KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)"

Transkripsi

1 Pegatar Teor Pegkodea (Codg Theory) KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Dose Pegampu : Al Sutjaa DISUSUN OLEH: Nama : M Zak Ryato Nm : /5679/PA/8944 Program Stud : Matematka JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA 6 6 oleh M Zak Ryato emal:

2 CYCLIC CODES Pedahulua Salah satu bahasa yag palg petg pada lear codes adalah cyclc codes (kode sklk) Secara umum kode lebh mudah utuk dmplemetaska da mempuya aplkas yag luas Dlhat dar sudut padag teor aljabar, kode sagat meark utuk dpelajar Bayak dar kode-kode yag dturuka dar cyclc code Kta mula dega membahas tetag pedefsa suatu cyclc subspace Defs Suatu subruag S atas V ( F ) dsebut cyclc subspace (subruag sklk) jka ( a, a,, a, a ) S, maka ( ) a, a, a,, a S Dega kata la, S merupaka suatu subspace da utuk setap vektor a S, setap cyclc shft (pergesera sklk) juga berada d dalam S Defs subspace Suatu lear code C dsebut cyclc codes (kode sklk) jka C merupaka cyclc Karea cyclc code merupaka lear code, maka suatu cyclc code mempuya codeword da tertutup terhadap operas pejumlaha Cotoh { } 4 ( ) ) ( ) S = V Z merupaka cyclc subspace { } 4 ( ) ) ( ),( ) S = V Z merupaka cyclc subspace ) S = {( ),( ),( ),( ),( ),( ), ( ),( )} merupaka cyclc subspace pada 7 ( ) V Z 6 oleh M Zak Ryato emal:

3 4) Subset d bawah buka merupaka cyclc subspace atas V4 ( Z ) S = {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )},,,,,,, Setap cyclc shft (pergesera sklk) dar codeword () tdak berada d dalam S S juga buka merupaka subspace, sebab d dalam S tdak tertutup terhadap pejumlaha Rgs da Ideals Defs Suatu rg komutatf dega uty ( R, +, ) adalah suatu struktur aljabar yag terdr dar suatu hmpua R da dua operas ber yag dotaska dega + da * yag memeuh sfat-sfat utuk semua a, b, c R ) ( R, + ) merupaka grup abela dega eleme dettas e ) ( a * b) * c a* ( b* c) = ) ( a b)* c a* c b* c + = + da ( ) c* a + b = c * a + c* b 4) Terdapat suatu eleme R sehgga a * = * a = a 5) a * b = b* a Cotoh ) Hmpua semua blaga bulat terhadap operas pejumlaha da perkala membetuk suatu rg ( Z, +,*), dotaska dega Z ) Hmpua semua blaga bulat postf modulo merupaka rg, dotaska dega Z ) Hmpua semua polyomal dega koefseya adalah eleme suatu feld (lapaga) F atas rg R Rg dotaska dega F[x] Dua operasya adalah pejumlaha da perkala polyomal 6 oleh M Zak Ryato emal:

4 4 Dar ) dapat dkostrukska suatu rg dega eleme yag berhgga sebaga berkut Dberka sebarag polyomal tdak ol f ( x) F[ x], ddefska dua polyomal h( x), g( x) F[ x], h(x) da g(x) dsebut kogrue atas polyomal modulo f(x) jka da haya jka f(x) membag h(x) g(x), yatu h(x) da g(x) mempuya ssa yag sama apabla dbag dega f(x) Kogrues membetuk relas ekuvales da membetuk parts-parts, dega klas-klas ekuvales memuat g(x) yag dotaska daga [g(x)] kemuda ddefska sebaga { } [ g( x)] = h( x) : h( x) g( x) (mod f ( x)) Dberka R = F x f x = { g x g x F x } [ ]/( ( )) [ ( )]: ( ) [ ] Ddefska operas pejumlaha da perkala pada klas-klas ekuvales sebaga berkut da [ g( x)] + [ h( x)] = [ g( x) + h( x)] [ g( x)]*[ h( x)] = [ g( x)* h( x)] Maka ( R, +,*) merupaka rg da dsebut dega rg polyomal atas F modulo f(x) Defs jka Dberka rg ( R, +,*) Suatu subset tak kosog I R dsebut deal dar rg R ) ( I, + ) merupaka grup, da ) * r I utuk setap I da setap r R Ideal memaka pera yag petg d dalam mempelajar cyclc subspace atas V ( F ) Pada subbahasa aka dpelajar pembetuka korespodes - atara deals dar rg polyomal atas F modulo x da cyclc subspace atas V ( F ) Salah satu cara utuk megkostruks suatu deal adalah sebaga berkut Ambl sebarag g R, g da betuk 6 oleh M Zak Ryato emal:

5 5 { } I = g * r : r R Mudah utuk meujukka bahwa I adalah deal I dsebut dega deal yag dbagu oleh g Tetap tdak selalu mugk utuk megkostruks semua deal dar suatu rg dega cara sepert tu Apabla rg R mempuya sfat bahwa utuk sebarag deal I atas R terdapat suatu eleme g I sehgga I = { g * r : r R}, maka R dsebut dega prcpal deal rg Teorema F[x] merupaka suatu prcpal deal rg Teorema F[x]/(f(x)) merupaka suatu prcpal deal rg Cotoh Dberka R = Z [ x ]/( f ( x )) dega 6 f ( x) = x da hmpua { } I =, + x + x, x + x + x, + x + x + x + x + x I merupaka suatu deal dar R Mudah utuk membuktka bahwa ( I, + ) merupaka grup Ideal I tersebut dbagu oleh g( x) x x 4 = + + Ideal da Cyclc Subspace Telah kta ketahu bahwa V ( F ) merupaka grup abela terhadap operas pejumlaha vektor Aka kta pelajar sfat-sfat dar suatu rg dega medefska suatu operas perkala atara dua vektor Cara yag palg mudah adalah dega megasoska suatu polyomal pada F[x] dega setap vektor pada V ( F ) Jka v = ( aa a ), kemuda dberka v x a a x a x ( ) = oleh M Zak Ryato emal:

