2. TINJAUAN PUSTAKA. 18 Universitas Indonesia. Penggunaan non linier..., Arief Suwandi, FT UI, 2009

Transkripsi

1 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Goal Programmng Goal Programmng merupakan pengembangan ar Lnear Programmng. Dperkenalkan oleh Charnes an Cooper paa awal tahun Kemuan teknk n sempurnakan oleh Ijr paa pertengahan tahun Setelah tu terapat penjelasan yang lengkap engan beberapa aplkas pengembangan oleh Ignzo an Lee paan tahun Perbeaan yang mencolok antara Lnear Programmng engan Goal Programmng aalah paa struktur an penggunaan fungs tujuan. Dalam lnear programmng tujuan yang ngn capa hanya satu, seangkan paa goal programmng tujuan yang ngn capa tak hanya satu. Hal n bsa lakukan engan cara mengekspreskan tujuan tu alam bentuk kenala (goal constrant), memasukkan varabel smpangan (evaton varable) alam kenala tersebut. Varabel smpangan tersebut gunakan menggambarkan seberapa jauh tujuan tu capa, an menggabungkan varabel smpangan alam fungs tujuan. Dalam Lnear Programmng tujuan yang mlk bsa berupa maksmas atau mnmas. Seangkan alam Goal Programmng tujuannya aalah memnmumkan penympangan penympangan ar tujuan-tujuan tertentu. Hal n berart Goal Programmng merupakan masalah mnmas. Dkarenakan penympangan ar tujuan-tujuan yang mnmumkan, sebuah moel Goal Programmng apat gunakan untuk menyelesakan permasalahan yang memlk tujuan yang berbea, meskpun tujuan-tujuan tersebut memlk mens atau satuan ukuran yang berbea. Dalam suatu perusahaan, phak manajemen memlk beberapa tujuan yang ngn capa, an antara target atau tujuan tersebut terkaang terja konflk. Permasalahan sepert n apat selesakan engan menggunakan Goal Programmng. Jka perusahaan memlk banyak tujuan yang ngn capa, maka prortas atau urutan ornalnya apat tentukan, an proses penyelesaan Goal Programmng berjalan seemkan rupa sehngga tujuan-tujuan engan prortas Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

2 tertngg penuh seekat mungkn sebelum menyelesakan tujuan-tujuan lan yang memlk prortas yang lebh renah. Paa Lnear Programmng, hasl akhr yang peroleh aalah entfkas solus optmum ar suatu hmpunan solus yang layak. Seangkan paa Goal Programmng, hasl akhr yang peroleh aalah entfkas ttk yang palng memuaskan ar persoalan engan beberapa tujuan (Romero,1991). 2.2 Termnolog Goal Programmng Terapat beberapa stlah an lambang yang perlu paham alam menyelesakan permasalahan engan Goal Programmng. Berkut n aalah stlah an lambang yang gunakan alam Goal Programmng. 1. Decson Varable Decson Varable atau varabel keputusan merupakan sekelompok varabel yang tak ketahu yang akan car nlanya. Dlambangkan engan x j, mana j = 1,2,,n. 2. Rght Han Se Rght Han Se atau nla ss kanan merupakan nla-nla yang menunjukkan keterseaan sumber aya yang akan tentukan kekurangan atau kelebhan penggunaannya. Dlambangkan engan b. 3. Goal Goal atau tujuan merupakan kengnan yang ngn capa 4. Goal Constrant Goal Constrant merupakan snonm ar goal equaton atau kenala tujuan merupakan tujuan yang ekspreskan alam persamaan matematk engan memasukkan varabel smpangan. 5. Preemptve Prorty Factor Preemptve Prorty Factor merupakan suatu sstem urutan yang memungknkan tujuan-tujuan yang susun secara ornal alam moel Lnear Goal Programmng. Dlambangkan engan P k, mana k = 1,2,,k. Sstem urutan n menempatkan tujuan-tujuan alam susunan engan hubungan sebaga berkut: Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

