NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL"

Transkripsi

1 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-12 Sswato 1, Ar Suparwato 2, M Ady Rudhto 3 1 Mahasswa S3 Matematka FMIPA UGM da Staff Pegajar FMIPA UNS Surakarta, 2 Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Gadjah Mada Yogyakarta 3 FKIP, Uverstas Saata Dharma Yogyakarta e-mal : Abstrak Msalka hmpua blaga real Aljabar Max-Plus adalah hmpua dlegkap dega operas maksmum " " da plus " " Dbetuk hmpua I( ) yatu hmpua yag aggotaya merupaka terval-terval tertutup dalam Hmpua I( ) dlegkap dega operas " " da " " dsebut aljabar Max-Plus terval Selajutya, dapat dbetuk hmpua matrks berukura yag eleme-elemeya merupaka aggota hmpua I( ) dtuls I( ) Msalka A ( ) I da [A, A] I( ) b dega A [A,A], matrks terval A dkataka tak terreduks jka utuk setap matrks A [A,A] tak terreduks Jka tdak demka matrks terval A dkataka terreduks Dalam peelta aka dbahas tetag la ege da vektor ege suatu matrks terval terreduks reguler Kata kuc : Aljabar Max-Plus terval, la ege, vektor ege, matrks terreduks reguler PENDAHULUAN, dlegkap dega operas maksmum " " da plus " " merupaka semrg dempote yag komutatf Aljabar Max-Plus telah dguaka utuk memodelka da megaalss secara aljabar masalah perecaaa, komukas, produks, sstem atra dega kapastas berhgga, komputas parallel, da lalu ltas (Baccell, etal [1]) Utuk meyelesaka masalah jarga dega waktu aktftas blaga kabur sepert pejadwala kabur da sstem atra kabur, aljabar Max-Plus telah dgeeralsas mejad aljabar Max-Plus terval da aljabar Max-Plus blaga kabur Aljabar Max-Plus terval yatu hmpua Aljabar Max-Plus adalah hmpua I( ) dlegkap dega operas " " da " ", sedagka aljabar Max-Plus blaga kabur yatu hmpua F( ) dlegkap dega operas " " da " " (Rudhto [6]) Dar hmpua dapat dbetuk hmpua matrks berukura yag eleme-elemeya merupaka eleme, dotaska dega Hmpua Makalah dpresetaska dalam Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka dega tema Kotrbus Peddka Matematka da Matematka dalam Membagu Karakter Guru da Sswa" pada taggal 10 November 2012 d Jurusa Peddka Matematka FMIPA UNY

2 dlegkap dega operas maksmum " " da plus " " merupaka semrg yag m dempote (Aka, et al, [1], Butkovc [3], Kogsberg [5]) Demka juga, yatu hmpua matrks berukura m dalam aljabar Max-Plus Khusus utuk = 1, m dperoleh hmpua vektor dalam aljabar Max-Plus dtuls (Farlow [4]) Msalka A, graf komukas dar A dtuls G(A) Jka G(A) terhubug kuat maka matrks A dkataka tak terreduks Sebalkya, jka G(A) tak terhubug kuat maka matrks A dkataka terreduks (Farlow [4], Kogsberg [5]) Farlow [4] da Tam K P [10] telah membahas d dalam aljabar Max-Plus beserta tafsraya dalam teor graf, bahwa la ege da vektor ege dar suatu matrks masg-masg adalah perode da barsa dar suatu waktu aktftas Farlow [4] membahas khusus utuk matrks tak terreduks, sedagka Kogsberg [5] da Schutter [7] sela membahas matrks tak terreduks juga matrks terreduks Berkata dega la ege da vektor ege, Sswato [8] da Suboo [9] telah membahas tetag algortma utuk meetuka la ege da vektor ege suatu matrks dalam aljabar Max-Plus Sejala pada aljabar Max-Plus, mucul pula matrks dalam aljabar Max-Plus terval yatu I( ) m da matrks dalam aljabar Max-Plus blaga kabur yatu F( ) m, serta la ege da vektor ege matrks dalam aljabar Max-Plus terval da aljabar Max-Plus blaga kabur Rudhto [6] telah membahas tetag la ege da vektor ege matrks atas aljabar Max-Plus terval khusus utuk matrks tak terreduks Dalam makalah aka dbahas tetag la ege da vektor ege matrks terreduks dalam aljabar Max-Plus terval Sebelum dbahas hasl utama dar makalah, terlebh dahulu aka dtjau beberapa kosep dasar da hasl-hasl yag medukug pembahasa Defs 11 Dberka barsa x( k) k yag dbagktka oleh sstem persamaa lear x( k 1) A x( k) dega A da x(0) sebaga la awal Msalka x( k) ( x1( k), x2( k),, x( k)) sehgga utuk j 1, 2,,, x ( ) j lm j k k k ada Vektor ( 1, 2,, ) dsebut vektor waktu skel Jka semua sama maka la dsebut laju pertumbuha asmtotk barsa xk ( ) Defs 12 Suatu matrks dkataka regular jka memuat palg sedkt satu usur yag tdak sama dega dalam setap bars Defs 13 Norma l utuk vektor v ddefska oleh v v 1, 2,, m m Lema 14 [4] Jka A matrks regular da uv, maka ( A u) ( A v) u v Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 100

3 Teorema 15 [4] Dberka sstem x( k 1) A x( k) utuk k 0, A reguler da la awal x (0) Jka x (0) la awal sehgga sama utuk sebarag la awal y(0) x( k, x(0)) lm ada maka la lmt k k Lema 16 [4] Dberka sstem x( k 1) A x( k) utuk k 0, A tak terreduks dega v vektor ege yag bersesuaa dega la ege maka x (, (0)) lm j k x k k utuk semua j1, 2,, da x(0) Teorema 17 [8,9] Jka utuk sebarag la awal x(0) (,,, ) sstem x( k 1) A x( k) memeuh x( m) c x( ) utuk blaga bulat m 0 da blaga real c maka xk ( ) lm (,,, ) dega k k c m Selajutya, adalah suatu la ege dar matrks A dega vektor ege dberka oleh m 1 ( m1) v ( x( m 1) Selajutya, dbcaraka kosep aljabar Max-Plus terval da matrks d dalamya [6] Iterval tertutup x dalam adalah suatu hmpua baga dar yag berbetuk x = [x,x] = { x x m x mx} Iterval x dalam dsebut terval Max-Plus Suatu blaga x dapat dyataka sebaga terval [x,x] Defs 18 Dbetuk I( ) {x = [ x, x ] x, x, x x } { ε}, dega m m ε = [, ] Pada hmpua I( ) ddefska operas " " da " " dega x y [ x y, x y] da x y [ x y, x y] utuk setap x, y I( ) Hmpua I( ) dlegkap dega operas da merupaka semrg dempote komutatf dega eleme etral ε [, ] da eleme satua 0 [0,0] Selajutya dsebut aljabar Max-Plus terval da dotaska dega I( ) I( ) ;, Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 101