6 6 Selajutya, utuk medefska suatu operas perkala vektor, kta plh polyomal f ( x) = x F[ x] Kemuda, utuk v, v V ( F ), dberka v ( x) v( x) = v( x) dmaa v( x ) merupaka polyomal dega derajad yag lebh kecl dar klas-klas ekuvales [ v ( x) v( x )] atas F[ x]/( f ( x )) Dega kata la, v( x ) adalah ssa dar polyomal ketka v ( x) v( x) dbag oleh f ( x ) Dega operas perkala yag telah ddefska d atas, da dega betuk pegasosasa atara polyomal-polyomal da vektor-vektor, dapat kta perhatka betuk dar V ( F ) da F[ x]/( f ( x )) Suatu eleme dar V ( F ) dapat dsajka sebaga suatu -tuple atas F atau suatu polyomal dega derajad palg besar adalah - atas F Kompoe-kompoe dar -tuple merepresetaska koefse-koefse dar polyomal, dar order yag kecl ke order yag lebh besar Aka kta pelajar bagamaa memlh polyomal f ( x) = x yag dguaka utuk medefska operas perkala Dberka v = ( aa a ) V ( F) v( x) = a + a x + + a x xv( x) = a x + a x + + a x Kemuda apabla x ( mod f ( x) ) berakbat x ( mod f ( x) ) xv( x) a a x a x a x = = a aa a ( ), Sehgga da dapat kta lhat bahwa megalka dega x dapat membetuk korespodes pada suatu cyclc shft dar v Dega observas kta dapat membetuk suatu teorema yag sagat medasar da petg dalam mempelajar cyclc code Teorema Suatu subset tak kosog S atas V ( F ) merupaka suatu cyclc subspace jka da haya jka hmpua polyomal I yag dasosaska dega S merupaka suatu deal dar rg R atas polyomal yag dasosaska dega V ( F ) 6 oleh M Zak Ryato emal:

7 7 Teorema 4 Dberka deal I tak ol pada V ( F ) da dberka moc polyomal g( x ) dega derajad yag merepresetaska suatu klas-klas dar I, maka [ g( x )] (serg dtuls g( x ) ) membagu I da g( x ) membag f ( x) = x Teorema 5 Terdapat dega tuggal suatu moc polyomal dega derajad lebh kecl yag membagu suatu deal tak ol I atas V ( F ) Teorema 6 Dberka moc polyomal h( x ) yag membag f ( x) = x Maka h( x ) merupaka geerator polyomal (polyomal pembagu) dar deal { ( ) ( ) : ( ) } I = a x h x a x R atas R = F[ x]/( x ) Teorema 7 Terdapat suatu korespodes - atara cyclc subspace dar V ( F ) da moc polyomal g( x) F[ x] yag membag f ( x) = x Cotoh 4 Dberka V7 ( Z ) da f x 7 ( ) x = Faktorsas dar f ( x ) adalah Moc yag membag f ( x ) adalah 7 x x x x x x = ( + )( + + )( + + ) 6 oleh M Zak Ryato emal:

8 8 g ( x) = g ( x) = x + g x = x + x + ( ) g x = x + x + 4( ) g x = x + x + x + 5( ) ( )( ) g x = x + x + x + 6( ) ( )( ) g x x x x x 7 ( ) = ( + + )( + + ) g ( x) = f ( x) 8 g ( ) 5 x membagu cyclc subspace S = {( ),( ),( ),( ),( ),( ), ( ),( )} g ( ) 7 x membagu cyclc subspace S = {( ),( )} V7 ( Z ) mempuya tepat 8 cyclc subspace Teorema 8 a a a Dberka f ( x) = x dega f ( x) = p ( x) p ( x) p t ( x) dega p ( x) p ( x) utuk j adalah rreducble (tak dapat dfaktorka) moc polyomal j atas F, da a merupaka blaga bulat postf, t Maka V ( F ) memuat sebayak t cyclc subspace ( a + )( a + )( a t + ) Teorema 9 Dberka moc polyomal g( x ) yag membag f ( x) = x atas F yag mempuya derajad -k Maka g( x ) merupaka geerator polyomal utuk suatu cyclc subspace V ( F ) yag mempuya dmes k 6 oleh M Zak Ryato emal:

9 9 Cotoh 5 Msalka aka kta kostrukska suatu bary cyclc (7,4)-code Karea g x x x ( ) = + + adalah moc yag membag 7 x, ( ) g x membagu suatu cyclc subspace pada V7 ( Z ) yag mempuya dmes 4 Cotoh 6 Msalka kta aka megkostruks suatu bary cyclc (5,9)-code Karea 4 g( x) = ( + x + x )( + x + x ) adalah moc yag membag 5 x atas Z da g( x ) mempuya derajad 6, g( x ) membagu suatu cyclc subspace yag berdmes 9 4 Matrks Geerator da Matrks Party-Check Dberka g( x ) sebaga geerator dar suatu cyclc (,k)-code C atas F Dar pembahasa sebelumya, dapat dketahu bahwa g( x) mempuya derajad -k, da setap codeword d C mempuya betuk a( x) g( x ) Berdasarka Teorema 9, kta asumska deg a( x) k Kemuda dberka suatu message space (ruag message) yag terdr dar semua polyomal atas F yag mempuya derajad kurag dar atau sama dega k- Kemuda message a( x ) dkodeka mejad codeword a( x) g( x ) Karea a( x) g( x ) mempuya derajad yag palg besar adalah -, maka tdak perlu mereduks dega modulo f ( x) = x Suatu matrks geerator utuk C dberka sebaga berkut G g( x) x g( x) = x g( x) x k : g( x) 6 oleh M Zak Ryato emal:

10 Cotoh 7 Dketahu f x 7 ( ) = x g( x) x x = + + membagu suatu (7,4)-cyclc code atas Z Message space yag terdr dar semua polyomal atas Z dega derajad terbesar adalah Msalka kta mempuya polyomal a( x) x x = + +, maka ( ) a x dkodeka mejad codeword polyomal a( x) g( x) x x x x x x = Pada vektor ber, message 4-tuple () dkodeka mejad codeword () Matrks geeratorya adalah g( x) x g( x) G = = x g( x) x g( x) Utuk mekodeka a = (), htug ag = () Setelah kta megetahu polyomal yag membagu suatu cyclc code C, bagamaa dega polyomal yag membagu dar dual code C dar C Aka kta lhat bahwa jka C adalah cyclc code, maka C juga merupaka cyclc code Msalka h( x) = f ( x) / g( x) dega f ( x) = x da g( x ) merupaka moc polyomal yag membag f ( x ), da g( x ) membagu C jka deg g( x) = k, maka deg h( x) = k Karea g( x ) moc, maka h( x ) juga moc Akbatya h( x ) membagu suatu cyclc code C ' yag berdmes -k Msalka c ( x) = a ( x) g( x) C da c ( x) = a ( x) h( x) C ' Maka ( ) c ( x) c ( x) = a ( x) g( x) a ( x) h( x) = a ( x) a ( x) f ( x) mod f ( x) Dega perkala polyomal mod f ( x ), sebarag codeword dar C dkalka dega sebarag codeword dar codeword Apakah megakbatka C ' meghaslka polyomal yag berkorespodes dega C ' adalah dual code dar C? Jawabaya adalah tdak, sebab jka hasl perkala dua polyomal d dalam F[ x]/( f ( x )) adalah tdak megakbatka vektor yag berkorespodes d V ( F ) orthogoal, yatu mempuya 6 oleh M Zak Ryato emal:

11 er product atas F Aka kta tujukka bahwa kode yatu keduaya merupaka kode yag ekuvale da Msal dberka dua vektor da hasl perkala a = ( a a a ) C b = ( b b b ) C ', C ' da C salg berhubuga a( x) b( x) = a x a x c x mod x = = = utuk suatu c F Kostata dar hasl perkala adalah Karea x ( mod f ( x) ) c = a b + a b + a b + + a b, ( ), maka c dapat dtuls sebaga er produk c = a b, dmaa b adalah -tuple yag dperoleh dar b dega cyclcally shftg (meggeser secara sklk) b satu poss ke arah kr da kemuda meukar uruta kompoekompoe dar b Dega memperhatka perkala c x dega = t x aka megakbatka c t mejad kostataya, da merupaka kostata dar hasl perkala Akbatya t a( x)( x b( x)) ct = a b, t dega b mejad suatu -tuple yag dasosaska dega polyomal x b( x) Melhat betuk dar b( x), b merupaka vektor yag dperoleh dega meggeser secara sklk vektor b sebayak t+ poss ke arah kr da meukar uruta kompoe-kompoeya 6 oleh M Zak Ryato emal:

12 Cotoh 8 Msal dberka =, da vektor a = ( aaa ), b = ( bb b ) Kemuda dega modulo x, a( x) b( x ) = ( a + a x + a x )( b + b x + b x ) = ( ab + ab + ab ) + ( ab + ab + ab ) x + ( ab + ab + ab ) x Koefse dar x adalah a ( bb b ) ( b b b ) dperoleh dar b dega meggeser b secara sklk sebayak = poss dar ( bb b ) da meempatka koefse terakhr ke koefse pertama, sehgga dperoleh ( bbb ) Karea a( x) b( x) ( mod x ), koefse dar setap x haruslah Hal megakbatka a c = (yatu a da c salg orthogoal) dmaa c adalah sebarag cyclc shft dar vektor yag dperoleh dar b dega meukar kompoe b Karea h( x ) k membagu C ', maka { h( x), xh( x),, x h( x) } merupaka bass utuk adalah matrks geerator utuk h( x) x h( x) G ' = : k x h( x) C ' Akbatya G ' membagu kode C ' da C ', dega dmes C ' adalah -k yag juga sama dega dmes dar C Dega megguaka b( x ) d atas mejad h( x ), aka kta lhat bahwa dega meukar kolom terakhr dar G ' ke kolom pertama, kta aka memperoleh suatu matrks H yag membagu C, da matrks merupaka matrks party-check utuk C Cotoh 9 Msalka kta aka megkostrukska suatu matrks geerator da matrks party-check utuk suatu (7,4)-bary cyclc code Karea g( x) x x = + + membag f x 7 ( ) x =, 6 oleh M Zak Ryato emal:

13 maka g( x ) membagu (7,4)-cyclc code tersebut h( x) = f ( x) / g( x) = + x + x + x 4 membagu suatu (7,)-cyclc code C ' Matrks geerator utuk C adalah g( x) x g( x) G = = x g( x) x g( x) Matrks geerator utuk C ' adalah G h( x) x h( x) ' = x h( x) = Dega meukar kolom terakhr ke kolom pertama dar utuk C yatu G ', dperoleh matrks geerator H = T Dapat dtujukka bahwa GH = Karea vektor, maka C ' da C C ' da C dapat dperoleh dega meukar kompoe-kompoe pada semua merupaka kode yag ekuvale Jad C merupaka dual code dar C h( x ) dkataka membagu dual code yag juga membagu dar kode yag ekuvale dega dual codeya Dega mudah dapat dlhat dar kostruks H bahwa C juga merupaka cyclc code 6 oleh M Zak Ryato emal:

14 4 Defs Dberka polyomal k h( x) = a x dega derajad k ( a ) Ddefska = k recprocal polyomal hr ( x ) dar h( x ) dega k = = h ( x) a x k Dapat dlhat bahwa h ( x) = x h( x), dega k = deg h( x) R R k Teorema Dberka g( x ) moc yag membag f ( x) = x (atas F) dega derajad - k yag mejad geerator utuk cyclc (,k)-code Dberka h( x) = f ( x) g( x) Maka h ( x ) adalah recprocal polyomal dar h( x ) yag membagu C R Polyomal h(x) serg dsebut dega party-check polyomal 5 Ecodg Cyclc Codes Dberka polyomal g( x ) yag membagu suatu cyclc (,k)-code C atas F Suatu matrks geerator utuk C dega betuk [ R I k ] yag dkostrukska sebaga berkut Baglah k x + dega g( x ) utuk k Dperoleh k x + = q ( x) g( x) + r ( x) dega deg r ( x) < deg g( x) = k atau r ( x ) = Maka k x + r ( x) = q ( x) g( x) C k Jka kta megambl vektor-vektor koefse yag berkorespodes dega x + r ( x) sebaga bars-bars dar suatu matrks, maka kta aka memperoleh suatu matrks geerator dega betuk [ R I k ], dmaa bars-bars dar R berkorespodes dega r ( x), k 6 oleh M Zak Ryato emal:

15 5 Cotoh Msal dberka bary cyclc (7,4)-code sepert cotoh 9, yag dbagu oleh g( x) x x = + + Dega algortma pembaga, dperoleh x = x + x x ()( ) ( ) 4 x = ( x)( x + x + ) + ( x + x ) 5 x = ( x + )( x + x + ) + ( + x + x ) 6 x = ( x + x + )( x + x + ) + ( + x ) Matrks geerator utuk kode tersebut adalah G = = [ R I ] 4 dega R = Bars-bars dar R berkorespodes dega polyomal x, x x, x x da + x Suatu message m=() dkodeka mejad c = mg = ( ) Padag suatu message polyomal a( x) k = a x = Telah kta ketahu bahwa a( x) g( x ) adalah suatu codeword tetap dega megguaka a( x) g( x ) formato symbols mejad tdak jelas Jka G = [ R I k ] adalah matrks geerator utuk C, maka message symbols ( aa a ) teryata berada d k poss terakhr dar codeword Codeword yag berkorespodes dega message a( x ) dapat dtetuka k 6 oleh M Zak Ryato emal:

