DEFORMASI INTERAKSI DUA PAKET GELOMBANG DARI PERSAMAAN IMPROVED KdV (IKdV)

Transkripsi

1 DEFORMASI INTERAKSI DUA PAKET GELOMBANG DARI PERSAMAAN IMPROVED KdV (IKdV Sutmn Jurusan Matemata FMIPA Unverstas Dponegoro Jl Prof H Soedarto SH Tembalang, Semarang 575 E-mal: su_tmn@yahoocom Abstract: Here, We wll study the nonlnear two waves pacet nteracton The two waves pacet s modeled by Improved Koreteweg de-vres (IKdV euaton The prmary ampltudes are modulated by two-solton of the nonlnear Schrődnger (NLS euaton In ths paper, we analyzed the nteracton patterns of the two waves pacet at the pea nteracton We have shown here, that durng under gong to the nteracton regon, the deformaton of ampltudes profle wll be occurred The large deformaton s characterzed by the rato of the ampltudes parameter and the wave numbers of each wave pacets The symmetry nteracton also can be analyzed by the characterzaton of the parameters Keywords: Improved KdV (IKdV, Solton, Nonlnear Schrődnger (NLS PENDAHULUAN Paper n membahas masalah nteras paet gelombang talner dar persamaan Improved Korteweg-de Vres (IKdV Dua paet gelombang yang yang merambat dengan ecepatan grup yang berbeda aan mengalam tumbuan, dalam hal n dataan nteras Selama proses menuu daerah nteras n, ndvdu paet gelombang aan mengalam deformas selama perambatannya menuu punca nteras Masalah n dmotvas oleh epermen pengamatan yang dlauan oleh [3] melalu pembangtan paet gelombang bromat Paet gelombang n mendsrpsan superposs dua gelombang monoromat dengan ampltudo sama tetap ada perbedaan sedt blangan gelombangnya Berdasaran pengamatan n, sgnal yang semula berbentu paet gelombang bromat d pembangt gelombang, emu terad dstors dar paet gelombang n dalam perambatannya Dalam analss n dembangan fenomena paet gelombang ta lner Kaan n memanfaatan perlau solton sebaga ampltudo paet gelombang Paet gelombang n dmodelan oleh selesaan paet gelombang dua solton dar persamaan IKdV Secara analt nteras paet gelombang dar persamaan IKdV dengan ampltudonya ddasaran pada persamaan NLS telah da oleh [4] [] (dengan memperhatan ampltudo sama, yatu Dalam tulsan n dttberatan pada dentfas parameter yang menentuan nteras dua paet gelombang berbentu smetrs pada punca nteras Dan mengonstrus secara analt profl nteras n berdasaran smulas numer MODEL PAKET GELOMBANG Model persamaan gelombang permuaan ar drepresentasan oleh Improved Korteweg-de Vres (IKdV Dalam bentu varabel tanpa dmens dnyataan oleh, ( 3 t u x Ru+ u 4 ( dmana u ( t menyataan elevas gelombang permuaan R adalah operator pseudo dferensal yang menelasan sfat dspers [5], dnyataan dalam smbol R ˆ tanh( / Persamaan ( meml sfat dspersf yang ba untu gelombang lner permuaan ar, bahan sfat 44