3 P 1 > P 2 >>> P k, engan P 1 merupakan tujuan yang palng pentng, P 2 merupakan tujuan yang kurang pentng an seterusnya. 6. Devatonal Varables Devatonal Varables atau varabel smpangan aalah varabel-varabel yang menunjukkan kemungknan penympangan negatf ar suatu nla RHS kenala tujuan. Dmana + aalah penympangan postf ar suatu nla RHS an - aalah penympangan negatf ar RHS. 7. Dfferental Weght Dfferental weght atau bobot aalah tmbangan matematk yang ekspreskan engan angka karnal. Dlambangkan engan w k, mana k = 1,2,,k ; = 1,2,,m an gunakan untuk membeakan varabel smpangan alam suatu tngkat prortas k. 8. Technologcal Coeffcent Technologcal coeffcent atau koefsen teknolog merupakan nla-nla numerk yang menunjukkan penggunaan nla b I per unt untuk mencptakan x j. Dlambangkan engan a j. Setap moel Goal Programmng mnmal memlk 3 komponen, yatu fungs tujuan, kenala tujuan an kenala non negatf Fungs Tujuan Terapat 3 jens fungs tujuan Lner Goal Programmng, yatu: Mnmumkan Z m 1 (2.4) Fungs tujuan n gunakan jka varabel smpangan alam suatu masalah tak beakan menurut prortas atau bobot Mnmumkan Z m 1 P ( ) untuk k 1,2,..., k (2.5) k Fungs tujuan n gunakan jka urutan tujuan perlukan, tetap varabel smpangan alam setap tngkat prortas memlk kepentngan yang sama. Mnmumkan Z m 1 W P ( ) untuk k 1,2,..., k (2.6) k k Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

4 Fungs tujuan n gunakan jka tujuan-tujuan urutkan an varabel smpangan paa setap tngkat prortas beakan engan menggunakan bobot yang berlanan w k Kenala Tujuan Terapat 6 jens kenala tujuan yang berbea satu sama lan. Kenalakenala tersebut tentukan oleh hubungannya engan fungs tujuan. a a a a a a j j j j j j Kenala Tujuan x x x x x x j j j j j j b b b b b b Tabel 2.1.Tabel Jens Kenala Tujuan Varabel Smpangan Dalam Fungs Tujuan an Kemungknan Smpangan Negatf Postf Negatf an Postf Negatf an Postf Negatf an Postf Tak aa Penggunaan Nla RHS yang Dngnkan b b b atau lebh b atau kurang = b = b Kenala Non-Negatf Untuk kenala non-negatf paa Goal Programmng sama engan kenala non-negatf paa Lnear Programmng. Varabel-varabel paa moel Lnear Goal Programmng basanya bernla lebh besar atau sama engan nol. Semua moel Lnear Goal Programmng terr ar smpangan an varabel keputusan, sehngga pernyataan non negatf lambangkan sebaga berkut: x j, -, Kenala Struktural Kenala struktural merupakan kenala-kenala lngkungan yang tak berhubungan langsung engan fungs tujuan masalah yang pelajar. Varabel smpangan tak masukkan alam kenala n. Oleh karena tu kenala n tak masukkan ke alam fungs tujuan. Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

