BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Di dalam matematika mulai dari SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi

Transkripsi

1 Daftar Is Daftar Is... Kata pengantar... BAB I...1 PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan...2 BAB II...3 TINJAUAN TEORITIS Landasan Teor...4 BAB III...5 PEMBAHASAN Pengertan Program Lnear Kegunaan Program Lnear Hal-hal yang Dbahas dalam Program Lnear...6 a. Program Lnear dan Model Matenatka...6 b. Sstem Pertdaksamaan Lnear...8 c. Nla Optmum suatu Bentuk Objektf...9 BAB VI...13 PENUTUP Kesmpulan Saran...13 DAFTAR PUSTAKA...14

2

3 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang D dalam matematka mula dar SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tngg terdapat berbaga cabang pembahasan yang ada yang dpelajar sswa dalam kegatan belajar mengajar d sekolah maupun perguruan tngg. Cabang pelajaran yang ada antara lan: logka matematka, aljabar, ruang dmens tga, trgonometr, kalkulus, peluang, dan statstka, Seorang sswa harus memaham setap pelajaran yang dajarkan oleh gurunya agar a tdak ketnggalan pelajaran dan bsa mengert maksud atau kegunaan dar pelajaran tersebut. Selan tu, a juga harus bsa mengerjakan soal-soal yang berkatan dengan pelajaran tersebut supaya mendapat nla yang bagus. Salah satu bab dalam matematka adalah program lnear. Dalam program lnear terdapat persamaan suatu blangan karena mash masuk dalam aljabar. Dan mempunya kegunaan yang pentng terutama berhubungan dengan kehdupan sehar-har. Pelajaran n membahas beberapa hal atau bagan yang dbatas oleh syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat tu adalah susunan pertdaksaman lnear dan tentu d dalamnya mash ada hal-hal lannya yang salng berkatan(berkatan erat). 1.2 Rumusan Masalah

4 Dengan berpjak atas latar belakang tersebut dapatlah dkemukakan berbaga topk bahasan atau masalah yang akan dkaj dalam penulsan makalah n. Adapun berbaga topk bahasan dalam makalah n dapat drumuskan dalam bentuk-betuk pertanyaan berkut n: 1. Apa pengertan dar program lnear? 2. Apa kegunaan program lnear yang berhubungan dengan kehdupan sehar - har? 3. Apa saja hal-hal yang dbahas dalam program lnear? 1.3 Tujuan Dar rumusan masalah d atas dapat dsusun tujuan penulsan makalah, yatu: 1. Untuk mengetahu pengertan program lnear 2. Untuk mengetahu kegunaan program lnear yang berhubungan dengan kehdupan sehar-har 3. Untuk mengetahu apa saja hal-hal yang dbahas dalam program lnear BAB II TINJAUAN TEORITIS

5 2.1 Landasan Teor Permasalahan dalam model matematka berhubungan dengan penentuan memaksmalkan dan menmumkan sutu tujuan Model matematka dasarnya merupakan sebuah program lnear yang dapat dpecahkan oleh persamaan dan pertdaksamaan. Persoalan Program Lnear adalah suatu persoalan untuk menentukan besarnya masng-masng nla peubah sedemkan rupa sehngga nla fungs tujuan yang Lnear menjad optmum (maksmum atau mnmum) dengan memperhatkan batasan-batasan yang ada. Program Lnear merupakan cara untuk menyelesakan suatu problem sepert d atas berdasarkan kadah matematka dmana semua hubungan dantara peubahpeubahnya (varabel) adalah Lnear bak yang ada pada ketentuan-ketentuan batasannya (Constrants) maupun yang ada pada fungs optmalsasnya. Pemecahan persoalan program Lnear secara matemats harus memenuh krtera sebaga berkut: 1. Bentuk pertdaksamaan menjad persamaan 2. Adanya fungs tujuan dar varabel keputusan dan dapat dgambarkan dalam satu set fungs Lnear 3. Keterbatasan sumber daya dapat pula dgambarkan dalam satu set fungs Lnear Jka hal n sudah djelaskan, pembahasan tentang Program Lnear dapat dmula dar pemahaman dasar-dasar Program Lnear, yatu Grafk hmpunan Penyelesaan Pertdaksamaan Lnear.

