PAPER Analisis Data Outlier Pada Data Pengeluaran Rumah Tangga Di Kota Kupang, Nusa Tenggara Timur Tahun 2005 Dengan Metode ROBPCA

Transkripsi

1 PAPER Analisis Daa Oulier Pada Daa Pengeluaran Rumah Tangga Di Koa Kupang, Nusa Tenggara Timur Tahun 2005 Dengan Meode ROBPCA oleh Suryana NRP PROGRAM STUDI MAGISTER JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA

2 1. Pendahuluan Analisis komponen uama (principal componen analysis=pca) merupakan eknik saisik yang elah banyak digunakan. Pembahasan maeri ini dapa diemukan pada buku-buku analisis mulivaria baik eori maupun aplikasi. Pemanfaaan PCA uamanya dalam menyusukan dimensi daa yang saling berkorelasi sau sama lain. Perkembangan PCA dimulai seak diperkenalkan perama kali oleh Pearson pada ahun Sealan dengan perkembangan eknologi kompuer dan kemauan di bidang maemaika, PCA hingga kini masih erus mengalami perkembangan. Perkembangan selanunya, diperkenalkan generalisasi dari PCA oleh Loève pada ahun Perkembangan PCA selanunya dipengaruhi adanya kebuuhan model PCA yang robus erhadap daa pencilan (oulier). PCA klasik (CPCA) sanga dipengaruhi oleh kehadiran pencilan karena CPCA didasarkan pada marik kovarian yang uga sanga sensiif erhadap keberadaan daa pencilan. Unuk mengaasi masalah ini, marik kovarian diesimasi esimasi kovarian yang robus dengan M-esimaor (Devlin, dkk, 1975), Minimum Covariance Deerminan (Rousseeuw, 1984), aau S-esimaor (Croux dan Haesbroek, 1999). Keiga meode ini baik ika digunakan unuk kasus umlah variabel p > umlah observasi n. Unuk kasus ini, Li dan Chen (1985) memperkenalkan robus PCA dengan Proecion Pursui (PP). Konsep PP selanunya diperbaiki dengan Algorima C-R, diperkenalkan oleh Croux dan Ruiz-Gazen (1996). Algorimanya bekera dengan baik, namun pada dimensi yang inggi, algorima C-R lamba dalam waku kompuasi dan idak sabil secara numerik. Pada ahun 2004, Huber dkk menggabungkan konsep PP dan esimaor kovarian yang robus dengan nama ROBPCA. Terarik dengan konsep ROBPCA yang diaukan Huber dkk, paper ini mengkai konsep ROBPCA dan membandingkan hasilnya dengan CPCA. Kedua meode PCA ersebu diaplikasikan pada daa pengeluaran rumah angga hasil Survei Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS) ahun 2005 di Koa Kupang, Nusa Tenggara Timur. 2. Meode ROBPCA Diasumsikan daa disimpan dalam sebuah vekor random X di mana elemen baris menyaakan n observasi dan banyaknya kolom menyaakan p variabel X 1,..., X p. Meode ROBPCA memproses daa mulivaria dalam iga ahap. Perama, daa diproses sedemikian rupa sehingga daa hasil ransformasi erleak dalam subruang yang dimensinya kurang dari n 1. Selanunya marik covarian awal S 0 dibangun dan digunakan unuk menyeleksi umlah komponen k yang akan diseleksi. Langkah ini menghasilkan subruang berdimensi k yang cocok dengan daa. 1

