BAB II LANDASAN TEORI. penulisan skripsi yaitu mengenai data panel, beberapa bentuk dan sifat

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab II aka dbahas dasar-dasar teor yag dguaka dalam peulsa skrps yatu megea data pael, beberapa betuk da sfat matrks, matrks parts, betuk ler da betuk kuadratk beserta ekspektasya, regres lear beserta metode peaksraya, da juga metode ANOVA..1 Data Pael.1.1 Defs da Deskrps Data Pael Telah dketahu bahwa data cross secto merupaka data yag dkumpulka pada satu waktu terhadap bayak dvdu. Sedagka data tme seres adalah data yag dkumpulka dar waktu ke waktu terhadap suatu dvdu. Berdasarka Nachrow (006), data cross secto yag dkumpulka atau dobservas pada perode waktu tertetu dkeal dega ama data pael. Dalam aalss perekooma, data pael sagat bayak dtemu. Msalka data pertumbuha perekooma provs-provs d Idoesa dar tahu 000 sampa 007. Data merupaka kumpula formas terhadap semua provs d Idoesa yag berjumlah 33 provs da dkumpulka selama jagka waktu 8 tahu. 6 Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

2 7 Data pael terdr dar dua betuk, yatu data pael legkap (complete pael data) da data pael tdak legkap (complete pael data). Bak data pael tdak legkap maupu data pael legkap mempuya model regres yag sama, yak yt = α + xtk βk + ut. Berdasarka kompoe error u t, model regres utuk data pael legkap da data pael tdak legkap dbedaka mejad dua, yatu model regres kompoe error satu arah (oe-way error compoet regresso models), dega ut = μ + vt da model regres kompoe error dua arah (two-way error compoet regresso models), dega ut = μ + λt + v. t Dberka bahwa μ adalah pegaruh khusus yag tdak teramat (error) dar dvdu ke- tapa dpegaruh waktu, msalka kemampua atau keuggula khusus dar suatu dvdu yag tdak dmlk oleh dvdu laya. λ t adalah pegaruh yag tdak teramat pada waktu ke-t tapa dpegaruh dvdu, msalka pada suatu waktu tertetu ada perstwa yag tdak terobservas yag megakbatka hasl observas mejad tdak lazm dar waktu sebelumya. Selajutya v t adalah pegaruh (error) yag bearbear tdak dketahu (remader dsturbace). Pada data pael legkap bak utuk model regres kompoe error satu arah maupu model regres kompoe error dua arah sama- Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

3 8 sama memlk bayak eleme dvdu = 1,, N da bayak eleme perode atau waktu t= 1,, T. Dega kata la kedua model regres tersebut memlk dmes NT. Namu pada data pael tdak legkap, utuk model regres kompoe error satu arah bayakya eleme dvdu = 1,, N da bayakya eleme waktu t= 1,, T (sebayak N dvdu yag dobservas, data utuk masg-masg dvdu tersebut dambl pada perode ke-, yatu masg-masg dvdu memlk data dega perode waktu yag berbeda). Sedagka utuk model regres kompoe error dua arah bayakya eleme dvdu =1,,N t (jumlah dvdu yag dobservas pada tahu ke-t berbeda-beda) dega eleme waktu t=1,,t..1. Kelebha Data Pael Beberapa kelebha dar data pael, atara la: 1. Data pael dapat memberka formas yag lebh jelas tetag keberagama suatu data. Hal dsebabka karea data pael, sesua dega defs sebelumya, dkumpulka atau dobservas dar beberapa dvdu yag beragam pada perode waktu tertetu. Sedagka pada data cross secto, data dobservas dar beberapa dvdu yag beragam, amu pada satu waktu tertetu. Dega demka, data pael aka lebh beragam darpada data cross secto. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

4 9 Begtu pula dega data tme seres, data dkumpulka dar satu dvdu pada perode waktu tertetu. Tetuya, data tme seres kurag beragam darpada data pael.. Meyedaka data yag lebh bayak sehgga data yag ada mejad lebh formatf, lebh bervaras, da efse. Alasaya, hal sesua dega defs data pael, yag merupaka kombas dar data cross secto da data tme seres..1.3 Kekuraga Data Pael Namu kekuraga dar data pael: 1. Data pael serg bermasalah dalam hal pegumpula data. I dsebabka karea pegumpula data pael tdak haya membutuhka daa da teaga kerja yag besar, tetap juga waktu yag lama.. Setelah dlakuka pegumpula data, tetu data pael aka daalss lebh lajut. Hal berakbat model yag megguaka data mejad lebh kompleks karea tdak haya megaalsa dvdu saja tetap juga waktu. Dega demka dperluka tekk tersedr dalam megaalss model yag megguaka data pael. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