4 Defs 110 Hmpua matrks berukura m dega eleme-eleme dalam I( ) dotaska dega I( ) m yatu m I( ) A = [A j ] A j I( ) ; = 1, 2,, m, j = 1, 2,, Matrks aggota I( ) m dsebut matrks terval Max-Plus Selajutya matrks terval Max-Plus cukup dsebut dega matrks terval Defs 111 Struktur aljabar dar I( ) yag dlegkap dega operas da dotaska dega ( ) ( ) I I ;, merupaka dod (semrg yag dempote), sedagka merupaka semmodul atas ( ) I( ) m I Defs 112 Utuk A ( ) m I ddefska matrks m A = [A ] da j m A = [A j ] masg-masg dsebut matrks batas bawah da matrks batas atas dar matrks terval A Defs 113 Dberka matrks terval A ( ) m I, dega A da A masg-masg adalah matrks batas bawah da matrks batas atas dar matrks A m Ddefska terval matrks dar A yatu [A, A] { A A A A } da ( m ) b= {[A, A] A ( ) m I I } m m Defs 114 m 1 Utuk α I( ), [A, A], [B, B] I( ) b ddefska α [A, A] = [α A, α A] [A, A] [B, B] = [A B, A B] m k k 2 Utuk [A, A] I( ) b, [B, B] I( ) b ddefska [A, A] [B, B] = [A B, A B] Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 102

5 Teorema 115 [9] Struktur aljabar dar I( ) b yag dlegkap dega operas da dotaska dega ( ) b ( I I ) b;, merupaka dod (semrg m yag dempote), sedagka I( ) b merupaka semmodul atas I( ) Semrg ( ) ( ) I I ;, somorfs dega semrg b I b dega pemetaa : ( ) f I I( ) ( ) ;, f(a) = [ A, A ], A ( ) I( ) I Sedagka semmodul I( ) m atas I( ) m somorfs dega semmodul I( ) b atas I( ) Dega demka utuk setap matrks terval A selalu dapat dtetuka terval matrks [ A, A ] da sebalkya utuk * setap terval matrks [ A, A ] I( ) b dega A, A dapat dtetuka matrks terval A I( ) dmaa [ A j, A j ] I( ) utuk setap da j Dega demka matrks terval A I( ) m dapat dpadag sebaga terval m matrks [A, A] I( ) b Iterval matrks [A, A] I( ) b dsebut terval matrks yag bersesuaa dega matrks terval A I( ) da dlambagka dega A [A, A] Akbat somorfsme d atas maka berlaku α A [α A, α A], A B [A B, A B] da A B [A B, A B] Defs 116 Ddefska T 1 2 Hmpua I( ) I( ) x = [x, x,, x ] x I( ) ; = 1, 2,, dapat dpadag sebaga atas 1 Usur-usur dalam I( ) dsebut vektor terval I( ) I( ) Vektor terval x bersesuaa dega terval vektor yatu x [x, x] Defs 117 Dberka A I( ) Skalar terval λ I( ) dsebut la ege Max-Plus terval matrks terval A jka terdapat suatu vektor terval v I( ) dega v ε 1sehgga A v =λ v Vektor v dsebut vektor ege Max-Plus terval matrks terval A yag bersesuaa dega λ Berkut dberka suatu teorema yag memberka eksstes la ege terval Max-Plus suatu matrks terval Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 103

6 Teorema 118 [9] Dberka A I( ) dega A [ A, A ] Skalar terval (A) = [ (A), (A) ], merupaka suatu la ege Max-Plus terval matrks terval A, dmaa (A) da (A) berturut-turut adalah bobot rata-rata maksmum srkut elemeter dalam G (A) da G (A) Defs 119 Suatu matrks terval A I( ) dega A [ A, A ], dkataka tak terreduks jka setap matrks A [ A, A ] tak terreduks Teorema 120 [9] Suatu matrks terval A I( ), dega A [ A, A ], tak terreduks jka da haya A tak terreduks Akbat 121 [9] Dberka A I( ), dega A [ A, A ] Jka matrks terval A tak terreduks maka (A) = [ (A), (A) ] merupaka la ege terval Max-Plus tuggal matrks terval A PEMBAHASAN Msalka x( k 1) A x( k) yatu sstem persamaa dalam aljabar Max-Plus terval Aka dbahas hasl peelta yatu tetag la ege da vektor ege matrks terval terreduks reguler Pembahasa berkata dega perlaku perodk dar suatu sstem persamaa dalam aljabar Max-Plus terval, sedagka perlaku perodk dar suatu sstem persamaa berkata dega vektor terval waktu skel T Defs 21 Dberka barsa x(k) = [x 1( k), x 2( k),, x ( k)] I( ) k, hmpua blaga asl yatu barsa yag dbagktka oleh x( k 1) A x( k) x j ( k) x j x j sehgga utuk x j ( k) [ x j, x j ], j 1, 2,,,, da bahwa k k k x ( ) τ j lm j k k k ada Vektor τ [τ 1, τ 2,, τ ] T dsebut vektor terval waktu skel Jka semua τ sama maka terval dsebut laju pertumbuha asmtotk barsa vektor terval x( k ) Msalka x(k) I( ) k barsa yag dbagktka oleh sstem x( k 1) A x( k), dega A ( ) I da x(0) I( ) sebaga la awal k Barsa x( k ) dapat dtuls x( k) A x(0) Jka A matrks terval tak terreduks, laju pertumbuha asmtotk sebarag x ( ) terval yag tuggal dar A Selajutya, utuk j k, j 1, 2,, merupaka la ege I tak terreduks dega A ( ) Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 104

7 la ege terval λ da vektor ege terval v, maka la ege terval dar A adalah λ k da vektor ege tervalya adalah v I dyataka dalam lema berkut Lema 22 Jka v ege vektor terval dar matrks tak terreduks k k la ege terval λ maka A v λ v utuk semua k 0 Bukt : Dperhatka bahwa utuk 0 berlaku : A (λ v) (A λ ) v (λ A) v λ (A v) λ (λ v) ( 1) λ v Selajutya, bukt lema dlakuka dega duks matematka 1 1 Utuk k = 1, A v λ v A v λ v ( 1) ( 1) Daggap bear utuk k = 1, yatu Utuk k =, A v λ v k I dega A ( ) λ v ( 1) A (λ v) λ ( 1) v A (A v) ( 1) (A A ) v λ v A v λ v k k Dar, da terbukt, A v λ v utuk semua k 0 k k k Dar lema 22, yatu A v λ v da dar x( k) A x (0), jka k x (0) dplh v suatu vektor ege terval maka x ( k) A x(0) k k x( k) A v x( k) λ v Dega megguaka operas d dalam aljabar kovesoal bahwa, jka λ [λ, λ,, λ] T maka x( k) k λ v x( k) v k λ x( k) v [ kλ, kλ,, kλ] T x j( k) v j sehgga berlaku lm λ atau k k k x j ( k) lm λ utuk j 1, 2,, Oleh karea tu, jka x(0) = v yag merupaka k k vektor ege terval maka laju pertumbuha asmtotk dar x(k) adalah la ege terval yag bersesuaa dega vektor ege terval v dar matrks terval A Selajutya, bagamaa jka barsa x(k) dberka la awal sela vektor ege terval dar A Utuk pembcaraa, dperluka orma l yag dmodfkas utuk vektor terval v I( ) da beberapa lema Defs 23 Utuk = 1, berart v = [v, v] I( ) Ddefska v - v, utuk v v v v utuk v = v = v Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 105