3 Langkah selanunya, iik-iik daa diproyeksikan pada subruang ini di mana lokasi dan scaer marix diesimasi secara robus dari nilai eigen k posiif l 1,..., l k. Vekor eigen yang bersesuaian nilai eigen yang dihasilkan membenuk komponen uama yang robus. Tahapan ROBPCA selengkapnya sebagai beriku: Tahap 1. Sebagaimana diproposed oleh Huber dkk (2002), kia mulai dengan mereduksi ruang daa menadi subruang affine yang direnang oleh n observasi. Langkah ini berguna keika p n, eapi meskipun p < n, observasi dapa merenangkan kurang dari ruang dimensi-p secara menyeluruh. Cara mudah melakukan hal ini dengan singular value decompoision (SVD) dari marik daa erpusa di raa-raa (he mean cenered-daa marix) menghasilkan ˆ np, nμ0 = nr, 0 r0, r0 r0, p X 1 U D V (0.1) Di mana ˆμ 0 vekor mean, r 0 = rank( X ˆ np, 1 nμ0), D marik diagonal r 0 x r 0, dan UU= Ir = VV, di mana Ir 0 marik idenias berdimensi r 0 x r 0. Pada saa p > n, penyelesaian (1.1) menggunakan pendekaan kernel berdasarkan penghiungan vekor dan nilai eigen dari ( X 1 ˆ μ )( X 1 ˆ μ ) (Wu, n 0 n 0 Massar, dan de Jong 1997). Tanpa kehilangan informasi, sekarang daa elah berada di subruang yang dibangkikan oleh r 0 kolom V, yaiu Znr, = UD. 0 Tahap 2. Pada ahan ini dicari paling sediki h < n iik-iik daa pencilan. Besarnya h =max{[αn],[(n + k max +1)/2 }, di mana k max menyaakan banyaknya komponen k opimal. Parameer α dapa diambil anara 0.5 dan 1. Unuk menemukan paling sediki h iik-iik daa pencilan, dilakukan melalui: 1. Unuk seiap iik daa x i dihiung oulyingness dengan rumusan Sahel-Donoho sebagai beriku: 0 oul Λ ( x ) i = max v B xv i med( xv ) mad( xv ) (0.2) Di mana: B mengandung semua vekor bukan nol, med( xv ) adalah median dari, = 1,..., n dan xv mad( ) = med med( ) Unuk menadikan orogonal (0.2) dimodifikasi menadi: xv xv xv. Hasil (0.2) belum orogonal. oul O ( x ) i = max v B xv ( xv) i MCD S MCD ( xv ) (0.3) Di mana MCD dan S MCD adalah mean dan sandar deviasi yang robus dari minimum covarian deerminan. Jika semua S MCD idak nol maka dapa dihiung (0.3) unuk semua iik daa dan menganggap h observasi adalah pencilan yang paling kecil. Indeksnya 2

4 kemudian di simpan dalam himpunan H 0. Sebaliknya, ika S MCD ada nilai nol maka akan diemukan suau hyperplane H v yang orogonal dengan v. Pada saa ini eradi, semua iik daa diproyeksikan pada H v. Langkah ini diselesaikan dengan Reflecion Algorihm oleh Huber dkk (2002) sampai didapakan himpunan H 0 yang beranggoakan h iik daa dengan pencilan paling sediki. 2. Dari H 0 didapakan mean μ1dan covarian S 0. Dengan cara yang serupa, dicari vekor eigen dan nilai eigen yang bersesuaian dari marik covarian S 0. S0 selanunya didekomposisi spekral Dengan L = diag( l 1,..., l ) dan r r1. n S = PL P (0.4) Marik covarian S 0 digunakan unuk menenukan berapa banyak komponen uama yang diperlukan. Salah sau meode penenuan umlah komponen uama adalah dengan Screeplo. 3. Sebagai langkah akhir, dilakukan proyeksi iik daa pada subruang yang dibangkikan oleh k 0 komponen vekor eigen dari S 0. Hasilnya dinyaakan sebagai ( ˆ μ ) X = X 1 P (0.5) * nk, 0 nr, 1 n 1 r1, k0 Di mana P erdiri dari k 0 kolom perama dari P 0 persamaan (0.4). r1, k0 Tahap 3. Pada ahapan ini dilakukan pengukuran Score Disance, SDi dan Orhogonal Disance, Oi unuk dapa menenukan enis observasi. Unuk seiap observasi ke i, dapa diampilkan pada sumbu-x arak SDi dengan rumusan SD Dan pada sumbu-y arak OD i dengan rumusan = L (0.6) 1 i i i OD = x ˆ μ P (0.7) i i x p, k i Kombinasi kedua arak ini menghasilkan enis observasi seperi beriku: Jarak SD kecil SD besar OD besar Oulier orogonal Tiik leverage PCA buruk OD kecil Observasi regular Tiik leverage PCA baik 3

