Pendeteksian Data Pencilan dan Pengamatan Berpengaruh pada Beberapa Kasus Data Menggunakan Metode Diagnostik

Transkripsi

1 Pendeteksan Data Penclan dan Pengamatan Berpengaruh pada Beberapa Kasus Data Menggunakan Metode Dagnostk Sally Indra 1, Dod Vonanda, Rry Srnngsh 3 1 Student of Mathematcs Department State Unversty of Padang, Indonesa,3 Lecturers of Mathematcs Department State Unversty of Padang, Indonesa 1 sallndra@gmal.com dod_matunp@yahoo.co.d 3 srrysrnngsh@yahoo.com Abstract Outler s an observaton whch can dsturb the process of data analyss. It also could be seen as unusual observaton. It causes the volaton of normalty error assumpton n regresson analyss, so that t should be detected usng dagnostc method. Generally, there are several cases of outler such as upper outler, lower outler, outler occur near the center of data and upper-lower outler. Each of those cases gves dfferent effect to lnear regresson model parameter estmates. Because the unusual observaton may be detected as outler, hgh leverage pont or nfluental observaton. Based on the result, outler and nfluental observaton gve sgnfcant effect toward ntercept, slope, R and s. Keywords Regresson, Outlers, Influental Observaton, Dagnostc Abstrak Penclan merupakan suatu pengamatan yang keberadaannya dapat menggangu proses analss data. Penclan menyebabkan asums kenormalan galat dalam analss regres tdak terpenuh, sehngga perlu dlakukan pendeteksan keberadaan penclan n menggunakan metode dagnostk. Secara umum, terdapat beberapa kasus penclan, d antaranya penclan atas, penclan bawah, penclan yang mendekat pusat data serta penclan atas-bawah. Masng-masng dar kasus penclan tersebut memberkan pengaruh yang berbeda-beda terhadap pendugaan parameter dalam model regres lner. Karena bsa jad penclan tersebut terdeteks sebaga outler, hgh leverage pont maupun pengamatan berpengaruh. Berdasarkan hasl yang dperoleh, penclan dan pengamatan berpengaruh memberkan pengaruh yang sgnfkan terhadap perubahan nla ntercept, slope, R maupun s. Kata Kunc Regres, Penclan, Pengamatan berpengaruh, Dagnostk PENDAHULUAN Masalah yang serng muncul dalam analss regres adalah dtemukannya satu atau beberapa ttk data berada jauh dar pola data pada umumnya atau yang basa dsebut sebaga penclan. Penclan basanya tmbul karena kesalahan pada sstem pengukuran, kesalahan dalam mengnputkan data atau pun karena data tersebut memang merupakan suatu kejadan yang tdak basa. Keberadaan penclan dapat mengganggu proses analss data terutama karena asums kenormalan galat tdak lag terpenuh, sehngga perlu dlakukan pendeteksan keberadaan penclan n menggunakan metode dagnostk karena bsa jad penclan tersebut terdeteks sebaga outler, hgh leverage pont maupun pengamatan berpengaruh [6]. Secara umum ada beberapa kasus penclan yang terjad d dalam data. Beberapa kasus tu antara lan penclan yang terjad d sektar pusat data, penclan atas, penclan bawah, serta penclan atas-bawah [1]. Masngmasng dar kasus penclan tersebut memberkan pengaruh yang berbeda-beda terhadap pendugaan parameter dalam model regres lner. Seberapa besar pengaruh penclan tersebut dapat dketahu dengan melakukan eksploras untuk masng-masng kasus penclan. Dketahu model regres lner adalah: y Xβ ε (1) dmana y merupakan vektor peubah respons berukuran n 1, X adalah matrks peubah bebas berukuran n p untuk n menyatakan jumlah pengamatan dan p menyatakan jumlah parameter, β adalah vektor parameter berukuran p 1dan ε adalah vektor galat berukuran n 1 dengan rataan nol dan ragam σ. Dengan menggunakan metode kuadrat terkecl dperoleh dugaan parameter untuk β adalah: 1 b ( XX) Xy () Msalkan penduga dar y adalah ŷ, maka: Xb (3) Jka persamaan () dsubsttuskan ke persamaan (3), maka: 1 X( XX) Xy Hy (4) 67

