BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

Transkripsi

1 BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fugs dega doma berupa hmpua blaga asl N. ebuah barsa kompleks dapat dpadag sebaga suatu daftar blaga blaga yag dtuls dalam suatu uruta tertetu,,...,,..., dmaa blaga dsebut suku ke-. Barsa basa dotaska dega,,...} atau }. Cotoh : ;. { { Koverges Barsa Defs : Barsa { } dkataka mempuya lmt A, dtuls lm A jka utuk setap terdapat blaga bulat postf N sedemka sehgga A apabla N Jka lm ada, maka barsa tersebut dkataka koverge. Jka tdak, maka dkataka dverge. Jka barsa kompleks { } dega x v koverge ke suatu blaga kompleks A, maka dua barsa real { x } da { y } masg-masg koverge ke Re A da Im A da sebalkya. fat : Jka { } da { w } barsa yag koverge, maka (). lm ( w ) lm lm w. 5

2 (). lm ( w ) lm. lm w. lm (). lm, asal lm w w lm w. fat : Jka oal : lm ada, maka lmtya tuggal.. Apa yag dmaksud dega barsa, barsa koverge, barsa dverge? Berka cotoh.. Tetuka apakah barsa berkut koverge atau dverge. Jka koverge tetuka lmtya, a. b. a c. ( ) Deret Msalka { } adalah barsa blaga kompleks. uatu deret tak hgga (utuk selajutya dsebut deret), dotaska dega dega deret tersebut. k. Ddefska barsa },... k. elajutya dsebut jumlah parsal dar { Defs: Deret dkataka koverge ke s, jka barsa jumlah parsal } { koverge ke s, yatu dkataka dverge. lm s. Jka { } dverge maka deret 5

3 5 Teorema : Jka koverge maka lm. Bukt Msalka koverge ke s, maka s lm. Perhatka bahwa sehgga. lm lm lm lm s s Kovers teorema d atas tdak berlaku, jka lm, tdak dapat dsmpulka bahwa koverge. Cotoh : lm tetap deret dverge. Aka dtujukka bahwa deret dverge. Perhatka bahwa ,, 6 Dega cara sama secara umum dperoleh. Karea jka, hal berart bahwa } { dverge. Uj dverges:

4 Jka lm atau lm tdak ada maka dverge. Cotoh: Tujukka bahwa 5 dverge Peyelesaa. Perhatka bahwa lm lm lm. 5 5 Jad meurut uj dverges deret 5 dverge. Teorema : Jka da w koverge, maka k (k blaga kompleks), ( w ), da juga koverge da berlaku : w (). k k. (). ( w ) w. (). ( w ) w. oal :. a. Apakah yag dmaksud dega deret? b. Jelaska apa artya. c. Apa yag dmaksud dega deret koverge? Deret dverge? Berka masg-masg cotohya.. Buktka teorema. 55

5 . Tjau deret! a. Tetuka jumlah parsal ke-,,,da. Perkraka rumus utuk. b. Guaka duks matematk utuk membuktka perkraa jawaba (a). c. Tujukka bahwa deret tersebut koverge, da temuka jumlahya. 5. Uj Koverges Deret Uj Badg Msalka da w adalah deret dega suku postf. (). Jka (). Jka w koverge da w dverge da w,, maka juga koverge. w,, maka juga dverge. Cotoh. Tetuka apakah deret koverge aau dverge? 5 Peyelesaa. Perhatka bahwa utuk yag besar, suku yag doma adalah 5 pada peyebut. Oleh karea tu dapat dambl deret sebaga 5 pembadg deret d atas. Kta puya 5 5. Dalam uj badg, = da w =. elajutya perhatka bahwa = 5 merupaka deret koverge. 56

6 Dega demka dapat dsmpulka bahwa deret 5 koverge. Uj Deret Bergat Tada Jka deret bergat tada ( ) ()., (). lm maka deret tersebut koverge...., memeuh : Cotoh: Deret ( ) koverge, karea memeuh (). sebab, (). lm lm. Uj Raso (). Jka lm L, (). Jka lm L, dverge. maka deret atau lm, koverge maka deret Cotoh: Deret ( ) koverge meurut uj raso. 57

7 Perhatka: ( ) ( ) ( ) ( ) = = = oal.. Jka da w koverge, tujukka w. Tetuka apakah deret berkut koverge a. ( ) b. ( )! c. juga koverge? ( ) ()! d. ( )! e. f. 5

8 5. Deret Pagkat Deret pagkat adalah deret yag berbetuk a a a a... dega adalah suatu peubah da a adalah koefse dar deret tersebut. Lebh umum, deret yag berbetuk a ( ) a a( ) a( )... Dsebut deret pagkat dalam ( ) atau deret pagkat dega pusat atau deret pagkat d sektar. Teorema Utuk suatu deret pagkat a ( ) terdapat tga kemugka : (). Deret tersebut koverge haya utuk =. (). Deret tersebut koverge utuk semua. ().Terdapat suatu blaga postf R sedemka sehgga deret tersebut koverge jka R da dverge jka R. Bukt Blaga R pada kasus () dsebut jar-jar koverges deret pagkat. Dega demka kasus () memlk jar-jar koverges R =, da da pada kasus () R =. edagka R dsebut Lgkara koverges deret pagkat tersebut. Jar-jar koverges deret pagkat dapat dtetuka dega uj raso. Cotoh: Tetuka jar-jar da daerah koverges deret Peyelesaa ( ). 59

9 Msalka a ( ), maka deret aka koverge jka lm ( ) a ( ) ( ) ( ) lm lm lm. a ( ) ( ) Jad deret tu koverge jka daa dverge jka koverges deret adalah R.. Jad jar-jar Teorema Jka deret pagkat fugs f yag ddefska oleh a ( ) mempuya jar-jar koverges R >, maka f ( ) a a ( ) a ( )... a ( ) dapat dturuka d dalam lgkara koverges R da () d d f ' ( ) a( ) atau a( ) [ a( ) ] d d () ( ) f ( ) d a atau a ( ) d a( ) d. Dega jar-jar koverges pada () da () adalah R. Cotoh: Tetuka deret pagkat dar f ( ) l( ) da jar-jar kovergesya. Peyelesaa l( )...,. 6

10 guaka ekspas ( m) f ( ) m f ( ) ( ) dega = m! m Jar-jar kovergesya R =. oal.. Tetuka jar-jar da lgkara koverges deret berkut a.! c. ( ) b. ( ) ( )! d. ( ) ( ). Msalka deret kataka tetag deret b koverge utuk. Apa yag dapat ada b?, megapa? 6