2 Sutmn (Deformas Interas Dua Paet Gelombang dar Persamaan Improved Kdv (IKdV dspersf gelombang lner permuaan ar sepenuhnya terwal Model satu paet gelombang untu persamaan IKdV dnyataan dalam bentu, θ u( t { A (, τ e } + hot + c c ( dengan mengambl ampltudo paet gelombang berbentu -solton persmaan NLS sebaga, τ β exp( βt (3 Maa satu paet gelombang dar persamaan IKdV, dnyataan oleh β u( t sech( cos( Θ(, + p, (4 dengan Θ(, x ϖt ϖ Ω( + β Profl satu paet gelombang untu persamaan IKdV dapat dgambaran dbawah n, Gambar Profl satu paet gelombang IKdV Model dua paet gelombang untu persamaan IKdV dalam oordnat beralan yang berbeda, dberan oleh Ansatz θ (, { (, θ u x t A (, τ e + A τ e } + hot + c c (5 dmana θ x Ω( t,, Untu menelasan proses nteras maa model n harus dnyataan dalam oordnat yang sama Hubungan n dapat dnyataan oleh + c βτ, dmana c adalah parameter freuens gelombang ampltudo dar paet gelombang e-, β adalah oefsen dspers pada persamaan NLS Sehngga dperoleh model paet gelombang sebaga berut, θ u( t, τ e + hot + c c (6 dmana A (, τ menyataan suatu ampltudo bernla omples yang berbentu dua solton dar persamaan NLS yang merambat dengan varas lamban, bla dbandng dengan oslas gelombang pembawa dengan f a s e θ x Ω( t, d en gan ( x Ω ( t menyataan oordnat bergera yang bervaras lamban oordnat watu lamban τ t, segan Ω ( adalah freuens gelombang pembawa yang memenuh relas dspers esa [4] Ω ( tanh, blangan gelombang bergantung pada Ampltudo omples, τ persamaan (6 adalah selesaan dua solton yang memenuh persamaan NLS, τ A + β A + A A (7 Ampltudo dua paet gelombang pada saat berauhan dapat dnyataan sebaga superposs dua ndvdu solton 3 DUA PAKET GELOMBANG Selesaan dua solton dar persamaan NLS telah da oleh [] Selesaan n uga dapat dnyataan sebaga superposs dar dua fungs omples dengan masng masng meml ampltudo fase rl berut n, t β 4, N ( t R Re(exp( I( ψ + ζ3 + Φ3 + θ (3 dmana, N( t e cosh( cosh( R 4 + ( + + ( c c α e cosh( cos(φ 3 tan( ς tanh( + tan( Φ, + tanα c c 45

3 Jurnal Matemata Vol 9, No, Aprl 6:44-48 ( + ( c c ln, ( + + ( c c tan ( c c Φ + ( ( c c Profl ampltudo pada punca nteras yang dnyataan oleh selesaan dua solton persamaan NLS telah dberan [], dalam bentu fungs ampltudo fase rl berut n, A ( t dmana, R( t Γ, β R( t N( t exp( IΨ ( t (3 Γ R + R + R R + ς ς + α R R Ψ( t ( Θ + Θ + arctan( R + R tan ( ψ + ς ς + α, + Φ Θ 3 + ς 3 ψ, ψ c + β ( c τ + p,, Strutur ampltudo paet gelombang pada saat berauhan dapat delasan sebaga berut Untu, onstan:, τ β + exp( I ( ψ + Φ + θ Untu, onstan,, τ β exp( ( ψ + Φ + + θ Untu, pada onstan, β, τ exp( I ( ψ θ + θ v Untu, pada onstan,, τ β exp( ( ψ θ + θ Pada saat yang terpsah auh selesaan dua solton dnyataan sebaga superposs dar satu ndvdu solton Maa nteras dua paet gelombang pada saat terpsah auh dpang sebaga superposs dua ndvdu paet gelombang Strutur ampltudo paet gelombang pada saat terpsah auh dapat dtulsan sebaga berut, A (,,, p e tetap u( t,,, p + Φ θ + A (,,, p + Φ e θ tetap + A (,,, p θ tetap θ tetap e, t e, t Dar analss d atas dapat delasan bahwa pada saat terpsah auh dua paet gelombang dnyataan sebaga superposs ndvdu paet gelombang yang masng masng mempunya parameter ampltudo, blangan gelombang, Dua parameter yang lan p, p mempunya hubungan fs sebaga selsh fase, yang aan menentuan proses nteras 4 IDENTIFIKASI PARAMETER Pada saat terpsah ampltudo paet gelombang merambat secara translas Perhatan bahwa oslas modulas seunder meml fase ψ + θ Dengan deman fase ψ + θ harus dnyataan dalam oordnat bergera, dengan + cβτ Persamaan fase n dtulsan embal menad, ψ + θ c + β ( c τ + p x + Ω t + x ( t ( Ω ( Ω ( β ( c + ( ( c + - c β Ω( Ω( + τ + p Untu n harus dtentuan oefsen darτ sama dengan nol Sehngga dperoleh persamaan untu c yang bergantung pada, dengan blangan gelombang dplh sebaga ( + Maa per- 46