16 6 k dega melakuka operas perhtuga sebaga berkut Baglah x a( x) utuk medapatka dega g( x ) k x a( x) = q( x) g( x) + t( x) atau k q( x) g( x) = t( x) + x a( x), dega t( x ) = atau deg t( x) < deg g( x) = k Maka q( x) g( x ) adalah suatu codeword dega formato symbols sebayak k yatu ( aa a ) yag mejad k kompoe terkahr, da k party-check symbols, koefse dar t( x) merupaka k kompoe pertama k Cotoh Dberka g( x) x x = + + yag membagu suatu bary cyclc (7,4)-code Msalka kta g mecar suatu codeword c yag mempuya formato symbols () pada 4 poss terakhr Ambl a( x) x x = + + Kemuda x a( x) dbag dega g( x ), x a x x x x g x ( ) = ( ) ( ) + da 5 6 ( x + x + x + ) g( x) = + x + x + x Oleh karea tu c = ( ) merupaka codeword dega formato symbols () dega poss teratas Dberka suatu cyclc (,k)-code dega geerator polyomal k k g( x) = g + gx + + g k x + x da matrks geerator G = [ R I k ] Bars-bars R adalah egated coeffcets dar polyomal ssa yatu r ( x), k dmaa k x + = q ( x) g( x) + r ( x), 6 oleh M Zak Ryato emal:

17 7 deg r ( x) < deg g( x) atau r ( x ) = Kemuda k party-check symbols utuk formato symbols ( aa a ) dberka sebaga k k ar ( x) = Pada kasus ber, kta dapat megkodeka dega suatu algortma yag sederhaa da efse, da mudah utuk dmplemetaska pada hardware (peragkat keras) Algortma dguaka utuk megkodeka suatu pesa m = ( a a a ) mejad codeword c s s s a a a = ( k k ) k Ecodg Algorthm for Bary Cyclc Codes gˆ ( g g g ) Let = k Let Message symbols ( aa ak ) Let Party-check symbols s = ( ss s k ) () Set s =, j k () Set = j () If a = s the k Otherwse (4) = + k For j from k to, set s = s = j s j For j from k to, set s = s + g s = g (5) If > k, stop Otherwse, go to () j j j 6 oleh M Zak Ryato emal:

18 8 Pejelasa sgkat tetag algortma Dega megguaka matrks geerator G = [ R I k ], kemuda, sepert pada pejelasa sebelumya, k party-check symbols berkorespodes dega suatu message a( x ) yatu koefse-koefse dar t( x) dmaa k x a( x) = q( x) g( x) + t( x) k Utuk meghtug t( x ), kta htug x a( x)(mod g( x)) Karea dperoleh a( x) a a x a x k = k x a( x) = a x + a x + + a x k k k + k Dega memperhatka proses perkalaya, hal sama halya dega meghtug (((( k ) k ) k ) ) a x x + a x x + a x x + + a x k k k k Setap ekspres dalam kurug, mula dar yag palg dalam, berkorespodes dega suatu teras sesua dega algortma Reduks dega modulo g( x ) pada setap teras aka dambl da pada pejumlaha pada tap teras tersebut yag berkorespodes dega s, yatu suatu polyomal dega derajad terbesar adalah k Selama teras ke- berlagsug, s dkalka dega x, da djumlahka a k k x Maka s aka mempuya derajad k, sebab betuk k x dperoleh dar prosesproses pergesera atau pejumlaha Utuk megambl ssa dar modulo g( x ), k x dreduks dega meghlagkaya da mejumlahka kembal gˆ( x) = g( x) x k (karea x gˆ( x)(mod g( x)) ) Jka = sebelum s dgeser, maka pergesera s k k meghaslka suatu k x, aka memerluka perhtuga ulag kembal Jka k a =, 6 oleh M Zak Ryato emal:

19 9 maka hal memerluka perhtuga ulag kembal (ecesstates feedback) Jka keduaya s k da k k a adalah, maka x + x (mod ), da aka megakhr k perhtuga yag laya Oleh karea tu perhtuga ulag (feedback) dperluka dalam melakuka teras jka da haya jka s k a k Setelah teras ke-k, suatu (,k)-tuple s k berkorespodes dega x a( x) (mod g( x)), da meghaslka k party-check symbols Utuk megguaka skema pegkodea, matrks geerator G = [ R I k ] tdak harus dsajka secara ekplst Cotoh Pada cotoh, g( x) x x = + + membagu suatu bary cyclc (7,4)-code Kta aka megkodeka message m = () sabaga berkut Kta mempuya gˆ = ( ggg ) = (), ( aaa a ) = (), da kta mula dega ( sss ) = () s ak 4 Dperoleh party-check symbols adalah () Maka message m = () tersebut dkodeka mejad codeword c = ( ) 6 oleh M Zak Ryato emal:

20 Cotoh Dberka g( x) x x x x = geerator utuk suatu bary (5,7)-code C Aka kta kodeka suatu message m = () sebaga berkut Kta mempuya g ˆ = ( ) s ak Message m dkodeka mejad codeword c = ( ) DAFTAR PUSTAKA Vastoe, Scott A ad va Oorschot, Paul C, 989, A Itroducto to Error Correctg Codes wth Applcatos, Kluwer Academc Publshers, Massachusetts, USA 6 oleh M Zak Ryato emal:

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Codg Theory KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Muhamad Zak Ryato NIM: 2/56792/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd http://zakmathwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sutjaa, MSc Pedahulua Salah satu bahasa yag palg petg pada lear

Lebih terperinci

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER TUGAS ATA KULIAH TEORI RING LANJUT ODUL NOETHER Da Aresta Yuwagsh (/364/PPA/03489) Sebelumya, telah dketahu bahwa sebaga rg dega eleme satua memeuh sfat rata ak utuk deal-deal d. Apabla dpadag sebaga modul,

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Bulet Ilmah Mat. Stat. da Terapaya (Bmaster) Volume 03, No. 2(204), hal 35 42. SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Suhard, Helm, Yudar INTISARI Fugs terbatas merupaka fugs yag memlk batas atas da batas

Lebih terperinci

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS NORM VEKTOR DN NORM MTRIK umaag Muhtar Gozal UNIVERIT PENDIDIKN INDONEI. Pedahulua Jka kta membcaraka topk ruag vektor maka cotoh sederhaa yag dapat kta ambl adalah ruag Eucld R. D ruag kta medefska pajag

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu.

