TAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER STEVANI WIJAYA Y
|
|
|
- Yohanes Lesmono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER STEVANI WIJAYA Y UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 009 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
2 TAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER Skrps dajuka sebaga salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sas Oleh: STEVANI WIJAYA Y DEPOK 009 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
3 SKRIPSI : TAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER NAMA NPM : STEVANI WIJAYA : Y SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK, JULI 009 Dra. RIANTI SETIADI, M.S. PEMBIMBING I Dra. SASKYA MARY, M.S. PEMBIMBING II Taggal lulus Uja Sdag Sarjaa: Peguj I : Peguj II : Peguj III : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
4 KATA PENGANTAR Puj syukur kepada Tuha atas segala rahmat, berkat da kekuata yag telah dberka sehgga peuls dapat meyelesaka tugas akhr. Peyelesaa tugas akhr tdak terlepas dar dukuga da doa dar berbaga phak. Oleh karea tu, peuls g meyampaka terma kash kepada berbaga phak sebaga berkut : 1. Keluarga tercta, papa, mama, ce Kaka, Ade da Kag yag telah memberka segala betuk dukuga, doa da motvas utuk terus tetap bertaha dalam meghadap segala masalah yag dhadap saat meyelesaka tugas akhr. Maaf atas segala keluh kesah peuls.. Pembmbg tugas akhr peuls, Dra. Rat Setad, M.S da Dra. Saskya Mary, M.S yag telah meyedaka bayak waktu, teaga, pkra serta dukuga metal kepada peuls. U re the best!!! 3. Pembmbg akademk peuls, Ibu Rusta, para dose serta staf Departeme Matematka UI yag telah membatu selama kulah. 4. Sahabat-sahabat peuls, Jesse O, Mara W, Clara Vaa, Prsklla Pratta, Alberta (Me), Martus P, Had GS, Adrea P, Dael H, Gayatr, Ccla, Sherly N, Mara Theodora, karea kala peuls bertaha sampa akhr. Terma kash telah medegar semua keluh kesah peuls, member kekuata da keyaka. (Gaya : Apapu yag terjad, tu recaa Da!) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
5 5. Tema-tema seperjuaga yag megambl skrps, Wakhdah, Mayramada, Amr, Khuryat, Shta, Rath, Rzky, Rfky, Resa, Syarah, Maul, Uu, k If. Temaz, perjuaga kta tdak sa-sa.. :p 6. Romo Markus Yumartaa, Damaus Frtz, Irwato atas kekuata, asehat, motvas da keyaka yag dberka. (Rm Yu : Mazmur 16:5, kak Frtz : kamu tdak sedr dek, bayak yag medoakamu!) 7. Theja Salm da Poco Rdwa atas sara da batua yag telah dberka. (k Theja : bukuya bear membatu..thx a lot). 8. Semua Keluarga Mahasswa Katolk FMIPA UI, Aggha, Ie, Nteph, Rat, Pagky, da yag laya yag tdak dapat dsebutka semuaya yag telah memberka doa da semagat. 9. Tema-tema agkata 005, Rata, Melat, Rasa, Nsma, Othe, Mrat, Ra, Fka, Agge, Akmal, Agge, Wcha, Da, Puj, Shally, Gyo, Pute, A, Rf ah, Rara, Yau, Merry, Yu, Fa, Da, Ma, Hamda, Asep, Tra, Rdwa, Ars, Haru. Thx atas smuaya. 10. Semua phak yag telah membatu amu tdak dsebutka satu persatu karea keterbatasa tempat. Peuls meyadar bahwa skrps mash jauh dar sempura, akhr kata peuls megucapka bayak maaf atas semua kesalaha, semoga tugas akhr dapat bermafaat bag bayak orag. Depok, Jul 009 Peuls Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
