat bahwa B= ( B) ( B ) Gambar 1.8.
10 1.10 Pengantar Probabltas 1. Sfat-sfat ljabar Operas Hmpunan Operas-operas pada hmpunan yang baru saja kta defnskan memenuh banyak sfat aljabar. Beberapa d antaranya mempunya sfat-sfat aljabar yang dmlk sstem blangan real. Semua sfat-sfat utama yang terdapat d sn dapat dbuktkan dengan menggunakan defns-defns yang dberkan dan aturan-aturan logka. Kta hanya akan membuktkan beberapa sfat dan yang terssa sebaga lathan untuk nda. 2. Sfat-sfat Operas Hmpunan Operas-operas pada hmpunan yang ddefnskan d atas memenuh sfat-sfat berkut: Komutatf a. B =B b. B =B ssosatf c. ( BC ) = ( B ) C d. ( BC ) = ( B) C Dstrbutf e. ( BC ) = ( B ) ( C ) f. ( B C ) = ( B) ( C) Idempoten g. = h. = Komplemen c. c j. k. l. m. = c =S c = c =S c S
11 STS4221/MODUL c c c n. ( B ) = B c c c o. ( B ) = B Hukum De Morgan. Hmpunan Semesta p. S =S q. S = Hmpunan Kosong r. = s. = Bukt: Kta hanya akan membuktkan Sfat n. yatu ( B ) c = c B c dan mennggalkan lannya sebaga lathan. Caranya: Kta harus membuktkan: ( B) c c B c yatu jka x ( B) c c c maka x B, dan c c c sebalknya B ( B), yatu jka c c x B Msalkan x B c. Maka x B, sehngga x berart c c x B, sehngga ( B) c c B c., maka x ( B) c. dan x B. In c c Sebalknya, msalkan x B. Maka x dan x B, sehngga x B, atau x ( B) c c c c. kbatnya B ( B). c c c c c c Oleh karena ( B) B dan B ( B), berart ( B) c c B c. Terbukt. 3. Prnsp Penjumlahan Hmpunan dsebut hngga bla mempunya n anggota yang berbeda d mana n blangan bulat postf. Dalam hal n n dsebut cacah anggota dar dan dtuls dengan n(). Sekarang msalkan dan B sebarang hmpunan hngga. Kadang-kadang berguna untuk mendapatkan rumus untuk n( B), cacah gabungan. Bla dan B salng asng, yatu bla B, maka setap elemen dar B nampak d atau B tetap tdak pada kedua-duanya. Karena tu n ( B) n( )+ n( B). Bla dan B salng berpotongan, sepert terlhat pada Gambar 1.9, maka B berada dalam kedua hmpunan dan B, dan
12 1.12 Pengantar Probabltas jumlahan n( ) n( B) memuat cacah elemen d B dua kal. Untuk mengoreks duplkas n, kta mengurang n B dall berkut, yang serng dsebut prnsp penjumlahan.. Jad, kta mempunya Teorema Bla dan B hmpunan hngga, maka n( B ) =n( ) + n( B) n( B) Contoh Msalkan = { a,b,c,d,e } dan B= { c,e, f,h,k,m }. Htunglah n( B) Penyelesaan Kta mempunya B= { a, b, c,d, e, f, h, k, m} dan B= { c,e} juga, n( ) = 5, n( B ) = 6, n( B ) = 9, n( B ) = 2 Maka n( B ) = 9 = n( ) + n( B) n( B ) = Bla dan B salng asng, yatu B= kbatnya dall d atas menjad n( B) n( )+ n( B), maka n B 0. Gambar 1.9. Keadaan untuk tga hmpunan lebh rumt (kompleks) dan n dapat dgambarkan dalam Gambar 1.10.
13 STS4221/MODUL Gambar Prnsp penjumlahan untuk tga hmpunan dnyatakan dalam dall berkut. Teorema Bla, B, dan C hmpunan berhngga, maka n B C = n +n B +n C nb nb C n C n BC Contoh Msalkan { a, b, c, d, e}, B { a, b, e, g, h} C Htunglah n B C. b, d, e, g, h, k, m, n Penyelesaan Kta mempunya B C { a, b, c, d, e, g, h, k, m, n} B { a, b, e}, C { b, d, e} B C { b, e, g, h}, B C ( b, e}. Maka n ( ) 5, nb ( ) 5, nc ( ) 8 n( B C) 10, n( B) 3, n( C) 3, n( B C) 4. n( B C) 2.
14 1.14 Pengantar Probabltas Maka n B C = n +n B +n C n B n B C n C +n B C Contoh Sebuah perusahaan komputer harus menyewa 25 programmer untuk mengerjakan tugas-tugas sstem programmng dan 40 programmer untuk terapan programmng. Dar yang dsewa tersebut 10 harus dapat mengerjakan kedua-duanya. Berapa programmer yang harus dsewa? Penyelesaan Msalkan menyatakan hmpunan programmer untuk sstem programmng yang dsewa, dan B untuk terapan programmng, maka n 25, n B 40 dan n B 10. Cacah programmer yang harus dsewa adalah n( B) n( ) n( B) n( B) Contoh Sebuah surve dlakukan untuk mengetahu apa kendaraan yang dpaka karyawan ke kantornya. Setap responden dmnta memlh BUS, KERET PI, atau MOBIL PRIBDI sebaga alat transportas utama. Seorang responden boleh memberkan lebh satu jawaban. Hasl surve adalah sebaga berkut: (a) 30 orang menjawab BUS. (b) 35 orang menjawab KERET PI. (c) 100 orang menjawab MOBIL PRIBDI. (d) 15 orang menjawab BUS dan KERET PI. (e) 15 orang menjawab BUS dan MOBIL PRIBDI. (f) 20 orang menjawab KERET PI dan MOBIL PRIBDI. (g) 5 orang menggunakan ketga-tganya. Berapakah cacah karyawan yang mengkut surve? Penyelesaan Msalkan, B, dan C masng-masng menyatakan hmpunan-hmpunan karyawan yang menjawab BUS, KERET PI, dan MOBIL PRIBDI.
15 STS4221/MODUL Maka n() = 30, n(b) = 35 dan 100 n B n C nb C n B C nc, =15, 15, 20, dan 5. Jumlah karyawan yang mengkut surve adalah n B C Fungs Karakterstk Konsep yang sangat berguna untuk hmpunan adalah fungs karakterstk. Bla hmpunan bagan dar semesta S, fungs karakterstk f dar ddefnskan sebaga berkut: 1 bla x f( x) 0 bla x Sfat-sfat fungs karakterstk a. f B f f, yatu ( ) ( ) ( ) B fb x f x fb x untuk setap x. b. fb f+ fb f fb, yatu fb( x) f( x)+ fb( x) f ( x) fb( x) untuk setap x. c. fb f+ fb 2 f fb, yatu fb( x) f( x)+ fb( x) 2 f ( x) fb( x) untuk seta Bukt: a. f( x) fb( x ) sama dengan 1 bla dan hanya bla f( x) dan fb( x ) semuanya sama dengan 1 dan n terjad bla dan hanya bla x berada d dan B yatu dalam B. Karena f f B sama dengan 1 pada B dan 0 untuk yang lan, a harus sama dengan f B. b. Bla x, maka ( )=1 f x + f x f x f x = f x, sehngga B B 1 f ( x) f ( x) 1. Bla x tdak d atau B, maka f ( x) f ( x) 0, B B sehngga f x + f x f x f x = 0 B B. Jad f + fb f fb sama dengan 1 pada B dan 0 untuk yang lan, sehngga sama dengan f. B c. Bukt dar sfat 3 dtnggalkan sebaga lathan untuk nda. B
16 1.16 Pengantar Probabltas 5. Perluasan Gabungan dan Irsan Operas gabungan dan rsan dapat dperluas juga ke koleks tak hngga hmpunan. Bla 1, 2, 3,... koleks hmpunan, semuanya ddefnskan pada ruang sampel S, maka 1 1 x S x untuk suatu x S x untuk setap Contoh Msalkan S = (0,1] dan 1,1, 1, 2, 3,... maka ,1 x (0, 1] x,1 untuk suatu { x(0,1]} (0,1] ,1 x (0,1] x,1 untuk setap 0,1 x 1,1 x = {1} hmpunan n terdr dar ttk 1. Banyak sfat-sfat operas hmpunan hngga yang berlaku untuk operas gabungan dan rsan yang banyaknya tak hngga. Sebaga contoh, hukum De Morgan menjad c 1 1 c c 1 1 c khr Kegatan Belajar 1 n kta akhr dengan defns-defns berkut.
