BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu

Transkripsi

1 BAB II LADASA TEORI Dalam pegambla sampel dar suatu populas, dperluka suatu tekk pegambla sampel yag tepat sesua dega keadaa populas tersebut. Sehgga sampel yag dperoleh adalah sampel yag dapat mewakl populas. Dega sampel yag mewakl populas, dapat dperoleh taksra parameter populas yag akurat. Taksra parameter populas dkataka akurat, jka merupaka taksra yag tak bas da varas taksraya palg kecl datara taksra yag tak bas laya. Pada bab, aka dbahas dua tekk pegambla sampel dar probablty samplg yag mejad dasar dar metode pegambla sampel yag aka dbahas dalam tugas akhr. Dalam bab, aka djelaska tekk pegambla sampel dega cara Smple Radom Samplg (SRS), yag merupaka betuk dasar dar probablty samplg yag la da sgle stematc samplg. Sela tu, aka dbahas juga tetag taksra mea populas beserta varas da taksra varasya pada kedua tekk pegambla sampel tersebut. 8 Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

2 9. SIMPLE RADOM SAMPLIG (SRS).. Pedahulua Smple Radom Samplg (SRS) adalah suatu metode pegambla sampel dmaa sampel berukura dambl dar populas berukura, dega cara sedemka sehgga setap sampel yag mugk mempuya probabltas yag sama utuk terplh mejad sampel. Cara megambl sampel dega tekk Smple Radom Samplg (SRS) adalah sebaga berkut: Meomor semua eleme dalam populas. Megambl blaga acak datara omor. Eleme-eleme dega omor-omor yag terplh mejad aggota sampel. Dalam metode, pegambla sampel dapat dlakuka dega dua cara, yatu pegambla sampel dega pegembala da pegambla sampel tapa pegembala. Karea ut yag sama tdak memberka tambaha formas, maka yag serg dguaka adalah pegambla Smple Radom Samplg tapa pegembala, dmaa ut sampel yag terplh pada suatu pegambla tdak aka mugk terplh pada pegambla berkutya. Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

3 0 Pada Smple Radom Samplg, setap ut memlk probabltas yag sama utuk terplh mejad aggota sampel. Hal tersebut dapat dbuktka dalam teorema berkut. Teorema.. Dalam Smple Radom Samplg, probabltas suatu ut terplh mejad aggota sampel adalah (sama). Bukt: Msalka dketahu la-la dar populas adalah = { u,u,...,u }. Ddefska: p m =Pr ( u mucul pada pegambla ke- m ) ; m =,,..., Utuk m=, maka p =Pr( u mucul pada pegambla ke-) p = Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

4 Utuk m=, maka p =Pr( u mucul pada pegambla ke-) p =Pr( u tdak mucul pada pegambla ke- da u mucul pada pegambla ke- ) Karea kejada u tdak mucul pada pegambla ke- da kejada u mucul pada pegambla ke-, merupaka kejada salg bebas, maka dperoleh: p =Pr( u tdak mucul pada pegambla ke-).pr ( u mucul pada pegambla ke-) p = p =. - p = Utuk m=, maka p =Pr( u mucul pada pegambla ke- ) p =Pr( u tdak mucul pada pegambla ke- sampa pegambla ke-- da u mucul pada pegambla ke- ) p = (-) -(-) Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

5 (-) p = (-) -(-) p = Sehgga dapat dsmpulka bahwa: p = ; utuk m =,,..., (...) m Hal yag sama juga dapat dlakuka utuk setap u ; =,,...,. Selajutya, msalka: π = Pr (u terplh dalam sampel) ; utuk suatu, =,,..., Aka dbuktka π = : Msalka: A m = kejada u mucul pada pegambla ke- m ; m =,,..., Sehgga: ( ) π = Pr A A A... A 3 Karea A,A,...,Aadalah kejada salg lepas, maka dperoleh: π =Pr( A ) +Pr( A ) +...+Pr( A ) Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

6 3 π = π = (terbukt) (...) Sehgga π = berlaku utuk setap ; =,,..., Dega demka terbukt bahwa dalam Smple Radom Samplg, probabltas suatu ut terplh mejad aggota sampel adalah (sama)... Taksra Mea Populas da Varasya Msalka { u,u,...,u} adalah la-la populas da μ adalah mea populas yag ddefska sebaga berkut: μ = = u Msalka S = { y,y,...,y} adalah Smple Radom Sample yag dambl dar populas { u,u,...,u }. Padag suatu statstk: y= y = Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

