BAB III MODEL LINEAR TERGENERALISASI. Perkembangan pemodelan stokastik, terutama model linier, dapat dikatakan

Transkripsi

1 BAB III MODEL LINEAR TERGENERALISASI 3.1 Moel Lnear Perkembangan pemoelan stokastk, terutama moel lner, apat katakan mula paa aba ke 19 yang asar oleh teor matematka yang elaskan antaranya oleh Gauss, Boole, Cayley an Sylvester yang terkat engan teor nvaran alam alabar. Teor nvaran alabar mempelaar bentuk-bentuk kuanttas yang tak berubah terhaap suatu transformas lnear. Teor nvaran n yang menasar perkembangan teor nla egen, vektor egen, matrks etermnan, metoe ekomposs an mash banyak lag yang lannya. Salah satu contoh alam statstka aalah korelas ua peubah acak tak berubah walaupun peubah-peubah tersebut mengalam transformas. Perkembangan moel lnear mula engan perkembangan analss regres paa aba 19 oleh Pearson, lanutkan engan perkembangan korelas. Teor regres n yang mena asar perkembangan teor moel lnear. Perkembangan moel lnear tak bsa lepaskan engan perkembangan teor matrks atau alabar lnear. Melalu teor matrks (etermnan, nvers, perkalan matrks) pembahasan moel lnear apat ekat secara umum. Dalam pembahasan n perkembangan moel lnear lebh ttkberatkan paa ua asums asar, yatu strbus an nepenens ar kesalahan. Sebagamana urakan sebelumnya, bahwa pemoelan mula ar yang seerhana, yang secara matemats muah selesakan, kemuan berkembang ke arah

2 34 yang lebh realstk. Hal n apat lakukan engan menerapkan berbaga asums yang berbea terhaap strbus kesalahan alam moel yang gunakan. Prnsp sepert n telah berkembang ar moel yang palng seerhana (klask), ke moel hrarks tergeneralsas yang saat n merupakan pemoelan yang palng terkn. Dalam sub-bab n urakan secara rngkas perkembangan moel lner tnau ar seg strbus an nepenens kesalahannya. 3. Moel Lnear Klask Pemoelan stokastk memlk bentuk umum: Y Xβ + ε...(3..1) Dalam hal n ε merupakan kesalahan atau galat yang asumskan merupakan peubah acak yang berasal ar suatu strbus tertentu, msalnya normal. Peubah x aalah peubah yang bukan acak an aalah parameter yang menentukan koefsen ar peubah peubah tetap ta. Msalnya alam peragangan, anggap bahwa sebenarnya aa hubungan yang bersfat tetap yang menentukan harga barang pasar. Namun, selan tu mash aa lag faktor lan yang bersfat acak yang menyebabkan harga barang ta alam kenyataannya ar pembel ke pembel mungkn menympang ar fungs hubungan yang aa. Dalam pemoelan statstka/ stokastk, keua komponen n (peubah acak an peubah tetap) psahkan yatu yang bersfat tetap an fungsonal notaskan engan f(x, β ), yang basa sebut sebaga komponen tetap (fxe), seangkan komponen

3 35 lannya,ε, yang bersfat acak sebut komponen acak (ranom component) atau komponen kesalahan (error component). Dar seg fungs hubungan f, bentuk yang palng seerhana aalah hubungan lnear, sehngga ar aspek n moel yang palng seerhana yang mlk aalah moel lner. Seangkan ar seg komponen acaknya, yang palng seerhana aalah asums bahwa kesalahannya berstrbus normal an salng nepenen antara satu respon engan respon lannya. Asums n menghaslkan moel lnear normal seerhana atau Normal Lnear Moels (NLM). Dar keua hal tersebut lahrlah yang sebut moel normal seerhana atau moel lnear klask yang secara formal apat urakan sebaga berkut. Defns 3.1: (Trta, 005: 177) (Bentuk an Asums Moel Lnear Klask). Moel: k y x 0 + ε...(3..) atau untuk keseluruhan respon apat tulskan alam bentuk matrks sepert persamaan (3..1) Y Xβ +ε...(3..3) Asums: x bukan peubah acak an ukur tanpa kesalahan an ε nepenen engan ε untuk setap N. an masng-masng berstrbus ( 0, σ ) Dar asums atas peroleh bahwa secara keseluruhan ε apat anggap berstrbus multvarat normal (MVN) engan koefsen varas konstan, yang