6 ABSTRAK Dalam aalss data, saat data mempuya outler da outler yag ada buka merupaka suatu kesalaha, taksra parameter yag dperoleh dega metode Ordary Least Square (OLS) aka bas karea metode OLS tdak robust terhadap adaya outler. Oleh karea tu, dcar metode la yag robust terhadap adaya outler, salah satuya alah metode regres robust dega megguaka fugs Huber. Pada skrps aka dbahas megea taksra parameter pada model regres robust sederhaa da bergada dega megguaka fugs Huber. Sela tu, aka dbadgka atara taksra parameter model regres robust dega megguaka fugs Huber da taksra parameter yag ddapat dega metode OLS dlhat dar la effses taksra parameter. Hasl yag dperoleh dar cotoh peerapa meujukka bahwa utuk data ada outler taksra parameter yag dperoleh dega metode regres robust dega fugs Huber lebh effse dbadgka metode OLS, sedagka utuk data tapa outler taksra parameter yag dperoleh dega metode OLS lebh effse dbadgka metode regres robust dega fugs Huber. Kata Kuc : effse, fugs Huber, metode OLS, outler, regres robust x hlm.; lamp.; tab. Bblograf : 13 ( ) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
7 DAFTAR ISI Halama KATA PENGANTAR... ABSTRAK... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... v v v x BAB I. PENDAHULUAN Latar Belakag Perumusa masalah Tujua Peulsa Pembatasa masalah Sstematka peulsa... 4 BAB II. LANDASAN TEORI Regres Ler Sederhaa Model Regres Ler Umum Estmas Parameter Model Ekspektas da Varas dar Taksra Parameter dega Metode OLS... 9 v Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
8 v. Regres Ler Bergada Model Regres Ler Umum Estmas Parameter Model Ekspektas da Varas dar Taksra Parameter dega Metode OLS Idetfkas Outler utuk Regres Ler Sederhaa da Bergada MADN (Normalzed Meda Absolute Devato) Taksra Huber BAB III. PENAKSIRAN PARAMETER PADA REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER Peaksra Parameter pada Model Regres robust Sederhaa dega Megguaka Fugs Huber Peaksra Parameter pada Model Regres robust Bergada dega Megguaka Fugs Huber Effses Taksra Parameter pada Regres Robust Dega Megguaka Fugs Huber da Metode OLS.. 53 BAB IV. CONTOH PENERAPAN Kasus Data yag Megadug Outler Data Aalss Data Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
9 v 4. Kasus Data Tapa Outler Data Aalss Data BAB V. PENUTUP Kesmpula Sara DAFTAR PUSTAKA... 7 LAMPIRAN Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
10 DAFTAR GAMBAR Gambar Halama 1. Plot fugs pegaruh Huber Plot resdual metode regres robust dega megguaka fugs Huber dar setap observas Plot besarya bobot yag dberka pada setap observas. 65 v Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
11 DAFTAR TABEL Tabel Halama 1. Nla taksra parameter da stadar error dar metode OLS saat data ada outler Nla taksra parameter da stadar error metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data ada outler Nla varas taksra parameter dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data ada outler Nla taksra parameter da stadar error dar metode OLS saat data tapa outler Nla taksra parameter da stadar error metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data tapa outler Nla varas taksra parameter dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data tapa outler Deteks outler utuk data pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat saat data ada outler Deteks outler utuk data pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat saat data tapa outler v Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