7 4 Maka dapat dbuktka bahwa: ) y= y = adalah taksra yag tak bas utuk mea populas ( μ ). ) ) = -, dmaa - = = ( u-μ ). ) ˆ s - ) = dega bas utuk V[ y ]. s = = ( y-y ) - merupaka taksra yag tak Pembukta: ) Utuk membuktka bahwa y= y adalah taksra yag tak bas utuk mea populas( μ ), yatu dega meujukka bahwa E( y ) =μ : = Bukt: Msalka ddefska sebuah varabel radom Z, dmaa: z = ; z = 0 ; u S ; =,,..., u S ; =,,..., (...) Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

8 5 Sehgga ddapat: y= y = u.z = = Selajutya aka dcar la dar E( y ) : E( y ) =E E( y ) =E = y u.z = E y = E u.z = E y = = u.e( z ) (...) la E( z ) dapat dcar sebaga berkut: E z = z Pr z z=0 E( z ) = 0.Pr( z=0) +.Pr( z=) E( z ) =.Pr( z=) Dar defs (...), dperoleh: E( z ) =.Pr( u S) Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

9 6 Berdasarka teorema (..) dketahu bahwa Pr ( u S ) adalah, sehgga dperoleh: E( z ) =. E( z ) = ; utuk =,,..., (...3) Substtuska persamaa (...3) ke dalam persamaa (...), sehgga dperoleh la E( y ) adalah: E y = = u.e( z ) E y = u. = E y = u. = = E y = u. E( y ) =μ (terbukt) Karea telah dperoleh taksra tak bas utuk mea populas ( μ ). E y =μ, maka terbukt bahwa y= y adalah = Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

10 7 ) Selajutya aka dbuktka bahwa ) = -, dmaa - = = ( u-μ ). Bukt: V( y ) =V V( y ) =V = y u.z = V y = V u.z = V( y ) = E u.z - E u.z = = V( y ) = E ( u.z ) + uu h.zz h- E( u.z ) = h = V y = E u.z +E uu h.zz h - E u.z + E( u.z ).E ( u h.zh) = h = h V y = E u.z - E u.z + E uu.z z - E u.z.e u.z h h h h = = h h V ( y ) = E u.z - E u.z + E u z.uhzh -E u.z.e u h.zh = h Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

11 8 V( y ) = u E z -u E z + uu he zz h -uu he z.e zh = h V( y ) = u E z -E z + uu h E zz h -E z.e zh = h V y = u V z + uu Cov z,z = h [ ] h [ h] (...4) Aka dcar la dar V[ z ], yatu: V z = E z - E z (...5) Terlebh dahulu aka dcar la dar E( z ), yatu: E z = z Pr z z=0 E z =0.Pr z =0 +.Pr z = E z = 0.Pr z = 0 +.Pr z = E z =.Pr z = E z = E z (...6) Substtuska persamaa (...6) ke dalam persamaa (...5), sehgga dperoleh: V z =E z -E z Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

12 9 V z =E z -E z Dar persamaa (...3), dperoleh: V( z ) = - V( z ) = - ; utuk =,,..., (...7) Semetara tu la dar Cov[ z,z ] h adalah: Cov[ z,z h] = E( zzh) -E( z ).E( z h) (...8) Terlebh dahulu aka dcar la E( zz ) ( h) h ( h) E zz = z.z Pr z,z z,z h=0 h, yatu: E( zz h) = 0.0Pr ( z = 0,z h = 0 ) +0.Pr ( z = 0,z h = ) +.0Pr ( z =,z h = 0 ) +.Pr ( z =,z h =) E( zz h) =Pr( z =,z h = ) Dar defs (...), dperoleh: ( ) E zz =Pr u S,u S h h E zz =Pr(uda uh masuk dalam sampel ) h Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