8 Lema 24 Msalka v = [v, v] I( ) maka v yag ddefska pada defs 23 merupaka orma dar v I( ) Bukt : Ambl v = [v, v], w = [w, w] I( ) da a Jka v = [v, v] dega v v maka v = [ v, v] v v (v v) [v, v] v b Jka v = [v, v] dega v = v = v maka v = [ v, v] v v v Jad v = v a Jka v = [v, v], w = [w, w] I( ) dega v v da w w maka v+w = [v, v] [w, w] [v w, v w] v w (v w) (v v) (w w) v + w b Jka v = [v, v], w = [w, w] I( ) dega v = v v da w = w w maka v+w = [v, v] [w, w] [v w, v w] v+w v w v + w c Jka v = [v, v], w = [w, w] I( ) dega v v da w = w w maka v+w = [v, v] [w, w] [v w, v w] v w (v w) Jad, v+w v + w v v v + w v, v I( ) da v 0 v = 0 = [0,0] Selajutya utuk 2, dsajka defs da lema berkut v 0 Defs 25 Utuk setap vektor terval v I( ), v = [v 1, v 2,, v ] T dega v = [ v, v ], = 1, 2,, ddefska vv, jka 1, 2,, v v 1, 2,, v v, jka 1, 2,, v = v 1, 2,, Lema 26 Msalka vektor terval v I( ), v = [v 1, v 2,, v ] T dega v = [ v, v ], = 1, 2,, maka v yag ddefska pada defs 25 merupaka orma dar v I( ) Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 106

9 Bukt : Ambl v, w I( ) da dega v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T da w = [ [ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ] ] T a Utuk v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v Berart, T v = [ [ v, v ], [ v, v ],, [ v, v ] ] = [ [ v, v ], [ v, v ],,[ v, v ] ] sehgga, v = v v 1,2,, v v 1,2,, v v v 1,2,, b Utuk v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v Berart, T v = [ [ v, v ], [ v, v ],, [ v, v ] ] = [ [ v, v ], [ v, v ],,[ v, v ] ] sehgga, v = v v 1,2,, 1,2,, v v 1,2,, Jad v = v a Utuk v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v da da w = [ [ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ] ] T dmaa {1, 2,, } w w Berart, v + w = [[ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T + [[ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ]] T = [[ v 1 w 1, v 1 w 1], [ v 2 w 2, v 2 w 2],,[ v w, v w ]] T sehgga, v+w = ( v w) ( v w) 1,2,, = ( v v) ( w w) 1,2,, v v + w w v + w 1,2,, 1,2,, b Utuk v = [ [ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v da da w = [ [ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ] ] T dmaa {1, 2,, } w w Berart, v + w = [[ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T + [[ w, w ], [ w, w ],,[ w, w ]] T sehgga, = [[ v w, v w ], [ v w, v w ],,[ v w, v w ]] T v+w = v w 1,2,, v w v 1,2,, 1,2,, v + w c Utuk v = [ [ v, v1 ], [ v ],,[ v, v ] ] T dmaa {1, 2,, } v v da 1 2 T T Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 107

10 da w = [ [ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ] ] T dmaa {1, 2,, } w w Berart, v + w = [[ v1, v1 ], [ v2 ],,[ v, v ] ] T + [[ w1, w1 ], [ w2, w2 ],,[ w, w ]] T = [[ v 1 w 1, v 1 w 1], [ v 2 w 2, v 2 w 2],,[ v w, v w ]] T sehgga, v+w = ( v w) ( v w) 1,2,, Jad, v+w v + w = ( v v) ( w w) 1,2,, v v v 1,2,, v + w v 0, v I ( ) T da v 0 v = [ [0,0],[0,0],, [0,0]] Oleh karea tu, v yag ddefska pada defs 23 da defs 25 merupaka orma dar v I( ) Defs 27 Suatu matrks terval A I( ) dega A [ A, A ], dkataka regular jka utuk setap matrks A [A, A] regular Lema 28 Matrks terval A I( ) dega A [A, A] dkataka regular jka da haya jka A regular Bukt : ( ) Meurut defs 27, karea A [A, A] maka A regular ( ) Dketahu A regular, berart memuat palg sedkt satu usur yag tdak sama dega dalam setap bars Ambl A [ A, A ] sebarag berart A m A Oleh karea tu, A memuat palg sedkt satu usur yag tdak sama dega dalam setap bars Dega kata la A reguler Karea A sebarag maka setap matrks A [ A, A ] regular Lema 29 Jka A I( ) m matrks regular da u, v I( ) m dega A [A, A], u [u, u] da v [v, v] maka (A u) (A v) u v Bukt : Msalka A A u da A v vektor terval berhgga dalam I( ) m dega u [A u, A u] da A v [A v, A v] Bukt dberka utuk kasus jka {1,2,, } (A u) (A u) da (A v) (A v), sedagka utuk kasus jka {1,2,, } (A u) (A u) da (A v) (A v) sejala bukt Teorema 14 ddefska β = (A u) (A v) Berart bahwa, ada 0 1, 2,, m sehgga β (A u) (A v) (A u) (A v) 0 0 Oleh Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 108

11 karea tu, 0 adalah deks dar eleme dalam 0 (A u) (A v) (A u) (A v) 0 dega la mutlak maksmum Tapa kehlaga keumuma msalka bahwa β (A u ) (A v ) (A u ) (A v ) 0 Meurut perkala matrk 0 0 dalam aljabar Max-Plus, berart β 0 0 (( a j u j ) ( a j v j )) 1, 2,, 1, 2,, (( a 0j u j ) ( a 0j v j )) j l Oleh karea tu, ada suatu 0 j 1, 2,, β = (( a0 j u 0 j0 ) ( a0 j0 v j0 )) (( a0 j u 0 j0 ) ( a0 j0 v j0 )) ( u v ) ( u v ) j0 j0 j0 j0 I megakbatka bahwa, sehgga, (( a ) ( )) 1, 2,, 0j u j a 0j v j l (( a u ) ( a v )) 0 j0 j0 0 j0 j0 β ( uj0 vj0) ( uj v 0 j0 ) ( u j v j) ( u j v j) j 1, 2,, ( u j v j) ( u j v j) u v j 1, 2,, Terbukt, (A u) (A v) u v Dalam teorema berkutya, dpadag x(0) tdak perlu merupaka vektor ege terval dar A Notas x( k, x(0)) meyataka vektor terval x( k) dmula dega x(0) Lema 210 Dberka sstem x( k 1) A x( k) utuk k 0, A ( ) I reguler x( k, x(0)) da la awal x(0) Jka x(0) megakbatka lm ada maka la lmt k sama utuk sebarag la awal y(0) I( ) Bukt : Msalka bahwa, x(0) I( ) da k Oleh karea tu, utuk sebarag y(0) I( ) dperoleh, x( k, x(0)) lm τ dega τ I( ) k k x( k, y(0)) x( k, x(0)) 1 k k 1 0 (A y(0)) (A x(0)) y(0) x(0) k k k k 1 x( k, y(0)) x( k, x(0)) Utuk k maka y(0) x(0) 0 da 0 k k k x( k, y(0)) Akbatya lm τ k k Meurut teorema, utuk suatu matrks terval regular jka vektor waktu skel ada maka vektor tdak tergatug dar la awal Selajutya, utuk suatu matrks tak terreduks A, lema berkut mejam eksstes vektor waktu skelya Meurut lema Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 109