4 36 notaskan engan ε ~ MVN( 0, σ I ). Moel mengsyaratkan bahwa respon ke an ke aalah salng bebas (nepenen), yang berart tak aa korelas antaranya. 3.3 Moel Lnear Tergeneralsas Kons lan lapangan yang tak apat tangan langsung oleh moel lnear klask aalah aanya kenyataan bahwa, strbus respon tak mest normal. Memang kons sepert n bsa tanggulang engan mengaakan transformas ar respon. Transformas yang banyak paka aalah transformas logartma. Namun, aa beberapa permasalahan yang mungkn tmbul sebaga efek ar transformas n msalnya sepert berkut n. Respon yang suah transformas mungkn menekat strbus normal, tetap akbat transformas aa kemungknan syarat yang lan (syarat ketak-bergantungan) mena tak terpenuh. Aanya kerancuan alam menafsrkan hasl peneltan oleh karena efek yang u aalah alam skala logartma, bukan alam sekala aslnya. Hal n menyebabkan kesmpulan terasa anggal msalnya, aa hubungan postf antara log-konsentras pemupukan engan log-panen (Trta, 005: 178). Untuk menangan kons mana respon yang aa tak berstrbus Normal, tetap mash salng bebas, maka para statsts yang pelopor oleh Neler an Weerburn (197) telah mengembangkan moel lnear yang kenal engan Gereralze Lnear Moel (GLM). Moel lnear n menggunakan asums bahwa repon memlk strbus keluarga ekponensal. Dstrbus keluarga eksponensal aalah strbus yang sfatnya lebh umum, mana strbus- strbus yang banyak

5 37 kta kenal (Normal, Gamma, Posson) termasuk alamnya an merupakan bentuk- bentuk khusus ar strbus Keluarga Eksponensal. Moel Lnear Tergeneralsas paa asarnya merupakan moel regres. Sepert semua moel regres, moel n terbuat ar komponen acak (yang basanya sebut engan eror) an fungs ar faktor esan (x) an beberapa parameter ( β ). Dalam teor normal baku, moel regres lnear bergana tulskan sebaga berkut: y β 0 + βx1 + βx βk xk + ε...(3.3.1) Dmana bentuk eror ε asumskan bestrbus normal engan rerata 0 an varans konstan. Rerata ar varabel respon y aalah: E µ β0 + β x1 + βx βk xk x β...(3.3.) Moel lner mempunya beberapa hal yang sfatnya khas an stmewa yatu: 1) aa komponen tetap yang sebut prektor lner ) respon y berstrbus normal an salng nepenen an 3) rerata y aalah µ k X 0 β Dalam moel lnear tergeneralsas, hubungan atas mengalam perubahan atau generalsas, sebagamana alam efns berkut: Defns 3. (Trta, 005: 178) Asums Moel Lnear Tergeneralsas Moel lner tergeneralsas aalah moel yang menganung tga hal yatu:

6 38 1) Komponen tetap yang sebut prektor lner η x β Prektor lnear, notaskan engan η, ar bentuk moel lnear tergeneralsas, yatu: k 0 η mana x aalah vektor regres untuk unt sebanyak engan fxe effect β ) Respon y berstrbus secara nepenen alam keluarga eksponensal x 3) Hubungan antara mean engan prektor lnear tunukkan oleh fungs g(.) yang sebut fungs lnk seemkan sehngga g( µ ) η. Fungs g() sebut fungs hubungan (lnk-functon). Aa fungs hubungan khusus yang sebut fungs hubungan kanonk atau natural yang berkatan erat engan strbus y. Msalnya, ka strbusnya normal maka g(.) aalah enttas. Dar hal atas katakan bahwa komponen pentng alam moel lnear tergeneralsas aa tga yatu: 1) aanya prektor lnear, ) aanya strbus keluarga eksponensal an 3) aanya fungs-hubungan. β Keluarga Eksponensal Berkut n berkan catatan seerhana mengena propert ar keluarga eksponensal. Msalkan l ln f (,θ, α ) y S { θ y a( θ ) + b( y )} c( α y ) α...( ) { y aθ } l α...(3.3.1.) θ

7 39 l θ ( ) " α a θ...( ) S sebut engan fungs skor (score functon) an memlk propert yang menark. Propert ar fungs skor yang akan bahas berkut n akan sangat butuhkan alam analss statstk yang lakukan. l θ E( S ) E 0 l l E + 0 E θ θ...( )...( ) Berasarkan ( ) an (3.3.1.) peroleh bahwa: E ( y ) µ a θ...( ) an bsa tulskan bahwa S α ( y µ ) peroleh bahwa ( ) a ( θ ) var y. Dar persamaan ( ) an ( ) a Defns 3.3: (Trta 007: ) Suatu peubah acak Y engan fungs kepaatan peluang (fkp) f an parameter θ katakan mena anggota strbus keluarga eksponensal, ka f apat nyatakan sebaga: ( y θ ) exp[ a b( θ ) + c( θ ) ] f, +...( ) Dalam keaaan khusus y, [ yb( θ ) + c( θ ) ] a maka ( ) mena: f exp +...( )