17 STS4221/MODUL Defns Dua hmpunan dan B dsebut salng asng bla B. Hmpunan,,... dsebut salng asng pasangan (mutually exclusve) bla 1 2 untuk setap j. j Contoh [, 1), 0, 1,... salng asng pasangan. Defns Bla 1, 2,... salng lepas (parwse dsjont) dan koleks 1, 2,... dsebut parts dar S. S maka, 1 Contoh Msalkan S [1, ), maka [, 1), 1, 2,... merupakan parts dar S, sebab 1 [1,2), 2 [2,3), 3 [3,4),..., sehngga S. LTIHN Untuk memperdalam pemahaman nda mengena mater d atas, kerjakanlah lathan berkut! 1) Buktkan = B bla dan hanya bla B dan B! 2) Bla = {1, 2, 5, 8, 11}. Jawab masng-masng pertanyaan d bawah benar atau salah. (a) {5,1} (b) {8,1} (c) {1,6} (d) {1,8,2,11,5} (e) (f) {2} (g) {11, 2,5,1,8, 4} (h) {3}.
18 1.18 Pengantar Probabltas 3) Pada setap hmpunan d bawah tuls hmpunan yang bersesuaan dalam bentuk x P x dengan P(x) sfat yang menggambarkan elemenelemen dar hmpunan. (a) {2, 4, 6, 8, 10} (b) {a, e,, o, u} (c) {1, 4, 9, 16, 25, 36} (d) { 2, 1, 0, 1, 2} 4) Dengan menggunakan gambar d bawah n, jawab pertanyaanpertanyaan berkut dengan benar atau salah! (a) B (b) B (c) C B (d) x B (e) x (f) y B 5) Msalkan = {1, 2, 3, 4, 5}. Mana dar hmpunan-hmpunan d bawah yang sama dengan? (a) {4, 1, 2, 3, 5} (b) {2, 3, 4} (c) {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 (d) { x x blangan bulat x 25} (e) { x x blangan bulat postf x 5} (f) { x x blangan rasonal postf x 5}
19 STS4221/MODUL ) Msalkan x x x 2 { blangan bulat dengan 16} Jawab pertanyaan-pertanyaan berkut dengan benar atau salah. (a) {0, 1, 2, 3} (b) { 3, 2, 1} (c) (d) { x x blangan bulat dan x 4} (e) 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 7) Buktkan B = B. 8) Bla B = C, apakah B = C? Jelaskan. 9) Msalkan dan B sebarang hmpunan. Buktkan B bla dan hanya bla B c c. 10) Buktkan. (a) B bla dan hanya bla B =B (b) B bla dan hanya bla B =. RNGKUMN 1. Operas gabungan dan rsan pada hmpunan mempunya sfat komutatf, asosatf, dan dstrbutf. 2. n( B) n( ) n( B) n( B). 3. f B f fb 4. f B f f B f fb f f f 2 f f 1 1 B B B { x S x untuk suatu } x S x untuk setap. 5. Hukum De Morgan. c 1 1 c
20 1.20 Pengantar Probabltas 1) Dar hmpunan-hmpunan d bawah, yang merupakan hmpunan kosong adalah.. x x blangan real dan x B. x x blangan real dan x C. x x blangan real dan x 2 9 D. x x blangan real dan x E. x x blangan real dan x x+1 2) Msalkan S { a, b, c, d, e, f, g, h, k} TES FORMTIF 1 Plhlah satu jawaban yang palng tepat! a, b, c, g ; B d, e, f, g; C a, c, f ; D f, h, k B adalah. a, b, c, d, e, g. B. a, b, c, d, e, f C. a, b, c, d, e, f, g D. a, b, d, e, f, g E. a, b, e, f, g 3) Dar soal 2, B D adalah.. {h} B. {f} C. (e} D. {d} E. {k} 4) Dar soal 2, C adalah.. {f, g} B. {b, g} C. {d, f, g} D. {b, f, g} E. {a, f, g}, maka
21 STS4221/MODUL ) Msalkan S 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 = {1, 2, 3, 4, 6, 8}; B = {2, 4, 5, 9} 2 C x x blangan bulat postf dan x 16 C adalah.. {1, 2, 3, 4, 6, 8} B. {1, 2, 4, 6, 8} C. {2, 3, 6, 8} D. {1, 4, 6, 8} E. {1, 3, 4, 6, 8} 6) Dar soal 5, C adalah.. {3, 5} D. {4, 5, 6} B. {1, 2, 4} E. {1, 3, 4} C. 7) Dar soal 5, B adalah.. {1, 5, 6, 8, 9} D. {1, 2, 8, 9} B. {1, 6, 8, 9} E. {1, 2, 5, 6} C. {1, 2, 6, 8, 9} 8) Msal, B, dan C hmpunan hngga dengan n() = 6, n(b) = 8, n(c) = 6, n( B C) 11, n( B) 3, n( C) 2, adalah.. 2 D. 5 B. 3 E. 6 C ) Msal n [1, 1 ), n=1, 2, 3, 4,... maka n n adalah. 1. 1, D. 1 2 B. E. {1} C. 0 10) Dar soal 9, n adalah. 1. [1, 2) D. {1} B. [1, 2] E. C. 1 1, 2 1
22 1.22 Pengantar Probabltas Cocokkanlah jawaban nda dengan Kunc Jawaban Tes Formatf 1 yang terdapat d bagan akhr modul n. Htunglah jawaban yang benar. Kemudan, gunakan rumus berkut untuk mengetahu tngkat penguasaan nda terhadap mater Kegatan Belajar 1. Tngkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal rt tngkat penguasaan: % = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurang pabla mencapa tngkat penguasaan 80% atau lebh, nda dapat meneruskan dengan Kegatan Belajar 2. Bagus! Jka mash d bawah 80%, nda harus mengulang mater Kegatan Belajar 1, terutama bagan yang belum dkuasa.
23 STS4221/MODUL K Kegatan Belajar 2 Hmpunan Terhtung, Perkalan, dan Keluarga Hmpunan ta menggunakan notas-notas khusus untuk hmpunan-hmpunan tertentu, sepert N = {1, 2, 3, } untuk hmpunan blangan bulat postf, Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } untuk hmpunan blangan bulat, R x x } untuk hmpunan blangan real, a, b x a x b a, b x a x b a, b x a x b a, b x a x b untuk selang terbuka, untuk selang tertutup, untuk selang setengah terbuka/tertutup, untuk selang setengah tertutup/terbuka. Dua hmpunan dan B dsebut ekuvalen dan dtuls ~ B bla terdapat korespondens 11 antara dan B. Contoh1.2.1 Hmpunan = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 6} ekuvalen karena adanya korespondens 1 1 antara dan B berkut : B: Bla ~ B, maka B~. Juga bla ~ B dan B~ C maka ~ C. Hmpunan yang ekuvalen dengan hmpunan {1, 2,, n} untuk suatu blangan asl n dsebut hngga; bla tdak demkan dsebut takhngga. Hmpunan takhngga yang ekuvalen dengan hmpunan blangan postf N dsebut terhtung (denumerabel); bla tdak ekuvalen dengan blangan postf N dsebut tak terhtung (non-denumerabel).