12 DAFTAR LAMPIRAN Lampra Halama 1. Membuktka taksra parameter pada model regres ler sederhaa dega metode OLS Data yag dguaka pada cotoh peerapa 4.1, yatu data megadug outler Output S-PLUS 000 Professoal Release dar cotoh peerapa 4.1, yatu data megadug outler Data yag dguaka pada cotoh peerapa 4., yatu data tapa outler Output S-PLUS 000 Professoal Release dar cotoh peerapa 4., yatu data tapa outler x Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
13 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Utuk melhat hubuga fugsoal atara varabel depede (varabel terkat) da varabel depede (varabel bebas) basaya dguaka model regres. Salah satu cara utuk meaksr parameter pada model regres yag serg dguaka adalah dega metode Ordary Least Square (OLS) yag memmumka jumlah kuadrat error. Karea taksra dega metode OLS dcar berdasarka jumlah kuadrat error, maka adaya outler aka meyebabka taksra parameter yag ddapat mejad bas. Yag dmaksud dega outler d s adalah suatu observas yag meympag jauh dar hubuga lear yag dbetuk oleh mayortas dar data. Dalam hal varabel depede da varabel depede dperhtugka secara smulta. Pada aalss regres ler dega metode OLS, outler dcar berdasarka suatu besara yag dhtug dar data. Ada bayak cara utuk medapatka besara tersebut sepert telah dbahas dalam bayak tulsa tetag model regres. Setelah outler dtemuka maka outler tersebut dkeluarka dar aalss da kemuda taksra parameter dcar dega metode OLS berdasarka data tapa outler. Hal tdak bermasalah jka outler berasal dar suatu kesalaha. Aka tetap, jka 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
14 outler buka berasal dar kesalaha, tdaka megeluarka outler dar aalss buka merupaka tdaka yag tepat karea outler dapat memberka formas yag justru tdak dberka oleh observas laya. Sela tu megeluarka outler dar aalss dapat membuat taksra parameter yag dperoleh mejad uder-estmate. Salah satu metode utuk megatas masalah outler adalah dega megguaka regres robust. Pada regres robust, taksra yag robust terhadap outler (tdak terpegaruh oleh adaya outler) aka dcar sehgga outler yag ada tdak perlu dkeluarka dar aalss. Ada beberapa cara utuk medapatka taksra yag robust terhadap outler, salah satuya adalah taksra robust dega megguaka fugs Huber. Pada prspya, metode peaksra dega megguaka fugs Huber aka mecar taksra parameter dega memmumka total fugs dar error. Pada tugas akhr, peuls aka membahas tetag taksra parameter pada model regres robust dega megguaka fugs Huber. Bahasa aka mecakup tetag bagamaa mecar taksra parameter pada model regres robust dega megguaka fugs Huber, bak pada model regres robust sederhaa maupu pada model regres robust bergada. Dega cotoh data, taksra parameter yag ddapat dega metode regres robust dega megguaka fugs Huber aka dbadgka dega taksra parameter yag ddapat dega megguaka metode OLS berdasarka la effses dar taksra yag ddapat. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
15 3 1. Perumusa Masalah 1. Bagamaa mecar taksra parameter pada model regres robust sederhaa dega megguaka fugs Huber?. Bagamaa mecar taksra parameter pada model regres robust bergada dega megguaka fugs Huber? 3. Bagamaa perbadga atara taksra parameter model regres robust dega fugs Huber da taksra parameter yag ddapat dega metode OLS dlhat dar efses dar taksra parameter? 1.3 Tujua Peulsa 1. Mecar taksra parameter pada model regres robust sederhaa dega megguaka fugs Huber. Mecar taksra parameter pada model regres robust bergada dega megguaka fugs Huber 3. Membadgka atara taksra parameter model regres robust dega fugs Huber da taksra parameter yag ddapat dega metode OLS dlhat dar la effses dar taksra parameter Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
