SOLUTION INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA

Transkripsi

1 ISTITUT TEKOLOGI BADUG FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM PROGRAM STUDI FISIKA FI-500 Mekanka Statstk SEMESTER/ Sem. - 06/07 PR#4 : Dstrbus bose Ensten dan nteraks kuat Kumpulkan d Selasa 9 Aprl 07 d P Daryat. Catatan: Blamana dperlukan berbaga berbaga konstanta elementer slakan dlengkap sendr.. Hamltonan model Isng D syarat batas perodc medan magnet luar B dberkan oleh: Dengan konstanta koplng J>0, dan spn. a. Memaka metoda Transfer Matrx tunjukkanlah (langkah detal) fungs parts kanonk dnyatakan oleh : (bobot:0) b. Pakalah (a) tsb untuk turunkan detal magnetsas pada suhu konstan, dan tunjukkanlah bahwa pada suhu berapapun juga magnetsasnya selalu OL jka medan luar OL. (bobot:5) c. Turunkanlah ungkapan bag susceptbltas magnetk sothermalnya. (bobot:5) d. Berapakah energ rata-rata dan kapastas kalornya? (bobot:5) JAWAB: a. Fungs parts kanonk dapat dtulskan sbb: h J Q e h J h J h J e e e Q 3 3 Defnskan matrx P: 3 P P P P Q Atau : nla egen dar matrx P, yang dapat dperoleh melalu pers. auxlary: SOLUTIO

2 Ambl jad : Pada lmt thermodnamka, maka b. Magnetsas pada suhu konstan: sehngga dmana : sehngga: Jka medan luar OL, maka : Jad tak pernah terjad order state. Atau tak ada temperatur transs ke order state. c. Susceptbltas magnetk: d. Energ rata-ratanya:

3 Kapastas kalor : Karena bentuk U sudah complcated. Cukup sampa d defns n saja sudah OK.. a. Tulskanlah hamltonan model Isng 3D pada ks kubk dngan nteraks antara tetangga terdekat saja medan magnet luar B. (bobot:5) b. Untuk kasus (a) d atas, carlah solus mean feld-nya untuk magnetsas rata=rata per spn, m(t) jka B=0. Berapakah crtcal exponentnya? (bobot:0) b. Buat sketsa grafk m(t) (bobot:5) c. Berapakah energ rata-ratanya U(T)? (bobot:5) d. Berapakah kapastas kalornya? (bobot:5) JAWAB: a. Hamltonan pada ks kubk nteraks tetangga terdekat: {,j} artnya penjumlahan hanya untuk spn yg salng berdekatan (tetangga terdekat). b. Mean feld soluton Ambl hamltonan untuk spn central 0 : h=0, maka jka rata-rata spn dapat dtulskan bahwa: Dalam pendekatan Mean Feld, penjumlahan suku fluktuas Sehngga hamltonan mean feld untuk spn central : dabakan (kecl atau menuju OL). Terjad de couplng antar spn! Jad dapat dterapkan sepert pada kasus non nteractng spn. Dalam aproksmas mean feld nla rata-rata spnnya : Secara umum persamaan terakhr n dselesakan secara numerk atau grafs untuk mendapatkan nla m, untuk nla temperatur tertentu. Temperatur krts terjad jka slope d m=0 bernla =: Dekat daerah krts, order parameter m dapat kta ekspanskan dalam parameter kecl t yg ddefnskan sbb: sehngga pers. mean feldnya menjad:

4 m Urakan, untuk x kecl maka Karena t kecl, untuk Dengan mengabakan suku-suku untuk n>. Maka: c. Sketsa bentuk m(t) n T/Tc d. Energ dalam aproksmas mean feldnya: Hamltonan mean feld: Fungs parts kanonk dalam aproksmas mean feld: la energ rata-ratanya: Hasl yang sama juga bsa dperoleh pendekatan (MF) sebaga berkut: - tap lokas bers spn rata-rata (MF) = m. - Spn n bernteraks medan luar MF h MF = -6Jm - Jad energ tap spn = m h MF = -6Jm - Total energ sstem spn U = -6Jm (Sampa dsn sudah OK) solus aproksmas : maka : e. Kapastas kalor

5 3. Bag sstem gas Boson deal berlaku persamaan berkut n: Buktkan untuk kasus z kecl dapat dtulskan sbg: (bobot:0) (bobot:0) Dengan Jawab: Kta olah bagan ntegral : defnskan: sehngga : Selanjutnya gunakan uraan Taylor bag ln: sehngga: Substtuskan kembal ke P/kT:

6 defns thermal wavelength: maka : dmana: Persamaan bagan kedua dapat dbuktkan melalu cara serupa, tetap ada cara lan yg lebh sngkat sbb: Dar hasl d atas, tnjau persamaan: Ambl dervatve thd z d kedua ruas: atau : Padahal Sehngga : Dervatve g 5/ (z) mudah dhtung:

7 n0/ 4.a Jka adalah jumlah boson (spn=0) yg memlk momentum OL dan adalah total boson dalam sstem, turunkan secara detal fraks boson yang terkondensas sebaga fungs temperatur. Buatlah sketsa grafknya. (bobot:0) 4b. Untuk gas Boson deal msalkan dketahu, carlah secara numerk nla z yang bersesuaan (telt 3 desmal). (bobot:5) 4c. Pakalah (4b) tsb untuk menulskan persamaan keadaan dalam kasus n. (bobot:5) 4d. Ulang (4b,c) untuk kasus. (bobot:5) Jawab: a. Untuk gas boson deal berlaku bahwa: atau dapat dtulskan juga sebaga ( n=/v=/v), ketka terjad kondensas maka z mencapa nla maksmumnya yatu z=, sehngga, dan sebagan dar boson harus memlk momentum OL (terkondensas), n 0 : atau: tetap nla krts, sehngga : Tetap by defnton: sehngga : n0/ T/Tc 4b. Untuk gas Boson deal msalkan dketahu, carlah secara numerk nla z yang bersesuaan (telt 3 desmal).

8 Karena numerk (mencar z):, belom ada kondensas, n berart kta harus memecahkan secara deret n sangat lambat konvergen, membutuhkan banyak sekal suku agar telt hngga msalnya 4 desmal. Cobalah perksa berapa suku dperlukan agar haslnya telt hngga 4 desmal. Solus numerk (msalnya bsecton method), memberkan hasl z= (hngga 3 desmal). 4c. Persamaan keadaan terkat, dberkan untuk z=0.999 tsb: maka: 4d. Ulang (4b,c) untuk kasus. Karena maka, z=. Sehngga Persamaan keadaannya menjad: maka &&&&&&&&&&&APR07&&&&&&&&&&&