2 1 dmana H X( XX) X. H dsebut sebaga matrks top yang mempunya ukuran n n. H dgunakan untuk mendeteks keberadaan hgh leverage pont dmana suatu pengamatan ke- dapat dcurga sebaga hgh leverage pont apabla h p n untuk p menyatakan jumlah parameter dan n menyatakan jumlah pengamatan [3]. Besarnya nla h adalah: h ( XX) (5) 1 untuk menyatakan setap bars ke- dar X. Ssaan pada model regres lner ddefnskan sebaga: e y (6) Ssaan yang dgunakan untuk mendeteks keberadaan outler adalah eternally studentzed resdual atau basa juga dsebut sebaga R-student yang ddefnskan sebaga: e t (7) s h 1 dmana s adalah smpangan baku yang dhtung tanpa mengkutsertakan pengamatan ke-, dengan nla s untuk nla s n 1 n ps e 1 h ( y ) n p n p 1 Suatu pengamatan dcurga sebaga outler apabla pengamatan tersebut memlk nla t t ; n p1 pada taraf nyata []. Pendeteksan pengamatan berpengaruh dtentukan oleh ukuran nla DFFITS, DFBETAS, Cook s Dstance dan Covraso. DFFITS dgunakan untuk mengetahu pengaruh suatu pengamatan ke- terhadap model regres yang dtnjau dar nla ftnya. Besarnya nla DFFITS adalah:. h DFFITS t (8) 1 h Suatu pengamatan ke- dkatakan berpengaruh terhadap nla ftnya apabla pengamatan tersebut memlk nla DFFITS p n [1]. DFBETAS dgunakan untuk menyatakan pengaruh suatu pengamatan ke- terhadap koefsen ke-j. Besarnya nla DFBETAS adalah: r j, e DFBETAS j, R student (9) rr 1 h j j dmana r j adalah bars ke-j dar R untuk R XX X Suatu pengamatan ke- dkatakan berpengaruh terhadap koefsen ke-j apabla pengamatan tersebut memlk nla DFBETAS n [1]. 1 Cook s D merupakan suatu ukuran pengaruh pengamatan ke- terhadap semua dugaan koefsen regres. Pada Cook s D, pengaruh pengamatan ke- dukur oleh: ( b b ) ( XX)( b b ) D (10) ps dmana b adalah vektor koefsen penduga regres dan b adalah vektor koefsen penduga regres tanpa pengamatan ke- [3]. Suatu pengamatan ke- akan berpengaruh pada model regres lner jka nla D F, p, n p dengan taraf nyata. COVRATIO merupakan suatu ukuran yang menggambarkan pengaruh suatu pengamatan ke- terhadap keteltan estmasnya []. Untuk menghtung nla COVRATIO setap pengamatan ke- dtentukan oleh: p ( s ) 1 COVRATIO p KTG (11) 1 h dmana KTG adalah kuadrat tengah galat yang besar nlanya adalah e ( n p). n 1 D antara ke empat ukuran tersebut tdak ada ukuran yang lebh peka dbandngkan yang lannya dalam menentukan pengamatan berpengaruh. Semuanya tergantung pada sudut pandang dan tujuan dalam menentukan pengamatan yang berpengaruh [4]. METODE Data yang dgunakan dalam peneltan n merupakan data smulas yang dbangktkan untuk setap kasus penclan. Banyaknya pengamatan yang dgunakan untuk setap kasus adalah n 30 dan banyaknya parameter adalah p. Langkah kerja yang dlakukan pertama kal adalah membangun model regres lner untuk setap kasus penclan. Kedua, menggunakan metode dagnostk untuk mendeteks keberadaan outler, hgh leverage pont dan pengamatan berpengaruh. Ketga, membentuk model regres dengan tdak mengkutsertakan pengamatan yang terdeteks sebaga outler, hgh leverage pont dan pengamatan berpengaruh. Melhat perubahan yang terjad antara sebelum dan setelah menggunakan metode dagnostk, kemudan menentukan pengaruh penclan dan pengamatan tersebut terhadap pendugaan parameter dalam model regres lner. