Bab 4 SIMULASI NUMERIK. 4.1 Kasus I

Transkripsi

1 Bab 4 SIMULASI NUMERIK Pada bab n akan dbahas analss model penyebaran penyakt flu burung untuk kasus adanya pertumbuhan dan kematan alam serta kasus tdak adanya pertumbuhan dan kematan alam secara numerk menggunakan MATLAB Hal n dmaksudkan untuk membandngkan kedua model sehngga dketahu pengaruh adanya faktor pertumbuhan dan kematan alam pada model. Selan tu, akan dlakukan smulas terhadap model untuk beberapa nla parameter λ, ξ, dan γ sebaga parameter penentu terjadnya gelombang berjalan pada penyebaran flu burung. Dalam smulas numerk n, penuls menggunakan metode MacCormack untuk menyelesakan model permasalahan yang berupa sstem persamaan dferensal parsal secara numerk. Model yang dselesakan adalah sstem persamaan dferensal parsal yang tak berdmens. Hal n dmaksudkan agar hasl yang dperoleh bsa dnterpretaskan secara umum, tdak hanya untuk suatu data dengan satuan tertentu saja. 4.1 Kasus I Pandang sstem persamaan dferensal parsal tak berdmens S t I t = IS + S x, = λi + IS + I x. 34

2 35 D ttk nteror persamaan akan ddskrtsaskan dengan metode MacCormack. Metode n merupakan metode eksplst, tahap, dengan tngkat akuras O(, t 3 ). Selanjutnya, akan dlakukan penyesuaan untuk ttk-ttk d batas kr dan kanan. Terakhr, model akan dsmulaskan dengan nla parameter yang bervaras. Dskrtsas model d ttk nteror sebaga berkut: 1. Tahap predctor Notaskan S n S(x, t n ). Pada tahap n akan dpredks nla dketahu nla S n dan S n +1. jka Ekspans Taylor untuk d sektar S n adalah = S n + S t n t + O( t ). (4.1.1) Mengngat S t = IS + S xx, dengan penerapan center dfference bag S xx dlanjutkan dengan substtus ke dalam (4.1.1) menghaslkan persamaan beda dengan tngkat akuras O(, t ). = S n + ( I n S n + Sn +1 Sn + S n 1 ) t, (4.1.) Dengan melakukan langkah dskrtsas yang sama terhadap persamaan dperoleh persamaan beda I t = λi + IS + I x, I n+1 = I n + ( λi n + I n Sn + In +1 In + I n 1 ) t, (4.1.3) dengan tngkat akuras O(, t ).. Tahap corrector Pada tahap n nla yang telah ddapat dar tahap predctor, dkoreks lag dengan tngkat akuras yang lebh tngg yatu O(, t 3 ). Sama halnya dengan tahap sebelumnya, tahap n dmula dar ekspans taylor untuk

3 d sektar S n. Namun, perbedaannya terletak pada suku S t n. Pada tahap corrector yang dgunakan adalah nla rata-rata dar S t n saat ndeks waktu n dan n + 1 yatu St n +St n+1. Pandang ekspans Taylor untuk = S n + S t n t + S tt n d sektar S n sebaga berkut t! Gunakan Forward Tme untuk mskrtsas suku S tt n (4.1.4): S tt n = S t n+1 S t n t 36 + O( t 3 ). (4.1.4) pada ekspans Taylor. (4.1.5) Substtus (4.1.5) ke (4.1.4) menghaslkan ekspans Taylor untuk d sektar S n pada tahap n sebaga berkut = S n + t (S t n + S t n+1 ) + O( t 3 ). Perhatkan bahwa persamaan d atas mempunya akuras dengan orde 3. Berdasarkan S t = IS+S xx, maka dengan mensubsttuskannya ke dalam ekspans Taylor d atas menghaslkan persamaan beda = S n + t ( + t dengan tngkat akuras O(, t 3 ). ( I n S n + Sn +1 Sn + S n 1 I n+1 S n+1 + Sn+1 +1 Sn ) ), (4.1.6) Analog dengan S, dskrtsas terhadap I menghaslkan persamaan beda I n+1 = I n + t ( ) λi n + I n Sn + In +1 I n + I 1 n x ( + t λi n+1 + I n+1 + In+1 +1 ) In+1 + I 1 n+1, (4.1.7) dengan tngkat akuras O(, t 3 ). Jad, untuk ttk nteror dterapkan persamaan beda (4.1.) & (4.1.3) pada tahap predctor, dan (4.1.6) & (4.1.7) pada tahap corrector.