13 0 Karea ada ( -) ut laya yag terseda utuk ssa sampel da dss la ada ( -) utuk meempatka dalam sampel da karea terdapat buah eleme dalam populas da sampel berukura, maka probabltas u da u h masuk dalam sampel adalah: ( ) E zz =Pr u S,u S h h - - E ( zz h) = E zz = h ( - )! -! -!! -!! -! -!! E( zz h) =. -! -!! -!! E( zz h) =. -!! -! ( -)( - )! E( zz h) =. -! (-)(- )! (-) E zz = (...9) (-) h Substtuska persamaa (...9) ke dalam persamaa (...8), sehgga dperoleh la dar [ ] Cov z,z adalah: Cov[ z,z h] = E( zzh) -E( z ).E( z h) h Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

14 ( -) Cov z,z = -E z.e z (-) [ ] h h Dar persamaa (...3), dperoleh: (-) Cov[ z,z h] = -. (-) (-) Cov[ z,z h] = - - (-) - -(-) Cov[ z,z h] = - (-) --+ Cov[ z,z h] = - (-) [ ] Cov z,z h - = - (-) - Cov[ z,z h] = - (-) Cov[ z,z h] = - - (-) (...0) ; utuk =,,.., da h =,,..,, dmaa h Substtuska persamaa (...7) da (...0) ke dalam persamaa (...4), sehgga dperoleh la V( y) adalah: V y = u V z + uu Cov z,z = h [ ] h [ h] V ( y ) = u - + uu h - - = h - Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

15 V ( y ) = u uu h = - h V ( y ) = u u - u = - = = V( y ) = - u + - u - u = - = = V( y ) = - u + u - u = - = - = V( y ) = - + u - u - = - = V( y ) = - u - u - = - = V( y ) = - u - u - = = - V y = u -μ - = - V y = u -μ +μ - = - V( y ) = u -μ u+ μ - = = = - V y = ( u -μu +μ ) - = - V y = ( u -μ) - = Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

16 3 - V( y ) = - - V( y ) = (terbukt) - V y = Dega demka terbukt bahwa -, dmaa - = = ( u-μ ) ) Selajutya aka dbuktka bahwa ˆ s - ) = dega s = = ( y-y ) - adalah taksra yag tak bas utuk V( y ). Utuk membuktka ˆ s - ) = adalah taksra tak bas utuk - V( y ) =, yatu dega membuktka bahwa E Vˆ ( y ) =V[ y ] - Bukt: ˆ s - E V y =E ; dega s = = ( y-y ) - ˆ - E V y = E s (...) Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

17 4 Terlebh dahulu aka dcar la E s, yatu: E s =E ( y -y) - = E s = E ( y -μ) -( y-μ) - = E s = E y -μ -E y-μ - = E s = )-) - = [ ] E s = ) -) - E s = -) - V y = Karea -, maka dperoleh: - - E s = E s = E s = E s = E s = - - Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

18 5 ( -) E s = - - E s = - (...) Substtuska persamaa (...) ke dalam persamaa (...), sehgga dperoleh la ˆ - E V y = E s ˆ - E V y = - ˆ - E V y = - E Vˆ y =V[ y ] E ˆ V y adalah: Karea telah dperoleh E Vˆ ( y ) [ ] =V y, maka terbukt bahwa ˆ s - ) = dega s = = ( y-y ) - adalah taksra tak bas utuk - V( y ) = dega - = = ( u-μ ). Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

19 6 Selajutya dperoleh Stadard Error (SE) dar taksra mea populas pada Smple Radom Samplg ( y ) adalah: ˆ V ( y ) SE y =. SIGLE SYSTEMATIC SAMPLIG.. Pedahulua Pegerta dar sgle stematc samplg adalah suatu cara pegambla sampel, dmaa sampel dperoleh dega cara memlh secara radom satu eleme dar k -eleme pertama pada frame, da setap eleme ke- k berkutya. Cara megambl sampel dega tekk sgle stematc samplg adalah sebaga berkut: Plh satu eleme dar k eleme pertama secara acak. Plh setap eleme ke k setelahya. Sgle stematc samplg bak dguaka utuk populas terurut, yatu populas yag eleme-elemeya berurut meurut besara yag dukur. Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