5 10. Notas da Termolog Matrks Matrks adalah suatu susua blaga berbetuk segempat. Blaga-blaga dalam susua tu dsebut etr dalam matrks. Ukura matrks dtetuka oleh bayakya bars da bayakya kolom yag dmlk oleh matrks tersebut. Matrks yag haya terdr dar satu kolom yatu berukura m 1 dsebut matrks kolom (atau vektor kolom), da matrks yag terdr dar satu bars yatu berukura 1 dsebut matrks bars (atau vektor bars). Dalam tugas akhr matrks dotaska dega huruf kaptal yag dcetak tebal da vektor dotaska dega huruf kecl dcetak tebal. Matrks A berukura m adalah matrks yag terdr dar m bars da kolom dega etr pada bars ke- da kolom ke-j dapat dyataka dega smbol ( A) j = a, sehgga j a11 a1 L a1 a a a A 1 L =. (..1) M M M am1 am L am Persamaa (..1) dapat dtulska dega A = aj atau a j. Sebaga cotoh, matrks A 1 A = 3 4 memlk etr ( A) ( A) ( A) ( A ) m = 1, =, = 3 da = 4. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

6 11 Matrks A yag memlk bars da kolom dsebut matrks bujur sagkar berorde, da etr a11, a, K, a dsebut sebaga dagoal utama dar A (lhat etr yag dlgkar), dega A a a L a a a L a M M M a a L a = 1 Berkut aka dbahas beberapa operas atau sfat matrks da beberapa matrks betuk khusus yag dpaka pada tugas akhr...3 Trace Matrks Msalka A = a j suatu matrks perseg berukura, maka trace dar A ddefska sebaga jumlah dar eleme dagoal A da dotaska dega tr ( A ), yatu ( ) 11 sfat dar trace laya adalah sebaga berkut: 1. tr ( ) I. ( ) = tr k = k 3. tr ( ka) = k tr ( A ) 4. tr ( A + B) = tr ( A) + tr ( B ) 5. tr ( ) = tr ( ) tr A = a + a + K+ a. Beberapa A A (.3.1) Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

7 1 dmaa k adalah sembarag skalar, sedagka A da B adalah matrks berukura. Utuk k1, k, K, k r adalah sembarag skalar da A1, A, K, A r adalah matrks berukura maka r r tr ka = k tr ( A). = 1 = 1 Jka A adalah matrks perseg dega A11, A, K, A kk adalah matrks parts dar A A A L A A A L A M M O M A A L A k 1 k = k1 k kk maka tr ( A) = tr ( A ) +tr ( A ) + +tr ( A ) 11 K kk. Msalka A = a j adalah matrks berukura m da B = b j adalah matrks berukura m, maka tr ( AB) m = = 1 j= 1 a b j j dmaa AB = ab j j. Berdasarka persamaa (.3.1) da sfat j= 1 traspos matrks maka ( ) = ( ) tr AB tr BA (.3.) yag dapat dperluas sebagamaa dberka pada lemma berkut. Lemma.3.1 Utuk sembarag matrks A berukura m da matrks B berukura m maka tr ( AB) = tr ( BA ). Bukt: Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

8 13 m m m ( AB) = = = = ( BA) tr ab ab ba tr j j j j j j = 1 j= 1 j= 1 = 1 j= 1 = 1 Catata: Berdasarka persamaa (.3.) da lemma.3.1, utuk sembarag matrks A berukura m da matrks B berukura m, maka tr ( ) = tr ( ) = tr ( ) = tr ( ) AB B A A B BA. Betuk d atas dapat dperluas utuk trace dar perkala matrks ABC d maa A matrks berukura m, B matrks berukura p, da C matrks berukura p m sehgga ( ) = ( ) = ( ). tr ABC tr CAB tr BCA (.3.3).4 Matrks Parts Setap matrks bsa dbag atau dparts mejad matrks-matrks yag lebh kecl. Matrks yag lebh kecl tu dsebut submatrks. Berkut aka dberka cotoh tga parts yag mugk dar sebuah matrks A yag berukura 3 4, yatu: a a a a a1 a a3 a4 A1 A a31 a3 a33 a 34 A = = A A (.4.1) a 11 a1 a13 a14 r1 A = = a1 a a3 a4 r a31 a3 a33 a34 r3 (.4.) Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