12 210 da lema 22, bahwa semua kompoe vektor waktu skelya adalah λ utuk sebarag la awal Lema 211 Dberka sstem x( k 1) A x( k) utuk k 0, A ( ) I tak terreduks dega v vektor ege terval yag bersesuaa dega la ege λ I( ) x j ( k, x(0)) maka lm λ utuk semua j1, 2,, da x(0) I( ) k k Bukt : Msalka v suatu vektor ege dar matrks terval A Jka dplh x(0) v I( ) x j ( k, x(0)) dperoleh lm λ utuk semua j Karea A tak k k terreduks maka A reguler da v berhgga Meurut lema 210, vektor waktu skel ada da tdak tergatug dar x(0) Dega kata la semua kompoe vektor waktu skelya adalah λ utuk sebarag la awal Berdasarka uraa sebelumya, eksstes la ege terval da vektor ege terval utuk matrks terval terreduks dberka oleh teorema berkut : Teorema 212 Jka utuk sebarag la awal x(0) [ε, ε,, ε] T sstem x( k 1) A x( k) memeuh x( m) c x( ) utuk blaga bulat m 0 da terval c maka x( k) lm k k [λ, λ,, λ] T dega λ c m Selajutya, λ adalah suatu la ege terval dar matrks A dega vektor ege dberka oleh m 1 ( m1) v (λ x( 1)) Bukt : Dketahu bahwa utuk sebarag la awal x(0) [ε, ε,, ε] T sstem x( k 1) A x( k) memeuh x( m) c x( ) utuk blaga bulat m 0 da terval c Msalka l = m, sehgga x( k) x( l) lm lm k k l c x( ) lm l c x( ) lm lm l l c x( ) lm lm l l c 0 l x( k) vektor waktu skelya adalah lm [λ, λ,, λ] T k k c 0 m Jad jka λ c m maka Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 110

13 Selajutya, jka m 1 ( m1) v (λ x( 1)) maka m ( m1) A v A (λ x( 1) 1 m 1 ( m1) (A (λ x( 1))) m 1 ( m1) (λ (A x( 1))) m 1 ( m1) (λ (x( )) m1 2 ( m1) (λ x( 1)) m1 ( m) λ (λ x( 1)) 2 m ( m) λ (λ x( 1)) 1 λ v Berdasarka teorema, berkut adalah lagkah-lagkah yag dguaka utuk meetuka la ege da vektor ege dar matrks A ( ) I dlakuka secara berulag dar sstem x( k 1) A x( k) sebaga berkut : Ambl sebarag vektor x(0) [ε, ε,, ε] T Lakuka teras sstem x( k 1) A x( k) sampa terdapat blaga bulat m > 0 da terval sehgga perlaku perodk terjad yatu x( m) c x( ) c Htug la ege λ m m ( m1) Vektor ege v (λ x( 1)) 1 KESIMPULAN Dar hasl pembahasa dapat dsmpulka bahwa : Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 111

14 a Matrks terval terreduks regular A mempuya la ege terval da vektor ege terval jka vektor terval waktu skelya merupaka laju pertumbuha asmtotk barsa x( k ) dar sstem persamaa lear x( k 1) A x( k) b Batas bawah da batas atas la ege terval tersebut berturut-turut adalah la ege Max-Plus matrks batas bawah da la ege Max-Plus matrks batas atas dar matrks tervalya c Batas bawah da batas atas vektor ege terval tersebut berturut-turut adalah vektor ege matrks batas bawah da vektor ege matrks batas atas dar matrks tervalya DAFTAR PUSTAKA [1] Aka, M, Cohe, G, Gaubert, S, Quadrat, J P, ad Vot, M 1994 Max-Plus Algebra ad Applcatos to System Theory ad Optmal Cotrol Proceedgs of the Iteratoal Cogress of Mathematcas Zurch, Swtzerlad [2] Bacell, F, Cohe, G, Olsder, G J, Quadrat, J P 2001 Sychrozato ad Learty, New York : Joh Wley & Sos [3] Butkovc, P, Tam K P, 2009 O Some Propertes of The Image of a Max Lear Mappg Cotemporary Mathematcs Volume 495 [4] Farlow, K G 2009 Max-Plus Algebra Master's Thess submtted to the Faculty of the Vrga Polytechc Isttute ad State Uversty partal fulfllmet of the requremets for the degree of Masters Mathematcs [5] Kogsberg Z R 2009 A Geeralzed Egemode Algorthm for Reducble Regular Matrces over the Max-Plus Algebra Iteratoal Mathematcal Forum, [6] Rudhto, Ady 2011 Aljabar Max-Plus Blaga Kabur da Peerapaya pada Masalah Pejadwala da Jarga Atra Dsertas : Program Stud S3 Matematka FMIPA UGM Yogyakarta [7] Schutter, B D 1996 Max Algebrac System Theory for Dscrete Evet Systems PhD Thess, Katholke Uverstet Leuve, Departemet Elektrotechek [8] Sswato 2012 Nla Ege da Vektor Ege suatu Matrks Terreduks dalam Aljabar Max-Plus Prosdg Semar Nasoal Aljabar 2012 Jurusa Matematka UNDIP [9] Suboo 2000 O Classes of M-Max-Plus Systems ad Ther Applcatos, Publshed by Delf Uversty Press [10] Tam K P 2010 Optmzg ad Approxmatg Egevectors I Max-Algebra A thess Submtted to the Uversty of Brmgham for The Degree of Doctor of Phlosophy (PHD) Semar Nasoal Matematka da Peddka Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 112

Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval

Aturan Cramer dalam Aljabar Maks-Plus Interval Jural Matematka & Sas Aprl 2015 Vol 20 Nomor 1 Atura Cramer dalam Aljaar Maks-Plus Iterval Sswato Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Uverstas Seelas Maret Surakarta e-mal: ssmpaus@yahoocod

Lebih terperinci

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI SUTU MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar Program Stud Matematka FMIP UNDIP JlProfSoedarto SH Semarag 575 bstract Ths research dscussed about how to obtaed

Lebih terperinci

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER TUGAS ATA KULIAH TEORI RING LANJUT ODUL NOETHER Da Aresta Yuwagsh (/364/PPA/03489) Sebelumya, telah dketahu bahwa sebaga rg dega eleme satua memeuh sfat rata ak utuk deal-deal d. Apabla dpadag sebaga modul,

Lebih terperinci

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real. BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fugs dega doma berupa hmpua blaga asl N. ebuah barsa kompleks

