Bab II Teori Dasar. Data spasial adalah data yang memuat informasi lokasi. Misalkan z( ), i = 1,

Transkripsi

1 Bab II Teor Dasar II. Estmas Spasal Data spasal adalah data yag memuat formas lokas. Msalka z, =, s,,, s D, adalah data observas peubah acak d lokas atau koordat yag dyataka dega vektor s. Vektor koordat s adalah vektor yag meyataka lokas pegukura d suatu lapaga spasal D R. Atara satu lokas dega lokas laya terdapat kebergatuga, sehgga data spasal merupaka data depede karea data spasal dkumpulka dar lokas spasal yag berbeda yag megdkaska kebergatuga atara pegukura data dega lokas. Koleks peubah acak {(s), s D} dsebut proses spasal. Utuk selautya, peubah acak (s) yag berkata dega lokas dsebut peubah acak regoal. Suatu proses spasal dkataka stasoer kuat ka utuk sebarag koordat ttk s, s,..., s da utuk sebarag vektor h, yag berdmes sama dega s, berlaku F ( z, z,..., z ) = F ( z, z,..., z ) (.) s, s,..., s s+ h, s+ h,..., s+ h dega F adalah fugs dstrbus gabuga yag ddefska sebaga Fs s s( z, z,..., z ) = P( ( s ) z, ( s ) z,..., ( s ) z ) (.),,..., Suatu proses spasal dkataka megkut kestasoera orde ka memlk sfatsfat sebaga berkut. E[ ( s)]= m, utuk setap s D. Artya mea dar ada da tdak bergatug pada lokas.. Cov[ ( s), ( s+ h)] = C( h ), utuk setap ss, + h D. Artya kovaras atara () s da ( s+ h) d lokas s da s+ h haya bergatug pada paag da arah vektor h da tdak bergatug pada koordat s. 3

2 Suatu proses spasal dkataka bersfat trsk ka utuk setap vektor h da setap pasaga s da s+ hd D, berlaku. E [ ( s) ( s+ h)] = m( h) =, da var[ ( s) ( s+ h)] = E ( s) ( s+ h) = γ ( h), varas dar selsh. [ ] () s dega ( s+ h) haya bergatug pada paag da arah vektor h da tdak bergatug pada lokas s. Jka {(s), s D} stasoer kuat atau megkut stasoer orde maka a trsk. Namu tdak demka sebalkya. Besara γ ( h ) d atas dsebut uga varogram, sedagka γ ( h) dsebut semvarogram. Semvarogram adalah peragkat yag dguaka utuk meggambarka, memodelka, da meghtug korelas spasal atara peubah acak regoal () s da ( s+ h). Semvarogram dapat dtaksr dega megguaka data pegamata. Peaksr bag semvarogram dsebut sebaga semvarogram ekspermetal yag ddefska sebaga ˆ( γ h) = ( z( s + h) z( s )) (.3) N( h) = N h dega N ( h) meyataka hmpua pasaga koordat ( s, s ) yag + h dpsahka oleh vektor h tapa memperhatka uruta, da N( h ) meyataka bayakya aggota N ( h). Hal-hal yag perlu dperhatka dalam peghtuga semvarogram ekspermetal adalah sebaga berkut,. bla sampel hlag (mssg value) dar pola regular, la sampel yag hlag tersebut tdak perlu dterpolas dega megambl meaya atau meggatya dega la,. bla data regular, semvarogram dhtug utuk kelas arak dega toleras tertetu, 3. utuk meghtug semvarogram ekspermetal perlu dperhatka arah da paag arak atara ttk sampel, dega kata la perlu dperhatka arah da paag vektor h. 4