4 Untuk penyesuaan d ttk-ttk batas kr dan kanan, dgunakan persamaan gelombang yang masng-masng berjalan ke kr dan ke kanan. Hal n dlakukan agar gelombang hasl smulas terus berjalan ke luar batas pengamatan sesua dengan keadaan sebenarnya. Pekatan Forward Tme Forward Space d batas kr menghaslkan persamaan beda: 1 = (1 C)S n 1 + CSn, I n+1 1 = (1 C)I n 1 + CI n, dan pekatan Forward Tme Backward Space d batas kanan menghaslkan persamaan beda: 37 Nx = (1 C)Sn Nx + CS n Nx 1, I n+1 Nx = (1 C)In Nx + CIn Nx 1, dengan C = c t, dan c adalah kecepatan gelombang. x 4. Kasus II Langkah dskrtsas untuk kasus II analog dengan kasus I. Perbedaannya hanya terletak pada penambahan suku ξs pada persamaan dferensal parsal bag S dan menggant parameter λ dengan γ pada persamaan dferensal parsal bag I, dperoleh persamaan beda: Tahap predctor: = S n + ( ξs n I n S n + Sn +1 Sn + S n 1 ) t, I n+1 = I n + ( γi n + I n Sn + In +1 I n + I 1 n ) t, dengan tngkat akuras O(, t ).

5 38 Tahap corrector: I n+1 = S n + t ( + t = I n + t ( + t dengan tngkat akuras O(, t 3 ). ( ξs n I n Sn + Sn +1 S n + S 1 n ) ξ I n+1 + Sn+1 +1 Sn+1 + S 1 n+1 ( γi n + I n Sn + In +1 In + I n 1 γi n+1 + I n+1 + In+1 +1 In+1 + I n+1 1 ) ) ),, Untuk smulas, pada kasus I dplh nla parameter λ = dan λ = 1.. Pada kasus II dengan memlh nla γ yang tetap yatu 0.5, dplh nla ξ yang berbeda yatu ξ = 0.6 dan ξ = Saat awal pengamatan, sumber epdem (ayam sakt) ada d tengah-tengah doman pengamatan sebanyak 10 % dar banyaknya populas ayam sehat saat awal pengamatan, sehngga dperoleh hasl smulas sebaga berkut: 1 Pemlhan nla parameter n ddasarkan pada nla threshold number untuk penyakt nfluenza, yatu 1/λ.

6 S(x,t) dan I(x,t) x S(x,t) dan I(x,t) x Gambar 4.1: Kasus I: Kurva-kurva S(x, t) (htam) dan I(x, t) (merah) terhadap poss x untuk beberapa waktu pengamatan 0 = t 0 < t 1 <... < t n = 60.1 dengan nla parameter λ = 0.5 (atas), dan λ = 1. (bawah). Dapat dlhat ketka λ = 0.5, jumlah ayam yang sakt d suatu tempat bertambah serng dengan bertambahnya waktu. Selanjutnya, nfeks tersebut menyebar ke sektarnya, dalam hal n ke kr dan ke kanan. Populas ayam sakt d daerah dengan jarak yang sama terhadap daerah pusat wabah mencapa nla maksmum yang sama. Dapat dlhat dar Gambar 4.1 atas, bahwa penyebaran penyakt mempunya bentuk yang tetap. Inlah yang dmaksudkan dengan gelombang berjalan pada penyebaran penyakt, atau gelombang epzootc penyebaran penyakt flu burung. Untuk nla λ < 1 lannya, dperoleh hasl yang serupa, penyebaran nfeks

7 40 mengkut gelombang berjalan. Namun, ketka dplh nla λ = 1., hasl smulas menunjukkan bahwa nfeks tetap menyebar ke sektarnya. Namun, dapat dlhat bahwa pola penyebarannya tdak mengkut pola gelombang berjalan. Hasl smulas n menunjukkan secara vsual makna dar pentngnya nla λ. Berdasarkan stud awal pada Subbab 3., ξ < 0 menjad syarat perlu terjadnya S(x,t) dan I(x,t) x S(x,t) dan I(x,t) x Gambar 4.: Kasus II: Kurva-kurva S(x, t) (htam) dan I(x, t) (merah) terhadap poss x untuk beberapa waktu pengamatan 0 = t 0 < t 1 <... < t n = 60.1 dengan nla parameter γ = 1.01/, ξ = 0.01/4 (atas), dan γ = 1.01/, ξ = 0.01/4 (bawah). gelombang berjalan pada penyebaran penyakt. Ketka dplh nla ξ = 0.01/4 pada smulas, terlhat dar Gambar 4. atas, nfeks menyebar ke kanan dan kr sumber nfeks serng dengan bertambahnya waktu. Seklas tampak bahwa nfeks menyebar dengan bentuk yang tetap. Tetap, jka damat dengan lebh seksama,

