MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

Transkripsi

1 MINGGU KE-0 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI Hubuga atar koverges Hrark atar koverges dyataka dalam teorema berkut. Teorema Msalka X da X, X, X 3,... adalah varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag sama, maka mplkas-mplkas berkut berlaku utuk. X a.s X X X X d X X r X

2 Cotoh Msalka X, X, X 3... varabel radom depede sedemka hgga X 0 da X α,, α > 0. α Karea X > ε X 0 utuk, maka α 0. Selajutya, X X > ε { < bla α > bla α I berart X a.s 0 tetap X 0 utuk α <. Utuk koverges dalam mea, E X r 0 r α + r α 0 utuk r < α r α utuk r α utuk r > α erhatka bahwa E X r tdak koverge ke 0 atau dverge ke tak berhgga bla r α. I artya X 0 walaupu X 0 r utuk α > 0. erhatka X utuk r α. r

3 Cotoh Msalka X, X, X,... varabel-varabel radom yag berdstrbus detk da X, X mempuya dstrbus gabuga sebaga berkut X, X X \X Karea X, X, X,... berdstrbus detk, maka dega sedrya d X. Aka tetap, X [ X X > ] [ X X ] {X 0, X } + {X, X 0} 0 Akbatya X X tetap X d X

4 Cotoh Msalka X, X,... depede da berdstrbus detk dega E X <. Bla Y + X, aka kta tujukka bahwa Y E X. Karea E X <, maka E X < da Var X σ. Berturut-turut aka kta car E Y da Var Y. E Y E X + E X µ + + µ + + µ Var Y Var X VarX 4σ +

5 Meggat ++ 6, maka Var Y σ 3 σ 3 { } Meurut ketaksamaa Chebychev { Y µ ε} VarY ε σ 3ε utuk. Jad, Y E X µ. d Sepert telah dtujukka dalam cotoh d atas, X X tdak selalu megakbatka X X, amu bla X merosot dar X c, koverges dalam probabltas ekuvale dega koverges dalam dstrbus sepert yag aka dtujukka dalam teorema berkut. Teorema Bla c kostata, maka X d c X c

6 Teorema Msalka X, Y, X, Y, X 3, Y 3... barsa pasaga varabel radom. Bla X Y 0 da Y d Y, maka X d Y. Teorema Lemma Slustky Msalka {X, Y },,, 3,... barsa pasaga varabel radom da c kostate, maka d d a. X X, Y c X ± Y X ± c d d X Y cx bla c 0 b. X X, Y c X Y 0 bla c 0 c. X d X, Y c X Y d X /c bla c 0 Cotoh Msalka X, X... depede da berdstrbus detk dega masg-masg berdstrbus N0,. Kta aka mecar dstrbus dar W X + X +...X X + X X Sekarag kta tuls U X + X +...X X da V X + X X X

7 Dega demka, W U V. Fugs pembagkt mome dar U adalah M U t E e tu E e t X tx E e Karea X depede, maka M U t E e tx e t e t d Sehgga, U N0,. Karea X X, maka EX da VarX. Akbatya, EV da VarV.. Meurut ketaksamaa Markov V ε VarV ε 0 utuk. ε I berart V. Karea U d N0,, maka meurut Lemma Slustky c W d N0,. Trasformas adalah alat yag petg dalam statstk. Utuk barsa varabel radom X yag koverge ke X dalam art tertetu, kta g megetahu apakah gx juga koverge ke gx dalam art tertetu. Hasl berkut memberka jawaba pada hampr semua persoala tersebut.

8 Teorema Msalka X, X, X 3,..., X barsa varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag sama da gx fugs kotu. Dega demka, a. X a.s X gx a.s gx b. X X gx gx c. X d X gx d gx Cotoh Msalka X,,, 3... depede da berdstrbus detk dsgkat..d. dega EX µ da VarX σ <. Aka kta buktka X µ. Meurut ketaksamaa Chebychev x µ > ε σ 0 utuk. ε Jad, X µ. Utuk σ ada dua estmator yag terkat yatu S X X da S X X. Aka kta buktka bahwa S da S kedua-duaya aka koverge dalam probabltas ke σ.

9 ertama-tama kta perhatka bahwa S X X X X X + X X X Meurut sfat X E X maka X E X µ + σ Dar X µ da gx x fugs kotu maka X µ. Akbatya, meurut lemma Slutsky S µ + σ µ σ. Utuk membuktka S juga koverge dalam probabltas ke σ, perhatka bahwa X X S, sehgga S S. Karea lm maka meurut lemma Slutsky S σ.