6 2.1 Pengertan Program Lnear BAB III PEMBAHASAN

7 Program Lnear adalah suatu cara untuk penyelesaan masalah dengan menggunakan persamaan atau pertdaksamaan lnear yang mempunya banyak penyelesaan, dengan memperhatkan syarat-syarat agar dperoleh hasl yang maksmum/mnmum (penyelesaan optmum). Program lnear merupakan suatu model umum yang dapat dgunakan dalam pemecahan pengalokasan sumber-sumber yang terbatas secara optmal. Masalah tersebut tmbul apabla seseorang dharuskan untuk memlh atau menentukan tngkat setap kegatan yang akan dlakukan, dmana masng-masng kegatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas (Handy A.Taha, 1987). Program lnear berasal dar kata pemrograman dan lnear. Pemrograman artnya perencanaan dan lnear berart bahwa fungs-fungs yang dgunakan merupakan fungs lnear. Jad, program lnear adalah suatu teknk perencanaan yang bersfat analts yang analssnya memaka model matematka, dengan tujuan menemukan beberapa kombnas alternatf pemecahan masalah. Kemudan dplh yang terbak dantaranya dalam rangka menyusun langkah-langkah kebjaksanaan lebh lanjut tentang alokas sumber daya dan dana yang terbatas. Kegunaannya adalah mencapa tujuan dan sasaran yang dngnkan secara optmal (Meda Anugerah Ayu, 2006). Program lnear merupakan salah satu teknk peneltan operasonal yang dgunakan palng luas dan dketahu dengan bak, serta berupa metode matematk, yang berfungs mengalokaskan sumber daya yang langka untuk mencapa tujuan tunggal sepert memaksmumkan keuntungan dan memnmumkan baya. Program lnear banyak dterapkan dalam membantu menyelesakan masalah ekonom,

8 ndustr, mlter, dan sosal. Program lner berkatan dengan penjelasan suatu duna nyata sebaga suatu model matematk yang terdr atas sebuah fungs tujuan dan sstem kendala lner (Sr Mulyono, 2002). 2.2 Kegunaan Program Lnear Program lnear dgunakan untuk memecahkan masalah pengoptmalan (memaksmalkan atau memnmalkan suatu tujuan). Dar sn program lnear dapat dgunakan untuk menyelesakan masalah-masalah manusa. Dalam kehdupan sehar-har tentu banyak masalah yang berkatan dengan perhtungan, sepert dalam berdagang. Dalam berdagang seorang pedagang past ngn mendapat keuntungan atau laba yang besar/maksmum, maka program lnear dapat dgunakan untuk menghtung maksmum laba yang bsa dperoleh seorang pedagang. 2.3 Hal-hal yang Dbahas dalam Program Lnear a. Program Lnear dan Model Matenatka Program lnear adalah salah satu bagan dar matematka terapan yang dgunakan untuk memecahkan masalah pengoptmalan (memaksmalkan atau memnmalkan suatu tujuan), sepert mencar keuntungan maksmum dar penjualan suatu produk. Dalam memecahkan masalah pengoptmalan dengan program lnear terdapat kendala-kendala atau batasan-batasan yang harus dterjemahkan ke dalam suatu sstem pertdaksamaan lnear, yang dsebut pemodelan matematka dan sstem pertdaksamaan yang terbentuk dsebut model matematka. Model matematka adalah sstem persamaan atau pertdaksamaan yang mengungkapkan semua syarat yang harus dpenuh oleh x dan y.

9 Model matematka n merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah dengan menggunakan persamaan atau pertdaksamaan matematka. Contoh Soal : Harga sebuah tas jnjng Rp ,00 sedangkan sebuah tas ransel Rp ,00. Modal yang terssa ,00. Kapastas toko tersebut 80 buah. Tentukan model matematka untuk memperoleh keuntungan yang sebesarbesarnya, jka laba untuk tas jnjng Rp 5.000,00 dan laba tas ransel Rp ,00. Penyelesaan: Jml. Satuan Barang Harga Laba Jnjng Ransel Jumlah F oby Model Matematka: Msalkan x = banyaknya tas Jnjng y = banyaknya tas Ransel Kendala: x y x + 2y 60 (baya tdak boleh melebh modal) x + y 80 (jumlah barang tdak boleh melebh kapastas) x 0, y 0 (jumlah barang tdak boleh negatf) Fungs Obyektf: F(x,y) = x y x,y C a. Sstem Pertdaksamaan Lnear

10 Pertdaksamaan lnear adalah pertdaksamaan dengan pangkat tertngg dar varabelnya satu, gabungan dua atau lebh pertdaksamaan lnear dsebut sstem pertdaksamaan lnear.bentuk umum pertdaksamaan lnear dua varabel: ax+by c atau ax+by c,dengan a,b, dan c anggota hmpunan blangan real. Hmpunan penyelesaan dar suatu pertdaksamaan lnear dua varabel merupakan pasangan blangan (x,y) yang memenuh pertdaksamaan lnear tersebut. Hmpunan penyelesaan pertdaksamaan tu dapat dtentukan dengan menggunakan metode grafk dan ttk uj. Untuk menentukan daerah hmpunan penyelesaan pertdaksamaan lnear ax+by c dengan menggunakan metode grafk dan ttk uj, langkah-langkahnya adalah sebaga berkut: 1. Menggambar gars ax+by=c 2. Melakukan uj ttk, yatu mengambl sebarang ttk (x,y) yang tdak terletak pada gars ax+by=c, kemudan mensubsttuskan ke dalam pertdaksamaan ax+by c Jka pertdaksamaan bernla benar, maka hmpunan penyelesaannya adalah daerah yang memuat ttk tersebut dengan batas gars ax+by=c. Jka pertdaksamaan bernla salah, maka hmpunan penyelesaannya adalah daerah yang tdak memuat ttk tersebut dengan batas gars ax+by=c. 3. Tanpa melakukan uj ttk, daerah hmpunan penyelesaan suatu pertdaksamaan lnear dapat dlakukan sebaga berkut: Pertdaksamaan ax+by c, jka b>0, maka daerah HP berada d kanan/d atas gars ax+by=c, jka b<0, maka daerah HP berada d kr/d bawah gars ax+by=c