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Bulet Ilmah Mat. Stat. da Terapaya (Bmaster) Volume 03, No. 2(204), hal 35 42. SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Suhard, Helm, Yudar INTISARI Fugs terbatas merupaka fugs yag memlk batas atas da batas

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus 1. Pegerta Aljabar Max-Plus Aljabar Max-Plus adalah hmpua { } dega hmpua semua blaga real yag dlegkap dega operas maksmum, dotaska dega da operas pejumlaha yag

Lebih terperinci

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Program Stud S1 Tekk Iformatka Fakultas Iformatka, Telkom Uversty SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Matematka Dskrt (MUG2A3) Halama 1 dar 6 Soal 1 Tetukalah eleme-eleme dar hmpua berkut! 2 x x adalah blaga real

Lebih terperinci

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS NORM VEKTOR DN NORM MTRIK umaag Muhtar Gozal UNIVERIT PENDIDIKN INDONEI. Pedahulua Jka kta membcaraka topk ruag vektor maka cotoh sederhaa yag dapat kta ambl adalah ruag Eucld R. D ruag kta medefska pajag

Lebih terperinci

ANALISIS MASALAH GENERATOR DARI POSSIBLE DAN UNIVERSAL EIGENVECTOR PADA MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ANALISIS MASALAH GENERATOR DARI POSSIBLE DAN UNIVERSAL EIGENVECTOR PADA MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS Sear Nasoal Mateatka IV (SeNasMat) Isttut Tekolog Sepuluh Nopeber, Surabaya, 3 Deseber NLISIS MSLH GENERTOR DRI POSSIBLE DN UNIVERSL EIGENVECTOR PD MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar, Suboo,

Lebih terperinci

SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS

SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS A8 M. Andy Rudhto 1 1 Program Stud Penddkan Matematka FKIP Unverstas Sanata Dharma Kampus III USD Pangan Maguwoharjo Yogyakarta 1 e-mal: arudhto@yahoo.co.d

Lebih terperinci

Extra 4 Pengantar Teori Modul

Extra 4 Pengantar Teori Modul Extra 4 Pegatar Teor odul Apabla selama dkealka suatu kosep aljabar megea ruag vektor, maka modul merupaka perumuma dar ruag vektor. Pada modul, syarat skalar dperumum mejad eleme pada suatu rg da buka

Lebih terperinci

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SAU Pada baga sebelumya, kta telah membahas peerapa metoda Ruge-Kutta orde 4 utuk meyelesaka masalah la awal dar persamaa dferesal basa orde. Pada bab, kta aka melakuka

Lebih terperinci

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Masalah Norm Mmum (Karat) MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Karat da Dhorva Urwatul Wutsqa Jurusa Peddka Matematka FMIPA Uverstas Neger Yogakarta Abstract I ths paper, wll be dscussed

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema II. LANDAAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teoremateorema ag medukug utuk pembahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorema tersebut dtulska sebaga berkut.. Teorema Proeks Teorema

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu.

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu. BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa yag varabel bebasya ( berpagkat palg tgg satu. Utuk regres ler sederhaa, regres ler haya melbatka dua varabel ( da. Persamaa regresya dapat dtulska

Lebih terperinci

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruag Baach Sumaag Muhtar Gozal UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Satu kose etg d kulah Aalss ugsoal adalah teor ruag Baach. Pada baga aka drevu defs, cotoh-cotoh, serta sfat-sfat etg ruag Baach. Kta aka

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 11 Latar Belakag Peelta yag dlakuka oleh Va der Pol pada sebuah tabug trode tertutup, yatu sebuah alat yag dguaka utuk megedalka arus lstrk dalam suatu srkut pada trasmtter da recever meghaslka

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah BAB III INEGRAL RIEMANN-SIELJES. Pedahulua Pada Bab, telah dsggug bahwa ukura meghtug merupaka salah satu pedekata utuk membetuk proses ttk. Berkata dega masalah perhtuga, ada hal meark yag perlu amat,

Lebih terperinci

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK MODUL 4 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK. Pedahulua Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu persoala, bak megea sampel atau pu

Lebih terperinci

ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito

ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito LJBR MX-PLUS DN PENERPNNY M. dy Rudhto Program Stud Peddka Matematka FKIP Uverstas Saata Dharma Yogyakarta 6 PRKT ljabar -plus merupaka suatu struktur aljabar d maa hmpua semua blaga real R {} dlegkap

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu BAB II LADASA TEORI Dalam pegambla sampel dar suatu populas, dperluka suatu tekk pegambla sampel yag tepat sesua dega keadaa populas tersebut. Sehgga sampel yag dperoleh adalah sampel yag dapat mewakl

Lebih terperinci

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu METODE FUNGS QUAS-FED SATU ARAMETER UNTUK MENYEESAKAN MASAAH ROGRAM NTEGER TAK NEAR Ra Hardyat (M4) ABSTRAK Dalam kehdupa sehar-har serg djumpa masalah optmas yag membutuhka hasl teger Masalah tersebut

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa merupaka baga regres yag mecakup hubuga ler satu peubah acak tak bebas dega satu peubah bebas. Hubuga ler da dar satu populas dsebut gars regres

Lebih terperinci

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : 1410-8518 TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk

Lebih terperinci

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals JMP : Volume 4 Nomor, Ju 202, hal. 3-39 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals Sumardoo, Supama 2, da Soepara Darmawaa 3 PPPPTK Matematka, smrd2007@gmal.com 2 Mathematcs Departmet, Gadah Mada Uverst, supama@ugm.ac.d

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel BAB I PENDAHULUAN 1.1 Statstka Deskrptf da Statstka Iferesal Dewasa d berbaga bdag lmu da kehdupa utuk memaham/megetahu sesuatu dperluka dat Sebaga cotoh utuk megetahu berapa bayak rakyat Idoesa yag memerluka

Lebih terperinci

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP Msal dguaka kode ler C[, k, d] dega matrks pembagu G da matrks cek partas H. Sebuah blok formas x = x 1 x 2 x k, x = 0 atau 1, yag aka dkrm terlebh

Lebih terperinci

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat. KALKULUS LANJUT Pertemua ke-4 Rey Ra Marlaa, S.S.,M.Stat. Plot Mater Notas Jumlah & Sgma Itegral Tetu Jumlah Rema Pedahulua Luas Notas Jumlah & Sgma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fugs yag daerah

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai BAB LANDASAN TEORI. Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres regressso aalyss merupaka suatu tekk utuk membagu persamaa da megguaka persamaa tersebut utuk membuat perkraa predcto. Dega demka, aalss regres

Lebih terperinci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari: 5 Mamum Lkelhood Estmato Defs Fugs Lkelhood Msalka X, X,, X adalah eubah acak d dega fugs massa eluag ( ; θ, dega θ dasumska skalar da tdak dketahu, maka rosedur fugs lkelhood daat dtulska sebaga berkut

Lebih terperinci

STATISTIKA. A. Tabel Langkah untuk mengelompokkan data ke dalam tabel distribusi frekuensi data berkelompok/berinterval: a. Rentang/Jangkauan (J)

STATISTIKA. A. Tabel Langkah untuk mengelompokkan data ke dalam tabel distribusi frekuensi data berkelompok/berinterval: a. Rentang/Jangkauan (J) STATISTIKA A. Tabel Lagkah utuk megelompokka data ke dalam tabel dstrbus frekues data berkelompok/berterval: a. Retag/Jagkaua (J) J X maks X m b. Bayak kelas (k) Megguaka atura Sturgess, yatu k,. log c.