24 1.24 Pengantar Probabltas Suatu hmpunan yang merupakan hmpunan kosong, hngga, atau denumerabel dsebut terhtung; bla tdak termasuk dalam krtera tersebut dsebut tak terhtung. Teorema Gabungan terhtung dar hmpunan yang terhtung adalah terhtung. (1.21) Contoh Tunjukkan bahwa hmpunan blangan rasonal dalam selang [0,1] adalah takhngga terhtung atau denumerabel. Penyelesaan Kta harus menunjukkan bahwa terdapat korespondens 1-1 antara hmpunan blangan rasonal dalam [0,1] dan N. Korespondens yang dmaksud dnyatakan dengan cara sebaga berkut Perhatkan bahwa blangan rasonal durutkan menurut naknya penyebut. Blangan rasonal sepert 2 4, yang sama dengan 1, dabakan karena telah 2 terhtung. Contoh Tunjukkan bahwa gabungan terhtung dar hmpunan yang terhtung adalah terhtung. Penyelesaan Pandang hmpunan-hmpunan S 1= a 11, a 21, a 31,..., S = a, a, a,.... Terdapat sejumlah terhtung hmpunan-hmpunan 1 2 S, S,... dan masngmasng hmpunannya adalah terhtung.
25 STS4221/MODUL Sekarang kta dapat menuls elemen-elemennya dalam bentuk a a a a a a a a a a a a a a a a a Bla kta mengkut arah anak panah, maka akan ddapat hmpunan a, a, a, a, a, a, a, a,... dan hasl terakhr menunjukkan adanya korespondens 11 dengan N. Contoh Tunjukkan bahwa hmpunan semua blangan real [0,1] adalah tak terhtung. Penyelesaan Setap blangan real dalam [0,1] mempunya ekspans desmal 0,a1 a 2,... dengan a 1, a 2,... salah satu dar angka 0, 1, 2,, 9. Bla ekspans desmalnya berhent sepert 0,7324, maka blangan tersebut d tuls 0, dan n sama dengan 0, Bla semua blangan real dalam [0,1] terhtung, maka kta dapat menempatkan mereka dalam korespondens 11 dengan N dalam bentuk daftar sebaga berkut: 1 0,a11 a12 a13 a ,a a a a ,a a a a
26 1.26 Pengantar Probabltas Sekarang kta bentuk blangan 0,b1 b2 b3 b 4... dengan b1 6 bla a11 5 dan b1 5 bla a11 5, b2 6 bla a22 5 dan b2 5 bla a2 5 dan seterusnya. [Pemlhan 5 dan 6 dengan sendrnya dapat dgant dengan dua blangan yang lan]. Dar cara pembentukan d atas, terlhat bahwa blangan 0, b1 b2 b 3... berbeda dengan setap blangan dalam daftar d atas dan tdak dapat berada dalam daftar. Kontradks dengan andaan bahwa setap blangan real dalam [0,1] telah dkutkan. Karena [0,1] tdak dapat dkorespondenskan dengan N maka [0,1] tak terhtung.. PERKLIN HIMPUNN Msalkan dan B dua hmpunan sebarang. Perkalan hmpunan dan B, dtuls B adalah hmpunan semua pasangan berurutan (a, b) dengan a dan b B yatu B= a,b a, b B. Perkalkan suatu hmpunan dengan drnya sendr, katakanlah, akan dnyatakan dengan 2. Contoh Dalam bdang Cartesan 2 R R R (Gambar 1.11) setap ttk P menyajkan pasangan berurutan (a, b) dar blangan real a dan b demkan juga sebalknya, pasangan berurutan (a, b) dar blangan real a dan b menentukan setap ttk P. Gambar 1.11.
27 STS4221/MODUL Contoh Msalkan = {1,2,3} dan B = {a, b}. Maka B=,a,,b,,a,,b,,a,,b. Karena dan B tdak memuat terlalu banyak elemen, maka dmungknkan untuk menyajkan B dengan dagram koordnat sepert dtunjukkan dalam Gambar D sn gars-gars tegak melalu ttk-ttk dar dan gars-gars mendatar melalu ttk-ttk dar B dan bertemu dalam 6 ttk yang menyajkan B. Ttk P adalah pasangan berurutan (2,b). Secara umum bla hmpunan mempunya s elemen dan hmpunan B mempunya t elemen, maka B mempunya s t elemen. Konsep perkalan hmpunan dapat dperluas ke sejumlah hngga hmpunan dengan cara sepert basa Perkalan hmpunan 1, 2..., m yang dnyatakan dengan m atau a 1, a 2,..., a m dengan a m 1 untuk setap. 1 2 m a, a,..., a a untuk setap m adalah hmpunan m-tuples 1 Gambar Contoh Msalkan = {a, b}, B = {2, 3}, dan C = {3, 4}. Tentukan. ( B C) ( B) ( C)
28 1.28 Pengantar Probabltas Penyelesaan B C= 234,, Karena maka B C adalah B C a,2, a,3, a,4, b,2, b,3, b,4. Contoh B C = B C. Buktkan Penyelesaan (B C)={( x, y) x, yb C} = x, y x, y B, y C x, y x, y B, x, y C = B C. Contoh Msalkan = {1, 2, 3}, B = {2, 4} dan C = (3, 4, 5}. Tentukan B C. Penyelesaan Metode yang enak untuk menentukan B C adalah melalu apa yang dsebut dagram pohon d bawah. Dagram pohon dsusun dar kr ke kanan. B C terdr dar trpel terurut yang dsusun d sebelah kanan pohon.
29 STS4221/MODUL Contoh Bla B dan C D, buktkan ( C) ( B D). Bukt: Msalkan (x,y) sebarang elemen dalam C. Maka x dan y C. Karena B dan C Dmaka x B dan y D. In berart x,y B D. Karena kta telah menunjukkan, bla x,y terbukt ( C) ( B D). C maka x,y B D,
30 1.30 Pengantar Probabltas B. KELURG HIMPUNN Kadang-kadang anggota suatu hmpunan dapat juga merupakan hmpunan. Sebaga contoh, setap gars dalam hmpunan gars adalah hmpunan ttk-ttk. Untuk memperjelas stuas n, kta menggunakan stlah keluarga untuk hmpunan sedemkan. Contoh nggota dar keluarga hmpunan {{2,3}, {2}, {5,6}} adalah hmpunan-hmpunan {2,3}, {2} dan {5,6}. 2. Pandang sebarang hmpunan. Kuasa hmpunan dtuls P(), adalah keluarga dar semua hmpunan bagan dar. Pada khususnya, bla = {a, b}, maka P( )={{ a, b}, { a}, { b}, } atau {, { a}, { b}, }. Bla = {a, b, c} maka P =, a,b, a,c, b,c, a, b, c,. Secara umum, bla hngga dan mempunya n elemen, maka P() mempunya 2 n elemen. Dengan alasan n P() serng dtuls 2. Defns Msalkan keluarga hmpunan bagan dar S dengan S semesta. dsebut lapangan (feld) bla (a) S c (b) Bla (c) Bla 1, 2,..., n. n 1 Bla syarat (c) dubah menjad (c) Bla 1, 2,... maka dsebut lapangan ( feld). 1
31 STS4221/MODUL Contoh Msalkan S adalah semesta. Maka,S merupakan lapangan. c, B=,,, S C. HIMPUNN DLM TEORI PROBBILITS, maupun 2 S Dalam teor probabltas basanya kta mempelajar gejala acak (random) sebaga lawan dar gejala yang tertentu atau determnstk. Dalam hal n kta ngn mempelajar hasl percobaan dan percobaan n tdak selalu menghaslkan hasl yang sama. Persoalan kta adalah mengumpulkan semua hasl yang mungkn dar percobaan n, dan n berfungs sebaga hmpunan semesta S. Hmpunan bagan, B, C dar S menyatakan kejadan yang mungkn muncul dan ngn dketahu probabltas atau peluangnya untuk terjad. Dalam menghtung probabltas tersebut basanya kta menggunakan manpulas teor hmpunan yang telah kta bcarakan d muka. Contoh Msalkan kta melemparkan sepasang dadu ke atas dan kta perhatkan permukaan yang muncul. Hasl yang ddapat adalah pasangan blangan bulat (, j ) dengan 1, j 6. Jad, dalam hal n semesta S adalah (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), S = (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,4), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), Msalkan menyatakan kejadan jumlahnya 7 maka {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}. Perhatkan bahwa merupakan hmpunan bagan dar S. Sekarang msalkan B menyatakan tada dadu yang menunjukkan 1. Maka
32 1.32 Pengantar Probabltas (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2) (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3) B = (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), (6,4) (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5) (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6) Jumlahnya 7 dan tada dadu menunjukkan 1 adalah hmpunan ttk-ttk dalam B={(2,5), (3,4), (4,3), (5,2)}. (Gambar 1.13). Gambar S,, B, dan B Contoh Dar rumah sampa ke kantor, seorang karyawan melewat tga perempatan yang semuanya mempunya lampu pengatur lalu lntas. Pada setap perempatan seorang karyawan dapat stop (s) atau terus (t). Dalam hal n S atau semestanya adalah S = {ttt, tts, tss, tst, sss, sst, stt, sts}. LTIHN Untuk memperdalam pemahaman nda mengena mater d atas, kerjakanlah lathan berkut! 1) Msalkan Q menyatakan hmpunan semua blangan rasonal. Buktkan hmpunan-hmpunan berkut denumerabel!