20 7 Sela tu, sgle stematc samplg juga bak dguaka jka frame merupaka daftar yag pajag. Supaya dperoleh ukura sampel yag dgka, k harus dplh lebh kecl atau sama dega, aka tetap dalam tugas akhr pembahasa dbatas utuk = k... Taksra Mea Populas da Varasya Msalka { u,u,...,u} adalah la-la populas da μ adalah mea populas yag ddefska sebaga berkut: μ = = u Msalka S = { y,y,...,y} adalah sgle stematc sample yag dambl dar populas { u,u,...,u }. Utuk meaksr mea populas ( μ ) dguaka y, dmaa dalam peerapa sgle stematc samplg, y basaya dhtug dega megguaka formula, yag dguaka utuk meghtug taksra mea Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

21 8 pada Smple Radom Samplg, yatu: y = y serta taksra varasya = adalah ˆ s - ) = dega s = = ( y-y ) -. Dapat dbuktka bahwa dalam sgle stematc samplg dega =k : ) y = y adalah taksra yag tak bas utuk mea populas ( μ ). = ) = + - ρ, dmaa ) Dapat dtujukka bahwa = y -μ ( ) = merupaka varas dar populas, da ρ adalah korelas atara pasaga-pasaga eleme dalam stematc sample yag sama. ) ˆ s - ) = dega bas utuk V y. s = = ( y-y ) - merupaka taksra yag Pembukta: ) Utuk membuktka bahwa y = y adalah taksra yag tak bas = utuk μ, yatu dega meujukka bahwa E( y ) =μ. Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

22 9 Bukt: Msalka ddefska sebuah varabel radom Z, dmaa: z = ; z = 0 ; u S ; =,,..., u S ; =,,..., (...) Sehgga ddapat: = = y = y = u.z Selajutya aka dcar la dar E( y ) : E y =E y = E y =E u.z = E y = E u.z = E y = u.e z = ( ) ( ) (...) E( z ) dapat dcar sebaga berkut: E z = z Pr z z=0 Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

23 30 E( z ) = 0.Pr( z=0) +.Pr( z=) E( z ) =.Pr( z=) Dar defs (...), dperoleh: E( z ) =.Pr( u S) Karea pada sgle stematc samplg probabltas suatu ut terplh mejad aggota sampel adalah, maka dperoleh: k E( z ) =. k E( z ) = k ; utuk =,,..., (...3) Substtuska persamaa (...3) ke dalam persamaa (...), sehgga dperoleh la E( y ) adalah: E y = u.e z = ( ) ( ) E y = u. = k E y = u k = Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

24 3 Karea =k, maka dperoleh: E y = u k = = E y = u E( y ) =μ (terbukt) Karea telah dperoleh E( y ) =μ, maka terbukt bahwa taksra tak bas utuk μ. y = y adalah = ) Selajutya aka dbuktka bahwa ) = ( + [ -] ρ), dmaa = = ( u-μ ). Bukt: Padag suatu sgle stematc samplg berukura, yag dambl dar populas berukura dega = k. Pada tabel berkut dtamplka sampel-sampel yag mugk dar populas tersebut: Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

25 3 Tabel... Kemugka sampel-sampel pada sgle stematc samplg dega =k Sampel ke Mea k y y y y y y y y y k y k y k y k Msalka y pj meyataka aggota ke- j dar stematc sample ke- p ( p =,,...,k ; j =,,..., ) da y pu meyataka aggota ke-u dar stematc sample ke- p (p =,,...,k ; u =,,..., ), dega j <u. ρ adalah korelas atara pasaga-pasaga eleme dalam stematc sample yag sama, dmaa rumusya ddefska: ρ = E( ypj -μ)( ypu -μ) ( pj ) ( pu ) E y -μ E y -μ ( pj )( pu ) E y -μ y -μ ρ =. ( pj )( pu ) E y -μ y -μ ρ = (...4) Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

26 33 Selajutya aka dcar la dar E(ypj -μ)(ypu k pj pu pj pu pj pu p= j<u -μ): E(y -μ)(y -μ)= (y -μ)(y -μ)p y, y (...5) ( pj pu ) P y,y meyataka probabltas y j da yu ada dalam stematc sample ke- p ; p =,,...,k. la dar ( pj pu ) P y,y dapat dcar sebaga berkut: Karea bayakya kombas ( j u ) y,y dar sampel berukura adalah! ( -)(- )! ( -) = = =,!( - )!!( - )! da karea bayakya stematc sample adalah k, maka P( y pj,y pu ) =. k - P( y pj,y pu ) =. k - ( pj pu ) P y,y = (...6) k - Substtuska (...6) ke dalam persamaaa (...5), sehgga dperoleh la dar E(ypj -μ)(ypu -μ): Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