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu. BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa yag varabel bebasya ( berpagkat palg tgg satu. Utuk regres ler sederhaa, regres ler haya melbatka dua varabel ( da. Persamaa regresya dapat dtulska

Lebih terperinci

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP Msal dguaka kode ler C[, k, d] dega matrks pembagu G da matrks cek partas H. Sebuah blok formas x = x 1 x 2 x k, x = 0 atau 1, yag aka dkrm terlebh

Lebih terperinci

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real. BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fugs dega doma berupa hmpua blaga asl N. ebuah barsa kompleks

Lebih terperinci

Extra 4 Pengantar Teori Modul

Extra 4 Pengantar Teori Modul Extra 4 Pegatar Teor odul Apabla selama dkealka suatu kosep aljabar megea ruag vektor, maka modul merupaka perumuma dar ruag vektor. Pada modul, syarat skalar dperumum mejad eleme pada suatu rg da buka

Lebih terperinci

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat. KALKULUS LANJUT Pertemua ke-4 Rey Ra Marlaa, S.S.,M.Stat. Plot Mater Notas Jumlah & Sgma Itegral Tetu Jumlah Rema Pedahulua Luas Notas Jumlah & Sgma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fugs yag daerah

Lebih terperinci

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SAU Pada baga sebelumya, kta telah membahas peerapa metoda Ruge-Kutta orde 4 utuk meyelesaka masalah la awal dar persamaa dferesal basa orde. Pada bab, kta aka melakuka

Lebih terperinci

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM 1 Megetahu perhtuga persamaa regres ler Meggambarka persamaa regres ler ke dalam dagram pecar TEORI PENUNJANG Persamaa Regres adalah persamaa matematka

Lebih terperinci

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruag Baach Sumaag Muhtar Gozal UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Satu kose etg d kulah Aalss ugsoal adalah teor ruag Baach. Pada baga aka drevu defs, cotoh-cotoh, serta sfat-sfat etg ruag Baach. Kta aka

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah BAB III INEGRAL RIEMANN-SIELJES. Pedahulua Pada Bab, telah dsggug bahwa ukura meghtug merupaka salah satu pedekata utuk membetuk proses ttk. Berkata dega masalah perhtuga, ada hal meark yag perlu amat,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa merupaka baga regres yag mecakup hubuga ler satu peubah acak tak bebas dega satu peubah bebas. Hubuga ler da dar satu populas dsebut gars regres

Lebih terperinci

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI BB 6 PRINSIP INKLUSI DN EKSKLUSI Pada baga aka ddskuska topk berkutya yatu eumeras yag damaka Prsp Iklus da Eksklus. Kosep dalam bab merupaka perluasa de dalam Dagram Ve beserta oepras rsa da gabuga, amu

Lebih terperinci

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Program Stud S1 Tekk Iformatka Fakultas Iformatka, Telkom Uversty SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Matematka Dskrt (MUG2A3) Halama 1 dar 6 Soal 1 Tetukalah eleme-eleme dar hmpua berkut! 2 x x adalah blaga real

Lebih terperinci

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu METODE FUNGS QUAS-FED SATU ARAMETER UNTUK MENYEESAKAN MASAAH ROGRAM NTEGER TAK NEAR Ra Hardyat (M4) ABSTRAK Dalam kehdupa sehar-har serg djumpa masalah optmas yag membutuhka hasl teger Masalah tersebut

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema II. LANDAAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teoremateorema ag medukug utuk pembahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorema tersebut dtulska sebaga berkut.. Teorema Proeks Teorema

Lebih terperinci

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Masalah Norm Mmum (Karat) MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Karat da Dhorva Urwatul Wutsqa Jurusa Peddka Matematka FMIPA Uverstas Neger Yogakarta Abstract I ths paper, wll be dscussed

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu BAB II LADASA TEORI Dalam pegambla sampel dar suatu populas, dperluka suatu tekk pegambla sampel yag tepat sesua dega keadaa populas tersebut. Sehgga sampel yag dperoleh adalah sampel yag dapat mewakl

Lebih terperinci

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK MODUL 4 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK. Pedahulua Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu persoala, bak megea sampel atau pu

Lebih terperinci

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK BAB ERROR PERHITUNGAN NUMERIK A. Tujua a. Memaham galat da hampra b. Mampu meghtug galat da hampra c. Mampu membuat program utuk meelesaka perhtuga galat da hampra dega Matlab B. Peragkat da Mater a. Software

Lebih terperinci

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling)

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling) Pearka Cotoh Acak Sederhaa (Smple Radom Samplg) Defs Jka sebuah cotoh berukura dambl dar suatu populas sedemka rupa sehgga setap cotoh berukura ag mugk memlk peluag sama utuk terambl, maka prosedur tu

Lebih terperinci

BAB III ISI. x 2. 2πσ

BAB III ISI. x 2. 2πσ BAB III ISI 4. Keadata Normal Multvarat da Sfat-sfatya Keadata ormal multvarat meruaka geeralsas dar keadata ormal uvarat utuk dmes. f ( x) [( x )/ ] / = e x π x = ( x )( ) ( x ). < < (-) (-) Betuk (-)

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai BAB LANDASAN TEORI. Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres regressso aalyss merupaka suatu tekk utuk membagu persamaa da megguaka persamaa tersebut utuk membuat perkraa predcto. Dega demka, aalss regres

Lebih terperinci

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI SUTU MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar Program Stud Matematka FMIP UNDIP JlProfSoedarto SH Semarag 575 bstract Ths research dscussed about how to obtaed

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab aka mejelaska megea ladasa teor yag dpaka oleh peuls dalam peelta. Bab dbag mejad beberapa baga, yag masg masg aka mejelaska Prcpal Compoet Aalyss (PCA), Egeface, Klusterg K-Meas,

Lebih terperinci

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF KELOMPOK A I GUSTI BAGUS HADI WIDHINUGRAHA (0860500) NI PUTU SINTYA DEWI (0860507) LUH GEDE PUTRI SUARDANI (0860508) I PUTU INDRA MAHENDRA PRIYADI (0860500)

Lebih terperinci

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan Aalsa Numerk Baha Matrkulas PENDAHULUAN Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah

Lebih terperinci

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA A. Ukura Gejala Pusat Ukura pemusata adalah suatu ukura yag meujukka d maa suatu data memusat atau suatu kumpula pegamata memusat (megelompok). Ukura pemusata data adalah

Lebih terperinci

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI MINGGU KE-0 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI Hubuga atar koverges Hrark atar koverges dyataka dalam teorema berkut. Teorema Msalka X da X, X, X 3,... adalah varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag

Lebih terperinci

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3. Pegkodea Matrks Ketetaggaa Matrks ketetaggaa A adaah matrks smetr, sehgga, dega memh semua eeme pada dagoa utama da eeme-eeme dbawah dagoa utama, maka aka

Lebih terperinci

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc &

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc & Notas Sgma Fadjar Shadq, M.App.Sc (fadjar_pg@yahoo.com & www.fadjarpg.wordpress.com Notas sgma memag jarag djumpa dalam kehdupa sehar-har, tetap otas tersebut aka bayak djumpa pada baga matematka yag la,