8 40 an persamaan ( ) sebut engan bentuk kanonk ar strbus keluarga eksponensal an b ( θ ) sebut parameter alam/natural ar strbusnya Fungs Skor [ U ], E [ U ], an Var [ U ] Fungs skor ar f terhaap θ efnskan sebaga U l, engan l log f ln f. Perhtungan E [ U ] an [ U ] Var butuhkan untuk menurunkan rerata an varans Y atau alam bentuk yang lebh umum, E [ a( Y )] Var [ a( Y )], an l U...( ) 1 f f ( y ) ( θ ) Dengan emkan...( ) [ ] U U f f f f ( θ ) ( y ) f...( ) Berasarkan persamaan ( ) an ( ) peroleh: f ( θ ) ( θ ) l f...( ) Selanutnya akan tuukkan bahwa E [ U ] + E[ U ] 0

9 41 U [ ] E E[ U ] E U 0 0 Tetap ar ( ), ruas kanan ar ( ) mena...( )...( ) l f θ y. Ja bersama engan ( ) menghaslkan: 0 l f ( y ) ( y ) ( θ ) l l ( ) f f y y + l y + U f U f E[ U ] + E[ U ] f y + y l f y y Ja, an, E [ U ] E[ U ] Var ( U ) E[ U ]...( ) Untuk persamaan ( ), U an U terhaap θ aalah U a [ a b( θ ) + c( θ ) + ] b ( θ ) + c ( θ )...( ) an, b ( θ ) c ( θ ) U a +...( )

10 4 Teorema 3.1 (Trta, 007: 7) Jka rerata an varans a(y) yang efnskan sepert paa Defns 3.3 maka rarata an varans masng-masng aalah: E [ a( Y )] Var [ a( Y )] cθ...( ) bθ ( θ ) c ( θ ) c ( θ ) b ( θ ) b ( θ ) b...( ) [ ] Fungs Hubungan (Lnk Functon) Fungs yang meghubungkan komponen sstemats η terhaap nla rerata µ (nla harapan ar komponen acak) namakan engan fungs hubungan (lnk functon). η 1 h( µ ), µ ( η) h...(3.4.1) Berasarkan persamaan ( ) apat peroleh bahwa, ( η) a ( θ ) 1 h θ 1 1 ( a ) { h ( η) } g( η) g( Xβ )...(3.4.)...(3.4.3) Aa beberapa plhan yang mungkn untuk h. Berkut n berkan plhan yang palng serng gunakan, a. Fungs Ienttas, yakn η µ b. Hubungan logt, η 1 c. Probt, η Φ ( µ ) ln 1 µ µ, mana Φ kepaatan normal kumulatf, 0<µ 1

11 43. Log-log lnk, η [ ln( 1 µ )] ln, 0 < µ < 1, an e. Hubungan power keluarga (power famly lnk), η µ, ka, γ 0 an η log µ, kaγ 0 Fungs hubungan mana θ µ sebut engan fungs hubungan kanonk (canoccal lnk functon). 3.5 Penaksran Parameter Untuk Moel Lnear Tergeneralsas Penaksran kemungknan maksmum ar parameter β akan turunkan ar yang terapat alam prektor lnear η. Perhatkan bahwa T T { g( X β ) y a( g( X ) + b( y ) + b( y ) c( α y )} L α +, (3.5.1) mana aalah θ lnl telah gant oleh persamaan (3.4.3). Fungs log kemungknanya L n 1 l (3.5.) Dar penaksran kemungknan mamksmum (Maxmum Lkelhoo Estmaton (MLE)) peroleh: L a. 0 β L an 0 β β L b. H < 0 β β

12 44 Dalam penurunan kemungknan maksmum yang perlu untuk perhatkan aalah L β 1,,..., k an, l l θ η n n 1 β 1 θ η β 0...(3.5.3) n ( y µ ) 1 1 n x α xs 0... (3.5.4) α, mana S ( µ ) karena > 0, an y θ η. Persamaan yang telah berkan paa (3.5.4) bsa tulskan alam notas matrks sepert berkut n: L β X T S (3.5.5) mana, ag( ) an S ( y µ, y µ, K µ ) Sekarang perhatkan bahwa 1 1 y n n. H β X L β β T T ( X S ) S + β β (3.5.6) an perlu ngat uga bahwa

13 45 k n X V S, 1,,, 1,, K K β π η θ θ µ β µ β (3.5.7)