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Kasus Penclan Atas Pada kasus penclan atas, pengamatan yang dbangktkan sebaga penclan merupakan pengamatan yang nla peubah respons dan peubah bebasnya jauh lebh besar dbandngkan pengamatan yang lan. Penclan berada d ujung mendekat gars regres, jauh dar sebaran data lannya serta berpengaruh terhadap pendugaan 68

3 parameter dalam model regres lner. Plot data untuk kasus penclan atas adalah sebaga berkut: y Scatterplot of y vs 10 Gambar.1 Plot Data Untuk Kasus Penclan Atas Dugaan model awalnya adalah: 9,353 0, 7899 dengan R 98,1 % dan s 8, 19. Selanjutnya melakukan pendeteksan penclan pengamatan berpengaruh menggunakan metode dagnostk yang haslnya dapat dlhat pada Tabel I. Jka nla t t / ; n p1, maka pengamatan ke- adalah pengamatan outler. Dengan mengambl taraf nyata 0, 05, maka batasan nla untuk t 0,05 / ; 7 berdasarkan tabel-t adalah,05. Pada kasus penclan atas, pengamatan yang nla t besar dar,05 adalah pengamatan ke-30 dengan t 30 3, Jka nla 1 h p n 0,1333, maka pengamatan ke- adalah pengamatan hgh leverage pont. Pengamatan yang nlanya melebh dar 0,1333 adalah pengamatan ke-30 dengan h 30 0, Selanjutnya, jka batasan nla untuk DFFITS p / n 0, 5164 maka pengamatan ke- merupakan pengamatan berpengaruh. Berdasarkan tabel pengamatan yang nlanya besar dar 0,5164 adalah pengamatan ke-30. Dengan demkan, pengamatan ke-30 merupakan pengamatan yang terdeteks sebaga outler, hgh leverage pont sekalgus pengamatan berpengaruh. Untuk melhat seberapa besar pengaruh yang dberkan oleh pengamatan ke-30 terhadap model regres dapat dketahu dengan cara menghlangkannya dar data. Adapun hasl yang dperoleh antara sebelum dan setelah pengamatan ke-30 dhlangkan dapat dlhat pada Tabel II. Dugaan model untuk data tanpa mengkutsertakan pengamatan ke-30 adalah: 31,479 0, 7499 Dkeluarkannya pengamatan ke-30 dar data memberkan pengaruh terhadap b 1 dan s karena perubahan yang terjad pada keduanya lebh besar dbandngkan pada b 0 dan R. R pada model regres data lengkap adalah 98,1%, setelah pengamatan ke-30 dhlangkan nla n menurun menjad 97,9%. Sedangkan s pada data lengkap adalah 8,195 dan setelah pengamatan ke-30 dkeluarkan menurun menjad 5,883. Penurunan yang lebh besar pada s dbandngkan pada R menunjukkan bahwa model regres untuk data tanpa pengamatan ke-30, yatu pengamatan yang terdeteks sebaga outler, hgh leverage pont dan pengamatan berpengaruh lebh bak dar model regres dengan data lengkap untuk kasus penclan atas. TABEL I HASIL PERHITUNGAN METODE DIAGNOSTIK UNTUK KASUS PENCILAN ATAS y t h DFFITS y t h DFFITS