3 Jka {(s), s D} stasoer kuat atau megkut statoer orde, maka berlaku γ ( h) = C C( h ) (.4) dega C( h) adalah kovaras atara dar dua lokas yag dpsahka oleh vektor h. Besara C( h) dsebut uga kovarogram. Sedagka C() adalah suatu kostata yag merupaka kovarogram utuk h =. Kovarogram mempuya perlaku yag berkebalka dega semvarogram. Apabla semvarogram ak utuk suatu arak psah tertetu maka kovarogram aka turu pada utuk arak psah tersebut. Perhatka bahwa C() merupaka varas dar peubah rego (s). Jad pada h =, la kovarogram sama dega varas. Dar kovarogram C(h) dapat dbetuk struktur korelas spasal ρ( h ) (atau dsebut uga korelogram) dega rumusa C( h) ρ ( h) = C (.5) Hubuga atara kovarogram da semvarogram dapat dlustraska dega gambar berkut σ γ( h) C( h) h Gambar II.. Kurva semvarogram da kovarogram Kurva yag turu meggambarka kovarogram, sedagka kurva yag ak meggambarka semvarogram. Terlhat bahwa ka semvarogram ak, maka kovarogram turu. Utuk proses spasal yag stasoer atau megkut stasoer orde dua, semvarogramya terbatas oleh la C() (varas), artya la semvarogramya ak serg dega mak besarya arak h, da semak 5

4 medekat la C() tetap tdak aka melebh la tersebut. Dega kata la lm γ ( h) = C( ). Sedagka kovarogramya semak turu medekat ol h serg dega mak besarya arak h. Dega demka, korelas atara dua lokas pegukura aka semak berkurag serg dega mak besarya arak psah atara kedua lokas. Meurut Mathero (97), utuk proses spasal yag stasoer da trsk berlaku ( h) γ lm = h h (.6). Plot semvarogram ˆ( γ h) terhadap arak h memberka plot semvarogram ekspermetal. Semvarogram ekspermetal dar data basaya betukya tdak beratura sehgga sult dtafsrka da tdak dapat lagsug dguaka. Plot semvarogram ekspermetal harus dbuat utuk beberapa arah mata ag yag berbeda, sekurag kuragya empat arah mata ag yatu Barat-Tmur, Utara- Selata, Barat Laut Teggara, da Tmur Laut Barat Daya. Apabla plot semvarogram ekspermetal utuk keempat arah mata ag tersebut tdak terlalu berbeda secara sgfka maka semvarogram tersebut dkataka sotropk, artya la semvarogram haya bergatug pada h da tdak bergatug arah. Selautya la semvarogram ekspermetal aka dcocokka dega model semvarogram teorts utuk dguaka dalam peaksra. Beberapa model semvarogram teorts baku yag serg dguaka dataraya adalah:. model sperkal,. model ekspoesal, 3. model Gaussa, 4. model lear. II.. Semvarogram Ekspermetal Robust Persamaa.3 adalah persamaa semvarogram ekspermetal yag merupaka peaksr bag la semvarogram utuk suatu vektor h tertetu. Peaksr semvarogram yag dyataka oleh persamaa tersebut tdak robust, atau 6

5 dega kata la sagat mudah terpegaruh oleh data pecla (outlers) karea megguaka rata-rata sampel sebaga peaksr bag ekspektas. Rata-rata sampel adalah peaksr parameter lokas yag peka terhadap data pecla. Cresse da Hawks (98) megusulka suatu rumusa utuk meaksr varogram robust utuk data yag berdstrbus ormal. Salah satu peaksr parameter lokas yag robust adalah meda. Maka dega megguaka meda, dperoleh peaksr robust bag varogram yatu ˆ γ ( h) = meda s s :( s, s ) N( h) B( h ) (.7) dega N ( h) meyataka hmpua pasaga koordat ( s, s ) yag dpsahka 4 oleh vektor h tapa memperhatka uruta, da B( h) merupaka koreks bas ( B( h).457 ). II.. Krgg Krgg adalah metode estmas yag memberka taksra lear tak bas terbak (Best Lear Ubased Estmato) utuk suatu ttk atau blok. Terbak d s artya memlk varas mmum. Ketepata estmas krgg sagat bergatug dar model semvarogram yag dplh. Msalka adalah peubah acak rego d ttk koordat s, =,,...,. s Taksra ˆ( V ) d suatu daerah V (V dapat berupa sebuah ttk atau blok) dyataka dega kombas lear dar ( s ) dega bobot λ, yatu V ˆ = λ ( s ) = (.8) Utuk kasus khusus d maa V={ s }, maka ˆ( V ) dtuls sebaga ˆ( s ) Selsh la ( s ) yag sebearya dega la taksra ˆ( s ) dsebut galat krgg ε ( s ). Galat krgg dyataka oleh persamaa ˆ ε s = s s (.9) 7