8 banyaknya ayam sakt maksmum berkurang serng dengan bertambahnya waktu. Jad, penyebaran penyakt tdak mengkut pola gelombang berjalan. 41 Alasan pemlhan parameter γ = 1.01/, ξ = 0.01/4 adalah sebaga berkut. Mengngat γ = λ + b/rs 0, dan ξ = (c b)/rs 0 maka pemlhan nla γ yang sedkt lebh dar 1/ dan ξ = 0.01/4 bsa dartkan: tdak ada kelahran alam namun ada kematan alam dengan faktor yang relatf kecl. Hal n dapat menjelaskan bahwa jumlah total ayam berkurang serng dengan bertambahnya waktu. Ketka dplh nla ξ = 0.01/4, postf, tampak jelas bahwa nfeks menyebar ke sektarnya dengan tdak mengkut pola gelombang berjalan. Hal n sesua dengan hasl analts d Subbab 3.. Bsa dlhat bahwa serng dengan bertambahnya waktu, banyak ayam sakt semakn bertambah dengan cukup sgnfkan. Berdasarkan smulas, pemlhan nla ξ = 0.01/4 dan ξ = 0.01/4 tdak menghaslkan penyebaran penyakt yang mengkut pola gelombang berjalan. Hal n mash sesua dengan hasl stud analts pada Subbab 3. yang menyatakan bahwa ξ < 0 merupakan syarat perlu terjadnya gelombang berjalan pada penyebaran penyakt. Jka ξ > 0, maka penyebaran nfeks past tdak mengkut pola gelombang berjalan. Jka ξ < 0, maka belum tentu nfeks menyebar mengkut pola gelombang berjalan. Sejauh n penuls belum menemukan batasan nla ξ yang bsa menghaslkan penyebaran nfeks berupa gelombang berjalan.

9 5. Saran 43 Dalam karya tuls lmah n belum dlakukan analss lebh lanjut mengena hubungan antara kesetmbangan solus gelombang berjalan pada model untuk kasus II dengan konds fssnya. Hal n dsebabkan adanya ketdaksesuaan hasl yang dperoleh dengan konds fss. Oleh karena tu, penuls menyarankan untuk dlakukan kajan lebh lanjut mengena hal n. Penuls juga menyarankan untuk dlakukan pencaran syarat cukup terjadnya gelombang berjalan pada penyebaran penyakt. Selan tu, perlu dlakukan smulas lebh lanjut terhadap model dengan berdasarkan data real yang akurat.

10 Daftar Pustaka [1] Murray, J.D Mathematcal Bology, nd Edton. New York: Sprnger- Verlag. [] Matthej, Robert, Jaap Molenaar. 00. Ordnary Dfferental Equatons n Theory and Practce. Phladelpha: SIAM (Socety for Industral and Appled Mathematc). [3] Brauer, Fred, Carlos Castllo-Chavez Mathematcal Models n Populaton Bology and Epdemology. Ithaca, N.Y., U.S.A.: Sprnger. [4] Edwards, C.H., JR Davd E. Penney Elementary Dfferental Equatons wth Boundary Value Problem, thrd edton. New Jersey: Prentce-Hall. [5] http : //d.wkpeda.org/wk/w abah [6] http : //d.wkpeda.org/wk/kejadan Luar Basa [7] http : // , d.html [8] http : // , d.html [9] http : // , d.html 44

11 Lampran Program MATLAB Program Model Penyebaran Flu Burung Tanpa Pertumbuhan dan Kematan Alam nla λ < 1 % SPD: SI + dfus pd 0 x L % sy awal: S(x,0)=1; I(x,0)=0 clear all format long Nt=700 Nx=00 dt=0.1 dx=0.5 lambda=0.5 %kecepatan mnmum gelombang berjalan c=*sqrt(1-lambda) %sy awal S(1:Nx,1)=1 I(1:Nx,1)=0 p=0.1; 45