Lebih terperinci

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 IDAL DALAM ALJABAR LINTASAN LAVITT Ida Kura Walyat Program Stud Peddka Matematka Jurusa Peddka MIPA FKIP Uverstas Kharu

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1).

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1). BAB II LANDASAN EORI.. Model Matematka Model Matematka merupaka represetas matematka yag dhaslka dar pemodela Matematka. Pemodela Matematka merupaka suatu proses merepresetaska da mejelaska permasalaha

Lebih terperinci

Digraf Eksentrik dari Graf Crown. Fakultas MIPA UNS Surakarta

Digraf Eksentrik dari Graf Crown. Fakultas MIPA UNS Surakarta Dgraf Eksetrk dar Graf Crow NugrohoArf udbo 1, Tr Atmojo Kusmaad 1 Program tud Tekk Iformatka TMIK Duta Bagsa urakarta Fakultas MIPA UN urakarta ABTRAK Dberka G suatu graf dega hmpua berhgga verte V(G)

Lebih terperinci

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi.

Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi. Mea utuk Data Tuggal Des. Jka suatu sampel berukura dega aggota x1, x, x3,, x, maka mea sampel ddesska : 1... N 1 Mea utuk Data Kelompok Des Mea dar data yag dkelompoka adalah : x x 1 1 1 dega : x = ttk

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Sampa saat, model Regres da model Aalss Varas telah dpadag sebaga dua hal ag tdak berkata. Meskpu merupaka pedekata ag umum dalam meeragka kedua cara pada taraf permulaa,

Lebih terperinci

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2 INTERVAL KEPERCAAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFIIEN VARIAI DARI DITRIBUI LOGNORMAL I. Pebrya * Bustam. ugarto Mahasswa Program Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Pegatar Teor Pegkodea (Codg Theory) KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Dose Pegampu : Al Sutjaa DISUSUN OLEH: Nama : M Zak Ryato Nm : /5679/PA/8944 Program Stud : Matematka JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA

Lebih terperinci

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN Peelta Operasoal II Teor Permaa 7 2 TEORI PERMAINAN 2 Pegatar 2 Krtera Tekk Permaa : () Terdapat persaga kepetga datara pelaku (2) Setap pema memlk stateg, bak terbatas maupu tak terbatas (3) Far Game

Lebih terperinci

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Kompleks Dengan Invers Matriks Menggunakan Metode Faddev (Contoh Kasus: SPL Kompleks dan Hermit) Jural Sas Matematka da Statstka, Vol., No. I, Jauar ISSN - Peyelesaa Sstem Persamaa Ler Kompleks Dega Ivers Matrks Megguaka Metode Faddev Cotoh Kasus: SPL Kompleks da Hermt F. rya da Tka Rzka, Jurusa Matematka,

Lebih terperinci

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL 3. Pegerta Masalah regres vers dega betuk lear dapat djumpa dalam berbaga bdag kehdupa, dataraya dalam bdag ekoom, kesehata, fska, kma

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses peelta utuk megaalss aproksmas fugs dega metode mmum orm pada ruag hlbert C[ab] (Stud kasus: fugs rasoal) peuls megguaka defs teorema da kosep dasar sebaga berkut:.. Aproksmas

Lebih terperinci

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA A. Ukura Gejala Pusat Ukura pemusata adalah suatu ukura yag meujukka d maa suatu data memusat atau suatu kumpula pegamata memusat (megelompok). Ukura pemusata data adalah

Lebih terperinci

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih S2 MP Oleh ; N. Setyagsh MATERI PERTEMUAN 1-3 (1)Pedahulua pera statstka dalam peelta ; (2)Peyaja data : dalam betuk (a) tabel da (b) dagram; (3) ukura tedes setaral da ukura peympaga (4)dstrbus ormal

Lebih terperinci

Orbit Fraktal Himpunan Julia

Orbit Fraktal Himpunan Julia Vol. 3, No., 6-7, Jauar 7 Orbt Fraktal Hmpua Jula Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa Abstrak Makalah membahas kumpula ttk-ttk yag berada dalam daerah hmpua Jula d ruag kompleks da memperlhatka sebuah algortma

Lebih terperinci

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas TEKNIK SAMPLING Hazmra Yozza Izzat Rahm HG Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Adalas Defs Suatu cotoh gerombol adalah suatu cotoh acak sederhaa dmaa setap ut pearka cotoh adalah kelompok atau gerombol dar

Lebih terperinci

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI INTGRAL LBSGU PADA FUNGSI TRBATAS SKRIPSI Dajuka Kepada Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Neger Yogyakarta utuk memeuh sebaga persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sas Dsusu Oleh : Fauzah

Lebih terperinci

Edge Anti-Magic Total Labeling dari

Edge Anti-Magic Total Labeling dari Edge At-Magc Total Labelg dar Charul Imro da Suhud Wahyud Jurusa Matematka Isttut Tekolog Sepuluh Nopember Surabaya mro-ts@matematka.ts.ac.d, suhud@matematka.ts.ac.d C Abstract We wll fd edge at-magc total

Lebih terperinci

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI BB 6 PRINSIP INKLUSI DN EKSKLUSI Pada baga aka ddskuska topk berkutya yatu eumeras yag damaka Prsp Iklus da Eksklus. Kosep dalam bab merupaka perluasa de dalam Dagram Ve beserta oepras rsa da gabuga, amu

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 1 Pegerta Regres Istlah regres pertama kal dperkealka oleh Fracs Galto Meurut Galto, aalss regres berkeaa dega stud ketergatuga dar suatu varabel yag dsebut tak bebas depedet varable,

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Codg Theory KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Muhamad Zak Ryato NIM: 2/56792/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd http://zakmathwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sutjaa, MSc Pedahulua Salah satu bahasa yag palg petg pada lear

Lebih terperinci

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3. Pegkodea Matrks Ketetaggaa Matrks ketetaggaa A adaah matrks smetr, sehgga, dega memh semua eeme pada dagoa utama da eeme-eeme dbawah dagoa utama, maka aka

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 38-50

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 38-50 Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 KETERKENALIAN SISTEM LINIER IFERENSIAL BIASA TIME-VARYING AN SISTEM LINIER IFERENSIAL PARSIAL ENGAN PENEKATAN MOUL ATAS OPERATOR IFERENSIAL

Lebih terperinci

H dinotasikan dengan B H

H dinotasikan dengan B H Delta-P: Jural Matemata da Pedda Matemata ISSN 089-855X Vol., No., Aprl 03 OPERATOR KOMPAK Mustafa A. H. Ruhama Program Stud Pedda Matemata, Uverstas Kharu ABSTRAK Detahu H da H dua ruag Hlbert, B H )

Lebih terperinci

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan Aalsa Numerk Baha Matrkulas PENDAHULUAN Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah

Lebih terperinci

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Ses NGAN INTEGRAL RIEMANN A. NOTASI SIGMA a. Defs Notas Sgma Sgma (Σ) adalah otas matematka megguaka smbol yag mewakl pejumlaha da beberapa suku yag memlk

Lebih terperinci

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran Kurkulum 013/006 matematka K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, kamu dharapka memlk kemampua berkut. 1. Dapat meetuka rata-rata data tuggal da data berkelompok..

