KORESPONDENSI PARABOLIK-ELIPTIK BERDASARKAN PENDEKATAN BEDA HINGGA TERHADAP PERSAMAAN PANAS

Transkripsi

1 KORESPONDENSI PARABOLIK-ELIPTIK BERDASARKAN PENDEKATAN BEDA HINGGA TERHADAP PERSAMAAN PANAS Kara Zan * M Nasr Bsam Maasswa Program S Maemaa Dosen Jrsan Maemaa Falas Maemaa Ilm Pengeaan Alam Unversas Ra Kamps Bnawda Peanbar 89 Indonesa * Karazanzdaoocom ABSTRACT Paral derenal eqaons can be clased no parabolc ellpc and perbolc eqaons In s arcle we dscss e correspondence beween parabolc and ellpc eqaons o e ea eqaon as seen rom e ea low Sppose saes e emperare on e obec I e wo-dmensonal ea eqaon s no aeced b e mes e ea low n sead sae and parabolc eqaons become ellpc eqaons To solve e ea eqaon we can be sed w e ne derence meod and e alernang drecon mplc Kewords: alernang drecon mplc meod ne derence meod ABSTRAK Persamaan derensal parsal dapa berben persamaan parabol elp perbol Dalam arel n dbaas enang orespondens anara persamaan parabol elp eradap persamaan panas ang dla dar alran panasna Msalan menaaan s pada benda Ja pada persamaan panas berdmens da da dpengar ole wa maa alran panas dalam eadaan sabl persamaan parabol menad persamaan elp Un menelesaan persamaan panas dapa dgnaan dengan meode beda ngga alernang drecon mplc Kaa nc : meode alernang drecon mplc meode beda ngga PENDAHULUAN Persamaan derensal adala sa persamaan ang mengandng ngs rnanna ang da dea Ja erdapa sa varabel bebas (sngle ndependen varabel) rnanna merpaan rnan basa maa dseb dengan persamaan derensal basa a erdapa da aa leb varabel bebas rnanna adala rnan parsal maa persamaanna dseb dengan persamaan derensal parsal Persamaan derensal parsal menr nla oesenna dbedaan aas ga persamaan a persamaan parabol elp persamaan perbol Pada arel n penls membaas mengena orespondens anara persamaan parabol-elp dalam persamaan panas ang dla pada alran panasna Alran JOM FMIPA Volme No Oober 8

2 panas n adala mla panas ang elar aa mas dar seba benda secara ana ang dsebaban aa perpndaan energ ang erad arena aa perbedaaan s ara benda Persamaan alran panas dapa dgnaan n mengng permasalaan alran panas pada persamaan panas dmens sa Ber dberan persamaan alran panas dmens sa () dmana adala s pada benda Persamaan alran panas pada dmens sa pada persamaan () evalen dengan persamaan alran panas pada dmens da ang dberan pada persamaan ber () Ja pada persamaan () dpengar ole wa maa alran panas pada persamaan () n berada dalam eadaan da sabl Dalam ass n persamaan () adala persamaan parabol dalam ben dmens da ang pna ga varabel bebas a Ja pada persamaan () da dpengar wa maa alran panas dalam eadaan sabl sengga persamaanna menad persamaan elp aa peramaan (Laplace) seper persamaan ber Penelesaan persamaan panas dapa dlaan secara anal aa secara nmer Un ass eren dgnaan penelesaan nmer sebaga pendeaan n anal Un memperole sols nmer dar orespondens parabol-elp pada persamaan panas dapa dselesaan dengan sala sa meode a dengan meode beda ngga Meode beda ngga dapa dlaan seela proses dsrsas dengan membag bg ang menad sasaran dengan memba arngan - Pada arel n d bagan dbaas enang meode beda ngga d bagan dbaas enang alernang drecon mplc selanna pada bagan erar dbaas orespondens persamaan Parabol-Elp ang merpaan revew dar arel Mod Salles Sam and Norma Aalas [] METODE FINITE DIFFERENCE Msalan varabel ang berpengar adala maa n memben pola arngan -na dengan cara membag nerval pada smb menad semla n JOM FMIPA Volme No Oober 9

3 JOM FMIPA Volme No Oober sbnerval ang panangna membag nerval pada smb menad semla m sbnerval ang panangna Jmla n ga berpengar pada earaan asl Dar Dere Talor da varabel n d perole 6 O () 6 O () ssn lang pada persamaan () () dperole ormla orward derence bacward derence n rnan perama eradap berr-r O O Laan operas pengrangan eradap persamaan () dengan persamaan () maa dperole ormla cenral derence n rnan perama eradap O aa bsa dls dengan O Semenara a persamaan () dengan persamaan () dlaan operas penmlaan O maa dperole ormla cenral derence n rnan eda eradap O