6 Peaksr ( s ) yag dperoleh melau metode krgg memlk sfat tak bas (ubased estmator), dega kata la ( Var ε ( s )), mmum. ( s ) E ε =, da varas galatya, II... Ordary Krgg Proses spasal {(s), s D} dasumska stasoer dega rata-rata µ. Rata-rata tersebut sama dega la µ utuk setap ttk da uga utuk setap blok. Dega kata ( s ) = µ = E s E () ( ) (.) utuk setap ttk s da s D. Dalam ordary krgg, peaksr bag ( s ) dmodelka sebaga Ekspektas dar galat estmas adalah ˆ( s ) = λ ( s ) = (.) E ˆ( s ) ( s ) = E λ ( s ) ( s ) = λµ µ = µ λ (.) = = = Agar ˆ( s ) tak bas, dega kata la agar E ( ˆ( s ) s ) =, maka = λ haruslah sama dega. Varas dar galat estmas adalah ( ˆ ) Var ( s) ( s) = E λ( s) ( s) = (.3) Utuk memperoleh taksra dega varas galat yag mmum, maka varas galat harus dmmumka. Dega kata la, harus dcar koefse-koefse λ, λ,..., λ sedemka sehgga fugs E λ( s) ( s) m λ = = 8

7 mmum (parameter m adalah faktor pegal Lagrage utuk memastka bahwa = λ = ). Perhatka bahwa syarat = λ = meyebabka λ( s) ( s) = λ( s) ( s) λ( s) + ( s) = = = Dega demka = λλ ( s ) ( s ) ( s ) λ( s ) + ( s ) = = = λ λ λ = = = = ( s ) ( s ) ( s ) + ( s ) + λλ ( s ) ( s ) λ( s ) = = = λ ( s s s + s ) = = ( = = ) ( s s s s ) λλ + E λ( s) ( s) m λ = = ( s s ) λλ ( s s ) = λ = = = λ( ( s) ( s) ) λλ ( ( s) ( s ) ) λ = = = = = E m ( ) = s s = s s λe λλ E = = m λ = = λγ s s λλ γ s s m = = = λ (.4) = Sekarag permasalahaya mead meetuka koefse-koefse λ, λ,..., λ yag memmumka betuk (.4). Dega meuruka betuk (.4) terhadap λ, λ,..., λ, da m, da meyamaka haslya dega ol, dperoleh sstem persamaa 9

8 = = λγ λ = ( s s ) + m= γ ( s s ), =,,..., (.5) Jad koefse-koefse λ, λ,..., λ utuk peaksr krgg ˆ( s ) = λ ( s ) dapat dcar dega meyelesaka sstem persamaa (.5) terhadap λ, λ,..., λ. Varas dar galat estmas, atau dsebut uga varas krgg, dapat dyataka dega σ ( s ) = E λ( s ) ( s) = K = λγ s s + m = = ( = = = ) = λ γ s s λλ γ s s (.6) Persamaa (.5) dapat dyataka dalam betuk matrks, yatu γ γ γ λ γ γ γ γ λ γ = (.7) γ γ γ λ γ m dega γ =γ( ) s s, utuk, =,,...,. II... Krgg Mea Tuua ordary krgg adalah utuk meaksr la varabel regoal dega suatu fugs lear. Sekarag aka dturuka fugs lear utuk meaksr la mea yag tdak dketahu pada suatu lapaga spasal. Taksra bag mea tersebut dapat dtulska sebaga berkut µ= ˆ λ ( s ) = µ (.8)

9 Sepert sebelumya, peaksr tersebut haruslah tak bas da varas galatya mmum. Utuk medapatka peaksr yag tak bas, ekspektas dar galat haruslah sama dega ol. Jad haruslah Karea mea (s) adalah µ, maka haruslah E( µ ˆ µ ) = E λ µ = µ s (.9) = Varas galat estmas adalah λ µ = (.) = Var ( µ µ ˆ ) = Var λµ ( s) µ = λµ λµ C( s s) = = = (.) Sepert dalam ordary krgg, aka dcar bobot α, =,,...,, yag memmumka varas galat estmas dega batasa λ µ =. Maka = ddapatka bobot λ, =,,...,, yag memeuh merupaka solus dar sstem µ persamaa krgg = = λ C( s s ) = m, =,,..., µ µ λ = µ (.) dega m adalah faktor pegal Lagrage. µ Varas galat estmas, atau dsebut uga varas krgg, utuk peaksr adalah σ K = m µ (.3) II...3 Sequetal Krgg Sepert halya ordary krgg, sequetal krgg adalah estmator yag memmumka varas galat peaksra. Kumpula data (data set) dbag ke dalam beberapa subset da tap subset memugkka datum tuggal. Dalam tersedaya suatu data tambaha, sequetal estmator memperbak estmas