4 Sutmn (Deformas Interas Dua Paet Gelombang dar Persamaan Improved Kdv (IKdV samaan untu c, memenuh fungs mplst berut n, Ω ( c β Ω( Ω( β( c + ( ( + (4 Dengan deman fase dar ndvdu gelombang ampltudo hanya tergantung pada oordnat beralan,, In menunuan bahwa ampltudo A (, τ beralan secara translas Selanutnya dengan pemlhan parameter tersebut alss profl nteras yang berbentu smetrs dsetar punca nteras Pada punca nteras berlau persamaan,, +, Dengan menyelesaan sstem persamaan n dperoleh tt pusat nteras ( x, t pada sstem oordnat fss ( x, t, dmana ( Ω ( Ω ( + cβ cβ x β ( t Untu nteras ampltudo pada punca nteras, terdapat hubu- 4β ngan antara c yang dnyataan oleh c + ( / Dengan melauan transformas oordnat, x x x, maa omponen fase pada formula (5 menad ψ ψ + ( x + p (4 α + x (43 ψ + ς ς + α x + arctan(tan h( x tan Φ arctan(tan h( x tan Φ + p ( ( + x (45 ( x (46 Dengan hasl analss pada persamaan (4 (46 n, menyataan bahwa omponen fungs pada formula (3 tersebut adalah smetrs terhadap x In berart bahwa nteras ampltudo gelombang pada punca nteras adalah smetrs Selsh fase p p, n menentuan profl nteras Untu p p mod(π, menyataan profl nteras n-phase (dalam fase, segan untu p p π mod(π menyataan profl nteras out-of-phase (luar fase Pada nteras ampltudo terdapat dua fungs yang menentuan oslas modulas seunder yatu + α ( x, t cos( x + p (47 yang mempunya panang gelombang π ψ + ζ ζ + α ( x, t cos( x + ζ ζ + p (48 dengan panang gelombang dsetar ( x, t π Kedua fungs n adalah sme- trs pada punca nteras terhadap oordnat x Profl nteras ampltudo tersebut aan lebh rumt untu nla parameter µ + tanα yang lebh ecl Hal n dapat dlhat dengan memperhatan perbedaan sala panang pada proses yang beratan Ada dua sala panang yang menentuan proses nteras Sala panang yang menentuan lebar nterval nteras, yang nlanya berbandng terbal umlah parameter masng masng ampltudo, + Sala panang yang menentuan gelombang modulas, dberan oleh χ π χ nt mod Parameter araterst denal mempunya nla yang sebadng dengan raso antara sala panang modulas sala pan- + ang nteras µ χ nt 5 SIMULASI NUMERIK Profl nteras ampltudo dua paet gelombang dgambaran dengan smulas numer pada, pada saat terpsah auh sebelum nteras sesudah nteras, pada t t yatu pada punca nteras da- χ mod 47

5 Jurnal Matemata Vol 9, No, Aprl 6:44-48 lam oordnat fs ( x, t Dplh dua nla parameter araterst untu µ,, µ 4 4, 4, 5 Gambar Interas dalam fase ( µ, Gambar 3 Interas luar fase ( µ, Gambar 4Interas dalam fase ( µ 4 Gambar 5 Interas luar fase untu 4 µ Selama menuu proses nteras ampltudo paet gelombang merambat secara translas mengalam deformas destors Kemu membentu profl nteras yang berbentu smetrs pada punca nteras 6 PENUTUP Telah dbahas alss nteras ampltudo paet gelombang dar persamaan IKdV dengan ampltudo memenuh persamaan NLS Interas n menelasan secara mplst nteras ta lner dua ndvdu ampltudo paet gelombang Banyanya hump nteras ampltudo dua paet gelombang pada punca nteras dtentuan oleh raso antara parameter sala panang nteras ampltudo sala panang modulas dar nteras gelombang Berenaan dengan nteras dua paet gelombang mash banya masalah yang perlu da yang beratan dengan gelombang pembawa Ucapan Terma Kash Ucapan terma ash dsampaan epada Prof Dr Edy Soewono atas sumbangan pemran Dren DIKTI melalu Hbah Peneltan Kerasama Antar Perguruan Tngg (Hbah Peert dengan nomor ontra: 64/P4T/DPPM/HPTP,PHP /III/4 7 DAFTAR PUSTAKA [] Hrota, R, (973, J Math Phys, 4: 85 [] Nusantara T, (, Tess Dotor, ITB [3] Stansberg CT (997, Proc 3 rd Int Symp on the Ocean Wave Measurement and Analyss, : 7 [4] van Groesen E, T Nusantara and E S o ew ono, (, O p tcal and Quantum Electroncs, 33: 499 [5] Van Groesen E, Andonowat, and E Soewono, (999, Proc Estonan Acad Sc, Phys Math, 48:6 48