Deret dan Aproksimasi. Deret MacLaurin Deret Taylor

Transkripsi

1 Deret da Aproksimasi Deret MacLauri Deret Taylor

2 Tujua Keapa perlu perkiraa? Perkiraa dibetuk dari ugsi palig sederhaa polyomial. Kita bisa megitegrasika da medieresiasi dega mudah. Kita bisa guaka saat kita tidak tahu ugsi sebearya.

3 Polyomial Approimatios Misalka kita igi membuat perkiraa utuk sebuah ugsi yag kompleks pada sekitar ; Perkiraa palig simple adalah meetuka sebuah kostata, sehigga: p a Catata: perkiraa di atas disebut sebagai zero th order polyomial approimatio; Lalu, ilai berapa yag harus kita berika pada kostata itu?

4 Polyomial Approimatios Kita igika agka palig akurat pada. Sehigga: p.5 y p

5 Polyomial Approimatios Cotoh p

6 Polyomial Approimatios Tidak akurat Kurag akurat.5 y p Sagat akurat

7 Polyomial Approimatios Sekarag kita tigkatka dega perkiraa dega megguaka aproksimasi liier st order approimatio; p a a Sekarag kita pilih ilai sehigga perpotoga da garis ya semirip mugki dega ugsi sebearya.

8 Polyomial Approimatios Meyamaka perpotoga: p Meyamaka slope: Sehigga poliom ya: a a a p a p

9 Polyomial Approimatios Cotoh p a a a a p

10 Igat, Metode Newto Raphso i taget dy taget ' d i ' i rearrage i i i i i i i ' i

11 Polyomial Approimatios.5 p.5 Masih lumaya sampai disii y y p p

12 Polyomial Approimatios Sekarag coba dega perkiraa kuadratik: p a a a Kita igika perpotoga, gradiet da kurva turua kedua dari perkiraa kita dapat match dega ugsi sebearya pada.

13 Polyomial Approimatios Meyamaka perpotoga: p a a a a Meyamaka kemiriga: p a a

14 Polyomial Approimatios Mecocokka kurva turua ke : p Memberika poliom a a p

15 Polyomial Approimatios Cotoh p a a a Dari sebelumya: a, a a 3 a p

16 Polyomial Approimatios p y.5.5 Lebih lumaya lagi ya.. p p y p p

17 Polyomial Approimatios Kita bisa teruska peaksira secara poliom higga derajad. Kalau kita teruska, kita aka medapatka rumus: p K!!

18 Polyomial Approimatios Akurasi perkiraa aka bertambah seirig dega peambaha poliom; Kita lihat poliom derajad,, da 6 wara hijau, dibadig ugsi asli ya wara biru.

19 Polyomial Approimatios p 6 p.5 p y p

20 Maclauri Power Series Deret Maclauri adalah peaksira poliom derajad tak higga K K!! Notice: Deret iiite tak higga meyataka bahwa akhirya deret ii sama dega ugsi sebearya, buka peaksira lagi!

21 Taylor Series Dari awal kita selalu memulai perkiraa pada ilai Sesugguhya, kita bisa membuat deret poliom yag berasal dari titik maapu. Ii disebut Taylor Series. Jadi, Deret MacLauri merupaka Deret Taylor yag berpusat pada

22 Taylor Series Rumus umum Deret Taylor:! K K!!

23 Taylor Series Approimate uctio? Copy derivatives! si iπ What is ear.35? X.

24 Taylor Series Approimate uctio? Copy derivatives! si iπ What is ear.35? T X.

25 Taylor Series Approimate uctio? Copy derivatives! si iπ What is ear.35? T.35 ' X.

26 Taylor Series Approimate uctio? Copy derivatives! si iπ X. What is ear.35? T.35 ' ''.35.35

27 Taylor Series Approimate uctio? Copy derivatives! si iπ What is ear.35? T T X. ' '' K T N N i i a a i! i

28 Taylor Series Approimate uctio? Copy derivatives! si iπ Most Commo: st Order T a ' a a X. Look out or approimate or whe is small or small agle or close to

29 Cotoh Taylor Series Betuklah Deret Taylor utuk: l, Cari ilai ugsi da turuaya utuk ugsi pada

30 Cotoh Taylor Series l l!!! M 3 3

31 Cotoh Taylor Series Guaka Rumus Umum Deret Taylor: 3 K K!! K K!! 3!!! l 3 K K 3 l 3

32 Trucated Taylor Series We caot evaluate a Taylor series it is iiite! Kita bisa memutuska utuk membuat perkiraa dari sebuah ugsi higga derajat tertetu yag tidak tak terhigga; Kita sebut sebagai Trucated Taylor Series.

33 Trucated Taylor Series To id a th order trucated Taylor series!! K Note: This is the same cocept as the polyomial approimatios we itroduced earlier.

34 Eample Trucated Taylor Series Fid a cubic degree 3 trucated Taylor series or the uctio: cos cetered at: π 4

35 Eample Trucated Taylor Series For a degree 3 approimatio: 3 So we eed to evaluate the uctio ad its irst three derivatives at the ceter. 3!!

36 Eample Trucated Taylor Series Evaluatig these: si si cos 4 cos π π π π 8 8 si 4 8si 4 cos 4 4 cos si 4 si π π π π

37 Eample Trucated Taylor Series which gives: 3!! 3 π 3! 4 8! π π π π

38 Eample Trucated Taylor Series π/4 t 3 cos p 3. y π 4

39 Series Accuracy Keapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai Maclauri? Perkiraa kita aka maki jauh dari akurat jika semaki jauh dari titik awal ; Kita harus selalu memakai titik awal yag dekat dega titik yag aka diperkiraka da juga mudah utuk melakuka perkiraa.