9 14 a11 a1 a13 a14 A = a a a a = c c c c a 31 a3 a33 a34 [ ] (.4.3) Jka terdapat dua matrks yag dapat dparts yag bersesuaa A da B, sehgga masg-masg submatrks yag dmlk juga bersesuaa. Maka perkala AB dperoleh megguaka pola perkala matrks basa, yak cotohya AB A A B B = A1 A B1 B A B + A B A B + A B = A1B11 + AB1 A1B1 + AB (.4.4).5 Matrks Dagoal Suatu matrks A = a j yag berukura yag memlk eleme dagoal utama a11, a, K, a dkataka matrks dagoal, jka eleme sela dagoal utama dar matrks tersebut adalah ol. Cotoh, msalka terdapat matrks A = 10 7, maka dag ( A ) = Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

10 15 Sela tu msalka B merupaka matrks parts B11 B1 B13 B B= B1 B B3, maka dag ( B) = 0 B 0. B31 B3 B B33.6 Matrks Betuk Khusus da Operasya.6.1 Summg Vectors, Matrks J, da Matrks E Vektor yag tap elemeya haya berska blaga 1 dsebut ι. summg vectors da dotaska dega ι, msalka = [ 1 1 1] I dsebut summg vectors dkareaka jka x = x1 x x 3, 3 3 ι x = = x. 3 1 Matrks J merupaka matrks bujur sagkar yag dhaslka dar perkala summg vectors 1 1 L L 1 ιι = J = M M O M 1 1 L 1 dega vektor ι berukura 1 da matrks J berukura Beberapa sfat dar matrks J atara la. 1). J = J J = ). ι ι 3). tr ( ) J = Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

11 16 1 4). J = J JJ = J 5). 6). tr ( J ) = 1 7). J = J. Kemuda ddefska matrks E = I J berukura x, dega I matrks dettas ukura x. Beberapa sfat dar matrks E yak 1). tr ( E ) = 1 ). Eι = 0 3). E = E.6. Matrks Q, Matrks P, da Matrks Z Ddefska matrks Q merupaka matrks bujur sagkar yag berbetuk matrks dagoal Q ( E ) E1 0 L 0 0 E L 0. (.6.1) M M O M 0 0 L E = dag = Pada model regres utuk data pael, matrks Q berpera sebaga matrks devas dar mea dvdu. Msal dberka suatu vektor u berukura 1 maka = ( u u. ) Qu, dega = 1,...,. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

12 17 Kemuda matrks P ddefska sebaga matrks dagoal P ( J ) J1 0 L 0 0 J L 0. (.6.) M M O M 0 0 L J = dag = Dalam model regres utuk data pael, matrks P berpera sebaga matrks rata-rata dar observas sepajag waktu utuk masg-masg dvdu. Msalka dberka dberka suatu vektor u, berukura 1, maka Pu u. u, dega = 1,...,. = = = 1 Selajutya utuk matrks Z ddefska Z dag ( ι ) 1 ι 0 L 0 0 ι L 0. (.6.3) M M O M 0 0 L ι = = Pada model regres utuk data pael, matrks Z berpera sebaga matrks yag meyederhaaka peulsa pegaruh yag tdak teramat dar dvdu, μ, dega perode waktu yag berbeda-beda, t=1,,t..7 Betuk-betuk Matrks Laya Defs.7.1 Ddefska A adalah matrks yag berukura, maka A dkataka matrks smetrs jka A A =. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

13 18 Defs.7. Msalka A adalah matrks yag berukura, maka A dkataka matrks dempotet jka A = AA. Jka A juga merupaka matrks smetrs, maka A dkataka symmetrc dempotet. Jka A symmetrc dempotet, maka I A juga symmetrc dempotet. Defs.7.3 Msalka A adalah matrks yag berukura, maka A dkataka matrks ortogoal, jka A A = I. Maka dapat dyataka bahwa A = A. 1 Lemma.7.4 Dketahu suatu matrks X, yag berukura K, da X adalah matrks full rak, maka X ( XX) -1 dempotet. Bukt: ( ( ) ) ( ) X merupaka matrks ( ) = ( ) ( )( ) X XX X X XX X X XX XX XX X ( ) -1 X XX I X = = X ( XX ) -1 X Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