33 STS4221/MODUL (a) x x Q, x 1 (b) x x Q, x 0 (c) x x Q, x 0 2) Buktkan bahwa terdapat korespondens 1-1 antara ttk-ttk dalam selang 0 x 1 dan (a) 4 x 4 (b) 4 x 6 3) Seldk apakah persyaratan berkut benar atau salah? (a) ( BC) ( B) C (b) ( B C) ( B) ( C) n, 2 n, 3 n,..., n 1, 2, 3... tentukan 4) Msalkan n (a) 2 7 (b) 6 8 (c) ) Bla = {1, 2, 3, 4} tentukan hmpunan kuasa 2 dar! 6) Msalkan dan B kedua-duanya merupakan lapangan dar hmpunanhmpunan bagan dar S. Tunjukkan bahwa B belum tentu merupakan lapangan! 7) Sepert pada soal nomor 6, buktkan bahwa B merupakan lapangan! 8) Msalkan B C. Perhatkan pernyataan berkut apakah benar atau salah? ( B B) ( C C) 9) Dar soal nomor 8, buktkan ( BC) ( C B) 10) Buktkan 1 ( ) ( )... c c c
34 1.34 Pengantar Probabltas RNGKUMN 1. Hmpunan tak hngga yang ekuvalen dengan hmpunan blangan bulat postf N dsebut denumerabel. 2. Suatu hmpunan yang merupakan hmpunan kosong, hngga, atau denumerabel dsebut terhtung. B a, b a, b B Msalkan keluarga hmpunan bagan dar S, dengan S semesta. dsebut lapangan bla a. S b. c Bla c. Bla 1, 2, 3, TES FORMTIF 2 Plhlah satu jawaban yang palng tepat! 1) Bla B = {1, {2, 3}, 4} maka cacah anggota hmpunan kuasa dar B, P(B) adalah.. 15 D. 16 B. 14 E. 10 C. 8 2) Msalkan = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, {2, 3}, 4} cacah anggota dar B adalah.. 16 D. 8 B. 12 E. 10 C. 0 3) Msalkan n { n, 2 n, 3 n,...}, n 1, 2, 3... Maka 3 12 adalah.. 3 D. B. 4 E. 12 C. N
35 STS4221/MODUL ) Dengan n sepert pada soal nomor 3 maka 2 8 adalah.. 2 D. N B. 8 E. C. 16 5) Msalkan J = {2, 4, 6, 8, } dan n sepert pada soal 3. Maka adalah.. N D. 3 B. J E. C. 2 nj n B x a x b 1, n 1, 2, 3,... Maka 6) Msalkan n n adalah.. x a x b D. x a x b B. x a x E. x a x b C. x a x 0 n1 B n 7) Dalam perjalanan ke kantornya seorang karyawan harus melewat 4 lampu pengatur lalu lntas. Pada setap lampu pengatur lalu lntas a dapat stop (s) atau terus (t). Dalam hal n cacah anggota dar ruang sampel S adalah.. 32 D. 16 B. 10 E. 12 C. 8 8) Sebuah mata uang sembang dlemparkan tga kal. Msalkan M menyatakan ss muka dan B ss belakang. Msalkan : palng sedkt mendapatkan dua muka; D: dua lemparan pertama muka dan c C : lemparan terakhr belakang, maka adalah.. {MMM, MBB} B. {MMB, BBM, MBM} C. {MBB, BBB, BBM, BMB} D. {BBB, MBB, BBM} E. {MBB, BBM, BMB}
36 1.36 Pengantar Probabltas 9) Dar soal 8, D adalah.. {MMB, MMM} B. {MBB, BBB, BBM, BMB} C. {MMB} D. {MMM} E. {BBB, MBM} 10) Dar soal 8, C adalah.. S B. C. {MMM, MMB, MBM, BBB} D. {MMM, BBB, BMB} E. {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BBB, BMB} Cocokkanlah jawaban nda dengan Kunc Jawaban Tes Formatf 2 yang terdapat d bagan akhr modul n. Htunglah jawaban yang benar. Kemudan, gunakan rumus berkut untuk mengetahu tngkat penguasaan nda terhadap mater Kegatan Belajar 2. Tngkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal rt tngkat penguasaan: % = bak sekal 80-89% = bak 70-79% = cukup < 70% = kurang pabla mencapa tngkat penguasaan 80% atau lebh, nda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jka mash d bawah 80%, nda harus mengulang mater Kegatan Belajar 2, terutama bagan yang belum dkuasa.
37 STS4221/MODUL Kunc Jawaban Tes Formatf Tes Formatf 1 1) E 2) C 3) B 4) D 5) 6) B 7) 8) C 9) E 10) Tes Formatf 2 1) C 2) B 3) E 4) 5) E 6) D 7) D 8) C 8) 10) E
38 1.38 Pengantar Probabltas Daftar Pustaka Dudewcz, E.J. & Mshra, S.N. (1988). Modern Mathematcal Statstcs. Jhon Wley. Lpschutz, S. (1982). Probablty. Mc. Graw Hll.
Teori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sebagai koleksi (pengelompokan) dari objek-objek yang
Modul 1 Teor Hmpunan PENDAHULUAN Prof SM Nababan, PhD Drs Warsto, MPd mpunan sebaga koleks (pengelompokan) dar objek-objek yang H dnyatakan dengan jelas, banyak dgunakan dan djumpa dberbaga bdang bukan
Lebih terperinciBAB X RUANG HASIL KALI DALAM
BAB X RUANG HASIL KALI DALAM 0. Hasl Kal Dalam Defns. Hasl kal dalam adalah fungs yang mengatkan setap pasangan vektor d ruang vektor V (msalkan pasangan u dan v, dnotaskan dengan u, v ) dengan blangan
Lebih terperinciBab 1 Ruang Vektor. R. Leni Murzaini/0906577381
Bab 1 Ruang Vektor Defns Msalkan F adalah feld, yang elemen-elemennya dnyatakansebaga skalar. Ruang vektor atas F adalah hmpunan tak kosong V, yang elemen-elemennya merupakan vektor, bersama dengan dua
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dibahas mengenai ring embedding dan faktorisasi. tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan.