4 TABEL II HASIL ANALISIS KETIKA PENGAMATAN KE-30 DIHILANGKAN PADA KASUS PENCILAN ATAS 110 Scatterplot of y vs Pembeda Sebelum 30 Dhlangkan Setelah 30 Dhlangkan Outler 30 - Hgh Leverage Pont 30 - Pengamatan Berpengaruh 30 - Intercept ( b 0 ) 9,353 31,479 Slope ( b 1 ) 0, ,74985 s 8,19 5,883 R 98,1% 97,9% B. Kasus Penclan yang Mendekat Pusat Data Pada kasus penclan yang mendekat pusat data, pengamatan yang dbangktkan sebaga penclan merupakan pengamatan yang nla peubah bebasnya adalah nla rataannya sendr atau yang mendekat nla rataannya. Sedangkan nla peubah bebasnya jauh lebh besar dbandngkan pengamatan yang lan. Pengamatan sepert n merupakan penclan yang terdeteks sebaga outler namun bukan hgh leverage pont. Gambar. menunjukkan plot data untuk kasus penclan yang mendekat pusat data. Dugaan model awalnya adalah: 3,0 0, 755 dengan R 91,3% dan s 8, y 0 30 Gambar. Plot Data Untuk Kasus Penclan yang Mendekat Pusat Data Hasl pendeteksan penclan dan pengamatan berpengaruh menggunakan metode dagnostk untuk kasus penclan yang mendekat pusat data dapat dlhat pada Tabel III. Karena jumlah data yang dgunakan pada kasus penclan yang mendekat pusat data n sama dengan kasus penclan atas, maka batasan nla untuk t h dan DFFITS yang dgunakan juga sama. Pengamatan yang terdeteks sebaga outler adalah pengamatan ke-15 dengan t 15 10, 33 karena nla t nya besar dar,05. Sedangkan pengamatan yang terdeteks sebaga hgh leverage pont tdak ada karena tdak ada nla h yang besar dar 0,1333. Pengamatan yang terdeteks sebaga pengamatan berpengaruh adalah pengamatan ke-15 dengan DFFITS 15 1, 9169 karena nla DFFITS nya besar dar 0,5164. Dengan demkan, y t TABEL III HASIL PERHITUNGAN METODE DIAGNOSTIK UNTUK KASUS PENCILAN ATAS h DFFITS y t h DFFITS

5 pengamatan ke-15 merupakan pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh. Untuk melhat seberapa besar pengaruh yang dberkan oleh pengamatan ke-15 terhadap model regres dapat dketahu dengan cara menghlangkannya dar data. Dugaan model untuk data tanpa mengkutsertakan pengamatan ke-15 adalah: 31,173 0, 7553 Adapun hasl yang dperoleh antara sebelum dan setelah pengamatan ke-15 dhlangkan dapat dlhat pada Tabel IV. TABEL IV HASIL ANALISIS KETIKA PENGAMATAN KE-15 DIHILANGKAN PADA KASUS PENCILAN MENDEKATI PUSAT DATA Pembeda Sebelum 15 Dhlangkan Setelah 15 Dhlangkan Outler 15 - Hgh Leverage Pont - - Pengamatan Berpengaruh 15 - Intercept b ) 3,048 31,173 ( 0 Slope ( b 1 ) 0, ,7559 s 8,1595 5,883 R 91,3% 98,1% Dkeluarkannya pengamatan ke-15 dar data memberkan pengaruh yang besar terhadap s dan R. R pada model regres data lengkap adalah 91,3%, setelah pengamatan ke-15 dhlangkan nla n nak menjad 98,1%. Sedangkan s pada data lengkap adalah 8,1595 dan setelah pengamatan ke-15 dkeluarkan menurun menjad 5,883. Penurunan yang besar pada s dan kenakan pada R menunjukkan bahwa model regres untuk data tanpa pengamatan ke-15, yatu pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh lebh bak dar model regres dengan data lengkap untuk kasus penclan yang mendekat pusat data. C. Kasus Penclan Atas-Bawah Pada kasus penclan atas-bawah, pengamatan yang dbangktkan sebaga penclan merupakan pengamatan yang nla peubah responsnya satu lebh besar dan satunya lag lebh kecl dbandngkan pengamatan lannya. Penclan sepert n merupakan pengamatan penclan yang sepenuhnya mempengaruh dugaan parameter dalam model regres lner. Plot data untuk kasus penclan atasbawah adalah sebaga berkut: y Scatterplot of y vs Gambar.3 Plot Data Untuk Kasus Penclan Atas-Bawah Dugaan model awalnya adalah: 1,4 0, 914 dengan R 8,0% dan s 95, Hasl pendeteksan penclan dan pengamatan berpengaruh menggunakan metode dagnostk untuk kasus penclan yang mendekat pusat data dapat dlhat pada Tabel V. TABEL V HASIL PERHITUNGAN METODE DIAGNOSTIK UNTUK KASUS PENCILAN ATAS-BAWAH y t h DFFITS y t h DFFITS