14 19.8 Betuk Ler da Betuk Kuadratk.8.1 Notas Betuk Ler Msalka a = [,, ] a K a adalah vektor kolom berdmes, da 1 padag fugs ax ax =, dega vektor x = [, K, ] x x d 1. Fugs tersebut merupaka fugs betuk ler..8. Notas Betuk Kuadratk, Deft Postf da Semdeft Postf Msalka matrks A = a berukura da padag fugs j (.8.1) = = + xax axx j j ax axx j j, j, j x x d dega vektor x = [, K, ] 1. Fugs pada persamaa (.8.1) merupaka betuk kuadratk. Defs.8..1 Msalka x Axmerupaka betuk kuadratk dega A = a adalah matrks berukura j. Betuk kuadratk dkataka deft postf jka x x d da vektor x = [, K, ] 1 xax > 0, utuk setap x 0 (.8.a) Betuk kuadratk dkataka semdeft postf jka xax 0, utuk setap x 0 (.8.b) Matrks deft postf dapat dfaktorsas ke dalam betuk matrks akar kuadrat yag dkeal dega Cholesky decomposto. Msalka A Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

15 0 matrks deft postf ukura, maka matrks tersebut dapat dfaktorka mejad A = TT. Dmaa T adalah matrks segtga atas osgular. Defs.8.. Matrks smetrs A dsebut matrks deft postf jka xax adalah betuk kuadratk deft postf. Defs.8..3 Matrks smetrs A dsebut matrks semdeft postf jka xax adalah betuk kuadratk semdeft postf. Berkut adalah lemma megea matrks deft postf yag merupaka matrks osgular. Lemma.8..4 Sembarag matrks deft postf adalah osgular. Bukt: Msalka matrks A berukura merupaka matrks deft postf. Lemma.8..4 aka dbuktka dega megguaka kotradks. Adaka A merupaka matrks sgular atau secara ekuvale rak ( A). < Akbatya, kolom A tdak bebas ler da terdapat vektor tdak ol x *, sedemka sehgga A x* = 0. Oleh karea tu ( ) 0 x Ax = x Ax = x 0 =. * * * * * Padahal A merupaka matrks deft postf, artya xax > 0, utuk setap x 0. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

16 1 Sedagka jka A merupaka matrks sgular dperoleh bahwa ( ) 0 x Ax = x Ax = x 0 = * * * * * Berart kotradks dega pegadaa yag dguaka. Sehgga sembarag matrks deft postf adalah osgular..8.3 Ekspektas dar Betuk Kuadratk Teorema Jka y adalah suatu vektor acak dega mea μ da matrks kovaras Σ, da jka terdapat matrks smetrs A, maka Bukt: E ( ) tr( ) Dketahu bahwa ( ) ( ) yay = AΣ + μ Aμ (.8.3) cov j j j dalam format matrks mejad E ( ) dubah ke dalam betuk y, y = E y y μ μ, yag jka dbetuk ( ) Σ = yy μμ. Kemuda dapat E yy = Σ + μμ. (.8.4) Dketahu bahwa yay adalah suatu skalar, yag laya sama dega la trace-ya. Selajutya ddapatka E ( yay ) E tr( yay ) = ( ) = E tr Ayy ( ) = tr E Ayy = tr AE ( yy ) Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

17 ( μμ ) = tr A Σ + = tr [ AΣ + A μμ ] ( AΣ) tr ( A ) = tr + μμ ( AΣ) tr ( A ) = tr + μ μ (dar lemma.3.1) ( ) = tr AΣ + μ Aμ (.8.5) Perlu dperhatka bahwa yay buka fugs lear dar y, sehgga ( yay ) ( y ) A ( y) E E E..9 Regres Ler Bergada Aalss regres adalah suatu metode yag dguaka dalam megaalss satu atau lebh varabel predktor X dega satu varabel respo Y. Pola hubuga tu dapat dyataka dalam betuk persamaa regres. Model regres ler yag melbatka lebh dar satu varabel predktor dega satu varabel respo dsebut model regres ler bergada..9.1 Model Regres Ler Bergada Pola hubuga atar varabel yag terdr dar satu varabel tak bebas atau varabel respo y da beberapa varabel bebas atau Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

18 3 varabel predktor ( x x K x ),,, dapat dtujukka oleh salah satu 1 k model regres ler. Berkut aka dberka lustras data utuk regres ler bergada, yatu: Pegamata y x 1 x K x k 1 y 1 x 11 x 1 K x 1k y x 1 x K x k M M M M M y x 1 x K x k berkut Model regres ler dapat dtulska dalam betuk sebaga y = β + β x + β x + K + β x + ε, k k 0 k = β + β x + ε j = 1 j j (.9.1) = 1,, K, alah bayakya pegamata. Apabla dyataka dalam otas matrks, maka persamaa (.9.1) mejad y = Xβ + ε (.9.) y1 1 x11 x1 L x1 k β0 ε1 y x x x = = 1 L = β = ε β ε M M M M M M M y 1 x x L x β ε 1 k 1 y, X,, dega 1 k k y : vektor kolom dar varabel respo yag berukura 1. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

