Bab III. Plant Nonlinear Dengan Fase Nonminimum

Transkripsi

1 Bab III Plant Nonlnear Dengan Fase Nonmnmum Pada bagan n dbahas mengena penurunan learnng controller untu sstem nonlnear dengan derajat relatf yang detahu Dalam hal n hanya dperhatan pada sstem-sstem nonlnear yang nvaran terhadap watu III Desrps Sstem Perhatan sstem nonlnear yang stabl pada aprosmas pertama d juga masuan pada eadaan stabl: ( ) ( ) () () = () t = f t + g t u t, = y t h t = dan ( 3 ) dmana adalah ndes teras dar ILC, { u} = merupaan barsan masuan, n m m ( t), u ( t), y t, n n f:, g: n n m n m, h: Untu penyederhanaan, perhatan asus derajat relatf r = Tujuan dar learnng adalah untu membangun barsan dar trayetor masuan { sedeman sehngga u u, dmana u ( t) u} = aan menyebaban sstem menuju jalur trayetor yang dngnan ( t ) agar sedeat mungn pada [,T ] dan ( ) ( d ) () () = () t = f t + g t u t, = d d d d d y t h t yang dpenuh untu setap t [, T] d ( 32) Untu model masuan gangguan, persamaan plant (3) dmodfas menjad : d mana ( ) ( ) ( ) () () = () t = f t + g t u t + b t w t, = y t h t ( 33 )

2 Fungs () w t aca dar sstem Asumsan : (A) Fungs f (), (), yang ontnu dan w t n n b: dan merepresentasan determnst dan gangguan yang terbatas secara b() g h( ), h ontnu merupaan fungs yang meml turunan r (A2) ( C ) dmana r = merupaan derajat relatf dar sstem (A3) u L C B r (A4) Sstem stabl pada aprosmas pertama dan masuan untu eadaan stabl (Perhatan bahwa, ja sstem tda stabl, maa sstem mungn bsa dstablan untu daplasan pada metode n) (A5) Sstem meml dnama nol hperbol yatu fase nonmnmumnya tda stabl () (A6) Gangguan w ontnu dbatas oleh, yatu b w ( t) w b Untu suatu sstem, algortma learnng dajuan sepert pada gambar berut N w u () P y ( ) + () - + d dt r u + ( ) + δ u () T DN Gambar III Sema algortma learnng 2

3 III2 Formulas Learnng Controller pada Plant Pada bagan n, aan dturunan learnng controller DN (dtunjuan pada gambar III) dengan lnearsas plant Dar sstem lnear yang stabl pada (33) defnsan suatu masuan e eluaran pada plant nonlnear aprosmas pertama) sebaga berut : P:u y P (stabl pada Ja () t merupaan solus untu persamaan dferensal (33), maa < M < (dengan asums establan masuan e eluaran) Dar eompaan dan eontnuan fungs h dan menggunaan Teorema 45 pada [7]: y Dengan menggunaan aturan ranta ddapat : L = y t h t t Juga dar eterdferensalan, h dan h (asums A), dan menggunaan Teorema 55 pada [7], ddapat : Karena tu Dar Teorema 45 pada [7] ddapat : Oleh arena tu ddapat: P:u y C ( ) C y y L y ( 34) ( 35) P:C L C L Defnsan operator lnear dmana d DT : = d + dt Jad ( δ ) = δ + δ ( 36) DT y y y 3

4 dan δ = y y δ = y y Asumsan r C ( r = adalah derajat relatf) dan L dmana bahwa y d merupaan trayetor eluaran yang dngnan Telah dbutan y C L Karena tu, δ y y C L Dengan alasan yang sama, dapat dataan = δ y = y C L Oleh arena tu DT : δ y δy + δy DT : C L C L Defnsan operator nonlnear N sebaga : ( ) ( δ δ ) N: = DT P :u y + y C L C L ( 37) Operator lnear DN ddefnsan dengan melnearan sstem (33) dsetar (,u,w = = = ) dmana sebaga berut : () () = δ () δ t = Aδ t + bδu t, δ = δ y t C t A: = f ;b : = g ;C: = h ( 38) 4