6 TABEL VI HASIL ANALISIS KETIKA PENGAMATAN KE-4 DAN PENGAMATAN KE-8 DIHILANGKAN PADA KASUS PENCILAN ATAS-BAWAH Sebelum Pengamatan Setelah Dhlangkan Pembeda ke-4 dan ke-8 Dhlangkan 4 saja 8 saja 4 dan 8 Outler 4 dan Hgh Leverage Pont Pengamatan Berpengaruh 4 dan Intercept ( b 0 ) 1,369 8,159 3,993 31,0 Slope ( b 1 ) 0,9136 0,845 0,8539 0, s 95, ,9,053 5,939 R 8,0%,3% 84,0% 97,9% Pengamatan yang terdeteks sebaga outler adalah pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8 yang memlk nla t 4 6, 75 dan nla t 8 3, 3156 yang keduanya lebh besar dar,05. Sedangkan pengamatan yang terdeteks sebaga hgh leverage pont pada smulas data ketga n tdak ada karena tdak ada nla h yang lebh besar dar 0,1333. Pengamatan yang terdeteks sebaga pengamatan berpengaruh adalah pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8 dengan nla DFFITS 4, 1861 dan nla DFFITS 8 1, 03 dmana keduanya lebh besar dar 0,5164. Dengan demkan, pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8 merupakan pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh, tetap tdak terdeteks sebaga hgh leverage pont. Untuk melhat seberapa besar pengaruh yang dberkan oleh pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8 terhadap model regres dapat dketahu dengan cara menghlangkannya dar data. Adapun hasl yang dperoleh antara sebelum dan setelah pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8 dhlangkan dapat dlhat pada Tabel VI. Dugaan model untuk data tanpa mengkutsertakan pengamatan ke-4 dan ke-8 adalah: 31,0 0, 7 Dkeluarkannya pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8 dar data memberkan pengaruh yang besar terhadap b 0, s maupun R. Sebelum pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8 dhlangkan nla s nya adalah 95,0543. Namun setelah dhlangkan nla s nya berkurang menjad 5,939. Jka pada model dengan data lengkap R nya adalah 8%, namun pada model setelah pengamatan ke-4 dan ke-8 dhlangkan nlanya berkurang menjad 97,9%. Adanya penurunan nla yang lebh besar pada s dbandngkan pada R menunjukkan bahwa model regres untuk data tanpa pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8, yatu pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh lebh bak dar model regres dengan data lengkap untuk kasus penclan atas-bawah. D. Kasus Penclan Bawah Pada kasus penclan bawah, pengamatan yang dbangktkan sebaga penclan merupakan pengamatan yang nla peubah respons jauh lebh kecl dbandngkan pengamatan lannya. Pengamatan penclan berada d ujung bawah gars regres. Pengamatan sepert n memuat nformas pentng dalam membangun model regres lner. Plot data untuk kasus penclan atas-bawah terdapat pada Gambar.4 dmana dugaan model awalnya adalah: 5,455 0, 830 dengan R 8,0% dan s 95, y Scatterplot of y vs Gambar.4 Plot Data Untuk Kasus Penclan Bawah Selanjutnya melakukan pendeteksan penclan pengamatan berpengaruh pada kasus penclan bawah menggunakan metode dagnostk yang haslnya dapat dlhat pada Tabel VII. Pengamatan yang terdeteks sebaga outler adalah pengamatan ke- dengan t 14,849 karena nla t nya besar dar,05. Sedangkan pengamatan yang terdeteks sebaga hgh leverage pont tdak ada karena tdak ada nla h yang besar dar 0,1333. Pengamatan yang terdeteks sebaga pengamatan berpengaruh adalah pengamatan ke- dengan DFFITS 5,044 karena nla DFFITS nya besar dar 0,