12 46 I(Nx/,1)=p; for n=1:(nt-1) %persamaan beda model untuk batas kr Sp(1,n+1)=S(1,n)-dt*I(1,n)*S(1,n)+dt*(S(3,n)-*S(,n)+S(1,n))/dx/dx; Ip(1,n+1)=I(1,n)+dt*I(1,n)*S(1,n)-lambda*dt*I(1,n)+dt*(I(3,n)-*I(,n)+I(1,n))/dx/dx; %persamaan beda model untuk grd d tengah tahap predctor for =:(Nx-1) Sp(,n+1)=S(,n)-dt*I(,n)*S(,n)+dt*(S(+1,n)-*S(,n)+S(-1,n))/dx/dx; Ip(,n+1)=I(,n)+dt*I(,n)*S(,n)-lambda*dt*I(,n)+dt*(I(+1,n)-*I(,n)+I(-1,n))/dx/dx; %persamaan beda model untuk batas kanan Sp(Nx,n+1)=S(Nx,n)-dt*I(Nx,n)*S(Nx,n)+dt*(S(Nx,n)-*S(Nx-1,n)+S(Nx-,n))/dx/dx; Ip(Nx,n+1)=I(Nx,n)+dt*I(Nx,n)*S(Nx,n)-lambda*dt*I(Nx,n)+dt*(I(Nx,n)-*I(Nx- 1,n)+I(Nx-,n))/dx/dx; %persamaan beda gelombang untuk batas kr S(1,n+1)=(1-c)*S(1,n)-c*S(,n); I(1,n+1)=(1-c)*I(1,n)-c*I(,n); %persamaan beda model d grd tengah tahap corrector for =:(Nx-1) S(,n+1)=S(,n)+(dt/)*(-I(,n)*S(,n)-Ip(,n+1)*Sp(,n+1)) +(1/)*(dt/dx/dx)*(S(+1,n)-*S(,n)+S(-1,n)+Sp(+1,n+1)-*Sp(,n+1)+Sp(-1,n+1)); I(,n+1)=I(,n)+(dt/)*(I(,n)*S(,n)-lambda*I(,n)+Ip(,n+1)*Sp(,n+1)-lambda*Ip(,n+1)) +(1/)*(dt/dx/dx)*(I(+1,n)-*I(,n)+I(-1,n)+Ip(+1,n+1)-*Ip(,n+1)+Ip(-1,n+1)); %persamaan beda gelombang untuk batas kanan S(Nx,n+1)=(1-c)*S(Nx,n)+c*S(Nx-1,n);

13 47 I(Nx,n+1)=(1-c)*I(Nx,n)+c*I(Nx-1,n); %plot S(x,t) fgure(1) plot(s) %plot I(x,t) fgure() plot(i) %nsas untuk plot S(x,t) dan I(x,t) untuk waktu tertentu shft =0.5; banyakplot=7; pengal=100; for j = 1:banyakplot for = 1:Nx xplot(,j) = (-1) * *dx; Splot(,j) = S(,(j-1)*pengal+1); Iplot(,j) = I(,(j-1)*pengal+1); % Plot S(x,t) dan I(x,t) terhadap x fgure(3) plot(xplot,splot, -, Color, black, LneWdth,1.5) hold on plot(xplot,iplot, -., Color, red, LneWdth,1.5) hold off % nsas untuk plot S(x,t) dan I(x,t) untuk poss tertentu shft =0.5;

14 48 banyakplot=10; pengal=10; for j = 1:Nt for = 1:banyakplot tplot(,j) = (j-1) *dt; Splot1(,j) = S((-1)*pengal+1,j); Iplot1(,j) = I((-1)*pengal+1,j); % plot S(x,t) dan I(x,t) terhadap t fgure(4) plot(tplot,splot1, -, Color, black, LneWdth,1.5) hold on plot(tplot,iplot1, -., Color, red, LneWdth,1.5) hold off catatan: program smulas matlab untuk kasus λ > 1 dperoleh dengan mengubah nla lambda menjad > 1 Program Model Penyebaran Flu Burung Dengan Pertumbuhan dan Kematan Alam % SPD: SI + dfus pd 0 x L % sy awal: S(x,0)=1; I(x,0)=0 clear all format long Nt=700 Nx=00 dt=0.1