5 2.3 Asums Moel Goal Programmng Untuk menyelesakan permasalahan engan menggunakan Goal Programmng terapat asums-asums asar yang perlu perhatkan. Asumsasums tersebut aalah sebaga berkut: a. Atvtas an Lneartas Dasumskan bahwa propors penggunaan b yang tentukan oleh a j harus tetap benar tanpa memperhatkan nla solus x j yang haslkan. Hal n berart bahwa Left Han Se (LHS) ar kenala tujuan harus sama engan engan nla ss kanan. b. Dvsbltas Dasumskan bahwa nla-nla x j, +, an - yang haslkan apat pecah. Artnya kta apat menyelesakan jumlah pecahan nla x j an menggunakan jumlah pecah sumber aya alam solus tersebut. Asums n tak membatas penggunaan moel Goal Programmng. c. Terbatas Dasumskan bahwa nla-nla x j, +, an - yang haslkan harus terbatas. Artnya kta tak memlk nla varabel keputusan, sumber aya, atau penympangan tujuan yang tak terbatas.. Kepastan an Peroe Waktu Stats Dasumskan bahwa parameter moel Goal Programmng sepert a j, b j, P k an w k ketahu engan past an mereka akan tetap stats selama peroe perencanaan mana hasl moel gunakan. 2.4 Perumusan Masalah Goal Programmng Perumusan moel Goal Programmng terr ar beberapa langkah. Langkah-langkah tersebut aalah sebaga berkut: 1. Menentukan varabel keputusan. Semakn tepat menefnskan varabel keputusan maka akan semakn muah memoelkannya. 2. Menentukan sstem kenala. Faktor yang palng menentukan aalah penentuan nla-nla ss kanan an kemuan menentukan koefsen teknolog yang cocok an varabel keputusan Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

6 yang kutsertakan alam kenala. Selan tu juga perlu perhatkan jens penympangan yang perbolehkan ar nla rght han se atau nla ss kanan. Jka penympangan perbolehkan alam ua arah, maka keua varabel smpangan tersebut tempatkan paa kenala tersebut. Tetap jka penympangan yang perbolehkan hanya arah, maka hanya terapat satu varabel smpangan paa kenala tersebut. 3. Menentukan prortas utama. Penentuan urutan merupakan preferens yang berbea-bea ar setap nvu yang aa alam perusahaan. Selan tu juga pengaruh oleh keterbatasan sumber aya yang mlk an batasan-batasan lan yang secara eksplst ataupun mplst menentukan alam pemlhan varabel keputusan. 4. Menentukan bobot. 5. Menentukan fungs tujuan. Setap fungs tujuan harus nyatakan sebaga fungs ar varabel keputusan yang lambangkan engan f (x j ), yatu fungs ar varabel keputusan yang berhubungan engan tujuan ke-, seangkan x aalah vektor varabel keputusan yang lambangkan engan a j x j, mana a j merupakan batasan koefsen teknolog. Setap fungs tujuan memlk nla yang berhubungan engan nla ss kanan (b ) yang merupakan target atau tujuan yang ngn capa ar fungs tujuan tersebut Krtera Pertentangan Beberapa krtera tujuan katakan konflk jka salah satu tujuan penuh, maka akan mengakbatkan tngkat kepuasan tujuan lannya akan berkurang, atau paa setap kenakan nla salah satu krtera kut oleh penurunan nla paa krtera lannya (Tabucanon, 1988). Paa gambar apat lhat fungs tujuan yang tak konflk satu sama lan (gambar 2.1) an fungs tujuan yang salng konflk (gambar 2.2) bawah n: Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

7 Daerah fsbel x Z 1 = f 1 (x) Z 2 = f 2 (x) Gambar 2.1 Fungs Tujuan yang Tak Konflk Z 1 = f 1 (x) Daerah fsbel x Gambar 2.2 Fungs Tujuan Salng Konflk Z 2 = f 2 (x) Pengamblan Keputusan Mult Tujuan Pengamblan keputusan mult tujuan merupakan suatu pengamblan keputusan, mana tujuan-tujuan yang tetapkan bsa bertolak belakang (conflctng goal), tujuan yang sejalan (unconflctng goal). Moel mult tujuan tana engan vektor fungs tujuan yang memlk banyak mens. Jka terapat n tujuan, maka bsa buat suatu moel mult tujuan sebaga berkut: Mnmas Z ( Z1 ( x), Z2( x),..., Zn( x) ) x y (2.7) Dmana ; Z = fungs tujuan yang ngn capa x = n varabel keputusan y = hmpunan solus yang memenuh batasan yang aa Terapat beberapa penekatan yang bsa gunakan alam menyelesakan problem mult tujuan, yatu: 1. Metoe Utltas Metoe n mengekspreskan semua tujuan yang ngn capa alam ukuran mata uang. Dengan cara emkan problem mult tujuan apat transformaskan ke alam satu fungs tujuan. Kelemahan alam metoe n Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