16 4 1.4 Pembatasa Masalah Permasalaha dalam tulsa haya dbatas pada peaksra parameter da tdak dlakuka peguja model. 1.5 Sstematka Peulsa Bab I. Pedahulua Latar belakag masalah Perumusa masalah Tujua peulsa Pembatasa masalah Sstematka peulsa Bab II. Ladasa Teor Regres er sederhaa Regres ler bergada Idetfkas outler utuk regres ler sederhaa da regres ler bergada MADN (Normalzed Meda Absolute Devato) Taksra Huber Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
17 5 Bab III. Peaksra parameter pada model regres robust dega megguaka fugs Huber Peaksra parameter pada model regres robust sederhaa dega megguaka fugs Huber Peaksra parameter pada model regres robust bergada dega megguaka fugs Huber Effses taksra parameter dega metode regres robust dega megguaka fugs Huber da metode OLS Bab IV. Cotoh Peerapa Data Deteks outler Mecar taksra parameter dega metode OLS yag megkutka data outler da dega metode regres robust yag juga megkutka outler. Membadgka kedua taksra berdasarka effses dar taksra yag dperoleh Bab V. Peutup Kesmpula Sara Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
18 BAB II LANDASAN TEORI.1 Regres Ler Sederhaa.1.1 Model Regres Ler Umum Model regres dguaka utuk melhat hubuga fugsoal atara varabel depede (varabel terkat) da varabel depede (varabel bebas). Jka hubuga atara varabel depede dega varabel depede ler da haya ada satu varabel depede pada model regres, maka model regres dsebut model regres ler sederhaa. Betuk model regres ler sederhaa sepert berkut : y x (.1.1) 0 1 Dmaa : y = varabel depede x = varabel depede j = parameter model regres yag tdak dketahu laya, j=0,1, yatu 0 merupaka tercept-y da 1 merupaka slope (kemrga) gars = radom error 6 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
19 7 Dalam aalss regres terdapat beberapa asums dar error yag harus terpeuh agar taksra parameter yag dperoleh BLUE (Best Ler Ubased Estmator). Asums-asums error atara la 1. Kompoe error mempuya mea ol. Kompoe error mempuya varas kosta homoskedaststas atau dsebut 3. Error tdak berkorelas atau corr(, ) 0, j j 4. Error berdstrbus ormal.1. Estmas Parameter Model Salah satu metode yag dguaka utuk meaksr parameter dalam model regres adalah metode Ordary Least Square (OLS). Prsp dar metode OLS adalah memmumka jumlah kuadrat error. Jumlah kuadrat error damaka fugs least square da dyataka sebaga berkut : S 0 1, 1 1 y x 0 1 (.1.) dmaa y = la varabel depede utuk observas ke- Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
20 8 x = la varabel depede utuk observas ke- Taksra least square dar 0 da 1 dperoleh dega memmumka fugs least square, S 0 1 terhadap 0 da 1, yatu S ˆ ˆ y 0 1x 0 (.1.3) 0 ˆ ˆ 1 0, 1 da S ˆ ˆ y 0 1x x 0 (.1.4) 1 ˆ ˆ 1 0, 1 Peyederhaaa dar persamaa (.1.3) da (.1.4) sepert berkut 0 1 (.1.5) 1 1 ˆ ˆ x y ˆ 0 x ˆ 1 x y x (.1.6) Solus dar persamaa (.1.5) da (.1.6) adalah ˆ y ˆ x (.1.7) 0 1 ˆ Sxy 1 (.1.8) S xx Pembukta taksra parameter 0 da 1 dapat dlhat pada lampra 1. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
21 9 y x 1 1 dmaa S y x y x x xy 1 1 x S x x x 1 xx Ekspektas da Varas dar Taksra Parameter Metode OLS 1. Nla ekspektas taksra parameter dega metode OLS Taksra utuk 1 yatu ˆ 1, dapat dyataka dalam betuk kombas ler dar observas y, yatu ˆ S xy 1 cy (.1.9) S xx 1 dmaa c x x S xx utuk = 1,,,. Sebelum meujukka bahwa ˆ 1 merupaka taksra yag tak bas utuk 1, terlebh dahulu dtujukka bahwa c 0 da 1 cx 1. 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