Lebih terperinci

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : 1410-8518 TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel BAB I PENDAHULUAN 1.1 Statstka Deskrptf da Statstka Iferesal Dewasa d berbaga bdag lmu da kehdupa utuk memaham/megetahu sesuatu dperluka dat Sebaga cotoh utuk megetahu berapa bayak rakyat Idoesa yag memerluka

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 1 Pegerta Regres Istlah regres pertama kal dperkealka oleh Fracs Galto Meurut Galto, aalss regres berkeaa dega stud ketergatuga dar suatu varabel yag dsebut tak bebas depedet varable,

Lebih terperinci

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu KORELASI 1 D dua kta tdak dapat hdup sedr, tetap memerluka hubuga dega orag la. Hubuga tu pada umumya dlakuka dega maksud tertetu sepert medapat kergaa pajak, memperoleh kredt, memjam uag, serta mta pertologa/batua

Lebih terperinci

BAB 2. Tinjauan Teoritis

BAB 2. Tinjauan Teoritis BAB Tjaua Teorts.1 Regres Lear Sederhaa Regres lear adalah alat statstk yag dperguaka utuk megetahu pegaruh atara satu atau beberapa varabel terhadap satu buah varabel. Varabel yag mempegaruh serg dsebut

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus 1. Pegerta Aljabar Max-Plus Aljabar Max-Plus adalah hmpua { } dega hmpua semua blaga real yag dlegkap dega operas maksmum, dotaska dega da operas pejumlaha yag

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab bers defs-defs da sfat-sfat yag petg yag berhubuga dega modul. Hal-hal tersebut dperlua dalam pembahasa megea modul jetf pada Bab III. 2.1. Modul Mata ulah Aljabar Ler membahas

Lebih terperinci

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran Kurkulum 013/006 matematka K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, kamu dharapka memlk kemampua berkut. 1. Dapat meetuka rata-rata data tuggal da data berkelompok..

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses peelta utuk megaalss aproksmas fugs dega metode mmum orm pada ruag hlbert C[ab] (Stud kasus: fugs rasoal) peuls megguaka defs teorema da kosep dasar sebaga berkut:.. Aproksmas

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup:

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup: PENDAULUAN D dalam modul Ada aka mempelajar teor gaggua bebas waktu yag mecakup: teor gaggua tak degeeras bebas waktu, teor gaggua degeeras bebas waktu, da efek Stark. Oleh karea tu, sebelum mempelajar

Lebih terperinci

FINITE FIELD (LAPANGAN BERHINGGA)

FINITE FIELD (LAPANGAN BERHINGGA) INITE IELD (LAPANGAN BERHINGGA) Muhamad Zak Ryao NIM: /5679/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd h://zakmahwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sujaa, MSc Jka suau laaga (feld) memua eleme yag bayakya berhgga, maka laaga

Lebih terperinci

POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA

POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA MODUL KULIAH ILMU UKUR TANAH POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA Pegerta : peetua azmuth awal da akhr, peetuat kesalaha peutup sudut,koreks sudut, kesalaha lear da koreks lear kearah sumbu X da Y, Peetua

Lebih terperinci

H dinotasikan dengan B H

H dinotasikan dengan B H Delta-P: Jural Matemata da Pedda Matemata ISSN 089-855X Vol., No., Aprl 03 OPERATOR KOMPAK Mustafa A. H. Ruhama Program Stud Pedda Matemata, Uverstas Kharu ABSTRAK Detahu H da H dua ruag Hlbert, B H )

Lebih terperinci

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi)

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi) B. Meghtug ukura pemusata, ukura letak da ukura peyebara data serta peafsraya A. Ukura Pemusata Data Msalka kumpula data berkut meujukka hasl pegukura tgg bada dar orag sswa. 0 cm 30 cm 5 cm 5 cm 35 cm

Lebih terperinci

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals JMP : Volume 4 Nomor, Ju 202, hal. 3-39 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals Sumardoo, Supama 2, da Soepara Darmawaa 3 PPPPTK Matematka, smrd2007@gmal.com 2 Mathematcs Departmet, Gadah Mada Uverst, supama@ugm.ac.d

Lebih terperinci

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL 3. Pegerta Masalah regres vers dega betuk lear dapat djumpa dalam berbaga bdag kehdupa, dataraya dalam bdag ekoom, kesehata, fska, kma

Lebih terperinci

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES * PENYAJIAN DATA Secara umum, ada dua cara peyaja data, yatu : 1. Tabel atau daftar. Grafk atau dagram Macam-macam daftar yag dkeal : a. Daftar bars kolom b. Daftar kotges c. Daftar dstrbus frekues Sedagka

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Sampa saat, model Regres da model Aalss Varas telah dpadag sebaga dua hal ag tdak berkata. Meskpu merupaka pedekata ag umum dalam meeragka kedua cara pada taraf permulaa,

Lebih terperinci

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN Peelta Operasoal II Teor Permaa 7 2 TEORI PERMAINAN 2 Pegatar 2 Krtera Tekk Permaa : () Terdapat persaga kepetga datara pelaku (2) Setap pema memlk stateg, bak terbatas maupu tak terbatas (3) Far Game

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-12 Sswato 1, Ar Suparwato 2, M Ady Rudhto 3 1 Mahasswa S3 Matematka FMIPA UGM da Staff Pegajar FMIPA UNS Surakarta,

Lebih terperinci

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE RISI IKLUSI- EKSKLUSI ICLUSIO- EXCLUSIO RICILE rsp Iklus-Eksklus Ada berapa aggota dalam gabuga dua hmpua hgga? A A = A A - A A Cotoh Ada berapa blaga bulat postf lebh kecl atau sama dega 00 yag habs dbag

Lebih terperinci

ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA

ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA ALJABAR LINTASAN LAVITT SMIPRIMA Ngrum Astrawat Program Stud Tekka, Akadem Martm Yogyakarta astramath@gmal.com ABSTRA. Suatu graf dapat drepresetaska sebaga aljabar ltasa da jka graf tersebut dperluas

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 38-50

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 38-50 Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 KETERKENALIAN SISTEM LINIER IFERENSIAL BIASA TIME-VARYING AN SISTEM LINIER IFERENSIAL PARSIAL ENGAN PENEKATAN MOUL ATAS OPERATOR IFERENSIAL

Lebih terperinci

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas TEKNIK SAMPLING Hazmra Yozza Izzat Rahm HG Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Adalas Defs Suatu cotoh gerombol adalah suatu cotoh acak sederhaa dmaa setap ut pearka cotoh adalah kelompok atau gerombol dar