BAB III PEMBAHASAN Pada bab n akan dbahas mengena rng embeddng dan faktorsas tunggal pada rng komutatf tanpa elemen kesatuan. A. Rng Embeddng Defns 3.1 (Malk et al. 1997: 318 Suatu rng R dkatakan embedded
Lebih terperinciSEARAH (DC) Rangkaian Arus Searah (DC) 7
ANGKAAN AUS SEAAH (DC). Arus Searah (DC) Pada rangkaan DC hanya melbatkan arus dan tegangan searah, yatu arus dan tegangan yang tdak berubah terhadap waktu. Elemen pada rangkaan DC melput: ) batera ) hambatan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Matematka dbag menjad beberapa kelompok bdang lmu, antara lan analss, aljabar, dan statstka. Ruang barsan merupakan salah satu bagan yang ada d bdang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Fuzzy Set Pada tahun 1965, Zadeh memodfkas teor hmpunan dmana setap anggotanya memlk derajat keanggotaan yang bernla kontnu antara 0 sampa 1. Hmpunan n dsebut dengan hmpunaan
Lebih terperinciBEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA
BEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA A-3 Dan Aresta Yuwanngsh 1 1 Mahasswa S Matematka UGM dan.aresta17@yahoo.com Abstrak Dberkan R merupakan rng dengan elemen satuan, M R-modul kanan, dan R S End
Lebih terperinciBAB 3 PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI
BAB 3 PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI. Tentukan banyak blangan bulat dar sampa dengan 0.000 yang tdak habs dbag 4, 6, 7 atau 0. Jawab: Msal: S = {, 2, 3, 4, 5,..., 0.000} a = {sfat habs dbag 4} a 2 = {sfat habs
Lebih terperinciBAB III HASILKALI TENSOR PADA RUANG VEKTOR. Misalkan V ruang vektor atas lapangan F. Suatu transformasi linear f L ( V, F )
28 BAB III HASILKALI TENSOR PADA RUANG VEKTOR III.1 Ruang Dual Defns III.1.2: Ruang Dual [10] Msalkan V ruang vektor atas lapangan F. Suatu transformas lnear f L ( V, F ) dkatakan fungsonal lnear (atau
Lebih terperinciKONSEP DASAR PROBABILITAS
KONSEP DASAR PROBABILITAS TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-3 & KE-4 1 Defns 1 Probabltas dar sebuah kejadan A adalah jumlah bobot dar tap ttk sampel yang termasuk dalam A. Selanjutnya: 0 < P(A) < 1,
Lebih terperinciDidownload dari ririez.blog.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN Sebuah jarngan terdr dar sekelompok node yang dhubungkan oleh busur atau cabang. Suatu jens arus tertentu berkatan dengan setap busur. Notas standart untuk menggambarkan sebuah jarngan
Lebih terperinciBAB III FUNGSI MAYOR DAN MINOR. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep dasar dari fungsi mayor dan fungsi
BAB III FUNGSI MAYOR DAN MINOR Pada bab n akan dbahas konsep-konsep dasar dar fungs mayor dan fungs mnor dar suatu fungs yang terdefns pada suatu nterval tertutup. Pendefnsan fungs mayor dan mnor tersebut
Lebih terperinciIV. UKURAN SIMPANGAN, DISPERSI & VARIASI
IV. UKURAN SIMPANGAN, DISPERSI & VARIASI Pendahuluan o Ukuran dspers atau ukuran varas, yang menggambarkan derajat bagamana berpencarnya data kuanttatf, dntaranya: rentang, rentang antar kuartl, smpangan
Lebih terperinciBAB VB PERSEPTRON & CONTOH
BAB VB PERSEPTRON & CONTOH Model JST perseptron dtemukan oleh Rosenblatt (1962) dan Mnsky Papert (1969). Model n merupakan model yang memlk aplkas dan pelathan yang lebh bak pada era tersebut. 5B.1 Arstektur
Lebih terperinciALJABAR LINIER LANJUT
ALABAR LINIER LANUT Ruang Bars dan Ruang Kolom suatu Matrks Msalkan A adalah matrks mnatas lapangan F. Bars pada matrks A merentang subruang F n dsebut ruang bars A, dnotaskan dengan rs(a) dan kolom pada
Lebih terperinciRANGKAIAN SERI. 1. Pendahuluan
. Pendahuluan ANGKAIAN SEI Dua elemen dkatakan terhubung ser jka : a. Kedua elemen hanya mempunya satu termnal bersama. b. Ttk bersama antara elemen tdak terhubung ke elemen yang lan. Pada Gambar resstor
Lebih terperinciUJI PRIMALITAS. Sangadji *
UJI PRIMALITAS Sangadj * ABSTRAK UJI PRIMALITAS. Makalah n membahas dan membuktkan tga teorema untuk testng prmaltas, yatu teorema Lucas, teorema Lucas yang dsempurnakan dan teorema Pocklngton. D sampng
Lebih terperinciSISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS
SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS A8 M. Andy Rudhto 1 1 Program Stud Penddkan Matematka FKIP Unverstas Sanata Dharma Kampus III USD Pangan Maguwoharjo Yogyakarta 1 e-mal: arudhto@yahoo.co.d
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Universitas Sumatera Utara
BAB 1 ENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Secara umum dapat dkatakan bahwa mengambl atau membuat keputusan berart memlh satu dantara sekan banyak alternatf. erumusan berbaga alternatf sesua dengan yang sedang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Tujuan
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dstrbus peluang merupakan konsep yang menjad dasar pengembangan statstka nferensal, khususnya penaksran parameter dan pengujan hpotess, menjad topk utama dalam makalah
Lebih terperinciANALISIS DATA KATEGORIK (STK351)
Suplemen Respons Pertemuan ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351) 7 Departemen Statstka FMIPA IPB Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Referens Waktu Korelas Perngkat (Rank Correlaton) Bag. 1 Koefsen Korelas Perngkat
Lebih terperinciANALISIS BENTUK HUBUNGAN
ANALISIS BENTUK HUBUNGAN Analss Regres dan Korelas Analss regres dgunakan untuk mempelajar dan mengukur hubungan statstk yang terjad antara dua varbel atau lebh varabel. Varabel tersebut adalah varabel
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
2 LNDSN TEORI 2. Teor engamblan Keputusan Menurut Supranto 99 keputusan adalah hasl pemecahan masalah yang dhadapnya dengan tegas. Suatu keputusan merupakan jawaban yang past terhadap suatu pertanyaan.