22 10 x x x x x x 0 (.1.10) c 1 Sxx Sxx Sxx x 1 x x x x x x x x x x cx 1 Sxx Sxx Sxx Sxx 1 (.1.11) Sekarag aka dtujukka bahwa ˆ 1 merupaka taksra yag tak bas utuk 1. ˆ E 1 E cy c E y c x c c x Hal datas dapat dpeuh karea E 0 (berdasarka asums error), da berdasarka (.1.10) serta (.1.11). Jad, karea E ˆ maka ˆ 1 merupaka taksra yag tak bas utuk 1., 1 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
23 11 Selajutya aka dtujukka bahwa ˆ 0 juga merupaka taksra yag tak bas utuk 0. Jad, karea E ˆ utuk ˆ 0 ˆ 1 E y E ˆ 1x E E y x 1 E y ˆ xe x x1 0 1 x x , maka ˆ 0 merupaka taksra yag tak bas. Varas taksra parameter dega metode OLS Varas dar ˆ 1 sebaga berkut var y var ˆ karea 1 var cy 1 var c y c y... c y 1 1 c var y c var y... c var y 1 1, sehgga var ˆ 1 mejad Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
24 1 ˆ 1 c1 c c var... 1 S xx c Jad, var ˆ 1. S xx Varas dar ˆ 0 sebaga berkut Jad, var ˆ 0 var 1 x S ˆ 0 var y ˆ 1x var y x var ˆ 1 x cov y, ˆ 1 xx. x 0 S 1 x S xx xx. Regres Ler Bergada..1 Model Regres Ler Umum Pada model regres ler, dapat djumpa varabel depede yag lebh dar satu. Kods sepert dalam model regres dsebut model regres Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
25 13 ler bergada. Ilustras data dar regres ler bergada dega y sebaga varabel depede, x,..., 1, x xk varabel depede da observas, yatu Pegamata y x x x 1 k 1 y x x x k y x x x 1 k y x x x 1 k Betuk model regres ler bergada sebaga berkut : y x... x k k x, 1,,..., 0 k j1 j j (..1) Model regres ler bergada datas dapat djabarka sepert : y x x... x k 1k 1 y x x... x k k y x x... x k k (..) Sebut y1 1 x11 x1 x1 k 0 1 y 1 x1 x x k 1, y X, y 1 x x x 1 k k Sehgga model (..) dapat dtuls sebaga : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
26 14 y1 1 x11 x1 x1 k 0 1 y 1 x1 x x k 1 y 1 x x x 1 k k (..3) Dalam betuk matrks model regres ler bergada sepert berkut : yx (..4) Dega y = vektor kolom dar varabel depede yag berukura x 1 X = matrks dar varabel depede yag berukura x p, dega p = k + 1 = vektor kolom dar parameter regres yag berukura p x 1 = vektor kolom dar error yag berukura x 1, NID( 0, ).. Estmas Parameter Model Sama halya dega regres ler sederhaa, estmas parameter dalam model regres ler bergada juga dapat dperoleh dega metode OLS. Fugs least square utuk model regres ler bergada sebaga berkut : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
27 15 S(,,..., ) 0 1 k 1 ( y x ) 0 j j 1 j1 k (..5) dmaa y = la varabel depede utuk observas ke- x j = la observas ke- dar varabel x j, dega > k, =1,,,k Taksra least square dar, 1,..., k ddapat dega memmumka fugs least square S( 0, 1,..., k ) terhadap parameter-parameter pada model regres. S ( y ˆ ˆ x ) 0 0 j j 0 ˆ ˆ ˆ 1 1 0, 1,..., j k k (..6) S ( y ˆ ˆ x ) x 0, j 1,,..., k 0 j j j j ˆ ˆ ˆ 1 j1 0, 1,..., k k (..7) Persamaa (..6) da (..7) duraka, sehgga dperoleh persamaa sepert dbawah k k (..8) ˆ ˆ x ˆ x ˆ x y 0 x 1 1 x 1 x 1x... k x 1xk x 1y ˆ ˆ ˆ ˆ 0 xk 1 xk x 1 x 1x... k xk xk y ˆ ˆ ˆ ˆ (..9) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
28 16 Dalam betuk matrks dapat dtuls sebaga berkut : S( ) 1 T T ( y X) ( y X) T T T T T T y y X y y X X X (..10) dmaa T = traspose dar. Karea 1 x 1 da traspos dar X y T maka T T T T T Xy merupaka matrks berukura y X juga merupaka skalar yag sama, T T T T T S( ) y y X y X X (..11) S ˆ T T X y X Xˆ 0 T ˆ T X X X y (..1) Jka matrks X T X vertble, maka dperoleh taksra least square utuk, yatu 1 ˆ T T X X X y (..13)..3 Ekspektas da Matrks Kovaras dar Taksra Parameter dega Metode OLS 1. Nla ekspektas taksra parameter dega metode OLS Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
