BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam

Transkripsi

1 BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL 3. Pegerta Masalah regres vers dega betuk lear dapat djumpa dalam berbaga bdag kehdupa, dataraya dalam bdag ekoom, kesehata, fska, kma da mash bayak lag. Sebaga lustras, berkut merupaka beberapa cotoh masalah regres vers dega betuk lear : Bdag ekoom Msalka dketahu bahwa terdapat hubuga lear atara jumlah teaga kerja pada suatu perusahaa sebaga varabel bebas X dega jumlah produks yag dhaslka suatu perusahaa tersebut sebaga varabel terkat Y. Jka g dketahu jumlah teaga kerja yag dbutuhka agar tercapa jumlah produks yag dgka oleh suatu perusahaa, maka merupaka masalah regres vers. Bdag Kesehata Msalka dketahu bahwa terdapat hubuga lear atara jumlah kadar suatu obat peuru tekaa darah yag dberka kepada seorag pase dalam suatu selag waktu tertetu sebaga varabel bebas X dega peurua tekaa darah yag terjad pada pase tersebut sebaga varabel terkat Y. Jka g dketahu jumlah kadar obat yag harus dberka kepada seorag pase dalam

2 33 selag waktu tertetu agar dperoleh peurua tekaa darah yag dharapka, maka merupaka masalah regres vers. Bdag Kehutaa Msalka dketahu bahwa terdapat hubuga lear atara la dugaa umur yag dperoleh dar perhtuga lgkara umur pada sebuah poho sebaga varabel bebas X dega dugaa umur yag dperoleh melalu proses carbodatg sebaga varabel terkat Y. Dketahu pula bahwa teryata perhtuga dega melhat lgkara umur lebh akurat. Karea sesuatu hal, peyeldka terhadap lgkara umur tdak dapat dlakuka sehgga dplh proses carbodatg. Utuk megetahu umur poho yag lebh akurat maka kta harus mecar umur poho berdasarka lgkara umur, maka merupaka masalah regres vers. Berdasarka beberapa lustras d atas, maka masalah regres vers ddefska sebaga berkut : Defs 3. : Msalka dketahu bahwa X da Y mempuya hubuga lear sederhaa (dasumska β da β dketahu) Y = µ x + ε = β + β X + ε (3.) Jka terdapat la dar X, katakalah x yag tdak dketahu da la dar Y (atau sampel acak berukura k utuk la dar Y ) yag berkorespodes dega x dapat damat, maka masalah utuk meetuka la x dsebut sebaga masalah regres vers dega betuk lear sederhaa (Graybll, 976).

3 34 Brow (dalam Thoard, 6) membag masalah regres vers kedalam dua kelompok, yatu :. Masalah regres vers alam atau acak, yatu apabla la x yag g dketahu berasal dar sampel acak.. Masalah regres vers terkotrol, yatu apabla la x yag g dketahu tertetu da galat haya terjad pada la y. 3. Peyelesaa Masalah Regres Ivers Terdapat beberapa cara utuk meyelesaka masalah reges vers. Namu dalam tugas akhr haya aka dbahas peyelesaa masalah regres vers beserta terval kepercayaaya dega megguaka metode yag dkemukaka oleh Frakl A. Graybll (976), dega terlebh dulu membahas megea dua metode peyelesaa masalah regres vers yag palg bayak dguaka, yatu metode klask da metode vers. 3.. Metode Klask da Metode Ivers Masalah regres vers serg dselesaka dega dua cara yag secara umum berbeda, yatu dega metode klask da metode vers. Metode Klask Msalka dketahu model lear berbetuk : Y = β + β X + ε, ε N, dega β da β dtaksr oleh β da β berdasarka metode kuadrat terkecl atau metode kemugka maksmum.