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 ENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Manusa dlahrkan ke duna dengan ms menjalankan kehdupannya sesua dengan kodrat Illah yakn tumbuh dan berkembang. Untuk tumbuh dan berkembang, berart setap nsan harus
Lebih terperinciPembayaran harapan yang berkaitan dengan strategi murni pemain P 2. Pembayaran Harapan bagi Pemain P1
Lecture : Mxed Strategy: Graphcal Method A. Metode Campuran dengan Metode Grafk Metode grafk dapat dgunakan untuk menyelesakan kasus permanan dengan matrks pembayaran berukuran n atau n. B. Matrks berukuran
Lebih terperinciBAB IX. STATISTIKA. CONTOH : HASIL ULANGAN MATEMATIKA 5 SISWA SBB: PENGERTIAN STATISTIKA DAN STATISTIK:
BAB IX. STATISTIKA. CONTOH : HASIL ULANGAN MATEMATIKA 5 SISWA SBB: PENGERTIAN STATISTIKA DAN STATISTIK: BAB IX. STATISTIKA Contoh : hasl ulangan Matematka 5 sswa sbb: 6 8 7 6 9 Pengertan Statstka dan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Penjadwalan Baker (1974) mendefnskan penjadwalan sebaga proses pengalokasan sumber-sumber dalam jangka waktu tertentu untuk melakukan sejumlah pekerjaan. Menurut Morton dan
Lebih terperinciBILANGAN RAMSEY SISI DARI r ( P, )
Charul Imron dan dy Tr Baskoro, Blangan Ramsey Ss BILANGAN RAMSY SISI DARI r ( P, ) (Ramsey Number from the Sde r ( P, ) ) Charul Imron dan dy Tr Baskoro Jurusan Matemátca, FMIPA ITS Surabaya mron-ts@matematka.ts.ac.d
Lebih terperinciBAB III METODOLOGI PENELITIAN
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1. Hpotess Peneltan Berkatan dengan manusa masalah d atas maka penuls menyusun hpotess sebaga acuan dalam penulsan hpotess penuls yatu Terdapat hubungan postf antara penddkan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
I ENDHULUN. Latar elakang Mengambl keputusan secara aktf memberkan suatu tngkat pengendalan atas kehdupan spengambl keputusan. lhan-plhan yang dambl sebenarnya membantu dalam penentuan masa depan. Namun
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. George Boole dalam An Investigation of the Laws of Thought pada tahun
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Aljabar Boolean Barnett (2011) menyatakan bahwa Aljabar Boolean dpublkaskan oleh George Boole dalam An Investgaton of the Laws of Thought pada tahun 1954. Dalam karya n, Boole
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. 2.1 Definisi Game Theory
BAB II DASAR TEORI Perkembangan zaman telah membuat hubungan manusa semakn kompleks. Interaks antar kelompok-kelompok yang mempunya kepentngan berbeda kemudan melahrkan konflk untuk mempertahankan kepentngan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Di dalam matematika mulai dari SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi
Daftar Is Daftar Is... Kata pengantar... BAB I...1 PENDAHULUAN...1 1.1 Latar Belakang...1 1.2 Rumusan Masalah...2 1.3 Tujuan...2 BAB II...3 TINJAUAN TEORITIS...3 2.1 Landasan Teor...4 BAB III...5 PEMBAHASAN...5
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI GRAF GIR
Jurnal Matematka UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 21 27 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematka FMIPA UNAND DIMENSI PARTISI GRAF GIR REFINA RIZA Program Stud Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Universitas Sumatera Utara
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertan Analsa Regres Dalam kehdupan sehar-har, serng kta jumpa hubungan antara satu varabel terhadap satu atau lebh varabel yang lan. Sebaga contoh, besarnya pendapatan seseorang
Lebih terperinciBab III Analisis Rantai Markov
Bab III Analss Ranta Markov Sstem Markov (atau proses Markov atau ranta Markov) merupakan suatu sstem dengan satu atau beberapa state atau keadaan, dan dapat berpndah dar satu state ke state yang lan pada
Lebih terperinciBab 3. Teori Comonotonic. 3.1 Pengurutan Variabel Acak
Bab 3 Teor Comonotonc Pada bab n konsep teor comonotonc akan dpaparkan dar awal dan berakhr pada konsep teor n untuk jumlah dar peubah - peubah acak 1. Setelah tu untuk membantu pemahaman akan dberkan
Lebih terperinciBAB 4 PERHITUNGAN NUMERIK
Mata kulah KOMPUTASI ELEKTRO BAB PERHITUNGAN NUMERIK. Kesalahan error Pada Penelesaan Numerk Penelesaan secara numers dar suatu persamaan matemats kadang-kadang hana memberkan nla perkraan ang mendekat
Lebih terperinciBAB VIB METODE BELAJAR Delta rule, ADALINE (WIDROW- HOFF), MADALINE
BAB VIB METODE BELAJAR Delta rule, ADALINE (WIDROW- HOFF), MADALINE 6B.1 Pelathan ADALINE Model ADALINE (Adaptve Lnear Neuron) dtemukan oleh Wdrow & Hoff (1960) Arstekturnya mrp dengan perseptron Perbedaan
Lebih terperinciIII PEMODELAN MATEMATIS SISTEM FISIK
34 III PEMODELN MTEMTIS SISTEM FISIK Deskrps : Bab n memberkan gambaran tentang pemodelan matemats, fungs alh, dagram blok, grafk alran snyal yang berguna dalam pemodelan sstem kendal. Objektf : Memaham
Lebih terperinci(1.1) maka matriks pembayaran tersebut dikatakan mempunyai titik pelana pada (r,s) dan elemen a
Lecture 2: Pure Strategy A. Strategy Optmum Hal pokok yang sesungguhnya menad nt dar teor permanan adalah menentukan solus optmum bag kedua phak yang salng bersang tersebut yang bersesuaan dengan strateg
Lebih terperinciSEMI RING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS
JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal. 289-297 SEMI RING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS Suroto Prod Matematka, Jurusan MIPA, Fakultas Sans dan Teknk Unverstas Jenderal Soedrman e-mal : suroto_80@yahoo.com
Lebih terperinciMEREDUKSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY PENUH DENGAN BILANGAN FUZZY TRAPESIUM
MEREDUKSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY PENUH DENGAN BILANGAN FUZZY TRAPESIUM Tut Susant, Mashad, Sukamto Mahasswa Program S Matematka Dosen Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinciMINGGU KE- V: UKURAN PENYEBARAN
MINGGU KE- V: UKURAN PENYEBARAN Tujuan Instruksonal Umum :. Mahasswa mampu memaham apa yang dmaksud dengan ukuran penyebaran. Mahasswa mampu memaham berbaga pengukuran untuk mencar nla ukuran penyebaran
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Deskrps Data Hasl Peneltan Satelah melakukan peneltan, penelt melakukan stud lapangan untuk memperoleh data nla post test dar hasl tes setelah dkena perlakuan.
Lebih terperinciTinjauan Algoritma Genetika Pada Permasalahan Himpunan Hitting Minimal
157 Vol. 13, No. 2, 157-161, Januar 2017 Tnjauan Algortma Genetka Pada Permasalahan Hmpunan Httng Mnmal Jusmawat Massalesse, Bud Nurwahyu Abstrak Beberapa persoalan menark dapat dformulaskan sebaga permasalahan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertan Regres Regres pertama kal dpergunakan sebaga konsep statstka oleh Sr Francs Galton (1822 1911). Belau memperkenalkan model peramalan, penaksran, atau pendugaan, yang
Lebih terperinciDekomposisi Nilai Singular dan Aplikasinya
A : Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Gregora Aryant Dekomposs Nla Sngular dan Aplkasnya Oleh : Gregora Aryant Program Stud Penddkan Matematka nverstas Wdya Mandala Madun aryant_gregora@yahoocom Abstrak
Lebih terperinciModul ini adalah modul ke-8 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini
STATISTIKA ; MODUL ; ; 8; ; ; PENDAHULUAN Modul n adalah modul ke-8 dalam mata kulah Matematka. Is modul n membahas tentang statstka. Modul n terdr dar kegatan belajar. Pada kegatan belajar akan dbahas