29 17 E( ˆ ) ( ) T 1 T E X X X y ( ) T 1 T X X X E y ( ) T 1 T X X X E X T 1 T ( X X) X X E( ) = (..14) karea E() 0 da T 1 T ( ) = X X X X I. Jad, karea E( ˆ ), maka ˆ merupaka taksra yag tak bas utuk.. Matrks kovaras utuk ˆ cov( ˆ ) E ˆ E( ˆ ) ˆ E( ˆ ) ˆ ˆ T E T (..15) Substtuska persamaa yx kedalam persamaa (..13), sehgga dperoleh ˆ T 1 T X X X y T 1 T X X X ( X) T 1 T X X X T 1 T T 1 T X X X X X X X (..16) Substtuska hasl dar persamaa (..16) ke persamaa (..15), ddapat Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
30 18 ˆ 1 1 T cov( ˆ T T T T ) E X X X X X X T T T T X X X XX X 1 1 E T T T T X X X E( ) XX X T 1 T T 1 X X X IXX X T 1 XX 1 1 T Jad, cov( ) XX 1 T. Jka C XX 1 ˆ C da cov ˆ, ˆ var j jj C j j T eleme dagoal ke-j dar 1 XX., maka, dmaa C jj merupaka.3 Idetfkas Outler utuk Regres Ler Sederhaa da Bergada Outler merupaka suatu observas yag meympag jauh dar hubuga ler yag dbetuk oleh mayortas dar data. Ada beberapa cara utuk megdetfkas outler dalam aalss regres, atara la leverage, scaled resduals, DFFITS, DFBETAS, da Cook s Dstace. 1. Leverage Besarya pegaruh suatu observas terhadap besarya taksra parameter atara la dapat dlhat dar jarak la x terhadap pusat la x semua observas. Suatu observas yag mempuya la x yag jauh dar pusat la x dapat berpegaruh kuat dalam aalss regres. Karea tu, la x yag jauh dar pusat Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
31 19 perlu ddeteks, salah satuya dega eleme dagoal dar hat matrks. Msal x1, x,..., x varabel depede, bayakya T observas. Sebut x x, x,..., x sebaga 1 k. Hat matrks ddefska T 1 T H = X X X X (.3.1) Eleme ke- pada dagoal dar hat matrks, sebut h, dapat dperoleh dar h = x ( X X) x (.3.) T T -1 h meyataka jarak dar x ke pusat la x dar semua observas. h dsebut leverage dar observas ke-. Utuk regres ler sederhaa, h dapat drumuska sebaga h 1 x x (.3.3) S xx Dapat dtujukka bahwa 1 h p, dmaa p merupaka bayakya parameter dalam persamaa regres termasuk tercept. Rata-rata dar h, sebut h p. Nla h dkataka besar jka laya lebh dar dua kal rata-rata la h, yatu Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
32 0 h p (Hoagl&Welsch 1978). Pada regres ler sederhaa, p=, maka observas berpotes sebaga outler jka h 4. Jka h besar, maka jarak x terhadap pusat x besar, sehgga observas ke- merupaka outler.. Scaled Resdual Scaled resdual merupaka resdual yag laya telah dstadarka. Ukura yag dperoleh dar scaled resdual aka terbebas dar skala, sehgga dapat dpaka utuk meetuka apakah observas merupaka outler atau buka berdasarka la scaled resduals. Ada beberapa ukura dar scaled resdual, atara la Stadardzed Resduals, Studetzed Resduals, PRESS Resduals, da R-studet. a) Stadardzed Resduals Varas resdual dtaksr dega MSE. Stadardzed Resduals dar observas ke- ddefska sebaga : e d, 1,,..., (.3.4) MSE dmaa e = resdual observas ke- MSE 1 e e p Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
33 1 Utuk regres ler sederhaa, MSE 1 e e. Suatu observas berpotes sebaga outler jka mempuya stadardzed redsuals d >. b) Studetzed Resduals Megguaka MSE sebaga taksra varas dar resdual ke-, e, haya merupaka suatu pedekata. Exact varas resdual adalah var e 1 h dkareaka. Hal T e I H y dmaa 1 e I H X X HX I H T H = X X X X, T 1 T X X X X X X I H IH Sedemka sehgga var var karea e var I H I I H var I H IH Jad, dperoleh var e 1 h da I Hsmetrs da dempotet.. Studetzed Resduals ddefska sebaga T e r MSE 1, h 1,,..., (.3.5) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