4 35 Jka dberka la dar varabel X, msalka x (tdak dketahu) da dapat damat la Y (atau sampel acak berukura k utuk la dar Y ) yag berkorespodes dega x, katakalah y. Maka metode klask megguaka la y (atau rata-rata dar k -buah la y ) utuk meaksr x dega rumus X Y = β β (3.) Parameter-parameter yag terdapat pada peaksr klask dar regres vers merupaka parameter yag terdapat pada model regres lear sederhaaya, sehgga pegujaya cukup dlakuka pada model regres lear sederhaaya saja. Metode Ivers Msalka dketahu model lear berbetuk : Y = β + β X + ε, ε N, dega β da β dtaksr oleh β da β berdasarka metode kudrat terkecl atau metode kemugka maksmum. Jka dberka la dar varabel X, msalka x (tdak dketahu) da dapat damat la Y (atau sampel acak berukura k utuk la dar Y ) yag berkorespodes dega x, katakalah y. Maka peyelesaa regres vers dega metode vers adalah dega membuat regres X atas Y, yatu dega membuat model X = α + αy + ε, ε N,. (3.3)

5 36 Peaksr utuk X dega metode vers adalah X = α + αy (3.4) dega α da α dtaksr oleh α da α berdasarka metode kuadrat terkecl atau metode kemugka maksmum. Peguja yag harus dlakuka pada peaksr vers dar regres vers adalah dega melakuka uj-uj pada regres lear sederhaa X atas Y. Beberapa statstkawa tertark utuk membadgka kedua metode dega tujua meemuka metode yag lebh bak utuk dguaka. 3.. Metode Graybll Metode utuk meyelesaka masalah regres vers dugkapka oleh Frakl A. Graybll pada tahu 976 dalam sebuah bukuya yag berjudul Theory ad Applcato of the Lear Models. Metode merupaka metode utuk mecar peaksr terval dar X dega derajat kepercayaa α, karea sepert telah dugkapka pada bab sebelumya bahwa peaksra terval dbutuhka karea sergkal peaksra ttk utuk suatu parameter memberka hasl yag kurag memuaska. Peaksra X beserta terval kepercayaaya dega megguaka Metode Graybll dtetuka berdasarka sampel acak berpasaga berukura + k dega k, yatu :, Y ),, Y ),...,, Y ),, Y ),, Y ),...,, Y ) k

6 37 dega X merupaka varabel bebas yag tdak dketahu laya da utuk =,,.., k dambl dar dstrbus yag sama pada X. dmodelka : Secara umum, dar sampel acak berukura + k harus dapat Y + Y = β + β X + ε =,,..., Y X k (, ) ε NID = β + β + ε = +, +,..., + (3.5) Uraa megea Metode Graybll pada tugas akhr aka megguaka model regres lear dega betuk terpusat, yatu dega megguaka varabel bebas X ) sebaga peggat varabel bebas X. Jad, jka dketahu model regres lear sederhaa Y = β + β X + ε ε N maka model dega (, ) regres lear sederhaa dega betuk terpusatya adalah : Y = τ + τ X X + ε ε N. dega (, ) (3.6) Hal dlakuka utuk meyederhaaka betuk dalam peurua rumus da pembukta teorema (Thoard, 6) Prosedur Peyelesaa Peyelesaa masalah regres vers beserta terval kepercayaaya aka duraka berdasarka lagkah-lagkah peaksra terval dega pedekata/tekk besara pvot sebaga berkut :. Megambl sampel acak Ambl sampel acak berpasaga berukura + k, yatu :, Y ),, Y ),...,, Y ),, Y ),, Y ),...,, Y ) k

7 38 dmaa X merupaka varabel bebas yag tdak dketahu laya da Y + utuk =,,.., k dambl dar dstrbus yag sama pada X.. Meetuka peaksr ttk utuk X Graybll memlh megguaka metode klask utuk meetuka peaksr ttk X dega alasa tdak dapat dpeuhya asums pada peaksr vers, yatu : a. Jka megguaka peaksr vers atau dega kata la memodelka regres lear X atas Y, maka Y haruslah memeuh asums bahwa Y merupaka sebuah la tertetu da buka merupaka varabel acak. b. Jka megguaka peaksr vers atau dega kata la memodelka regres lear X atas Y, maka X haruslah memeuh asums bahwa X merupaka varabel acak. Dalam meetuka peaksr ttk utuk X, Graybll melakuka lagkah-lagkah sebaga berkut : a. Membuat model Y = τ + τ X X + ε, =,,..., berdasarka sampel acak berukura da meaksr la τ da τ oleh $ τ da $ τ berdasarka metode kemugka maksmum, yatu : Y X X $ = τ = Y (3.7) da $ τ = (3.8) X X (Bukt lhat lampra.e butr ke- da ke-) = ( )