19 4 X : matrks dar varabel predktor yag berukura p, dega p = k + 1. β : vektor kolom dar parameter yag berukura p 1. ε : vektor kolom dar error yag berukura 1. Model regres ler bergada d atas mempuya asums sebaga berkut: ( ε ) 1. E = 0 utuk = 1,, K, ( εε j). E = 0 utuk j 3. ε N 0, = σ utuk = j ( σ ) Dalam otas matrks dyataka dega: 1. E ( ε ) = ( εε ) 0. E = σ I, dega I merupaka matrks dettas 3. ε mempuya dstrbus ormal dega mea 0 da varas σ I..9. Taksra Parameter Dalam Regres Ler Bergada Ada bayak metode yag dapat dguaka dalam meaksr parameter pada model regres ler bergada. Berkut pembahasa megea beberapa metode taksra. Pada subbab djelaska metode taksra Ordary Least Squares (OLS), da Geeralzed Least Squares (GLS) yag Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

20 5 dguaka utuk meaksr parameter pada model y = Xβ + ε, dega X memlk rak peuh, E ( y) = X β da E ( ε ) = Ordary Least Squares (OLS) Utuk meaksr parameter model regres dega megguaka metode ordary least squares maka asums-asums (1), (), (3) yag telah dsebutka pada subbab.9.1 harus dpeuh. Fugs least squares atau sum of squares of error (SSE) dyataka dega: ( β, β, K, β ) ε S = S = 0 1 k = 1 = y β 0 j j = 1 j= 1 k β x (.9.3) Fugs S aka dmmumka terhadap β0, β1, K, β k. Taksra least squares dar β0, β1, K, β k harus memeuh k S = y ˆ β0 ˆ βjxj = 0 (.9.4a) β = 1 j= 1 0 ˆ β0, ˆ β ˆ 1, K, βk da k S = y ˆ β0 ˆ βjxj xj = 0.9.4b β j = 1 j= 1 ˆ 0, ˆ ˆ 1, K, k β β β ( ) utuk setap j = 1,, K, k. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

21 6 Dega meguraka persamaa (.9.4a) da (.9.4b), dperoleh sstem persamaa ormal: ˆ β + ˆ β x + ˆ β x + L + ˆ β x = y k k = 1 = 1 = 1 = 1 0 x1 + 1 x1 + x1x + L + k x1xk = x1y = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ˆ β ˆ β ˆ β ˆ β M M M M M 0 xk + 1 xk x1 + xk x + L + k xk = xky = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 ˆ β ˆ β ˆ β ˆ β (.9.5) Pada persamaa (.9.5) terdapat p = k + 1 persamaa ormal, masg-masg memlk koefse regres yag tdak dketahu. Dalam otas matrks persamaa (.9.3) adalah: S ( β) = = 1 ε = εε = ( y Xβ) ( y Xβ) = yy β X y y Xβ+ β X Xβ = yy β X y+ β X Xβ. (.9.6) Karea β Xy merupaka matrks berukura 1 1 atau skalar da trasposya ( β Xy) = yx β juga skalar yag sama, maka: S β βˆ = Xy + XX βˆ = 0 sehgga, XX βˆ = Xy (.9.7) dsebut sebaga persamaa ormal least squares, yag merupaka betuk matrks dar persamaa (.9.5). Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

22 7 Dega megalka kedua ruas pada persamaa (.9.7) dega vers dar matrks X X yag osgular, ddapat peyelesaa sstem persamaa ormal yag memberka taksra least squares β, yatu: ( ) 1 β ˆ = X X X y (.9.8) dega syarat vers matrks ( X X) 1 ada, jka varabel depedet yag ada bersfat learly depedet. Ekspektas da kovaras dar taksra parameter dega metode ordary least squares adalah sebaga berkut: ˆ X X X y 1. E( β ) = E ( ) 1 1 ( XX ) X ( Xβ ε ) = E + ( ) β ( ) 1 1 = E XX XX + XX X ε 1 1 ( XX ) XX E( β) ( XX ) X E( ε ) = + = β Karea E ( ε ) = 0 da ( ) 1 taksra ubased utuk β. X X X X = I. Sehgga ˆβ merupaka. Matrks kovaras utuk ˆβ alah Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