11 Pertdaksamaan ax+by c, jka b>0, maka daerah HP berada d kr/d bawah gars ax+by=c, jka b<0, maka daerah HP berada d kanan/d atas gars ax+by=c a. Nla Optmum suatu Bentuk Objektf Nla optmum dperoleh berdasarkan nla fungs tujuan yang dkehendak, yatu berupa nla maksmum atau nla mnmum. Cara mencarnya bsa dengan : a. Mensubsttus koordnat ttk-ttk sudut dalam daerah penyelesaan terhadap fungs tujuan. b. Menggunakan gars seldk. Dalam program lnear, bentuk objektf atau fungs objektf adalah bentuk atau fungs f(x,y)=ax+by yang hendak doptmumkan (dmaksmumkan atau dmnmumkan).nla optmum bentuk objektf dapat dtentukan dengan gars seldk atau metode ttk pojok (ttk sudut).menentukan nla optmum bentuk objektf dengan metode ttk pojok dlakukan dengan cara menghtung nla fungs objektf ax+by untuk setap ttk pojok (x,y) dar daerah hmpunan penyelesaan. Apabla suatu persoalan program lnear mempunya bentuk objektf f(x,y)=ax+by, maka gars seldk memlk persamaan ax+by=k, untuk k anggota hmpunan blangan real. Dengan mengambl beberapa nla k akan dperoleh hmpunan gars-gars salng sejajar yang dnamakan gars seldk, satu dantara gars-gars tu akan melalu suatu ttk yang mengakbatkan nla bentuk objektf mencapa optmum Contoh Soal Dketahu F(x,y) = 8x+2y. tentukan nla mnmum dar F(x,y) pada daerah penyelesaan sstem pertdaksamaan 6x+2y 18; 2x+4y 16;

12 x 0; y 0. x,y C Penyelesaan: 1. Menentukan daerah penyelesaan a. Bentuk Persamaan: 6x+2y = 18; 2x + 4y = 16; x = 0; y = 0 x 0 3 y 9 0 x 0 8 y 4 0 b. Pengujan: ambl (1,1). 6x + 2y 18 6(1) + 2(1) salah arsr daerah sendr. 2x + 4y 16 2(1) + 4(1) salah arsr daerah sendr

13 . x benar arsr daerah lawan v. y benar arsr daerah lawan 2. Mencar Nla Optmal: a. Mencar ttk potong : 6x + 2y = 18 2(2) + 4y = 16, y = 3 ttk potong dua gars tersebut adalah (2,3) b. Ttk-ttk pemerksaan (0,9), (2,3), (8,0) (x,y) (0,9 ) (2,3) (8,0) F(x,y)=8x+2 y Jad ttk optmumnya adalah (0,9) dengan nla mnmumnya = 18

14 BAB VI PENUTUP 4.1 Kesmpulan Dar semua uraan tersebut dapat dsmpulkan bahwa program lnear adalah suatu cara untuk penyelesaan masalah dengan menggunakan persamaan atau pertdaksamaan lnear yang mempunya banyak penyelesaan, dengan memperhatkan syarat-syarat agar dperoleh hasl yang maksmum/mnmum (penyelesaan optmum). Kegunaan program lnear adalah untuk memecahkan masalah pengoptmalan (memaksmalkan atau memnmalkan suatu tujuan), sepert mencar keuntungan maksmum dar penjualan suatu produk. Hal-hal yang dbahas dalam program lnear adalah program lnear dan modul matematka, sstem pertdaksamaan lnear, serta nla optmum suatu bentuk objektf. 4.2 Saran Mater Program Lnear akan lebh mudah dmengert dan lebh berguna sebaga bekal bag sswa, apabla pembelajarannya lebh dorentaskan pada Realtas dan Aplkas dalam kehdupan sehar-har. DAFTAR PUSTAKA

15 Nnovamans.blogspot.com/2008/07/pengertan-dan-macam-macamprogram_23.html Fngela.blogspot.com/2009/12/beberapa-pengertan-program-lner.html Ahmad, Fred Kupas Matematka. Bekas: Ganeca Exact. Solahudn,Rohmad.& Tholb,M Panduan dan Predks Ujan Nasonal Matematka IPA SMA/MA. Ponorogo: CV. Berkah Ad Karya Tampomas, Husen. Matematka SMU Kelas Erlangga Hadley. Lnear Programmng Addson Wesley Publshng Company, AS Soekartaw, Dr. Lnear Programmng: Teor dan Aplkas, khususnya d bdang pertanan Rajawal.