Lebih terperinci

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi)

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi) B. Meghtug ukura pemusata, ukura letak da ukura peyebara data serta peafsraya A. Ukura Pemusata Data Msalka kumpula data berkut meujukka hasl pegukura tgg bada dar orag sswa. 0 cm 30 cm 5 cm 5 cm 35 cm

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika

TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika TEOREMA TITIK TETAP BANACH Skrps Dajuka utuk Memeuh Salah satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Matematka Program Stud Matematka Oleh: Wdaryata Ctra Nursata NIM : 348 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES * PENYAJIAN DATA Secara umum, ada dua cara peyaja data, yatu : 1. Tabel atau daftar. Grafk atau dagram Macam-macam daftar yag dkeal : a. Daftar bars kolom b. Daftar kotges c. Daftar dstrbus frekues Sedagka

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP Lusa Tr Lstyowat Krstaa Waya M Fatekurohma Jurusa Matematka FMIPA Uerstas Jember e-mal: krstaa_waya@yahoocom da m_fatkur@yahoocom Abstract:

Lebih terperinci

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling)

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling) Pearka Cotoh Acak Sederhaa (Smple Radom Samplg) Defs Jka sebuah cotoh berukura dambl dar suatu populas sedemka rupa sehgga setap cotoh berukura ag mugk memlk peluag sama utuk terambl, maka prosedur tu

Lebih terperinci

BAB III ISI. x 2. 2πσ

BAB III ISI. x 2. 2πσ BAB III ISI 4. Keadata Normal Multvarat da Sfat-sfatya Keadata ormal multvarat meruaka geeralsas dar keadata ormal uvarat utuk dmes. f ( x) [( x )/ ] / = e x π x = ( x )( ) ( x ). < < (-) (-) Betuk (-)

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab aka mejelaska megea ladasa teor yag dpaka oleh peuls dalam peelta. Bab dbag mejad beberapa baga, yag masg masg aka mejelaska Prcpal Compoet Aalyss (PCA), Egeface, Klusterg K-Meas,

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI MINGGU KE-0 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI Hubuga atar koverges Hrark atar koverges dyataka dalam teorema berkut. Teorema Msalka X da X, X, X 3,... adalah varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag

Lebih terperinci

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM 1 Megetahu perhtuga persamaa regres ler Meggambarka persamaa regres ler ke dalam dagram pecar TEORI PENUNJANG Persamaa Regres adalah persamaa matematka

Lebih terperinci

ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA

ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA ALJABAR LINTASAN LAVITT SMIPRIMA Ngrum Astrawat Program Stud Tekka, Akadem Martm Yogyakarta astramath@gmal.com ABSTRA. Suatu graf dapat drepresetaska sebaga aljabar ltasa da jka graf tersebut dperluas

Lebih terperinci

BAB I PENGINTEGRALAN KOMPLEKS

BAB I PENGINTEGRALAN KOMPLEKS BAB I PENGINTEGRALAN OMPLES . Itegral Gars Sebelum membcaraka tegral gars terlebh dahulu aka dbahas kurva kurva mulus ltasa da retas suatu ltasa. Ltasa urva legkuga d bdag datar dapat dataka dalam betuk

Lebih terperinci

4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data

4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data //203 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas Ukura

Lebih terperinci

BAB 2. Tinjauan Teoritis

BAB 2. Tinjauan Teoritis BAB Tjaua Teorts.1 Regres Lear Sederhaa Regres lear adalah alat statstk yag dperguaka utuk megetahu pegaruh atara satu atau beberapa varabel terhadap satu buah varabel. Varabel yag mempegaruh serg dsebut

Lebih terperinci

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH Aryato* ABSTRACT The propertes of ompatess Baah spaes ths paper s a geeralzato of a ompat uderstadg the system o the real

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling BAB LANDASAN TEORI Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres adalah suatu proses memperkraka secara sstemats tetag apa yag palg mugk terjad dmasa yag aka datag berdasarka formas yag sekarag dmlk agar memperkecl

Lebih terperinci

Regresi Linier Sederhana Definisi Pengaruh

Regresi Linier Sederhana Definisi Pengaruh Regres Ler Sederhaa Dah Idra Baga Bostatstka da Kepeduduka Fakultas Kesehata Masyarakat Uverstas Arlagga Defs Pegaruh Jka terdapat varabel, msalka da yag data-dataya dplot sepert gambar dbawah 3 Defs Pegaruh

Lebih terperinci

PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINCIR ANGIN BELANDA DAN GABUNGAN GRAF KINCIR ANGIN BELANDA

PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINCIR ANGIN BELANDA DAN GABUNGAN GRAF KINCIR ANGIN BELANDA PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GRAF KINIR ANGIN BELANDA DAN GABUNGAN GRAF KINIR ANGIN BELANDA Fery Frmasah ), Kk Aryat Sugeg ) Abstrak : Gra G V G, EG dega V G adalah hmpua smpul da G hmpua busur dsebut

Lebih terperinci

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani FMDAM (2) Chartas Fbra Techque for Order Preferece by Smlarty to Ideal Soluto () ddasarka pada kosep dmaa alteratf terplh yag terbak tdak haya memlk jarak terpedek dar solus deal postf, amu juga memlk

Lebih terperinci

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas:

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas: ANALISIS REGRESI Pedahulua Aalss regres berkata dega stud megea ketergatuga satu peubah (peubah terkat) terhadap satu atau lebh peubah laya (peubah pejelas). Jka Y dumpamaka sebaga peubah terkat da X1,X,...,X

Lebih terperinci

SEMI RING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS

SEMI RING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal. 289-297 SEMI RING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS Suroto Prod Matematka, Jurusan MIPA, Fakultas Sans dan Teknk Unverstas Jenderal Soedrman e-mal : suroto_80@yahoo.com

Lebih terperinci

Bab II Teori Pendukung

Bab II Teori Pendukung Bab II Teor Pedukug.. asar Statstka Utuk keperlua peaksra outstadg clams lablty, pegetahua dalam statstka mead hal yag petg. asar statstka yag dguaka dalam tess atara la :. strbus ormal Sebuah peubah acak

Lebih terperinci

STATISTIKA A. Definisi Umum B. Tabel Distribusi Frekuensi

STATISTIKA A. Definisi Umum B. Tabel Distribusi Frekuensi STATISTIKA A. Des Umum. Pegerta statstk Statstk adalah kumpula akta yag berbetuk agka da dsusu dalam datar atau tabel yag meggambarka suatu persoala. Cotoh: statstk kurs dolar Amerka, statstk pertumbuha