23 8 ( )( ( )) ( ) ( ) Cov β ˆ = E β ˆ E β ˆ β ˆ E β ˆ ( βˆ β)( βˆ β) = E (.9.9a) Dar persamaa (.9.8), dega mesubsttuska Y = Xβ + ε dperoleh 1 ( ) ( ) βˆ = XX X Xβ+ ε = β+ ( ) ( XX) 1 ˆ XX X 1 X ε β β = ε (.9.9b) Substtuska persamaa (.9.9b) ke (.9.9a), sehgga dperoleh: 1 1 ( β) E (( ) ε) (( ) ε ) Cov ˆ = XX X XX X = E ( XX ) X εε X( XX ) 1 1 ( X X) X E ( ) X( X X) 1 1 = εε ( X X) X IX( X X) = σ 1 1 ( ) 1 = σ X X.9.. Geeralzed Least Squares (GLS) Pada peaksra dega OLS, asums-asums yag dguaka dalam model regres ler y Asums varas error β ε adalah E ( ε ) = 0da V ( ) = σ I = X + σ I dsebut asums varas error sphercal, ε. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

24 9 yak error tdak berkorelas da mempuya varas yag sama (pada dagoal utama terdapat etr yag sama). Namu tdak tertutup kemugka varasya tdak sama, atau dega kata la terjad heteroscedastc, sehgga dapat dyataka bahwa V ( ε) Σ σ = = Ω. Dega demka pada peaksra dega GLS, jka dberka model sepert pada persamaa (.9.) y = Xβ + ε asums yag dberka ( ε ) = da V ( ε) Σ σ E 0 = = Ω. (.9.10) Dmaa Ω adalah matrks yag dketahu da berukura. Asums varas error Σ = σ Ω dsebut asums varas error osphercal. Pada varas error osphercal terdapat dua terpretas. Pertama pegamata y berkorelas (jka pada Ω terdapat etr tdak ol sela dagoal utama). Kedua pegamata y tdak berkorelas amu memlk varas yag tdak sama (jka pada Ω terdapat etr yag tdak sama d dagoal utamaya). Utuk varas error osphercal tdak semua asums pada OLS terpeuh sehgga dperluka trasformas model utuk kumpula pegamata yag baru agar dapat dpeuh asums-asums pada metode OLS. Dketahu bahwa Σ = adalah matrks σ Ω kovaras dar error, maka Ω harus osgular da deft postf sehgga berdasarka Dekomposs Cholesky, terdapat matrks K yag Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

25 30 smetrs da osgular berukura, dmaa KK = KK= Ω. Dmaa matrks K merupaka square root dar Ω. Ddefska varabel baru, yatu 1 1 z = K y, B= K X, g= K 1 ε (.9.11) sehgga model regres y = Xβ + ε mejad atau K y = K Xβ + K ε, (.9.1) z = Bβ + g (.9.13) Error pada model yag dtrasformas memlk mea ol, yatu E( ) 1 E( ε ) adalah: g = K = 0. Sedagka matrks kovaras utuk g V( g) = E ge( g) ge g ( )( ( )) = E ( gg ) ( K 1 K 1 ) E = εε ( ) = K E εε K 1 1 = σ K Ω K = σ 1 1 K KKK 1 1 = σ I (.9.14) Maka eleme dar g memlk mea ol da varas kosta da tdak berkorelas. Karea error g dalam model z = Bβ + g telah memeuh Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

26 31 asums tersebut, maka dapat dterapka OLS. Fugs Least squaresya adalah S ( β) = gg = 1 εω ε = 1 ( y Xβ) Ω ( y Xβ) (.9.15) da dperoleh persamaa ormal least squares adalah ( ) Ω βˆ = Ω. (.9.16) 1 1 X X X y Peyelesaa utuk persamaa adalah ( ) -1 ˆ 1 1 = X X X y β Ω Ω (.9.17) dmaa ˆβ pada persamaa (.9.17) dsebut sebaga taksra geeralzed least squares utuk β. Ekspektas da kovaras dar taksra parameter dega metode geeralzed least squares: β Ω Ω ˆ 1 1 X X X y 1. E( ) = E ( ) -1 ( 1-1 X X) X 1 E ( y) = Ω Ω ( ) -1 = Ω Ω β = β. Karea tu, = ( ) -1 utuk β. 1 1 X X X X ˆ 1 1 X X X y β Ω Ω adalah peaksr yag ubased Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