8 aalah ketakakuratan transformas tujuan yang berbea alam suatu ukuran yang sama. 2. Metoe Rankng/Prortas Metoe n menggunakan rankng atau prortas untuk menunjukkan tngkat kepentngan masng masng tujuan yang tetapkan. 3. Metoe Solus Efsen Dalam metoe n bangktkan suatu hmpunan solus efsen ar hmpunan solus yang memenuh fungs batasan yang aa. Hmpunan solus efsen ar hmpuan lan apat gunakan sebaga perbakan untuk satu tujuan atau lebh. Programa tujuan gana (Multple Goal Programmng) merupakan metoe yang menggunakan struktur prortas ar tujuan-tujuan yang pertmbangkan engan alasan sebaga berkut: 1. Pengembangan moel relatf seerhana. 2. Metoe pemecahan masalah sangat seerhana an hanya merupakan perbakan atau mofkas ar metoe smplek ua fase. 3. Moel an asumsnya konssten engan problem una nyata Optmas Mult Tujuan Solus optmal alam pengertan klask aalah mencapa solus optmal ar semua tujuan secara serentak. Solus X * aalah solus optmal yang efnskan jka x * S an f l (x * ) f l (x) untuk semua an untuk semua x S, mana S aalah aerah fsbel (feasble regon). Paa krtera tujuan yang terja konflk, tak akan terapat solus yang benar-benar optmal. Oleh karena tu gunakan suatu stlah solus efsen atau solus komprom. Paa konsep solus efsen, tak terapat kenakan yang haslkan paa suatu tujuan tanpa menyebabkan penurunan secara smultan paa tujuan yang lan. Solus x * katakan efsen jka tak aa x S. Sehngga f l (x) f l (x * ) untuk semua an f l (x) f l (x * ) untuk palng sekt satu (l). Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

9 Z 1 = f 1 (x) O bagan yg memlk solus yang lebh bak arpaa O kumpulan ttk efsen b Z 2 = f 2 (x) Gambar 2.3 Konsep Solus Efsen 2.5 Moel EOQ paa Mult Prouk Inventor Setelah penemuan formula EOQ (Economc Orer Quantty) tahun 1918 oleh Wlson, berbaga EOQ moel telah selesakan oleh banyak penelt asarkan engan berbaga asums an lteratur yang tnjau oleh banyak pengarang (Raymon, Haley an Whtn, Clark, Slver, ll), D kebanyakan kasus-kasus hubungkan langsung engan pelajaran an teor ar satu prouk an satu system nstalas. Sebaga contoh satu prouk smpan paa satu lokas, engan memanfaatkan keberhaslan beberapa teknk optmas yang menghaslkan solus optmal. Penekanan alam rset yang menerapkan teor mult prouk berbaga lokas relatf lebh sekt. Hal In berkatan engan kurang terseanya an pemanfaatan yang kurang sesua engan teknk optmas mult-objectve paa area pengamblan keputusan. Stuas permasalahan una nyata, banyak tmbul konflk ar masalah nventor mult prouk sepert fungs-fungs baya, anggaran ll. Beberapa kasus, fungs baya aalah tak lner secara alam yang berkatan engan baya yang tersea perusahaan. Saat n, Teknk Goal Programmng yang kembangkan oleh Charnes an Cooper, an metoelog pengembangan teknk GP oleh Lee, Ignzo, ll, telah gunakan paa sstem control untuk nventor mult prouk. Paa Goal Programmng, tngkat target yang harapkan satukan untuk setap tujuan-tujuan. Kemuan tujuan-tujuan sepert halnya batasan-batasan structural pertmbangkan sebaga goal engan bawah an lebh evatonal varable- Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