4 JOM FMIPA Volme No Oober Ja solsna dmsalan dengan noas ndes ganda n n m maa eselr ormla ad dapa dls sebaga ber Laan langa ang sama n maa dperole sebaga ber Pendeaan beda ngga n rnan aa orde ang leb ngg dapa dcar dengan mengambl leb bana s pada dere Talor-na METODE ALTERNATING DIRECTION IMPLICIT Dalam maemaa meode Alernang Drecon Implc (ADI) adala meode beda ngga n memecaan persamaan derensal parsal parabol perbol elp Meode ADI dgnaan n menelesaan masala onds panas aa menelesaan persamaan ds dmens Sebaga cono [] n n U U (5) dar persamaan (5) dapa dbag

5 n U * n n* U U U n dmana noas gambar n* U adala pendeaan pada perengaan wa seper erla pada Gambar : T baas n meode ADI Ummna meode alernang drecon mplc dgnaan Doglas Racord [] pada dmens da dalam ben n* U U n n* n* n U U U (6) selanna elmnas n* U pada persamaan (6) maa dperole n n U U Pada persamaan (7) sesa dengan persamaan derensal a n pendeaan n (7) n* U dpang sebaga U gala pemoongan (rncaon error) adala O JOM FMIPA Volme No Oober

6 JOM FMIPA Volme No Oober PEMBENTUKAN BEDA HINGGA SATU DIMENSI DAN DIMENSI DUA Dberan persamaan panas sa dmens (8) Langa berna adala memben persamaan ne derence-na dengan mensbssan ormla cenral derence n rnan perama eradap ormla cenral derence n rnan eda eradap epersamaan onds panas (8) dperole (9) dengan maa persamaan (9) menad Selanna aan d baas mengena persamaan alran panas dmens da Pada persamaan alran panas dmens da dpengar ole wa dmana adala s pada benda sengga persamaan alran panasna dalam eadaan sabl Persamaan alran panas n merpaan persamaan parabol dmens da dengan ga varabel Persamaan (9) dalam eadaan sabl ara pada persamaan derensal ber () Anara persamaan alran panas dmens sa dengan persamaan alran panas dmens da aa eevalenan maa n persamaan alran panas pada dmens da dberan sebaga ber () pada persamaan () dberan sebaga ber

7 JOM FMIPA Volme No Oober 9 9 () persamaan () dapa d raan sebaga ber n memen meode ADI / / dmana KORESPONDENSI PARABOLIK-ELIPTIK PADA PERSAMAAN PANAS DIMENSI DUA Dar ang sda dbaas sebelmna maa n orespondens parabol-elp dapa dla dar alran panasna Alran panas erad arena aa perbedaan s ara benda Dar persamaan () persamaan () dperole ma a persamaan ADI dberan sebaga ber /

8 JOM FMIPA Volme No Oober 5 / Ja da dpengar ole wa maa alran panas dalam onds ang sabl maa persamaan parabol () menad persamaan ellp (persamaan Laplace) () dengan menggnaan meode ADI maa sols dar persamaan () dperole sebaga ber * r r ) ( p ) ( * ) ( p p r r 5 KESIMPULAN Bedasaran pembaasan ang ela demaan maa dapa dsmplan bawa orespondens anara persamaan parabol-elp dla dar alran panas Persamaan alran panas dapa menelesaan permasalaan persamaan panas beberapa dmens sala sana pada dmens sa Persamaan panas dmens sa evalen dengan persamaan panas dmens da Pada persamaan panas dmens da a pada aa da dpengar ole wa maa alran panasna dalam eadaan sabl maa persamaan parabol dapa daaan persamaan elp Dengan menggnaan meode beda ngga rnan perama rnan eda cenral derence ang memen sara meode ADI maa ddapa sols dar persamaan elp

9 6 DAFTAR PUSTAKA [] Capra S C & R P Canale Nmercal Meods For Engneers Ed Te McGraw-Hll New Yor [] Moron KW & Maers DF 5 Nmercal Solon o Paral Derenal Eqaons nd Ed Cambrdge Unvers New Yor [] Sam MS Parabolc-Ellpc Correspondence o a Tree-Level Fne Derence Appromaon o e Hea Eqaon Bll Malasan Ma Sc Soc (Second Seres) 6 : JOM FMIPA Volme No Oober 6