Lebih terperinci3 METODE HEURISTIK UNTUK VRPTW
12 3 METODE HEURISTIK UNTUK VRPTW 3.1 Metode Heurstk Metode heurstk merupakan salah satu metode penentuan solus optmal dar permasalahan optmas kombnatoral. Berbeda dengan solus eksak yang menentukan nla
Lebih terperinciBAB III METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilaksanakan di SMA Negeri I Tibawa pada semester genap
5 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3. Lokas Dan Waktu Peneltan Peneltan n dlaksanakan d SMA Neger I Tbawa pada semester genap tahun ajaran 0/03. Peneltan n berlangsung selama ± bulan (Me,Jun) mula dar tahap
Lebih terperinciAPLIKASI PERKONGRUENAN DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH. Yuni Yulida dan Muhammad Ahsar K
Jurnal Matematka Murn dan Terapan Vol. 3 No. Desember 009: 4-6 APLIKASI PERKONGRUENAN DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH Yun Yulda dan Muhammad Ahsar K Program Stud Matematka Unverstas
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 0 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB V STATISTIKA Dra.Hj.Rosdah Salam, M.Pd. Dra. Nurfazah, M.Hum. Drs. Latr S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Wdya
Lebih terperinciPENDAHULUAN Latar Belakang
PENDAHULUAN Latar Belakang Menurut teor molekuler benda, satu unt volume makroskopk gas (msalkan cm ) merupakan suatu sstem yang terdr atas sejumlah besar molekul (kra-kra sebanyak 0 0 buah molekul) yang
Lebih terperinciberasal dari pembawa muatan hasil generasi termal, sehingga secara kuat
10 KARAKTRISTIK TRANSISTOR 10.1 Dasar Pengoperasan JT Pada bab sebelumnya telah dbahas dasar pengoperasan JT, utamannya untuk kasus saat sambungan kolektor-bass berpanjar mundur dan sambungan emtor-bass
Lebih terperinciKecocokan Distribusi Normal Menggunakan Plot Persentil-Persentil yang Distandarisasi
Statstka, Vol. 9 No., 4 47 Me 009 Kecocokan Dstrbus Normal Menggunakan Plot Persentl-Persentl yang Dstandarsas Lsnur Wachdah Program Stud Statstka Fakultas MIPA Unsba e-mal : Lsnur_w@yahoo.co.d ABSTRAK
Lebih terperinci2.1 Sistem Makroskopik dan Sistem Mikroskopik Fisika statistik berangkat dari pengamatan sebuah sistem mikroskopik, yakni sistem yang sangat kecil
.1 Sstem Makroskopk dan Sstem Mkroskopk Fska statstk berangkat dar pengamatan sebuah sstem mkroskopk, yakn sstem yang sangat kecl (ukurannya sangat kecl ukuran Angstrom, tdak dapat dukur secara langsung)
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Universitas Sumatera Utara
2 LNDSN TEORI 2.1 Hmpunan dan Operas Hmpunan 2.1.1 Defns Hmpunan adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Msalnya mahasswamahasswa yang mengambl mata kulah Matematka Dskrt, buku-buku yang djual dalam
Lebih terperinciSifat-sifat Operasi Perkalian Modular pada Graf Fuzzy
SEMINAR MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 07 Sfat-sfat Operas Perkalan Modular pada raf Fuzzy T - 3 Tryan, ahyo Baskoro, Nken Larasat 3, Ar Wardayan 4,, 3, 4 Unerstas Jenderal Soedrman transr@yahoo.com.au
Lebih terperinciII. TEORI DASAR. Definisi 1. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai
II. TEORI DASAR.1 Transormas Laplace Ogata (1984) mengemukakan bahwa transormas Laplace adalah suatu metode operasonal ang dapat dgunakan untuk menelesakan persamaan derensal lnear. Dengan menggunakan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakang Dalam kehdupan sehar-har, serngkal dumpa hubungan antara suatu varabel dengan satu atau lebh varabel lan. D dalam bdang pertanan sebaga contoh, doss dan ens pupuk yang dberkan
Lebih terperinciKAJIAN DAN ALGORITMA PELABELAN PSEUDO EDGE-MAGIC. memiliki derajat maksimum dan tidak ada titik yang terisolasi. Jika n i adalah
BAB III KAJIAN DAN ALGORITMA PELABELAN PSEUDO EDGE-MAGIC III. Batas Bawah Magc Number pada Pelabelan Total Pseudo Edge-Magc Teorema 3.. Anggap G = (,E) adalah sebuah graf dengan n-ttk dan m-ss dan memlk
Lebih terperinciIII. METODE PENELITIAN. Penelitian ini merupakan studi eksperimen yang telah dilaksanakan di SMA
III. METODE PENELITIAN A. Waktu dan Tempat Peneltan Peneltan n merupakan stud ekspermen yang telah dlaksanakan d SMA Neger 3 Bandar Lampung. Peneltan n dlaksanakan pada semester genap tahun ajaran 2012/2013.
Lebih terperinciCatatan Kuliah 12 Memahami dan Menganalisa Optimisasi dengan Kendala Ketidaksamaan
Catatan Kulah Memaham dan Menganalsa Optmsas dengan Kendala Ketdaksamaan. Non Lnear Programmng Msalkan dhadapkan pada lustras berkut n : () Ma U = U ( ) :,,..., n st p B.: ; =,,..., n () Mn : C = pk K
Lebih terperinciBAB V INTEGRAL KOMPLEKS
6 BAB V INTEGRAL KOMPLEKS 5.. INTEGRAL LINTASAN Msal suatu lntasan yang dnyatakan dengan : (t) = x(t) + y(t) dengan t rl dan a t b. Lntasan dsebut lntasan tutup bla (a) = (b). Lntasan tutup dsebut lntasan
Lebih terperinciDISTRIBUSI HASIL PENGUKURAN DAN NILAI RATA-RATA
DISTRIBUSI HASIL PENGUKURAN DAN NILAI RATA-RATA Dstrbus Bnomal Msalkan dalam melakukan percobaan Bernoull (Bernoull trals) berulang-ulang sebanyak n kal, dengan kebolehjadan sukses p pada tap percobaan,
Lebih terperinciPADA GRAF PRISMA BERCABANG
PELABELAN TOTAL SUPER (a, d)-busur ANTI AJAIB PADA GRAF PRISMA BERCABANG Achmad Fahruroz,, Dew Putre Lestar,, Iffatul Mardhyah, Unverstas Gunadarma Depok Program Magster Fakultas MIPA Unverstas Indonesa
Lebih terperinciLAMPIRAN A PENURUNAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES
LAMPIRAN A PENURUNAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES Hubungan n akan dawal dar gaya yang beraks pada massa fluda. Gaya-gaya n dapat dbag ke dalam gaya bod, gaya permukaan, dan gaya nersa. a. Gaya Bod Gaya bod
Lebih terperinciPERTEMUAN I PENGENALAN STATISTIKA TUJUAN PRAKTIKUM
PERTEMUAN I PENGENALAN STATISTIKA TUJUAN PRAKTIKUM 1) Membuat dstrbus frekuens. 2) Mengetahu apa yang dmaksud dengan Medan, Modus dan Mean. 3) Mengetahu cara mencar Nla rata-rata (Mean). TEORI PENUNJANG
Lebih terperinciP n e j n a j d a u d a u l a a l n a n O pt p im i a m l a l P e P m e b m a b n a g n k g i k t Oleh Z r u iman
OTIMISASI enjadualan Optmal embangkt Oleh : Zurman Anthony, ST. MT Optmas pengrman daya lstrk Dmaksudkan untuk memperkecl jumlah keseluruhan baya operas dengan memperhtungkan rug-rug daya nyata pada saluran
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Pengertan Regres Regres pertama kal dgunakan sebaga konsep statstka oleh Sr Francs Galton (18 1911).Belau memperkenalkan model peramalan, penaksran, atau pendugaan, yang selanjutnya
Lebih terperinciIII. METODE PENELITIAN. Penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 13 Bandar Lampung. Populasi dalam
III. METODE PENELITIAN A. Populas dan Sampel Peneltan n dlaksanakan d SMP Neger 3 Bandar Lampung. Populas dalam peneltan n yatu seluruh sswa kelas VIII SMP Neger 3 Bandar Lampung Tahun Pelajaran 0/03 yang
Lebih terperinciPENERAPAN METODE MAMDANI DALAM MENGHITUNG TINGKAT INFLASI BERDASARKAN KELOMPOK KOMODITI (Studi Kasus pada Data Inflasi Indonesia)
PENERAPAN METODE MAMDANI DALAM MENGHITUNG TINGKAT INFLASI BERDASARKAN KELOMPOK KOMODITI (Stud Kasus pada Data Inflas Indonesa) Putr Noorwan Effendy, Amar Sumarsa, Embay Rohaet Program Stud Matematka Fakultas
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN. yang digunakan meliputi: (1) PDRB Kota Dumai (tahun ) dan PDRB