10 varabel ke masng-masng antara mereka untuk keputusan jalan postf atau negatve jka mereka tak tercapa. Goal kemuan menja rank-orer menurut pentngnya mereka alam konteks membuat keputusan. Sekal antara prortasprortas plh, bobot berkan menurut kepentngan relatve ar goal paa tngkat prortas yang sama. Secara keseluruhan alam lteratur basanya aa ua jens GP yang temukan: (1) penympangan yang harga untuk semua gol mencapa nla mnmal menggunakan sasaran tunggal an (2) penympangan tempatkan menurut kepentngan mereka alam konteks pengamblan keputusan paa orer fashon lexcographcal an mengoptmalkan ar tngkat prortas tertngg yang apatkan pertama kemuan pencapaan optmal ar tngkat prortas berkutnya. Penggunaan teknk GP, Golanly yang telah mengembangkan moel nventory yang aplkaskan paa pabrk kma besar untuk kepentngan memenuh beberapa sasaran konflk secara kwanttatf. Penggunaan teknk NLGP, yang kembangkan oleh Basu merupakan proseur solus alam memecahkan masalah nventor mult prouk mana permasalahannya mempunya karakterstk ynamc programmng. Charnes an Collomb, memperkenalkan the goal nterval programmng mana pengambl keputusan bebas untuk memlh sebuah nterval an menghukum penympangan ar keua batas nterval. Fungs pnalt-u yang popular yang perkenalkan oleh Charnes menyatakan penympangan-penympangan ar goal kemukakan sebaga penghargaan untuk hukuman. Metoe n per hukuman terja antar setap pasangan ar tujuan-tujuan engan aanya batas atas ke varable-varabel evatonal. Hanyalah untuk memperkenalkan batas-batas varable evatonal tak terbatas paa varable evatonal yang akan menja asar mulanya. Baru-baru n Jones an Tamz mengajukan teknk moel plhan yang menark mana per unt hukuman terja paa tujuan yang plh engan menghlangkan batas ar varable evatonal melalu pembukaan tujuan ekstra untuk target evatonal berkutnya. Dan proses n fnalsas akan laksanakan menurut plhan pembuat keputusan. Bagamanapun semua metoe memerlukan penentuan struktur prortas yang sesua tetap seleks prortas merupakan usaha yang sult untuk mengambl keputusan untuk lngkungan yang kompleks. Untuk Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

11 mengatas kesukaran n maka perlu membahas metoa yang apat gunakan sebaga cara menentukan memperoleh struktur prortas solus komprom kemungknan terbak. Struktur prortas yang bak ar GP plh untuk menapatkan solus yang optmal. Paa proseur jawaban senstvtas analss engan varas ar struktur prortas yang harapkan ar permasalahan telah kerjakan. Menggunakan struktur prortas yang berbea, akan memperoleh kemungknan solus yang berbea. Solus yang eal ar moel kemuan entfkas ar solus yang hubungkan engan struktur prortas yang berbea. Akhrnya peroleh hasl yang menunjukkan nla mnmum ar D -, jarak solus yang berbea ke solus eal yang entfkas merupakan solus komprom terbak Formulas Moel Moel umum ar masalah nventor mult prouk aalah : (2.8) (2.9) Dmana C 1, C 2, C n aalah jumlah baya-baya pemesanan an C s1, C s2, C sn aalah baya set-up an Q 1, Q 2, Qn merupakan tngkat nventor ar q 1, q 2, q n berturut-turut. Paa (2.8) cost yang hubungankan engan prouk q 1, q 2, q n aalah tujuan yang henak mnmumkan oleh beberapa batasan-batasan. Sejak baya berhubungan engan masng-masng prouk aalah manr an mereka aalah salng berhubungan oleh beberapa batasan sehngga memnmalkan keseluruhan sasaran fungs tujuan mengkut batasan-batasan yang apat perlakukan sebaga n fungs sasaran tujuan kepaa batasan-batasan yang sama alam katan engan saggregaton n solus yang terakhr tak akan efektf. Tujuan (2.8) apat Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