10 sebelumya dega megguaka bobot ler dar data yag baru da estmas sebelumya d suatu lokas. Pedekata sequetal krgg dapat meghlagka kesukara umerk sepert pada ordary krgg utuk meyelesaka persamaa.7. Dega demka, komplekstas komputas dapat dkurag. Pada pedekata dperbolehka meggabugka suatu kelompok data setap saat atau secara sekuesal selama estmas. Msal ˆ( s ) ädalah estmas la d poss s. Berdasarka data sampel s, s,..., s d lokas s, s,..., dalam k lagkah dberka oleh sstem persamaa : p () () () = s ( s ) = s = θ ( s ) ˆ ˆ () ( s ) = () s + θ ( s ) ( s ), maka estmas krgg sequetal () q () () () = p+ ˆ ˆ ˆ (.4) ( k ) l ( k ) ( k ) ( k ) = r+ ( s ) = () s + θ ( s ) ( s ) ˆ ˆ ˆ ( k ) ( k) ( k ) ( k) =+ l ( s ) = () s + θ ( s ) ( s ) ˆ ˆ ˆ Superskrp merepresetaska lagkah atau deks subsets, ˆ ( k ) adalah la estmas ( s ) dega megguaka data set ke-(k-), ˆ ( k ) ( ( s ) ( s ) ) adalah selsh atara la data ke- dega la estmas data ke- berdasarka (k-) data set, da θ k adalah bobot sequetal krgg utuk data set ke-k. ( s ) Dega megguaka sequetal krgg, estmas pertama ( s ) haya dega megguaka la ( s ) adalah : ( s ), ( s ) da ˆ( s ) = ( s ), ˆ( s ) = ( s ), ˆ( s ) = λ ( s ) (.5) λ λ

11 dega C( s s ) C( s s) C( s s) λ = = ρ, λ = = ρ =, λ = = ρ (.6) C( s s ) C( s s ) C( s s) Selautya ( s ) aka destmas dega data tambaha ( s ) ( s ) = ( s ) + ( ( s ) ( s ) ˆ () ˆ () ˆ () θ ) (.7) Bobot ( θ ) dperoleh dar persamaa : ρ θ = ρ ρ ρ Estmas d persamaa.7 kemuda mead : ( s ) = ( s ) + θ ( s ) ( s ) ˆ () ˆ () ˆ () ( ) = ρ θ ρ ( s ) + θ ( s ) ( ρ ρ ρ ) ( ρ ρ ρ ) = ( s ) + ( s ) ρ ρ (.8) (.9) Msal dperoleh data tambaha baru ( s ) d lokas s. Lagkah krgg 3 3 sekuesal berkutya adalah megestmas ( s ) berdasarka data ( s ) da ( s). 3 ˆ( s ) 3 = ρ 3 s + ρ 3 s (.3) Estmas berdasarka tga data, ( s ), ( s ), da ( s ) dperoleh dar persamaa : dega 3 ( s ) = ( s ) + ( s ) ( s ) ˆ (3) ˆ () ˆ () θ (.3) θ = ρ ρ ρ θ ρ ρ ρ (.3) ( ) ρ Peambaha data baru aka memberka koreks terhadap estmas sebelumya. Iterpolas terus dlakuka sampa seluruh data yag berada dalam lapaga spasal terkutsertaka dalam estmas dega megguaka persamaa (.4). 3