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Jens dan Sumber Data Jens data yang dgunakan dalam peneltan n adalah data sekunder. Data yang dgunakan melput: (1) PDRB Kota Duma (tahun 2000-2010) dan PDRB kabupaten/kota
Lebih terperinciDIAGRAM ORRIWARNIER 9.1. PENDAHULUAN
DIAGRAM ORRIWARNIER 9.1. PENDAHULUAN Bentuk utama dalam Dagram WarnerlDagram Orr d ket:ilbangkanoleh J.D. Warner pada akhr tabun 6O-andan awal tabun 70-an d Pars. Dagram n dperkenalkan untuk menamplkan
Lebih terperinciUKURAN LOKASI, VARIASI & BENTUK KURVA
UKURAN LOKASI, VARIASI & BENTUK KURVA MARULAM MT SIMARMATA, MS STATISTIK TERAPAN FAK HUKUM USI @4 ARTI UKURAN LOKASI DAN VARIASI Suatu Kelompok DATA berupa kumpulan nla VARIABEL [ vaabel ] Ms banyaknya
Lebih terperinciKritikan Terhadap Varians Sebagai Alat Ukur
Krtkan Terhadap Varans Sebaga Alat Ukur Varans mengukur penympangan pengembalan aktva d sektar nla yang dharapkan, maka varans mempertmbangkan juga pengembalan d atas atau d bawah nla pengembalan yang
Lebih terperinciBAB V PENGEMBANGAN MODEL FUZZY PROGRAM LINIER
BAB V PENGEMBANGAN MODEL FUZZY PROGRAM LINIER 5.1 Pembelajaran Dengan Fuzzy Program Lner. Salah satu model program lnear klask, adalah : Maksmumkan : T f ( x) = c x Dengan batasan : Ax b x 0 n m mxn Dengan
Lebih terperinciTEORI KESALAHAN (GALAT)
TEORI KESALAHAN GALAT Penyelesaan numerk dar suatu persamaan matematk hanya memberkan nla perkraan yang mendekat nla eksak yang benar dar penyelesaan analts. Berart dalam penyelesaan numerk tersebut terdapat
Lebih terperinciOVERVIEW 1/40
http://www..deden08m.wordpress.com OVERVIEW 1/40 Konsep-konsep dasar dalam pembentukan portofolo optmal. Perbedaan tentang aset bersko dan aset bebas rsko. Perbedaan preferens nvestor dalam memlh portofolo
Lebih terperinciSOLUTION INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA
ISTITUT TEKOLOGI BADUG FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM PROGRAM STUDI FISIKA FI-500 Mekanka Statstk SEMESTER/ Sem. - 06/07 PR#4 : Dstrbus bose Ensten dan nteraks kuat Kumpulkan d Selasa 9 Aprl
Lebih terperinciBAB II PENDEKATAN PROBABILITAS DAN MODEL TRAFIK
Dktat Rekayasa Trafk BB II PDKT PROBBILITS D MODL TRFIK 2. Pendahuluan Trafk merupakan perstwa-perstwa kebetulan yang pada dasarnya tdak dketahu kapan datangnya dan berapa lama akan berlangsung. Maka untuk
Lebih terperinciRekayasa Trafik Telekomunikasi
Rekayasa Trafk Telekomunkas TEU9948 INDAR SURAHMAT emodelan Interval Waktu engetahuan yang mendasar pemodelan nterval waktu adalah teor robabltas engetahuan Dasar robabltas Jka A dan B kejadan sembarang,
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Pertumbuhan dan kestabilan ekonomi, adalah dua syarat penting bagi kemakmuran
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pertumbuhan dan kestablan ekonom, adalah dua syarat pentng bag kemakmuran dan kesejahteraan suatu bangsa. Dengan pertumbuhan yang cukup, negara dapat melanjutkan pembangunan
Lebih terperinciTEORI INVESTASI DAN PORTFOLIO MATERI 4.
TEORI INVESTASI DAN PORTFOLIO MATERI 4 KONSEP DASAR 2/40 Ada tga konsep dasar yang perlu dketahu untuk memaham pembentukan portofolo optmal, yatu: portofolo efsen dan portofolo optmal fungs utltas dan
Lebih terperinciI. PENGANTAR STATISTIKA
1 I. PENGANTAR STATISTIKA 1.1 Jens-jens Statstk Secara umum, lmu statstka dapat terbag menjad dua jens, yatu: 1. Statstka Deskrptf. Statstka Inferensal Dalam sub bab n akan djelaskan mengena pengertan
Lebih terperinciMENCERMATI BERBAGAI JENIS PERMASALAHAN DALAM PROGRAM LINIER KABUR. Mohammad Asikin Jurusan Matematika FMIPA UNNES. Abstrak
JURAL MATEMATIKA DA KOMUTER Vol. 6. o., 86-96, Agustus 3, ISS : 4-858 MECERMATI BERBAGAI JEIS ERMASALAHA DALAM ROGRAM LIIER KABUR Mohammad Askn Jurusan Matematka FMIA UES Abstrak Konsep baru tentang hmpunan
Lebih terperinciPetunjuk Praktikum Fisika Dasar I. (Tumbukan Dalam Satu Dimensi)
Petunjuk Praktkum Fska Dasar I (Tumbukan Dalam Satu Dmens) Dajukan Untuk Memenuh Tugas Tersruktur Mata ulah Ekspermen Fska Dasar 1 Jurusan Penddkan Fska Oleh : Muhamad Ihsanudn (0602425) JURUSAN PENDIDIAN
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
11 Bab 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Perbankan adalah ndustr yang syarat dengan rsko. Mula dar pengumpulan dana sebaga sumber labltas, hngga penyaluran dana pada aktva produktf. Berbaga kegatan jasa
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN. Pada penelitian ini, penulis memilih lokasi di SMA Negeri 1 Boliyohuto khususnya
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Tempat dan Waktu Peneltan 3.1.1 Tempat Peneltan Pada peneltan n, penuls memlh lokas d SMA Neger 1 Bolyohuto khususnya pada sswa kelas X, karena penuls menganggap bahwa lokas
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Matematka sebaga bahasa smbol yang bersfat unversal memegang peranan pentng dalam perkembangan suatu teknolog. Matematka sangat erat hubungannya dengan kehdupan nyata.
Lebih terperinciWEIBULL TWO PARAMETER
WEIBULL TWO PARAMETER Dalam teor probabltas dan statstk, dstrbus webull merupakan dstrbus probabltas yang berkelanjutan atau kontnyu. Dgambarkan secara detal oleh Walodd Webull pada tahun 1951 meskpun
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN. penelitian dilakukan secara purposive atau sengaja. Pemilihan lokasi penelitian
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Lokas Peneltan Peneltan dlaksanakan d Desa Sempalwadak, Kecamatan Bululawang, Kabupaten Malang pada bulan Februar hngga Me 2017. Pemlhan lokas peneltan dlakukan secara purposve
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN I-1
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Kendaraan bermotor merupakan alat yang palng dbutuhkan sebaga meda transportas. Kendaraan dbag menjad dua macam, yatu kendaraan umum dan prbad. Kendaraan umum
Lebih terperinciRingkasan Statistika Kelas XI SMA Tarakanita 1 Jakarta BAB I STATISTIKA
BAB I STATISTIKA 1. PENGENALAN STATISTIKA A. PENGERTIAN DASAR STATISTIKA 1. Statstka dan Statstk Statstka adalah lmu tentang pengolahan dan analss suatu data hngga penarkan kesmpulan dar data tu. Statstk
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 II TINJUN PUSTK 2.1 Manaemen Proyek 2.1.1 Pengertan Manaemen Proyek Sebelum mengemukakan apa art dar Manaemen Proyek, terlebh dahulu akan mengetahu art dar Manaemen dan Proyek tu. Menurut Hamng dan Nurnaamuddn
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN. berjumlah empat kelas terdiri dari 131 siswa. Sampel penelitian ini terdiri dari satu kelas yang diambil dengan
7 BAB III METODE PENELITIAN A. Populas dan Sampel 1. Populas Populas dalam peneltan n adalah seluruh sswa kelas XI SMA Yadka Bandar Lampung semester genap tahun pelajaran 014/ 015 yang berjumlah empat
Lebih terperinciPendahuluan. 0 Dengan kata lain jika fungsi tersebut diplotkan, grafik yang dihasilkan akan mendekati pasanganpasangan
Pendahuluan 0 Data-data ang bersfat dskrt dapat dbuat contnuum melalu proses curve-fttng. 0 Curve-fttng merupakan proses data-smoothng, akn proses pendekatan terhadap kecenderungan data-data dalam bentuk
Lebih terperinciPELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER PADA GRAF CORONA-LIKE UNICYCLIC
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER PADA GRAF CORONA-LIKE UNICYCLIC Kurnawan *, Rolan Pane, Asl Srat Mahasswa Program Stud S Matematka Dosen Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam
Lebih terperinci