15 49 dx=0.5 ks=-0.01/4 gama=1.01/ % kecepatan mnmum gelombang berjalan c=*sqrt(sqrt(-ks*gama)) %syarat awal S(1:Nx,1)=1; I(1:Nx,1)=0; p=0.1; I(Nx/,1)=p; for n=1:(nt-1) % persamaan beda model d batas kr Sp(1,n+1)=S(1,n)+dt*ks*S(1,n)-dt*I(1,n)*S(1,n)+dt*(S(3,n)-*S(,n)+S(1,n))/dx/dx; Ip(1,n+1)=I(1,n)+dt*I(1,n)*S(1,n)-gama*dt*I(1,n)+dt*(I(3,n)-*I(,n)+I(1,n))/dx/dx; % persamaan beda model d grd tengah untuk tahap predctor for =:(Nx-1) Sp(,n+1)=S(,n)+dt*ks*S(,n)-dt*I(,n)*S(,n)+dt*(S(+1,n)-*S(,n)+S(-1,n))/dx/dx; Ip(,n+1)=I(,n)+dt*I(,n)*S(,n)-gama*dt*I(,n)+dt*(I(+1,n)-*I(,n)+I(-1,n))/dx/dx; % persamaan beda model d batas kanan Sp(Nx,n+1)=S(Nx,n)+dt*ks*S(Nx,n)-dt*I(Nx,n)*S(Nx,n) +dt*(s(nx,n)-*s(nx-1,n)+s(nx-,n))/dx/dx; Ip(Nx,n+1)=I(Nx,n)+dt*I(Nx,n)*S(Nx,n)-gama*dt*I(Nx,n) +dt*(i(nx,n)-*i(nx-1,n)+i(nx-,n))/dx/dx; % persamaan beda gelombang d batas kr S(1,n+1)=(1-c)*S(1,n)+c*S(,n);

16 50 I(1,n+1)=(1-c)*I(1,n)+c*I(,n); % persamaan beda model d grd tengah untuk tahap corrector for =:(Nx-1) S(,n+1)=S(,n)+(dt/)*(ks*S(,n)-I(,n)*S(,n)+ks*Sp(,n+1)-Ip(,n+1)*Sp(,n+1)) +(1/)*(dt/dx/dx)*(S(+1,n)-*S(,n)+S(-1,n)+Sp(+1,n+1)-*Sp(,n+1)+Sp(-1,n+1)); I(,n+1)=I(,n)+(dt/)*(I(,n)*S(,n)-gama*I(,n)+Ip(,n+1)*Sp(,n+1)-gama*Ip(,n+1)) +(1/)*(dt/dx/dx)*(I(+1,n)-*I(,n)+I(-1,n)+Ip(+1,n+1)-*Ip(,n+1)+Ip(-1,n+1)); % persamaan beda gelombang d batas kanan S(Nx,n+1)=(1-c)*S(Nx,n)+c*S(Nx-1,n); I(Nx,n+1)=(1-c)*I(Nx,n)+c*I(Nx-1,n); % plot S(x,t) fgure(1) plot(s) % plot I(x,t) fgure() plot(i) % nsas untuk plot S(x,t) dan I(x,t) untuk waktu tertentu shft =0.5; banyakplot=7; pengal=100; for j = 1:banyakplot for = 1:Nx xplot(,j) = (-1) * 0*dx; Splot(,j) = S(,(j-1)*pengal+1); Iplot(,j) = I(,(j-1)*pengal+1);

17 51 % plot S(x,t) dan I(x,t) terhadap x fgure(3) plot(xplot,splot, -, Color, black, LneWdth,1.5) hold on plot(xplot,iplot, -., Color, red, LneWdth,1.5) hold off % nsas untuk plot S(x,t) dan I(x,t) untuk poss tertentu shft =0.5; banyakplot=10; pengal=10; for j = 1:Nt for = 1:banyakplot tplot(,j) = (j-1) *dt; Splot1(,j) = S((-1)*pengal+1,j); Iplot1(,j) = I((-1)*pengal+1,j); % plot S(x,t) dan I(x,t) terhadap t fgure(4) plot(tplot,splot1, -, Color, black, LneWdth,1.5) hold on plot(tplot,iplot1, -., Color, red, LneWdth,1.5) hold off catatan: program smulas matlab untuk kasus ξγ > 0 dperoleh dengan mengubah nla ks menjad > 0