12 II...4 Krgg utuk Data yag Dtrasformas Msalka {(s), s D} adalah suatu proses spasal, da msalka {Y(s), s D} adalah proses spasal trsk yag memeuh =φ( Y) s s (.33) dega φ adalah fugs yag dapat dturuka dua kal. Peaksr ordary krgg bag dega ( s ) la mea Y, dapat dtulska sebaga ˆ =φ Y ˆ +φ '' µ ˆ σ / m (.34) s s Y Y,K s Y Ŷ( s ) adalah peaksr ordary krgg bag Y ( s ), ˆµ Y adalah taksra adalah faktor pegal Lagrage dar sstem persamaa ordary krgg, da σy,k s adalah varas krgg d ttk s. Sedagka varas krgg utuk m Y ( s ) dapat dtulska sebaga σ ( s ) = φ '( µ ) σ ( s ),K Y Y,K Uraa tetag hal d atas dapat dlhat pada [4]. (.35) Dega cara yag sama dapat dperoleh peaksr bag mea ( s ), yatu Dega σ Y adalah varas Y(s), da σ m Y µ Y µ ˆ ˆ ˆ =φ ( µ Y) +φ ''( µ Y) (.36) m µ faktor pegal Lagrage dar sstem Y persamaa krgg mea. Jka la taksra Ŷ( s ) dperoleh melalu sequetal krgg, maka la taksra bag ( s ) dapat dhtug dega megguaka persamaa ( ˆ ) = = s =φ s +µ φ µ Y φ µ Y (.37) ( ˆ ) Y '' ααc( s s ) dega α θ θ+ kρ, + k utuk =,,, (-) da α =θ. = k = Sedagka varas krgg utuk ( s ) dapat dtulska sebaga σ ( s ) = φ '( µ ) σ ( s ) + ( µ +φ ( µ )),K Y Y,K Y (.38) 4

13 II.. Kopula Model semvarogram dapat dbetuk dega megguaka kopula. Sebelum tu aka dbahas sedkt tetag kopula. Defska hmpua blaga real yag dperluas sebaga R, dega R = R { } { }, da R medefska ruag dua dmes blaga real yag dperluas. Utuk dua vektor x = ( x, x ) da y = ( y, y) d R, kta kataka x y, ka x y da x y. Defs... (Perseg Paag d R ) Suatu perseg paag atau terval d R adalah perkala slag dar dua terval d dega x R, dalam betuk < x da y < y ( x, y), ( x, y), ( x, y ), da ( x, y ). [ ] [ ] B= x,x y,y (.39),. Ttk-ttk sudut perseg paag B adalah ttk-ttk Y y B y x x X Gambar II.. Perseg paag B d R Defs... (Volume-H) Msalka S, S subhmpua berupa terval tak kosog d R da H : R R adalah suatu fugs dega daerah asalya yatu Dom( H ) = S S. Msalka 5

14 [ ] [ ] B = x,x y,y adalah suatu perseg paag d Dom( H ). Maka volume-h dar perseg paag B ddefska sebaga: = + V B H( x, y ) H( x, y ) H( x, y ) H( x, y ) H (.4) Jka kta defska turua pertama dar H pada perseg paag B sebaga x x H ( x, y ) = H ( x, y ) H ( x, y ), (.4) y y H ( x, y ) = H ( x, y ) H ( x, y ). (.4) Maka volume-h dar perseg paag B merupaka turua kedua dar H pada perseg paag B, yatu y x H y x V ( B) = H( x, y). (.43) Defs..3. (-creasg) Msalka H fugs berla real. H dkataka -creasg ka VH ( B ) utuk semua perseg paag B d R yag semua ttk uugya berada d Dom(H). Defs..4. (Grouded) Msalka S, S subhmpua tak kosog dar R da H : R R adalah fugs sedemka sehgga Dom( H ) = S S. Msalka S, S mempuya eleme terkecl masg-masg a da b. Maka H dkataka grouded ka Hay (, ) = = Hxb (, ), utuk setap x S, y S, (.44) akbatya ka H grouded, maka VH ( B ) = H ( x, y ), utuk setap B = [ ax, ] [ by, ] DomH. (.45) karea VH ( B ) = H ( x, y ) H ( x, b ) H ( a, y ) + H ( a, b ) = H ( x, y ) + = H ( x, y ). Defs..5. (Subkopula) Subkopula dua dmes (-subcopula) adalah fugs sfat berkut: C ' yag memeuh beberapa a. Dom( C ') = S S, dega S da S adalah subhmpua dar I = [,], 6