34 Dar rumus (.3.5), terlhat bahwa r berpegaruh pada h. Jka h besar (berpotes sebaga outler), maka r juga besar. Suatu observas dkataka berpotesal sebaga outler jka mempuya studetzed resduals r >. Jad, r dapat dguaka utuk medeteks outler secara smulta. c) PRESS Resduals (deleted resduals) Pedekata PRESS resdual dalam melhat observas yag merupaka outler berbeda dega stadardzed resduals da studetzed resduals. PRESS resduals melhat selsh atara la observas ke-i, y dega la taksra y yag ddapat dar model tapa meyertaka observas ke-. PRESS resduals ddefska sebaga : e y y ˆ, 1,,..., (.3.6) Dmaa y = la observas ke- y ˆ = la taksra yag ddapat dar model dega megeluarka observas ke- PRESS resduals dapat juga dtulska dalam betuk e e (.3.7) 1 h Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
35 3 (Motgomery, Peck&Vg 001). Dar persamaa (.3.7), terlhat bahwa la e () juga tergatug pada h, sehgga dega semak besarya h, yag megdkaska bahwa observas tersebut berpotes sebaga outler, maka la e () yag dperoleh juga semak besar. Oleh karea tu, PRESS resduals dapat dguaka utuk medeteks outler yag terjad secara smulta. d) R-studet Perhtuga R-studet meyerupa studetzed resduals, aka tetap varas resdual yag dguaka utuk R-studet memperhtugka saat observas ke- dkeluarka dar pegamata, sehgga varas resdual dtaksr dega S (), yatu S () e p MSE 1 h p1 (.3.8) R-studet ddefska sebaga e t, 1,,..., S 1 h () (.3.9) Terlhat dar persamaa (.3.9), R-studet juga dapat dguaka utuk melhat dkas outler secara smulta, karea t juga bergatug pada la h. Suatu observas Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
36 4 berpotes sebaga outler jka la t t, p 1 (Motgomery, Peck&Vg 001). 3. DFFITS DFFIT ( dfferece ft) yatu ukura pegaruh dega melhat selsh la taksra dar observas ke- ( y ˆ ) dega la taksra dar observas ke- berdasarka model jka observas ke- dkeluarka dar pegamata ( y ˆ ). Jad, DFFIT dapat dtulska sebaga DFFIT yˆ yˆ. Semak besar selsh atara la y ˆ da y ˆ, maka data ke- semak berpegaruh. DFFITS merupaka DFFIT yag dbag stadar errorya, yatu DFFITS yˆ ˆ y (.3.10) S h () dmaa S = varas sampel dar resdual yag dperoleh dar () model jka observas ke- dkeluarka dar pegamata DFFITS bergatug pada h, sehgga ukura deteks outler dega DFFITS memperhatka la x da y secara smulta. Belsley, Kuh, da Welsch meyataka bahwa suatu Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
37 5 observas dkataka berpotes sebaga outler jka DFFITS > p, dega meyataka bayakya observas da p meyataka bayakya parameter dalam model. Jka model merupaka regres ler sederhaa, p=, observas berpotes sebaga outler jka DFFITS >. 4. DFBETAS j, DFBETA j, (dfferece Beta) yatu ukura pegaruh dega melhat selsh la taksra koefse regres ke-j, ˆ j dega la taksra koefse regres ke-j saat observas ke- dkeluarka, ˆ j (). Utuk model regres sederhaa, DFBETA 0 merupaka beda tercept da DFBETA 1 merupaka beda slope (kemrga) dar gars regres. Jka selsh ˆ 0 dega ˆ 0( ) besar, maka memperlhatka bahwa observas ke- cukup mempegaruh parameter regres. Demka juga dega 1, jka selsh ˆ 1 dega ˆ 1( ) besar (kemrga yag cukup berbeda atara y ˆ dega y ), maka observas ke- cukup mempegaruh parameter regres. ˆ Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