Lebih terperinci

3/19/2012. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut

3/19/2012. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut 3/9/202 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema II. LANDASAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teorea-teorea ag edukug utuk pebahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorea tersebut dtulska sebaga berkut... Teorea Proeks Teorea proeks

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO PADA BEBERAPA GRAF EULER Isa 1, Luca Ratasar, R. Heru Tjahjaa 3 1,,3 Jurusa Matematka, Fakultas Sas da Matematka, Uverstas Dpoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalag,

Lebih terperinci

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF KELOMPOK A I GUSTI BAGUS HADI WIDHINUGRAHA (0860500) NI PUTU SINTYA DEWI (0860507) LUH GEDE PUTRI SUARDANI (0860508) I PUTU INDRA MAHENDRA PRIYADI (0860500)

Lebih terperinci

TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Eka Mer Krst ), Arsma Ada ), Sgt Sugarto ) ekamer_tross@ymal.com ) Mahasswa Program S Matematka FMIPA-UR

Lebih terperinci

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu KORELASI 1 D dua kta tdak dapat hdup sedr, tetap memerluka hubuga dega orag la. Hubuga tu pada umumya dlakuka dega maksud tertetu sepert medapat kergaa pajak, memperoleh kredt, memjam uag, serta mta pertologa/batua

Lebih terperinci

8. MENGANALISIS HASIL EVALUASI

8. MENGANALISIS HASIL EVALUASI 8. MENGANALISIS HASIL EVALUASI Tujua : Mampu megaalsa tgkat kesukara hasl evaluas utuk megkatka hasl proses pembelajara Kegata megaals hasl evaluas merupaka upaya utuk memperbak programprogram pembelajara

Lebih terperinci

PENGHITUNGAN SENSITIVITAS HARGA OPSI EROPA DALAM BERBAGAI METODE NUMERIK

PENGHITUNGAN SENSITIVITAS HARGA OPSI EROPA DALAM BERBAGAI METODE NUMERIK PENGHITUNGAN SENSITIVITAS HARGA OPSI EROPA DALAM BERBAGAI METODE NUMERIK Ddt Bud Nugroho Program Stud Matematka, Fakultas Sas da Matematka Uverstas Krste Satya Wacaa Jl. Dpoegoro 5-60 Salatga 507 Jawa

Lebih terperinci

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS C. Pembelajara 3 1. Slabus N o STANDA R KOMPE TENSI KOMPE TENSI DASAR INDIKATOR MATERI TUGAS BUKTI BELAJAR KON TEN INDIKA TOR WAK TU SUM BER BELA JAR Meerap ka atura kosep statstka dalam pemecah a masalah

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. penulisan skripsi yaitu mengenai data panel, beberapa bentuk dan sifat

BAB II LANDASAN TEORI. penulisan skripsi yaitu mengenai data panel, beberapa bentuk dan sifat BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab II aka dbahas dasar-dasar teor yag dguaka dalam peulsa skrps yatu megea data pael, beberapa betuk da sfat matrks, matrks parts, betuk ler da betuk kuadratk beserta ekspektasya,

Lebih terperinci

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007 Volume, Nomor, Desember 007 Barekeg, Desember 007. hal.-7 Vol.. No. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EKPONENSIAL PADA LOKASI TERBATAS (Estmatg Parameter Dstrbuto Expoetal At Fte Locato MOZART W TALAKUA, JEFRI

Lebih terperinci

TATAP MUKA III UKURAN PEMUSATAN DATA (MEAN, MEDIAN DAN MODUS) Fitri Yulianti, SP. Msi.

TATAP MUKA III UKURAN PEMUSATAN DATA (MEAN, MEDIAN DAN MODUS) Fitri Yulianti, SP. Msi. TATAP MUKA III UKURAN PEMUSATAN DATA (MEAN, MEDIAN DAN MODUS) Ftr Yulat, SP. Ms. UKURAN DATA Ukura data Ukura Pemusata data Ukura letak data Ukura peyebara data Mea Meda Jagkaua Meda Kuartl Jagkaua atar

Lebih terperinci

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK BAB ERROR PERHITUNGAN NUMERIK A. Tujua a. Memaham galat da hampra b. Mampu meghtug galat da hampra c. Mampu membuat program utuk meelesaka perhtuga galat da hampra dega Matlab B. Peragkat da Mater a. Software

Lebih terperinci

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis STATISTIK Ukura Gejala Pusat Ukura Letak Ukura Smpaga, Dspers da Varas Mome, Kemrga, da Kurtoss Notas Varabel dyataka dega huruf besar Nla dar varabel dyataka dega huruf kecl basaya dtuls Tmes New Roma

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten

BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten BAB III METODE PENELITIAN 3. Tempat da Waktu Peelta 3.. Tempat Tempat peelta dlaksaaka d SMP Neger 4 Tlamuta Kabupate Boalemo pada sswa kelas VIII. 3.. Waktu Peelta dlaksaaka dalam waktu 3 bula yatu dar

Lebih terperinci

Ukuran Pemusatan Data. Arum Handini P., M.Sc Ayundyah K., M.Si.

Ukuran Pemusatan Data. Arum Handini P., M.Sc Ayundyah K., M.Si. Ukura Pemusata Data Arum Had P., M.Sc Ayudyah K., M.S. Notas utuk Populas da Sampel Notas: Mea (rata-rata) Sample x Populas μ Varas s 2 σ 2 Smpaga baku s σ Ukura Pemusata Data 1. Mea (rata-rata) 2. Meda

Lebih terperinci

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup:

PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari teori gangguan bebas waktu yang mencakup: PENDAULUAN D dalam modul Ada aka mempelajar teor gaggua bebas waktu yag mecakup: teor gaggua tak degeeras bebas waktu, teor gaggua degeeras bebas waktu, da efek Stark. Oleh karea tu, sebelum mempelajar

Lebih terperinci

PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Mayag Novhta Sar *, Bustam, Sgt Sugarto Mahasswa Program Stud S Matematka FMIPA Uverstas Rau Dose Fakultas

Lebih terperinci

WAKTU PERGANTIAN ALAT BERAT JENIS WHEEL LOADER DENGAN METODE LEAST COST

WAKTU PERGANTIAN ALAT BERAT JENIS WHEEL LOADER DENGAN METODE LEAST COST Koferes Nasoal Tekk Spl 3 (KoNTekS 3) Jakarta, 6 7 Me 009 WAKTU PERGANTIAN ALAT BERAT JENIS WHEEL LOADER DENGAN METODE LEAST COST Maksum Taubrata Program Stud Tekk Spl, Uverstas Krste Maraatha Badug Jl.

Lebih terperinci

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc &

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc & Notas Sgma Fadjar Shadq, M.App.Sc (fadjar_pg@yahoo.com & www.fadjarpg.wordpress.com Notas sgma memag jarag djumpa dalam kehdupa sehar-har, tetap otas tersebut aka bayak djumpa pada baga matematka yag la,

Lebih terperinci