Lebih terperinci

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas:

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas: ANALISIS REGRESI Pedahulua Aalss regres berkata dega stud megea ketergatuga satu peubah (peubah terkat) terhadap satu atau lebh peubah laya (peubah pejelas). Jka Y dumpamaka sebaga peubah terkat da X1,X,...,X

Lebih terperinci

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2 INTERVAL KEPERCAAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFIIEN VARIAI DARI DITRIBUI LOGNORMAL I. Pebrya * Bustam. ugarto Mahasswa Program Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas

Lebih terperinci

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani FMDAM (2) Chartas Fbra Techque for Order Preferece by Smlarty to Ideal Soluto () ddasarka pada kosep dmaa alteratf terplh yag terbak tdak haya memlk jarak terpedek dar solus deal postf, amu juga memlk

Lebih terperinci

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Ses NGAN INTEGRAL RIEMANN A. NOTASI SIGMA a. Defs Notas Sgma Sgma (Σ) adalah otas matematka megguaka smbol yag mewakl pejumlaha da beberapa suku yag memlk

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling BAB LANDASAN TEORI Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres adalah suatu proses memperkraka secara sstemats tetag apa yag palg mugk terjad dmasa yag aka datag berdasarka formas yag sekarag dmlk agar memperkecl

Lebih terperinci

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS C. Pembelajara 3 1. Slabus N o STANDA R KOMPE TENSI KOMPE TENSI DASAR INDIKATOR MATERI TUGAS BUKTI BELAJAR KON TEN INDIKA TOR WAK TU SUM BER BELA JAR Meerap ka atura kosep statstka dalam pemecah a masalah

Lebih terperinci

Bab II Teori Pendukung

Bab II Teori Pendukung Bab II Teor Pedukug.. asar Statstka Utuk keperlua peaksra outstadg clams lablty, pegetahua dalam statstka mead hal yag petg. asar statstka yag dguaka dalam tess atara la :. strbus ormal Sebuah peubah acak

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1).

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1). BAB II LANDASAN EORI.. Model Matematka Model Matematka merupaka represetas matematka yag dhaslka dar pemodela Matematka. Pemodela Matematka merupaka suatu proses merepresetaska da mejelaska permasalaha

Lebih terperinci

3/19/2012. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut

3/19/2012. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut 3/9/202 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema II. LANDASAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teorea-teorea ag edukug utuk pebahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorea tersebut dtulska sebaga berkut... Teorea Proeks Teorea proeks

Lebih terperinci

Ukuran Pemusatan Data. Arum Handini P., M.Sc Ayundyah K., M.Si.

Ukuran Pemusatan Data. Arum Handini P., M.Sc Ayundyah K., M.Si. Ukura Pemusata Data Arum Had P., M.Sc Ayudyah K., M.S. Notas utuk Populas da Sampel Notas: Mea (rata-rata) Sample x Populas μ Varas s 2 σ 2 Smpaga baku s σ Ukura Pemusata Data 1. Mea (rata-rata) 2. Meda

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Permutasi dan Kombinasi

Sudaryatno Sudirham. Permutasi dan Kombinasi Sudaryato Sudrham Permutas da Kombas Permutas Permutas adalah bayakya peelompoka sejumlah tertetu kompoe ya dambl dar sejumlah kompoe ya terseda; dalam setap kelompok uruta kompoe dperhatka Msalka terseda

Lebih terperinci

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis STATISTIK Ukura Gejala Pusat Ukura Letak Ukura Smpaga, Dspers da Varas Mome, Kemrga, da Kurtoss Notas Varabel dyataka dega huruf besar Nla dar varabel dyataka dega huruf kecl basaya dtuls Tmes New Roma

Lebih terperinci

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 IDAL DALAM ALJABAR LINTASAN LAVITT Ida Kura Walyat Program Stud Peddka Matematka Jurusa Peddka MIPA FKIP Uverstas Kharu

Lebih terperinci

4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data

4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data //203 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas Ukura

Lebih terperinci

PRAKTIKUM 7 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel

PRAKTIKUM 7 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel Praktkum 7 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel PRAKTIKUM 7 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel Tujua : Mempelajar metode Secat dega modfkas tabel utuk peelesaa

Lebih terperinci

PRAKTIKUM 5 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel

PRAKTIKUM 5 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel Praktkum 5 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel PRAKTIKUM 5 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel Tujua : Mempelajar metode Secat dega modfkas tabel utuk peelesaa

Lebih terperinci

UKURAN GEJALA PUSAT (UGP)

UKURAN GEJALA PUSAT (UGP) UKURAN GEJALA PUSAT (UGP) Pegerta: Rata-rata (average) alah suatu la yag mewakl suatu kelompok data. Nla dsebut juga ukura gejala pusat karea pada umumya mempuya kecederuga terletak d tegah-tegah da memusat

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP Lusa Tr Lstyowat Krstaa Waya M Fatekurohma Jurusa Matematka FMIPA Uerstas Jember e-mal: krstaa_waya@yahoocom da m_fatkur@yahoocom Abstract:

Lebih terperinci

Edge Anti-Magic Total Labeling dari

Edge Anti-Magic Total Labeling dari Edge At-Magc Total Labelg dar Charul Imro da Suhud Wahyud Jurusa Matematka Isttut Tekolog Sepuluh Nopember Surabaya mro-ts@matematka.ts.ac.d, suhud@matematka.ts.ac.d C Abstract We wll fd edge at-magc total

Lebih terperinci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari: 5 Mamum Lkelhood Estmato Defs Fugs Lkelhood Msalka X, X,, X adalah eubah acak d dega fugs massa eluag ( ; θ, dega θ dasumska skalar da tdak dketahu, maka rosedur fugs lkelhood daat dtulska sebaga berkut

Lebih terperinci

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi.