27 3. Matrks kovaras utuk ˆβ alah ( ) cov ˆ β = cov X Ω X X Ω y ( ) var ( ) ( ) = X Ω X X Ω y X Ω X X Ω ( ) σ ( ) = X Ω X X Ω Ω X Ω X X Ω ( X Ω X) X Ω σ Ω Ω X( X Ω X) -1-1 = ( X X) -1 1 = σ Ω..10 Effects Models pada Data Pael.10.1 Fxed Effects Models pada Data Pael Suatu effects dkataka fxed effects, jka level dar faktorfaktorya dplh tertetu berdasarka kega peelt dar populas level yag ada, da kesmpula statstkya terbatas haya megea level-level tersebut. Model yag haya mempuya fxed effects dsebut fxed effects models. Berart pada stuas aka dlhat effects dar level-level tersebut pada model. Pada model utuk data pael, effects dar level-level atara la berasal dar dvdu da waktu. Oleh karea dvdu da waktu dplh secara fxed maka effects haya sebatas pada dvdu da waktu yag dplh tersebut. Dega demka, effects dar dvdu da waktu Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

28 33 dasumska sebaga fxed parameter yag aka dtaksr da hasl taksraya aka berupa la atau kostata yag merupaka tercept pada model. Karea tu pada fxed effects models, perbedaa karakterstk dvdu da waktu dakomodaska pada tercept sehgga tercept-ya berubah atar dvdu da atar waktu..10. Radom Effects Models pada Data Pael Sedagka suatu effects dsebut sebaga radom effects, jka level dar faktor-faktorya dplh secara acak dar populas level yag ada da kesmpula statstkya megea populas level dar faktor d maa data tersebut dasumska berasal. Model yag haya mempuya radom effects dsebut radom effects models. Berart pada stuas aka dlhat effects dar level-level tersebut pada model. Pada model utuk data pael, effects dar level-level atara la berasal dar dvdu da waktu. Oleh karea dvdu da waktu dplh secara radom maka effects dar dvdu da waktu dasumska suatu varabel acak da aka dlhat varabltas masg-masg effects. Dega demka, pada radom effects models perbedaa karakterstk dvdu da waktu dakomodaska pada error dar model. Meggat ada dua kompoe yag mempuya kotrbus pada pembetuka error, yatu dvdu da waktu, maka kompoe error Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

29 34 perlu dura mejad error utuk dvdu, error utuk kompoe waktu, da error gabuga. Hal dsebut dega kompoe error dua arah. Dasumska kompoe error ( 0, ) μ IID σ μ, kompoe error ( λt IID 0, σ λ ), da kompoe error t ( 0, v ) v IID σ. Dega μ adalah kompoe error utuk dvdu, λ t adalah kompoe error utuk waktu, da v t adalah kompoe error gabuga..11 Metode ANOVA Metode ANOVA merupaka salah satu metode yag palg bayak dguaka dalam meaksr kompoe varas (varace compoets). Peaksr ANOVA merupaka peaksr jes metode mome utuk model ANOVA, yag berart meyamaka quadratc sums of squares dega ekspektasya kemuda meyelesaka sstem persamaa lear yag mucul akbat meyamaka dua hal tersebut. Selajutya aka djelaska gambara umum dar metode ANOVA. Msalka σ adalah vektor dar kompoe varas yag aka dtaksr, kemuda s adalah vektor dar sums of squares. Kemuda utuk masg-masg sums of squares, aka dperoleh la ekspektas yag merupaka fugs lear dar kompoe varas. Msalka E(s) adalah vektor dar fugs lear tersebut yag ddefska sebaga Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

30 35 E ( s) dega C adalah matrks osgular. = Cσ (.11.1) Kemuda berdasarka metode peaksra ANOVA, maka persamaa (.11.1) mejad s = Cσ ˆ dega σ ˆ merupaka peaksr dar persamaa tersebut dapat dubah mejad σ. Dega demka, σ ˆ = C -1 s. (.11.) Dapat dkataka bahwa tap-tap eleme dar σ ˆ adalah kombas lear dar sums of squares d s. Peaksr pada persamaa (.11.) selalu ubased, sebagamaa yag dtujukka E ( ) E( ) -1-1 σˆ = C s = C Cσ = σ. Utuk memberka gambara lebh jelas, msal dberka radom effects model ANOVA utuk data tdak legkap (complete data) y = μ + α + ε j j utuk = 1,..., a da j = 1,..., (.11.3) dega y j observas ke-j pada kelas ke-, μ adalah geeral mea, adalah pegaruh pada varabel y yag dobservas da terdapat pada α Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