5 3. Aplikasi ROBPCA Pada sesi ini dilakukan penerapan meode ROBPCA pada daa pengeluaran rumah angga hasil Survei Sosial Ekonomi Nasional ahun 2005 di Koa Kupang, Nusa Tenggara Timur. Analisis didahului dengan Analisis Komponen Uama Klasik (Classic Principal Componen Analysis, CPCA). Jumlah responden rumah angga sebanyak 607. Variabel yang dianalisis adalah : X1 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi padi-padian. X2 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi umbi-umbian X3 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi ikan X4 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi daging X5 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi elur dan susu X6 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi sayur-sayuran X7 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi kacang-kacangan X8 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi buah-buahan X9 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi minyak dan lemak X10 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi bahan minuman X11 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi bumbu-bumbuan X12 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi konsumsi lainnya X13 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi makanan dan minuman adi X14 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi embakau dan sirih X15 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi perumahan dan fasilias rumahangga X16 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi aneka barang dan asa X17 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi pakaian alas kaki dan uup kepala X18= Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi barang ahan lama X19 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi paak, Punguan dan Asuransi X20 = Pengeluaran rumah angga unuk konsumsi keperluan pesa dan upacara 3.1 Analisis Komponen Uama Klasik Hasil pengukuran variabel sanga pening dieksplorasi unuk menenukan kepuusan apakah analisis komponen uama didasarkan pada daa menah aau perlu dilakukan modifikasi erenu unuk keperluan analisis. Variable Toal Mean SE Mean SDev Minimum Maximum Range X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

6 Pengukuran variabel pada Tabel 4.1 menghasilkan range yang nyaa berbeda. Selain iu pengukuran 14 variabel perama dalam sauan minggu sedang 6 variabel sisanya dalam bulan. Menuru Johnson (2002), dengan sifa daa seperi iu analisis komponen uama sebaiknya didasarkan pada daa yang disandardisasi. Deskripif saisik dari daa hasil sandardisasi ampak sebagai beriku. Variable Tabel Mean SE Mean SDev Minimum Maximum Range Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Selanunya dihiung marik kovarian sampel S z. Hasilnya diampilkan pada oupu beriku. Ternyaa, marik kovarian sampel dari daa ersandardisasi sama dengan marik korelasi sampel R. Dengan demikian oal sampel marik kovarian sampel S z sama dengan umlah variabel yaiu 20. Covariances: Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6, Z7, Z8,... Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

7 Z8 Z9 Z10 Z11 Z12 Z13 Z14 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z15 Z16 Z17 Z18 Z19 Z20 Z Z Z Z Z Z Tampak bahwa seluruh variabel saling berkorelasi sau sama lain. Unuk mengeksplorasi daa ini, AKU sesuai dengan persyaraan karena daa bersifa mulivariae. Langkah berikunya adalah menghiung eigenvalue sampel dari marik kovarian sampel S z. Eigenanalysis of he Covariance Marix Eigenvalue Proporion Cumulaive Eigenvalue Proporion Cumulaive Eigenvalue Proporion Cumulaive Dalam menenukan umlah komponen uama yang ideal dapa digunakan beberapa krieria. Perama, krieria oal variansi sampel yang dapa dielaskan lebih dari 80 persen (Johnson, 2002). Komponen uama perama menelaskan 33,8 persen dari oal varian sampel. Komponen uama kedua secara kumulaif menelaskan 43 persen dari oal varian sampel. Sampai dengan komponen uama ke-10 secara kolekif menelaskan 79,8 persen dari oal varian sampel. Pada komponen uama ke-11 varian yang dapa dielaskan sudah lebih dari 80 persen dari oal varian sampel. Dengan demikian, menuru krieria ini dibuuhkan 11 komponen uama unuk mereduksi 20 variabel anpa banyak kehilangan informasi. Krieria kedua adalah ukuran relaif dari eigenvalue lebih besar dari sau. Berdasarkan krieria ini, dengan hanya lima komponen informasi dari daa sudah dapa disarikan meskipun hanya mampu menelaskan 60,8 persen variansi daa. Krieria keiga adalah dengan mengamai Scree Plo dari eigenvalue dan umlah komponen. Unuk menenukan umlah komponen dengan memperhaikan paahan siku dari Scree Plo. Tampak seelah komponen kedua, perubahan nilai 6