12 pertmbangkan sebaga fungs tujuan. Paa GP setap tujuan C q + (C s /q ) merupakan tujuan engan varable evasonal untuk bawah aalah k an atas k an level target G, (1 n). Prortas asarkan paa moel NLGP untu permasalahan nventor mult prouk engan bentuk : menapatkan q (q 1, q 2, q n ) menja : (2.10) (2.11) (2.12) Dmana Pk (1 k K : K n + m), k aalah factor prortas yang tugaskan untuk menyatukan tujuan ar group bersama alam formulas masalah. P 1, P 2, P K mewakl berat/beban prortas atau prortas pembelan yang lebh ahulu menentukan hrark tujuan. Tujuan tngkatan paa prortas yang lebh tngg cukup pertama an baru setelah tu boleh tujuan prortas yang lebh renah pertmbangkan. Menurunkan prortas tujuan tak bsa mengubah pencapaan tujuan tersebut ar tngkatan prortas yang lebh tngg. Sstem Prortas pembelan lebh ahulu asarkan paa lexcographcal yang memesan menurut pentngnya komponen mereka, Lee[12]. Jka sepert prortas tujuan tngkatan prortas P1 tak pernah apat cukup oleh tujuan paa prortas pengukur P2 Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

13 an seterusnya. w k, w n+j,k ( 0) an w + k, w + n+j,k ( 0) aalah anak tmbangan yang kuanttatf berhubungan engan evatonal varabel - k, - n+j,k an + k, + n+j,k ( 1 n; 1 k K) berturut-turut Proseur Penyelesaan D alam prortas konvensonal berasarkan NLGP, solus menerangkan pembuat keputusan menekan bahwa struktur prortas perlakukan sebaga solus yang optmal. Tetap berbea alam stuas pengamblan keputusan yang kompleks, solus yang ngnkan tak harus terma bawah struktur berat. Dengan emkan suatu solus lebh bak selalu harapkan sebaga prortas alternatf bawah berat/beban yang harus pertmbangkan. Untuk memlh struktur prortas yang sesua bawah struktur berat/beban, analss kepekaan perlu lakukan. D alam moel, prortas K pertmbangkan. Maka keterlbatan prortas K menunjukkan bahwa K! solus apat berbea yang peroleh ar K! permasalahan yang muncul untuk K! aalah jumlah struktur prortas berbea. Msalkan { q (r) 1, q (r) 2, q (r) n }, 1 r K! maka K! jumlah solus yang peroleh engan mengubah susunan tngkatan prortas K. Msalkan untuk = n. (2.13) (r) mana q n aalah manapun nla q n, 1 r K! kemuan solus yang eal q gambarkan oleh { q 1, q 2, q n } Cohon[6]. Tetap alam praktek solus eal tak pernah apat capa. Solus, aalah yang terekat ke solus yang eal, terma sebaga solus komprom yang terbak, an sesua engan struktur prortas yang kehenak ketka struktur prortas yang palng sesua alam katannya engan perencanaan. Untuk memperoleh solus komprom yang terbak, mengkut permasalahan GP harapkan mampu menja pemecahan. (2.14) paa subjek Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa

14 (2.15) an (2.16) mana, r - an r + berurutan. Sekarang, aalah bawah- an over- evatonal varable yang D 1 -stance ar solus yang eal { q 1, q 2, q n }, ke r-th solus { q 1 (r), q 2 (r), q n (r) }, 1 r K!. Oleh karena tu, (2.17) Oleh karena tu, {q 1, q 2,..q n }, aalah solus komprom yang terbak menurut stuas masalah tersebut. Penggunaan non lner..., Aref Suwan, FT UI, Unverstas Inonesa