8 39 b. Meetuka peaksr ttk utuk X dega metode klask, yatu : Y Y $ τ X = X +, (Bukt lhat lampra.e butr ke-) jka $ τ (3.9) 3. Membetuk besara pvot Besara pvot haruslah memuat peaksr ttk X da yag dtaksrya ), tdak memuat parameter la yag tdak dketahu serta dstrbusya dketahu. Dalam meetuka besara pvot yag dgka, dperluka pegkaja yag medalam terhadap sampel da beberapa teorema pedukug sehgga dapat dperoleh formas-formas yag dbutuhka. Pertama, aka dcar peaksr dar varas model regres, peaksr varas model regres dperoleh berdasarka sampel acak berukura + k dega megguaka metode kemugka maksmum, yatu : dega Y = Y. k + ( Y X X ) ( Y Y ) k KM = k + = = + τ τ + $ $ + k = + (Bukt legkap lhat lampra.e butr ke-v) Karea setelah duj la ekspektas dar + k 3 KM =, maka + k merupaka peaksr bas. Peaksr tak basya adalah : + k ( Y X X ) ( Y Y ) $ $ = τ τ + + k 3 = = + (3.)

9 4 Sehgga jka k = maka peaksr utuk varasya adalah : = Y $ τ $ τ = (3.) Beberapa teorema da defs yag dperluka utuk meetuka besara pvot adalah : Teorema 3. : Msalka X, Y, =,,..., mempuya hubuga lear sederhaa Y = τ + τ X X + ε, ε NID,. Msalka Y +, =,,..., k, k merupaka pegamata acak dar dstrbus ormal dega rata-rata X ) τ + τ tdak dketahu) da varas. Jka semua varabel acak Y salg bebas, maka peaksr kemugka maksmum dar τ, τ, X da (dega koreks ketakbasa) masg-masg dberka oleh persamaa (3.7), (3.8), (3.9) da (3.). (Bukt lhat lampra.e). Teorema 3. : Perhatka model yag dberka oleh teorema 3. da peaksr-peaksrya yag dberka oleh persamaa (3.7), (3.8), (3.9) da (3.), maka berlaku : (). $ τ da $ τ salg bebas (). $ τ N τ, da $ τ N τ, =

10 4 = + berdstrbus (). U k 3 (v). salg bebas dega (Bukt lhat lampra.f ) $ ( τ, $ τ, X ) χ + k 3 Teorema 3.3 : Jka X adalah varabel acak berdstrbus ormal dega rata-rata µ da varas X N ( µ, ), maka Z X µ = berdstrbus ormal baku ( Z N (,) ). (Bukt lhat lampra.g ) Defs 3. : Jka W varabel acak berdstrbus ormal baku W N (,) acak berdstrbus ch kuadrat dega derajat kebebasa r ( V χ r ) da V varabel. Jka W da V bebas secara stokastk maka T W = berdstrbus t dega derajat V r kebebasa r ( T t r ). Berdasarka teorema da defs d atas, dapat dtujukka bahwa : ( Y $ ) τ $ τ X X Y $ τ X X $ τ = τ + τ ( ) τ τ Ε = Ε Ε Ε X ) X ) =

11 4 ( $ τ ) $ τ = + $ τ + $ τ Cov( Y, $ τ ) Cov Y, $ τ + Cov $ τ, $ τ Var Y X X Var Y Var X X Var X ) ( ) = k k = + + = A = ) X = Dega A = + + k ) X = Karea Y τ τ $ $ pu aka $ $ merupaka kombas dar kompoekompoe yag berdstrbus ormal, maka Y τ τ berdstrbus ormal dega rata-rata da varas ( Y τ τ ) ) X N, A A $ $. Sehgga berdasarka teorema 3.3 dperoleh : Z Y $ τ $ τ X X = N (,) (3.) A