15 b. C ' grouded da -creasg, c. Utuk setap x S da y S, berlaku C'( x,) = x da C'(, y) = y. (.46) Berdasarka defs d atas, C'( u, v) utuk setap (u,v) Dom(C ). Dega demka, Rage( C ') adalah subhmpua dar I. Defs..6. (Kopula) Kopula dua dmes (-copula) adalah subkopula dmes (-subcopula) C dega doam I. Defs d atas setara dega peryataa bahwa kopula dua dmes (-copula) adalah fugs C: I I yag memeuh sfat-sfat: a. utuk setap ( x, y) I, berlaku Cx (,) = = C(, y), (.47) da b. utuk setap berlaku Cx (,) = xda C(, y) = y. (.48) u= ( x, y ), v= ( x, y ) I sedemka sehgga u v, maka Cx (, y) Cx (, y) Cx (, y) + Cx (, y). (.49) Hmpua dar semua copula dua dmes ddefska sebaga C. Meggat, maka hal meuukka bahwa terhadap perseg paag [, u] [, v]. Cuv (, ) = Cuv (, ) Cu (,) C(, v) + C(,) C ([, ] [, ]) = V u v Cuv (, ) (.5) adalah pegata suatu blaga d I 7

16 II.. Kopula da Varabel Acak Pada subbab aka dperkealka megea teorema Sklar, suatu teorema yag megatka atara copula dega teor da aplkasya dalam lmu statstka. Namu, sebelumya aka dperkealka beberapa smbol da defs yag aka dguaka dalam meelaska Teorema Sklar. Peluag bahwa suatu varabel acak lebh kecl atau sama dega z, dtuls P( z) adalah F(z). Nla F(z) berada d atara da, selautya F(z) dsebut dega fugs dstrbus. Defs... (Fugs Dstrbus) Fugs dstrbus (margal) adalah suatu fugs F dega Dom( F )= R sedemka sehgga:. F fugs tak turu.. F( ) = da F( ) = Defs... (Fugs Dstrbus Gabuga) Fugs dstrbus gabuga adalah suatu fugs H dega Dom( H )= R sedemka sehgga:. H fugs -creasg.. H( x, ) = H(, y) = da H (, ) = 3. H( x, ) = F( x ) da H(, y) = G( y ), dega F da G masg-masg adalah fugs dstrbus margal dar X da Y. Lema... [9] Msalka H adalah fugs dstrbus gabuga dega fugs dstrbus margalya masg-masg F da G, maka terdapat subkopula sehgga:. Dom( C ') = Rage( F) Rage( G ),. Utuk setap, R xy, H( x, y) = C' ( F( x), G( y) ) C ' tuggal sedemka 8

17 Bukt: Karea H memeuh H( x, ) = = H(, y), -creasg, da mempuya marg F( x) = H( x, ) da Gy = H(, y, ) maka utuk sebarag ttk ( x, y ) da ( x, y ) d R berlaku H( x, y ) H( x, y ) F( x ) F( x ) + G( y ) G( y ) Jka F( x ) = F( x) da Gy = Gy, maka H( x, y) = H( x, y). Selautya, betuk hmpua pasaga terurut {(( F ( x ), G ( y )), H ( x, y )) x, y R} yag medefska suatu fugs dua peubah C yag berla real dega doma Rage( F) Rage( G ). Fugs C adalah suatu subkopula berdasarka sfat-sfat fugs H. Sebaga cotoh, utuk setap u d Rage(F) terdapat suatu x d R sedemka sehgga F(x)=u. Maka C (u,) = C (F(x),G( )) = H( x, ) = F( x) = u. Pemerksaa syarat-syarat la yag harus dpeuh suatu subkopula dapat dlakuka dega cara yag sama. Lema... [9] Msalka C ' adalah subkopula. Maka terdapat kopula C sedemka sehgga Cuv (, ) = C'( uv, ) utuk setap ( uv, ) d dom( C '), (.5) artya setap subkopula dapat dperluas mead suatu kopula. Pada umumya perluasa tdak tuggal. Teorema... (Teorema Sklar) [9] Msalka H adalah fugs dstrbus gabuga dar varable X da Y, dega F da G masg-masg adalah fugs dstrbus margal dar X da Y. Maka terdapat sebuah kopula C sedemka sehgga utuk setap x, y R berlaku H( x, y) = C F( x), G( y) = C( u, v), (.5) dega u = F( x) da v= G( y).jka F da G kotu, maka kopula C tuggal. Jka F da G tdak kotu, maka kopula C dtetuka secara tuggal pada Rage( F) Rage( G). 9