5 Karena plant stabl pada aprosmas pertama, A adalah Hurwtz d (38), maa δ = dapat dgant dengan δ ± = dan juga tanpa mengubah masuan-eluaran pada pemetaan yang ddefnsan oleh (38) Searang defnsan operator lnear DN sebaga : Jad DN : = DT DP : δu δ y + δ y ( 39 ) DN δ u C + CA δ t + Cbδu t = δ y + δ y dmana δ merupaan solus untu (38) dan Oleh arena tu δ y C L DN :C L C L Operator lnear DN meml nvers, arena r =, Cb (lhat but Lemma 32) Learnng Control ( DN ) ddefnsan oleh persamaan berut : () = () + () + () ( + ) () ( ± ) δ t Aδ t b Cb δy t δy t C CA δ t, δ () δ () δ () = A b Cb C + CA t + b Cb y t + y t () = () + () ( + ) () δu t Cb δy t δy t C CA t = δ ( 3 ) Karena sstem hperbol (asums A5), dengan onds batas bsa ddapatan solus untu sstem d atas menggunaan stable noncausal yang dambl dar pendeatan [3] Karena tu operator lnear DN ddefnsan sebaga: DN : C L C L δ y + δ y δu Notasan δ = d, δ y = y dan δ u = ud u, dan turunan (dengan espans deret Taylor) plant yang dlnearsas dar (33) sebaga berut : 5

6 () + δ () = ( () + δ ) + ( + δ ) +δ ( f ( () t ) + f( () t ) δ () t + g( () t ) + g( () t ) δ() t u() t + δu() t t t f t t g t t u t u t) ( 3 ) Yang ddapat dengan espans deret Taylor dan pengabaan bagan orde yang tngg, dmana Juga f g f t : t ;g t : t ( ()) = ( ()) ( ()) = ( ()) () δ δ y t + y t = h t + t Kurang (3) dar (33) dan dabaan orde yang tnggnya, maa aan ddapatan plant yang dlnearsas d setar solus ( t ) untu (33) sebaga: () () = () = () ( ) δ () () ( ()) () δ t = f t δ t + g t δu t δ + g t t u t b t w t δ () δy t h t t ( 32 ) Karena (38) stabl, dmana n dapat dbutan dengan metode Lyapunov bahwa (37) juga stabl pada masuan terbatas eluaran terbatas, ja tda termasu dalam batas yang dtentuan Perhatan bahwa, dsn δ = juga dapat dgant (sepert d (38)) dengan δ ( ± ) = dan tda mengubah pemetaan masuan-eluaran Defnsan ( ) A : = f t + g t u t ( ) B: = g t ( ) C: = h t ( ) b: = b t Maa sstem lnear yang stabl pada (32) meml solus emudan defnsan pemetaan masuan-eluaran lnear : DP : δu δy u C L C L 6

7 Dapat dbutan () δ ( ) δy t = h t t + h t δ t ( ) δ y C L Defnsan operator lnear DN sebaga : u DN : = DT DP : δ u δ y + δ y u u C L C L ( 33 ) Dalam suatu proses teratve learnng control, sepert yang dtunjuan pada gambar III, pada setap langah learnng e-, masuan ontrol menjad u + = T( u + δu ) Jumlah dar galat pada snyal eluaran yatu u dperbaru dan galat pada turunannya yatu δ = y: y δ y: = y y d menjad masuan untu operator learnng, dmana δ u merupaan eluaran learnngnya Pada bagan n dasumsan bahwa sstem nonlnear meml derajat relatf, hal n dperluan untu mengambl turunan dar eluaran untu membalan sstem Dalam pratenya, pendferensalan hanya dapat daprosmas arena adanya gangguan sensor eluaran Untu menglarfas dsus sebelumnya, parameter fungs aan dtunjuan dalam notas dbawah gars dengan ebergantungan dar watu yang dsebaban eadaan lan yang decualan Searang aturan teratf yang dperbaru dar ILC dapat dtuls dalam stlah operator N dan DN sebaga berut : ( δ ) ( ( δ δ )) ( ) u+ = T u + δu = T u + Cb δy + δy C + CA ( 34 ) = u + T DN y + y = u T DN N u dmana δ merupaan solus untu (33) 7