31 36 kelas ke-, da j ( 0, ) ε j IID σ ε. ε adalah resdual. Dasumska IID( 0, σ α ) α da Jka dbetuk ke dalam formulas matrks maka persamaa (.11.3) dapat dbetuk mejad ( ) y = ι μ +dag ι α + ε. (.11.4) N Dapat dperoleh bahwa ekspektas dar y da varas dar y ( ) ( ) ( ) ( ι μ ) ( ι ) E y = E +E dag α + E ε N ( μ ) ( ) ( α) ( ε) = ι E +dag ι E + E N ( ) + dag ( ) = ι E μ ι 0+ 0 N = ι E N ( μ ) = ι Nμ var ( ) var ( ιnμ +dag( ι ) ) V = y = α + ε ( ) ( ) = E dag ( ι ) α dag ( ι ) α + E εε ( ι ) ( αα ) ( ι ) ( εε ) = dag E dag + E ( ι ) σαi dag ( ι ) = dag + σ I a ε N ( J ) = σ dag + σ I α ε N Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

32 37 ( σ J σ I ) = dag α + ε sehgga dperoleh bahwa y IID Nμ, V = dag ( σαj + σεi ) ( ) ι.(.11.5) Ddefska Betwee da Wth Sums of Squares yag merupaka dasar dar aalyss of varace utuk persamaa (.11.3) adalah a ( ) y. y.. y. Ny.. (.11.6) SSA = = = 1 a ( ) yj y. yj y. (.11.7) SSE = = = 1 j= 1 j dega N =. Persamaa (.11.6) da (.11.7) jka dtrasformas ke dalam betuk matrks aka mejad da SSA = y Ny... =. ι y y.. ι Ny y = y J y yj y dag ( ) N = ya y A = J J (.11.8) utuk dag ( ) 1 1 N SSE = yj y. j = yy ι y y. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

33 38 ( ) = yi y y dag J y N ( ) = ya y utuk A = I dag J. (.11.9) N Selajutya aka dperoleh ekspektas dar masg-masg sum of squares dalam formulas matrks berdasarka teorema da peryataa (.11.5) adalah: ( SSA) ( yay ) E E = 1 ( AV ) ( y ) A ( y ) = tr + E E 1 1 ( ( J ) J ) ( ) N σ J σ I = tr dag dag α + ε ( dag ( J ) J ) + μι ι μ N N N ( ( JJ )) ( ) J N J ( ) = σ α tr dag tr dag ( tr ( dag ( J )) tr ( J ) ) N σε N μ N + + N = σα + σ ε N N da σα ( a 1) σ ε. (.11.10) = N + N ( SSE) ( yay ) E E = ( AV) ( y ) A ( y ) = tr + E E Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

34 39 ( IN ( J )) ( σ J ) σ I = tr dag dag α + ε ( IN dag ( J ) ) + μι ι μ N N ( IN ( J )) ( J ) J ( ) = σ α tr dag tr dag ( IN ( I )) ( J ) I + σ ε tr dag tr dag ( ) N + μ = σα + σ ε N N = σα N + σε N a N ( ) ( ) ( N a) = N a. (.11.11) σ ε Berdasarka prsp metode mome pada peaksra ANOVA maka dlakuka peyamaa atara persamaa (.11.8) dega persamaa (.11.10) da persamaa (.11.9) dega persamaa (.11.11). Kemuda σ ε da σ α pada persamaa (.11.10) da (.11.11) dsubsttus dega σ ˆε da ε ( N a) σ ˆα, sehgga dperoleh SSA = N ˆ σα + ( a1) ˆ σ ε N. (.11.1) SSE = ˆ σ Persamaa (.11.1) meghaslka peaksr Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008

35 40 SSE ˆ SSA ˆ σ = a 1 SSE σ = ε ( N-a) da ( ) α ( N- a ) N N (.11.13) Jka dsesuaka dega betuk umum yag sebelumya dperoleh dar metode ANOVA, maka ( N a) 0 Cσ ˆ = s ˆ σ SSE = a 1 N ˆ N sehgga dega metode ANOVA dperoleh σ ˆ = ε (.11.14) σ SSA α C -1 s 1 ( ) 0 Na ˆ σ SSE ε ( a1) 1 = ( ) ˆ σ Na SSA α N N (.11.15) yag mejad peaksr utuk kompoe varas σ ε da σ α. Pegguaa Metode..., Rmbu Budma, FMIPA UI, 008