18 Sebalkya, msalka C adalah sebuah copula, F da G masg-masg adalah fugs dstrbus dar X da Y. Maka H pada.5 adalah suatu fugs dstrbus gabuga dega fugs dstrbus margal F da G. Bukt: Eksstes kopula pada persamaa..5 utuk setap x, y R dapat delaska megguaka lema... da lema... Jka F da G kotu, berdasarka lema..., maka terdapat subkopula C ' tuggal dega Dom( C ') = Rage( F) Rage( G), karea F da G kotu maka Rage( F) = Rage( G) = I atau Dom( C ') = I, berart subkopula tersebut merupaka kopula yag tuggal. Jka F da G tdak kotu, maka terdapat subkopula Dom( C ') = Rage( F) Rage( G) tersebut dapat dperluas mead suatu kopula. C ' tuggal dega, maka berdasarka lema... subkopula Copula C pada teorema... aka damaka kopula dar X da Y, da dotaska C XY, d maa kopula tersebut dapat dguaka utuk megdetfkas depedes dar varabel acak X da Y. Salah satu cotoh kopula adalah kopula Clayto, yatu (, ) Cuv = u + v dega α [, ). α α α, II.. Regres Meda Msalka X da Y adalah peubah acak kotu dega fugs dstrbus gabuga H, fugs dstrbus margal masg-masg F da G, da kopula C. Maka U=F(X) da V=G(Y) adalah peubah acak uform (,) dega fugs dstrbus gabuga C. Dstrbus bersyarat utuk V ka dberka U = u =F(x) adalah Cu ( + uv, ) Cuv (, ) cu () v = P( V v U = u) = lm = C(,) u v (.53) u u u

19 Defs... Msalka X da Y adalah peubah acak. Utuk x d Ra X, msalka y = y ( x) adalah solus persamaa kurva regres meda Y terhadap X. PY ( y X= x) =.5. Maka y = y ( x) adalah persamaa Perhatka bahwa PY ( y X= x) = PV ( G( y) U= F( x)) = PV ( v U= u) = c u () v = Cuv (, ) u Dega demka, persamaa kurva regres meda dapat dtulska sebaga y = G ( v ), dega v adalah solus bag persamaa (, ) =.5 u Cuv. II.3 Membagu Model Semvarogram Melalu Regres Meda Padag kembal semvarogram eskpermetal robust yag dberka pada persamaa.7 yatu ˆ( γ h) = meda s s :( s, s ) N( h) B( h ) Perhatka bahwa semua aggota s s :( s, s ) N ( h) berla postf, da operas pemagkata empat pada blaga postf tdak megubah uruta. Dega demka, ˆ( γ h) = meda s s :( s, s ) N( h) B( h ) = meda s s :( s, s ) N( h) B( h ) = { s s s s h } = meda :(, ) N B( h ) ( s) ( s ) meda B( h) dega B ( h).457. :( s, ) s N h 4 4 4

20 Dar hasl d atas, kta dapat mecar model semvarogram sotropk melalu kurva regres meda varabel () s ( s+ h) B( h), dega h R da ss, + h D, terhadap h yag merupaka paag vektor yag memsahka lokas dega koordat s da s+ h. Msalka F adalah fugs dstrbus dar h da G adalah fugs dstrbus dar () s ( s+ h) B( h). Tulska u = F ( h ), da z() s z( s+ h) v= G. Msalka C(u,v) adalah kopula bag u da v. Maka B( h) model semvarogram sotropk dapat drumuska sebaga G (), v h > γ h =, dega v adalah solus bag persamaa (, ) =.5, h = u Cuv. Melalu metode, tdak perlu lag memaksaka pegguaa model-model semovarogram baku, sepert yag selama serg dlakuka, sehgga aka megurag subektvtas dalam pemlha model semvarogram.