GEJALA GELOMBANG TAKLINEAR: SOLITON. M. Bunjamin *

Transkripsi

1 GEJALA GELOMBANG TAKLINEAR: SOLITON M. Bnamn * ABSTRAK GEJALA GELOMBANG TAKLINEAR: SOLITON. Ber dsaan geala alam berpa gelombang alnear yang dseb solon lewa model maemaanya ya persamaan Koreweg-de Vres dan Gordon-sns. Persamaan Brgers dan gelombang e sebaga eadan hss dar persamaan Koreweg-de Vres ga dsaan. Damplan ga sols ompas dengan meode selsh hngga. ABSTRACT A NONLINEAR-WAVE PHENOMENON: SOLITONS. The naral nonlnear-wave phenomena of solons are presened hrogh her mahemacal models nown as Koreweg-de Vres and sne-gordon eqaons. The Brgers eqaon and shoc-waves as a specal case of Koreweg-de Vres eqaon s also brefly menoned. Compaonal solons sng fne dfference mehod are also presened. SEJARAH SINGKAT SOLITON D ahn 84 J. Sco Rssel lha Landa-Paez hal. 80 mengama sa geala alam yang da seb gelombang menyendr solary wave d ersan / anal Ednbrg-Glasgow lal menls laporan sbb. I was observng he moon of a boa whch was rapdly drawn along a narrow channel by a par of horses when he boa sddenly sopped no so he mass of waer n he channel whch had p n moon; accmlaed rond he prow of he vessel n a sae of volen agaon hen sddenly leavng behnd rolled forward wh grea velocy assmng he form of a large solary elevaon a ronded smooh and well-defned heap of waer whch conned s corse along he channel apparenly who change of form or dmnon of speed. I followed on horsebac and overoo sll rollng on a a rae of some 8 or 9 mph preservng s orgnal fgre some 0 fee long and o ½ fee hgh. Is hegh gradally dmnshed and afer a chase of or mles I los n he wndngs of he channel. Sch n he monh of * FMIPA Unv. Indonesa & Unv. Nasonal

2 Ags 84 was my frs chance nervew wh ha snglar and beafl phenomenon. Rssel selannya menran / mensmlasan gelombang menyendr n d laboraormnya dan secara empr menenan ecepaan gelombang c dengan mengaannya dengan edalaman ar h dan ampldo A sebaga ber: c g h A d mana g percepaan gravas. Rms n mennan sa cr gelombang alnear ya man nggnya ampldo A beraba ma-n nggnya ecepaan c. Dmohon perhaan pembaca n angan mengacaan geala n dengan geala dspers d mana ecepaan gelombang berganng pada panang gelombang λ. Gambar Geala gelombang solon ngg yang bergera lebh cepa dar gelombang pende ampa d gambar. Rssel ga mengama geala bahwa sebah gelombang solon d ersan yang pada awalnya sendr dalam peralanan berembang menad aa lebh gelombang yang masng-masng bergera dengan ecepaan berbeda dan secara berahap man salng menah sa dengan lan sehngga masng-masng menad solon sendr. Geala n ampa dar gambar d mana sebah gelombang langah sep-le wave ahrnya pecah menad delapan bah solon ecl.

3 Gambar. PERSAMAAN KORTEWEG-DE VRIES Pada ahn 895 Koreweg & devres meneman persamaan gelombang solon yang denal sebaga persamaan Koreweg-deVres / KdV. Koreweg & devres mencar sols anal persamaan KdV dan memban bahwa rms ecepaan yang ddapaan oleh Rssel ernyaa benar. Model KdV deman embal pada ahn 965 oleh Zabsy & Krsal dan merealah yang menggnaan nama solon pada gelombang menyendr yang perama al dama oleh Rssel. Zabsy & Krsal adalah yang perama berhasl mencar sols ompas persamaan KdV dan memban bahwa a syara awal berpa sebah gelombang langah sep-le wave erpecah menad delapan gelombang solon gambar b solon dengan ampldo besar bergera lebh cepa dar solon ampldo ecl dan c solon dengan ampldo besar dapa memoong solon pende anpa ada dampa apapn pada edanya gambar.

4 Persamaan KdV adalah sebaga ber. Gambar ε µ 0 d mana adalah smpangan gelombang yang berganng pada poss dan wa dan εµ onsana. Persamaan KdV alnear arena adanya prod /. Sebelm melanan pembahasan enang persamaan KdV ada banya a snggah sebenar e persamaan lan yang era dengan persamaan KdV ya persamaan Brgers Anderson d. dan Landa-Paez sbb.: 0 caran encer ya salah sa model gelombang e shoc waves. Dar faa n ampa bahwa s alnear dar persamaan KdV dapa menmblan gelombang e. Sols persamaan Brgers sebaga fngs wa dengan menggnaan meode La-Wendroff Anderson d. ampa d gambar 4 dan 5 masng-masng n ben awal berpa gelombang seengah-sns dan gelombang perseg sqare wave.

5 Gambar 4 Gambar 5 Un mencar sols persamaan KdV secara ompas derapan rmsrms pendeaan dervaf dan pendeaan fngs sbb.: sehngga ddapa rms selsh hngga n pers. KdV sbb.: µ µ ε ε 0. 4 d sn daran sebaga 0 N dan 0. Sebaga syara awal nla 0 deah. Dar rms n ampa bahwa d seap ahap dperlan nla dan n menghng seper sema ber.