12 43 Berdasarka teorema 3. butr ke- dperoleh : ( 3) U = + k ( k 3) = + = + k ( Y $ τ $ τ X )) ( Y Y ) k = = + + k ( Y $ τ $ τ ) + ( Y Y ) = = + χ + k 3 (3.3) Berdasarka teorema 3. butr ke-v dapat dsmpulka bahwa Z da U salg bebas, sebab salg bebas dega ( τ, τ, X ) $ $. Karea Z N (, ) da U salg bebas, maka berdasarka defs 3. dperoleh : χ + k 3 T = Z U + k 3 t + k 3 (3.4) Aka dperlhatka bahwa T memeuh syarat sebaga besara pvot, ( ) yatu memuat peaksr ttk X da yag dtaksrya ) parameter la yag tdak dketahu serta dstrbusya dketahu. $ τ $ τ A Y $ τ $ τ A + k 3 Y X X Z T = = = U + k 3 + k 3 Y Y $ τ X + $ τ X = A, tdak memuat

13 44 $ Y Y τ + X X $ τ = A $ τ X ) = A dega A = + + k ) X =. Sehgga dplh T sebaga besara pvot. 4. Dega megambl derajat kepercayaa sebesar γ = α da dega meyataka P t T t = α, maka aka dcar peaksr α ; + k 3 α ; + k 3 terval dar X. P t T t = α α ; + k 3 α ; + k 3 $ τ X ) P t t = α α ; + k 3 ; k 3 A α + P At $ τ X $ τ X At $ τ X = α α ; + k 3 α ; + k 3 Karea la τ $ dapat berla postf atau egatf maka tdak dapat dperoleh peaksr terval utuk X yag dgka. Oleh sebab tu aka dlakuka pegkuadrata terhadap besara pvot. P t T t = α α ; + k 3 α ; + k 3

14 45 = P T t α α ; + k 3 ( Y $ τ $ τ ) P t α α ; 3 + k = A $ $ ( ) P Y τ τ X X A t α = α ; + k 3 (3.5) τ τ ; + k 3 Y $ $ X X A t α dega X Perhatka betuk merupaka satu-satuya parameter yag tdak dketahu. Bla djabarka dega mesubsttuska A = + + k ) X = dapat dperoleh : t α ; + k 3 $ τ X X + $ τ Y $ τ X X = ( Y $ τ ) + tα ; + k 3 + k (3.6) yag merupaka pertdaksamaa kuadrat a X X b X X c + + dega : a = $ τ t α ; + k 3 = ( Y τ ) b = $ τ $ $ ( ) c = Y τ tα ; + k 3 + k

15 46 Jka la X yag memeuh pertdaksamaa (3.6) berupa terval, maka la tersebut merupaka kods utuk X dega terval kepercayaa %. sebesar ( α ) Betuk pertdaksamaa kuadrat d atas aka memlk salah satu dar empat kemugka solus berkut : a. Saat a < da dskrma ( b 4ac) <, maka pertdaksamaa aka kurag dar utuk semua la X sehgga selag kepercayaa utuk < <. X adalah x b. Saat terbatas. a < da dskrma ( b 4ac) >, maka solus utuk X tak c. Saat a > da dskrma( b 4ac) < maka pertdaksamaa aka lebh dar utuk semua la X sehgga tdak terdapat solus utuk X.

16 47 d. Saat a > da dskrma( b 4ac) > maka aka dperoleh selag kepercayaa utuk X yag dgka. Berdasarka empat kemugka tersebut, dapat dsmpulka bahwa terval kepercayaa utuk X aka ada saat a > da dskrma ( b 4ac) >. Sehgga batas atas da batas bawah dar selag kepecayaa utuk X dapat dtetuka dega meyelesaka (mecar akar kuadrat) persamaa kuadrat yag berkata dega pertdaksamaa (3.6), yatu : t α ; + k 3 $ τ X X + $ τ Y $ τ X X = ( Y $ τ ) + tα ; + k 3 + = k (3.7) berkut : Persamaa kuadrat (3.7) aka dselesaka dega megguaka rumus ± x = b b 4ac a (3.8) Sehgga akar-akar dar persamaa (3.7) adalah sebaga berkut : $ tα τ ( Y : 3 Y ) + k X X = a + + a a k ( ) ( Y ) Y = (3.9)