7 y t TABEL VII HASIL PERHITUNGAN METODE DIAGNOSTIK UNTUK KASUS PENCILAN BAWAH h DFFITS y t h DFFITS Dengan demkan, pengamatan ke- merupakan pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh. Untuk melhat seberapa besar pengaruh yang dberkan oleh pengamatan ke- terhadap model regres dapat dketahu dengan cara menghlangkannya dar data. Dugaan model untuk data tanpa mengkutsertakan pengamatan ke- adalah: 31,783 0, 7474 Adapun hasl yang dperoleh antara sebelum dan setelah pengamatan ke-4 dan pengamatan ke-8 dhlangkan dapat dlhat pada Tabel VIII. TABEL VIII HASIL ANALISIS KETIKA PENGAMATAN KE- DIHILANGKAN PADA KASUS PENCILAN BAWAH Pembeda Sebelum Dhlangkan Setelah Dhlangkan Outler - Hgh Leverage Pont - 1 Pengamatan Berpengaruh - Intercept b ) 5,455 31,783 ( 0 Slope ( b 1 ) 0, ,74736 s 48,774 5,5179 R 88% 98% R pada model regres data lengkap pada kasus penclan bawah n adalah 88%, setelah pengamatan ke- dhlangkan nla n nak menjad 98%. Sedangkan pada data lengkap adalah 48,774, namun setelah pengamatan ke- dkeluarkan nla s nya menurun s menjad 5,5179. Penurunan yang besar pada s dan kenakan pada R menunjukkan bahwa model regres untuk data tanpa pengamatan ke-, yatu pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh lebh bak dar model regres dengan data lengkap untuk kasus penclan bawah. SIMPULAN Berdasarkan hasl eksploras dar beberapa kasus data menggunakan metode dagnostk pada bab sebelumnya, maka dapat dambl kesmpulan sebaga berkut: 1. Pada kasus penclan atas, pengamatan yang terdeteks sebaga outler, hgh leverage pont dan pengamatan berpengaruh memberkan pengaruh terhadap ntercept sebesar 7,4% dan s sebesar 8,88%.. Pada kasus penclan yang mendekat pusat, pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh memberkan pengaruh terhadap s sebesar 79,3% dan R sebesar 6,8%. 3. Pada kasus penclan atas-bawah, pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh memberkan pengaruh terhadap ntercept sebesar 45,35%, slope sebesar 16,81%, s sebesar 93,76% dan R sebesar 15,9%. 4. Pada kasus penclan bawah, pengamatan yang terdeteks sebaga outler dan pengamatan berpengaruh memberkan pengaruh terhadap ntercept sebesar 4,86%, slope sebesar 10,17%, s sebesar 88,69 % dan R sebesar 10%. 73

8 REFERENSI [1] Belsley, Davd A., Kuh, Edwn & Welsch, Roy E Regresson Dagnostcs. New York: John Wley & Sons. [] Montgomery, C. Douglas, Elzabeth, A. Peck & Geofferey, Vnng Introducton to Lnear Regresson Analyss Fourth Edton. New York: John Wley & Sons. [3] Myers, Raymond H. 19. Classcal and Modern Regresson wth Applcatons. Boston: PWS-KENT Publshng Company. [4] Anggeran, Nova Dah Analss Kepekaan Dalam Menentukan Pengamatan Berpengaruh Pada Analss Regres Melalu Smulas Data. Tugas Akhr. Padang: UNP. [5] Indra, Sally Pendeteksan Penclan dan Pengamatan Berpengaruh pada Beberapa Kasus Data Menggunakan Metode Dagnostk. Tugas Akhr. Padang: UNP. [6] Seber, George A. F. & Lee, Alan J Lnear Regresson Analyss. New York: John Wley & Sons. 74