8 Lemma berut aan menentuan dmana solus nonausal dperluan untu plant yang lnear Lemma 32 Ja suatu sstem nonlnear dengan derajat relatf yang terdefns dengan ba dan dnama nol hperbol merupaan fase nonmnmum (yatu dnama nol tda stabl), plant yang dlnearsas (dengan tt eulbrum (,)) meml zero yang tda stabl But : Perhatan sstem nonlnear yang dberan oleh : = f + g u y = h h ( 35) dengan derajat relatf terdefns untu r n Msalan bentu normal dar sstem d atas dberan oleh ξ = ξ2 ξ = ξ 2 3 = ξr = b ξη + a ξη u η = q y = ξ (, ) (, ) ( ξ, η) ( 36 ) Pertama, perlu dtunjuan bahwa aprosmas lnear dar persamaan dalam bentu normal adalah sama dengan bentu normal dar aprosmas lnear dar desrps awal sstem Hal n euvalen dengan menunjuan bahwa derajat relatf dar sstem dan aprosmas lnearnya adalah sama Untu mengahr, msalan medan vetor f ( ) meml eulbrum d = yan f perhatan untu f ( ) suatu espans dalam bentu f ( ) = A+ f2 ( ) dengan dengan memsahan aprosmas lnear Dengan cara yang sama espansan dmana f A = = f2 dan = = = dan A dar bentu derajat tertngg f ( ) h = C+ h, 2 2 8

9 h = ; C = [ h ] dan [ ] = h 2 = = Deman halnya espans g( ) menjad g( ) B g ( ) Oleh arena tu, aprosmas lnear dar sstem d = A+ Bu y = C In dapat dbutan dengan ndus bahwa : dmana f Lh = CA+ d d ( ) memenuh [ ] = d = Dar sn, dapat ddedus bahwa CA B g f = + dengan B= g =, ddefnsan sebaga = L L h = untu semua < r r r g f CA B = L L h yan derajat relatf dar aprosmas lnear dar sstem d = tepat sama dengan r Dar fata n, dapat dsmpulan bahwa dengan mengambl aprosmas lnear dar persamaan dalam bentu normal (36) berdasaran espans dar bentu : ( ξ, η) = ξ + η+ 2 ( ξ, η) ( ξη, ) = + ( ξη, ) ( ξ, η) = ξ + η+ ( ξ, η) b R S b a K a q P Q q dhaslan sstem lnear dalam bentu normal ξ = ξ2 ξ = ξ 2 3 = ξr = Rξ + Sη+ Ku η = Pξ + Qη y = ξ 2 ( 37 ) Dtunjuan oleh [4] bahwa nla egen dar Q bersesuaan dengan zero dar sstem lnear yang dberan oleh (37) Juga dcatat bahwa matrs Jacob [ q ] ( ξη ) menjelasan aprosmas lnear pada η = dar dnama nol dar η, = sstem nonlnear awal (36) Oleh arena tu, ja sstem nonlnear merupaan fase nonmnmum (pelnearan dnama nol meml palng sedt satu nla 9

10 egen yang tda stabl): nol dar fungs transfer dar aprosmas lnear dar sstem awal d = tda semua stabl Dar Lemma 32 dapat dsmpulan bahwa ja dberan sstem nonlnear dengan dnama nol yang tda stabl, maa DN meml postf yang tda stabl, dan hal tu dperluan untu mengaplasan proses nvers noncausal [4] pada DN yang djelasan pada bagan sebelumnya 2