6 - - - Khss n ahap perama modal yang a ml n menghng hanyalah nla 0 yang deah dar syara awal sedangan nla ya nla d saa searah masa lal da deah. Karena hss n ahap awal n a gnaan rms selsh ma n / sehngga persamaan KdV d ahap awal adalah: µ 0 0 ε µ 0 ε Sebaga fngs awal pada saa 0 dplh fngs 0 [ anh0. 5 ] 6 Landa-Paez dengan 0 0 ya d poss 0 dan d poss 50. Ja nde msalnya dplh 0 N N bla maa nla 0 n 0 N deah dar syara awal dan gas a adalah menghng nla n 0 N. Khss n daerah N - rms d aas da menmblan masalah namn masalah mbl ea 0 aa arena ras anan rms d aas

7 mengandng N dan padahal nla dan da deah. Masalah sama ga mbl n N aa N arena nla dan N da deah. Cara mdah n mengaas hal n alah dengan mengambl nla 0 dan N 0 ya sesa dengan nla d ng r dan anan dar fngs awal 6. Un menenan nla dan N dplh 0 dan sehngga berla N N. 7 Jad esmplannya n > 0 dan N dgnaan rms mm 4 sedangan rms 7 dgnaan hanya n dan N- > 0. Rms 5 dgnaan seal saa ya n. DUA SOLITON YANG SALING BERPOTONGAN Ja sebaga fngs awal dgnaan fngs sperposs da solon yang lebh ngg berada d sebelah r dan yang lebh pende d sebelah anan dan edanya bergera e anan sebaga ber: 4.5 [ anh 0.5 ] 0. anh aan ampa dnama alnear yang n ya solon ngg yang semla d r bergera e anan lebh cepa sehngga memoong solon pende lha gambar. PERSAMAAN KDV ORDE-5 Perl daeah bahwa selan persamaan KdV orde- dalam berbaga aplas ga dgnaan persamaan KdV orde-5 sebaga ber: Un nformas lebh lan dapa dbaca lsan Boyd 995.

8 PERSAMAAN GORDON-SINUS SINE-GORDON EQUATION. Persamaan Gordon-sns -D adalah sn 0 dan n -D y sn. Un mencar sols persamaan 0 dgnaan rms selsh hngga sbb.: ] / sn[ [ ] / sn [ ] / sn. Un persamaan persamaan selsh hngganya adalah: y 4] / sn[

9 [ ] 4 / sn. D gambar 6 damplan sols persamaan 0 lewa rms selsh hngga sedangan sols persamaan da dapa damplan arena eerbaasan sarana omper yang dml penls. Syara awal conoh n alah: 4 an 0 dan 0 0. Gambar 6 PENJABARAN PERSAMAAN GORDON-SINUS Seedar sebaga ambahan nformas persamaan Gordon-sns dapa dperoleh dar geala meana sebaga ber.

10 a a θ 4 θ θ θ θ 5 Gambar 7 Perhaan sederean bandl maema -D yang den lha gambar 7 dengan ara sa dengan lan a dan merea salng dhbngan oleh sebah baang ors orson bar. Un seap bandl θ adalah sd smpangan bandl erhadap poss sembang. D sampng gaya gravas yang selal ngn mengembalan bandl e poss sembangnya ors yang mbl arena baang ors yang sed erpnr menyebaban aynan sa bandl mempengarh aynan bandl eangganya. Hm Newon n aynan bandl yang e- yang melbaan ors τ adalah d θ τ Iα κ θ θ κ θ θ mg sn θ I d κ θ d θ θ θ mg sn θ I d mana I momen nersa α d θ / d percepaan sd bandl e- dan κ adalah onsana ors seap baang. Persamaan d aas adalah persamaan dferensal smlan yang banyanya banyanya bandl. Ja sema bandl dgeraan bersama / serena sehngga θ θ maa persamaan dferensal d aas menad persamaan bandl nggal yang sdah a enal. Ja dandaan bahwa banyanya bandl dalam epermen d aas dan ara merea sa dengan lan a 0 maa ssem persamaan basa d aas menad sa persamaan dferensal parsal sebaga ber. d

11 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ a θ θ κa I θ mg sn θ κi κa θ θ mg sn θ. I κi Dengan pemlhan saan secara epa persamaan erahr n adalah persamaan 0. KESIMPULAN Dar pembahasan d aas ampa beberapa sfa gelombang alnear yang berbeda dar sfa gelombang lnear lha Anderson d. sebaga ber. Sebah gelombang langah sep-le wave erpecah menad delapan gelombang solon b solon dengan ampldo besar bergera lebh cepa dar solon ampldo ecl dan c solon dengan ampldo besar dapa memoong solon pende anpa ada dampa apapn pada edanya. Persamaan Brgers yang mrp persamaan KdV menggambaran gelombang e. DAFTAR PUSTAKA. ANDERSON D.A. J.C. TANNEHILL R.H. PLETCHER Compaonal Fld Mechancs and Hea Transfer Taylor & Francs / Hemsphere Pblshng Corp. Brsol Pennsylvana USA 984. ARGYRIS J. G. FAUST M. HAASE An Advenre n Chaos Comp. Meh. App. Mec. Eng BOYD J. P. Mlple precson psedospecral compaons of he radaon coeffcen for wealy nonlocal solary waves Ffh-order Koreweg-deVres eqaon Comp. Phys. Vol. 9 No. May / Jne 995 p. 4.

12 4. GOULD H. J. TOBOCHNIK An Inrodcon o Comper Smlaon Mehods -nd edn Addson Wesley Readng MA LANDAU R. H. M. J. PAEZ Compaonal Physcs Problem Solvng wh Compers John Wley New Yor 997.