27 34 k pj pu pj pu pj pu p= j<u E(y -μ)(y -μ)= (y -μ)(y -μ)p y, y E(y -μ)(y -μ)= (y -μ)(y -μ) k - k pj pu pj pu p= j<u k E(ypj -μ)(ypu -μ)= (ypj -μ)(ypu -μ) k - p= j<u (...7) Substtuska persamaa (...7) ke dalam persamaa (...4), sehgga dperoleh la ρ adalah: ( pj )( pu ) E y -μ y -μ ρ = k - ρ = k p= j<u (y -μ)(y -μ) pj pu ρ = (y pj -μ)(ypu -μ) k - k p= j<u (...8) Selajutya, padag: k )=k ( yp -μ) k p= k ( p ) k p= k )= y -μ ( p ) k k )= (y -μ) p= Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

28 35 ( p ) k k )= y -μ p= y k pj j= k )= -μ p= k k )= ypj -μ p= j= ( ) k k ) = y p + y p yp - μ+μ+...+μ p= k p= k )= yp -μ + yp -μ yp -μ k k )= ( ypj -μ) p= j= k k )= ( ypj -μ) + ( ypj -μ)( ypu -μ) p= j= j<u k k k )= ypj -μ + ypj -μ ypu -μ p= j= p= j<u ( k ) k )= + y -μ y -μ (...9) pj pu p= j<u Berdasarka persamaa (...8) dmaa ( k ρ = y pj -μ)( ypu -μ), maka dperoleh: k - p= j<u Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

29 36 k ( pj )( pu ) y -μ y -μ = k(-) ρ (...0) p= j<u Substtuska persamaa (...0) ke dalam persamaa (...9), sehgga dperoleh: ( k ) k )= + y -μ y -μ pj pu p= j<u k )= +k(-) ρ +k(-) ρ ) = k ) = +k(-) ρ k ) = +(-)ρ ( -) ρ ) = + ( -) ρ ) = + ) = +(-)ρ [ ] (terbukt) Dega demka terbukt bahwa ) = ( + [ -] ρ). Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

30 37 ) Selajutya dapat dtujukka bahwa ˆ s - ) = merupaka taksra yag bas utuk ). Utuk membuktka ˆ s - ) = adalah taksra yag bas dar ) = ( + [ -] ρ), yatu dega meujukka bahwa E ˆ ) ) Bukt: Terlebh dahulu aka dcar la E ˆ ), dmaa ˆ s - ) = : ˆ s - E V y =E ˆ - s E V y = E ˆ - E V y = E s (...) Substtuska dperoleh la E s = - E ˆ ) : ke dalam persamaa (...), sehgga Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

31 38 ˆ - E V y = - ˆ - E V y = - ˆ - E V y = - Dega demka dperoleh la ˆ E ) adalah ( ) ˆ - E V y =. - Pada pembahasa sebelumya telah dbuktka bahwa betuk dar ) adalah ) = + - ρ, maka selajutya aka dtujukka ˆ - E = ) )= + - ρ : - bahwa Msalka ρ =0 maka dperoleh la ) = + ( -) 0 ) = [] ), yatu: ) = Sehgga jka ρ = 0 dperoleh ˆ - E = ) ) = -. Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

32 39 Msalka ρ = maka dperoleh la ) = + ( -) ) = + - ) = ) = [ ] [ ] ), yatu: Sehgga jka ρ = dperoleh ˆ - E = ) ) =. - Karea utuk ρ = 0 da ρ = dperoleh E[ ˆ ) ] ), maka terbukt bahwa ˆ s - ) = adalah taksra yag bas utuk ) = ( + [ -] ρ). Selajutya dperoleh Stadard Error (SE) dar taksra mea populas pada sgle stematc samplg ( y ) adalah: ˆ ( ) SE y = V y Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI, 008

33 Modfkas Dar..., Dew Putre Lestar, FMIPA UI,