8 eigenvalue anar komponen cukup kecil. Oleh karena iu, menuru krieria keiga ini cukup dibuuhkan dua komponen uama. 7 Scree Plo of Z1,..., Z Eigenvalue Componen Number Gambar 1. Screeplo CPCA dgn sandardisasi. Beriku diampilkan sampel komponen uama kesau sampai dengan kesebelas beriku korelasi anara variabel z i dengan masing-masing komponen uamanya. Korelasi yang diberi warna merah menunukkan asumsi bahwa korelasi anara komponen uama dengan variabel z idak diolak pada alpha 5 persen. Tampak bahwa hanya dengan komponen uama perama semua variabel z mempunyai korelasi yang sigifikan pada alpha 5 persen. Variabel PC1 R y1,zk PC2 R y2,zk PC3 R y3,zk PC4 R y4,zk PC5 R y5,zk PC6 R y6,zk Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

9 Z Z Z Z Z Variabel PC7 R y7,zk PC8 R y8,zk PC9 R y9,zk PC10 R y10,zk PC11 R y11,zk Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Analisis Komponen Uama Robus dengan meode ROBPCA Dibandingkan dengan CPCA, meode ROBPCA menghasilkan umlah komponen yang lebih sediki daripada CPCA unuk mereduksi daa. Dengan varian yang dapa dielaskan 80 persen, ROBPCA membuuhkan iga komponen uama sedang CPCA membuuhkan sebelas komponen. Nilai eigen, kumulaif proporsi eigen erhadap oal nilai eigen, dan koefisien komponen ampak pada abel beriku. Selain umlah komponen ROBPCA lebih sediki daripada CPCA, umlah orhogonal oulier yang dideeksi CPCA lebih banyak daripada ROBPCA. Demikian uga dengan bad leverage, iik daa yang dapa dideeksi CPCA uga lebih banyak. Pada gambar 6, ampak baas cu off ellipse dari ROBPCA lebih kecil dibandingkan dengan CPCA. Hal ini menunukkan bahwa ROBPCA lebih robus daripada CPCA. Ellipse yang melebar dipengaruhi oleh mean dari daa yang idak robus erhadap oulier. 8

10 Tabel. Nilai Eigen Dan Koefisien Komponen Dengan Meode ROBPCA Nilai Proporsi Kumulaif PC1 PC2 PC3 Eigen Proporsi Sumber: Hasil Olah dengan Miniab 6.5. Gambar 2. Screeplo CPCA Gambar 3. Screeplo ROBPCA 9

11 Gambar 4. Orhogonal Disance dan Score Disance CPCA Gambar 5. Orhogonal Disance dan Score Disance ROBPCA Gambar 6. Tolerance ellipse dari CPCA dan ROBPCA Referensi 1. Huber, M., Rousseeuw, Peer J., dan Branden, Karlien V. (2004). ROBCA: A New Approach o Robus Principal Componen Analysis. Technomerics. Feb 2005, 47, No Verboven, S. dan Huber, M. (2004). LIBRA: a MATLAB Library for Robus Analysis. hp:// 3. Huber, M., Rousseeuw, P.J., Verboven, S. (2002), A fas robus mehod for principal componene wih applicaions o chemomerics. Chemomerics and Inelligen Laboraory Sysems, 60, Johnson, R.A and Wichern, D.W., (2002). Applied Mulivariae Saisical Analysis. 5h Ed. New Jersey: Prenice Hall. 10