17 48 da $ tα τ ( Y : 3 Y) + k X X = + a + + a a k ( ) ( Y ) Y = (3.) Dega t α ; + k 3 = a = $ τ. (Bukt legkap lhat lampra.h) Berdasarka peyelesaa persamaa kuadrat (3.7) maka terval kepercayaa sebesar ( α ) % utuk X aka memlk batas bawah : $ tα τ ( Y : 3 Y ) + k X + a + + a a k da batas atas : $ tα τ ( Y : 3 Y ) + k X + + a + + a a k ( Y ) Y = ( Y ) Y =,. (3.) (3.) Dega a = $ τ t α ; + k 3 = 3... Peguja Asums Pada Metode Graybll Peguja asums harus dlakuka utuk memperoleh kesmpula yag dapat dpertaggugjawabka secara teor. Pada metode Graybll utuk meyelesaka masalah regres vers beserta terval kepercayaaya,

18 49 peguja yag harus dlakuka adalah melakuka uj-uj asums pada regres lear sederhaa Y atas X (karea Graybll memlh metode klask utuk mecar peaksr ttk X ). Peyeldka megea keberadaa asums la yag harus dpeuh pada Metode Graybll haruslah dlakuka. Telah dsggug sebelumya bahwa terval kepercayaa utuk X aka ada pada saat a > da dskrma ( b 4ac) >. Dega meguraka syarat a > da ( b ac) 4 >, maka aka dperoleh syarat adaya terval kepercayaa utuk X sebaga berkut : a > t α ; + k 3 = $ τ > $ τ = > t F α = ; + k 3 (Bukt bahwa dstrbus butr ke-()). α ;, + k 3 t r sama dega dstrbus F,r lhat pada lampra.a ( b ac) 4 > t α ; + k 3 ( ( )) 4 ( ) $ τ Y $ τ $ τ Y $ τ t α ; + k 3 + > k =

19 5 ( ) ( ) 4$ τ Y $ τ 4$ τ Y $ τ + 4$ τ tα + + ; + k 3 k 4 4 t α t ; + k 3 α ; + k 3 4 Y $ τ 4 + > k = = Y $ t τ α ; + k 3 4 t $ α τ ; + k > k k X ) X ) = = Y $ t τ α ; + k 3 t $ α τ ; + k > k k X ) X ) = = t α ; 3 ( ) Y $ τ + k t $ α τ ; + k > k X ) = = Y $ τ t α a ; + k > k X ) = Syarat d atas aka terpeuh saat a >, sehgga terval utuk X aka ada jka a >, yatu $ τ = t α ; + k 3 > = F α ;, + k 3 yag tdak la merupaka krtera peguja utuk meolak H pada uj keberarta koefse regres (lhat uj keberarta koefse regres secara maual pada subbab.).

20 5 Sehgga dapat dsmpulka bahwa terval utuk X aka ada jka koefse regres berart. Dar uraa d atas, dapat dsmpulka bahwa masalah regres vers dapat memlk peyelesaa X beserta terval kepercayaaya dega megguaka Metode Graybll apabla asums-asums pada betuk regres lear sederhaaya terpeuh. Lagkah-lagkah metode Graybll utuk meyelesaka masalah regres vers beserta terval kepercayaaya, yatu mecar peaksr terval dar X dega koefse kepercayaa α (dega megambl sampel acak berpasaga berukura + k ) dapat drgkaska sebaga berkut :. Guaka statstk pada persamaa (3.7) da (3.8) utuk meetuka persamaa regres lear sederhaa taksra dega betuk terpusat.. Lakuka peguja terhadap asums-asums pada betuk regres lear sederhaa dega betuk terpusat. Jka semua asums terpeuh, maka terdapat peyelesaa utuk X beserta selag tervalya. 3. Tetuka peaksr ttk utuk X megguaka metode klask berdasarka persamaa (3.9). 4. Susu terval kepercayaa sebesar α utuk X. Iterval kepercayaa aka memlk batas-batas (3.) da (3.).