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi. Mea utuk Data Tuggal Des. Jka suatu sampel berukura dega aggota x1, x, x3,, x, maka mea sampel ddesska : 1... N 1 Mea utuk Data Kelompok Des Mea dar data yag dkelompoka adalah : x x 1 1 1 dega : x = ttk

Lebih terperinci

Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal

Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal Vol 5, No, 9-98, Jauar 9 But Teorema Ssa Cha dega egguaa deal asmal Abstra Sstem perogruea yag dapat dcar peyelesaaya secara teor blaga dasar teryata dapat dbuta melalu teor-teor strutur aljabar hususya

Lebih terperinci

Uji Statistika yangb digunakan dikaitan dengan jenis data

Uji Statistika yangb digunakan dikaitan dengan jenis data Uj Statstka yagb dguaka dkata dega jes data Jes Data omal Ordal Iterval da Raso Uj Statstka Koefse Kotges Rak Spearma Kedall Tau Korelas Parsal Kedall Tau Koefse Kokordas Kedall W Pearso Korelas Gada Korelas

Lebih terperinci

2.2.3 Ukuran Dispersi

2.2.3 Ukuran Dispersi 3 Ukura Dspers Yag aka dbahas ds adalah smpaga baku da varas karea dua ukura dspers yag palg serg dguaka Hubuga atara smpaga baku dega varas adalah Varas = Kuadrat dar Smpaga baku otas yag umum dguaka

Lebih terperinci

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB

IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB Semar Nasoal Tekolog 007 (SNT 007) ISSN : 978 9777 IMPLEMENTASI DAN KOMPARASI ATURAN SEGIEMPAT UNTUK PENYELESAIAN INTEGRAL DENGAN BATAS MENGGUNAKAN MATLAB Krsawat STMIK AMIKOM Yogyakarta e-mal : krsa@amkom.ac.d

Lebih terperinci

BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain

BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain Dalam ubbab 3., kta aka mempelaar alah atu fat petg dar kode wa-dual geap. Sfat terebut dberka oleh Teorema 3.(Teorema Gleao), Teorema ecara megeaka telah meetuka betuk

Lebih terperinci

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit) Jural Sas Matematka da Statstka, Vol., No. I, Jauar ISSN - Peyelesaa Sstem Persamaa Ler Kompleks Dega Ivers Matrks Megguaka Metode Faddev Cotoh Kasus: SPL Kompleks da Hermt F. rya da Tka Rzka, Jurusa Matematka,

Lebih terperinci

Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan bentuk kuadrat lengkap, diperoleh

Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan bentuk kuadrat lengkap, diperoleh Blaga Kompleks Feomea blaga kompleks arlah dua buah blaga ag jumlaha da haslkala juga Msalka blaga ag dcar adalah da w, dega kods + w = da w = Dar kods + w = dperoleh w = Gatka ke w =, dperoleh ( ) =,

Lebih terperinci

Regresi & Korelasi Linier Sederhana. Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton ( )

Regresi & Korelasi Linier Sederhana. Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton ( ) Regres & Korelas Ler Sederhaa 1. Pedahulua Gagasa perhtuga dtetapka oleh Sr Fracs Galto (18-1911) Persamaa regres :Persamaa matematk yag memugkka peramala la suatu peubah takbebas (depedet varable) dar

Lebih terperinci

EKSISTENSI BASIS ORTHONORMAL PADA RUANG HASIL KALI DALAM

EKSISTENSI BASIS ORTHONORMAL PADA RUANG HASIL KALI DALAM Ed-Math; ol Tah EKITENI BAI ORTHONORMAL PADA RUANG HAIL KALI DALAM Mhammad Kh Abstras at rag etor ag dlegap oleh sat operas ag memeh beberapa asoma tertet damaa Rag Hasl Kal Dalam (RHKD) Pada RHKD deal

Lebih terperinci

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI INTGRAL LBSGU PADA FUNGSI TRBATAS SKRIPSI Dajuka Kepada Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Neger Yogyakarta utuk memeuh sebaga persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sas Dsusu Oleh : Fauzah

Lebih terperinci

HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER. di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v, 1

HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER. di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v, 1 HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBA LINIER HIMPUNAN RENTANGAN Defs (Kombas Ler) Msala V suatu ruag etor atas feld F. w etor d V, da, 1, juga etoretor d V. Vetor w dataa sebaga ombas ler dar etor-etor, 1, ja w

Lebih terperinci

BAB 2 : BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN

BAB 2 : BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN Jl. Raya Wagu Kel. Sdagsar Kota Bogor Telp. 0251-8242411, emal: prohumas@smkwkrama.et, webste : www.smkwkrama.et BAB 2 : BUNGA, PERTUBUHAN DAN PELURUHAN PENGERTIAN BUNGA Buga adalah jasa dar smpaa atau

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika

TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika TEOREMA TITIK TETAP BANACH Skrps Dajuka utuk Memeuh Salah satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Matematka Program Stud Matematka Oleh: Wdaryata Ctra Nursata NIM : 348 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

Integrasi 1. Metode Integral Reimann Metode Integral Trapezoida Metode Integral Simpson. Integrasi 1

Integrasi 1. Metode Integral Reimann Metode Integral Trapezoida Metode Integral Simpson. Integrasi 1 Itegras Metode Itegral Rema Metode Itegral Trapezoda Metode Itegral Smpso Itegras Permasalaa Itegras Pertuga tegral adala pertuga dasar yag dguaka dalam kalkulus, dalam bayak keperlua. Itegral secara det

Lebih terperinci

ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito

ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito LJBR MX-PLUS DN PENERPNNY M. dy Rudhto Program Stud Peddka Matematka FKIP Uverstas Saata Dharma Yogyakarta 6 PRKT ljabar -plus merupaka suatu struktur aljabar d maa hmpua semua blaga real R {} dlegkap

Lebih terperinci

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih S2 MP Oleh ; N. Setyagsh MATERI PERTEMUAN 1-3 (1)Pedahulua pera statstka dalam peelta ; (2)Peyaja data : dalam betuk (a) tabel da (b) dagram; (3) ukura tedes setaral da ukura peympaga (4)dstrbus ormal

Lebih terperinci

Sampel dan Distribusi Sampling

Sampel dan Distribusi Sampling P Modul Sampel da Dstrbus Samplg PENDAHULUAN Prof. Dr. Zazaw Soejoet ada modul pertama, aka dpelajar terlebh dahulu megea sampel da sfat-sfatya serta samplg-ya. Mater sebearya telah bayak dsajka pada mata

Lebih terperinci

PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN

PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN Idah Vltr, Harso, Haposa Srat Mahassa Program S Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu

Lebih terperinci

TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE KUADRAT TERKECIL

TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE KUADRAT TERKECIL TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE KUADRAT TERKECIL Hesty ala, Arsma Ada, Bustam hestyfala@ymalcom Mahasswa Program S Matematka MIPA-UR Dose Matematka MIPA-UR

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten

BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten BAB III METODE PENELITIAN 3. Tempat da Waktu Peelta 3.. Tempat Tempat peelta dlaksaaka d SMP Neger 4 Tlamuta Kabupate Boalemo pada sswa kelas VIII. 3.. Waktu Peelta dlaksaaka dalam waktu 3 bula yatu dar

Lebih terperinci

Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval

Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval Jural Matematka & Sas Aprl 2015 Vol 20 Nomor 1 Atura Cramer dalam Aljaar Maks-Plus Iterval Sswato Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Uverstas Seelas Maret Surakarta e-mal: ssmpaus@yahoocod

Lebih terperinci