38 6 DFBETAS merupaka DFBETA yag dbag dega stadar errorya, yatu DFBETAS j, ˆ ˆ j j() (.3.11) S() Cjj dmaa ˆ j = taksra koefse regres ke-j ˆ j () = taksra koefse regres ke-j saat observas ke- dkeluarka S = varas sampel saat observas ke- dkeluarka () C jj = eleme dagoal ke-j dar (X T X) -1 Belsley, Kuh, da Welsch meyataka bahwa suatu observas dkataka berpegaruh jka DFBETAS j, dega meyataka bayakya observas. 5. Cook s Dstace Cook s dstace merupaka ukura pegaruh observas ke- terhadap semua taksra parameter regres. Cook s dstace ddefska sebaga : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
39 7 D ˆ ˆ T T ( β ˆ ˆ ( ) ) ( X X)( ( ) ) pmse y yˆ h pmse (1 h ) (.3.1) dmaa ˆ = vektor taksra koefse regres ˆ () = vektor taksra koefse regres tapa observas ke- resdual y Dar rumus datas, Cook s dstace bergatug pada yˆ da leverage h utuk observas ke-. Pegaruh observas dukur oleh jarak D. Nla D besar megdkaska bahwa observas ke- berpotes sebaga outler. Observas dega D >1 sudah dapat dkataka sebaga outler (Motgomery, Peck&Vg 001)..4 MADN (Normalzed Meda Absolute Devato) Msal x1, x,..., x la-la dar sampel radom dar dstrbus yag mempuya mea da varas sebaga berkut :. x dapat dtulska dalam betuk x u 1,,..., (.4.1) Msal u mempuya fugs dstrbus F 1,,..., da 0 u salg bebas. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
40 8 Ddefska MAD x MAD x x x ( ) 1,,..., med x med x dmaa meda adalah ukura pusat data yag robust terhadap outler. Jka x smetrs, maka med ( x) da berlaku, sehgga dperoleh MAD( x) med x 1 Pr x MAD( x) 1 Pr MAD( x) x MAD( x) MAD( x) x MAD( x) 1 Pr MAD( x) MAD( x) 1 Pr Z Jka Z N0,1, maka ddapat MAD( x) MAD( x) ˆ dsebut Normalzed Meda Absolute Devato (MADN(x)) MADN(x) merupaka taksra yag robust utuk. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
41 9.5 Taksra Huber Taksra Huber merupaka salah satu taksra yag termasuk dalam M-estmator yag robust terhadap adaya outler. M-estmator dcar berladaska kosep dar taksra maksmum lkelhood yag memaksmumka fugs lkelhood. Msal x1, x,..., x la-la dar sampel radom dar dstrbus yag mempuya mea. x dapat dtulska dalam betuk sebaga berkut : x u 1,,..., (.5.1) Model datas dsebut model lokas. Msal u mempuya fugs dstrbus F 1,,..., da 0 u salg bebas. Observas x1, x,..., x mempuya dstrbus dega fugs dstrbus F ( x ), dega 0 F 0 adalah fugs dstrbus dar u. f F adalah pdf dar u. ' 0 0 Fugs lkelhood dar observas x1, x,..., x adalah 1 0 (.5.) 1 ;,,..., L x x x f x log L ; x1, x,..., x log f0 x 1 1 log f 0 x (.5.3) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
42 30 MLE dar adalah la yag memaksmumka L x x x yag memaksmumka L x x x log ; 1,,...,. atau la ; 1,,..., ˆ arg max ; 1,,..., Sebut L x x x arg max log L ; x1, x,..., x (.5.4), sehgga f x x Msal log f0 (.5.4) dapat dyataka sebaga :. Oleh karea tu, log 0 x (.5.5) ˆ arg m 1 Perhatka kasus dbawah : 1. Jka F 0 = N(0,1), maka 1 u f0( u) e (.5.6) Karea log f0, maka dperoleh x dapat dtulska sepert berkut : u 1 ( u) log. Jad, x 1 x log (.5.7) Persamaa (.5.5) mejad Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
43 ˆ arg m log ˆ arg m x x (.5.8) Utuk medapatka la yag memmumka 1 x, maka 1 ˆ 0 x dmaa '. Jka ( ) u u, maka ( ) u u, sehgga 1 1 ˆ ˆ 0 x x (.5.9) Persamaa (.5.9) djabarka utuk medapatka la ˆ, yatu ˆ 0 ˆ ˆ ˆ x x x x Jad, jka F 0 = N(0,1) maka MLE dar adalah x (mea sampel). x tdak robust terhadap outler.. Jka F 0 = double expoetal, maka Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
44 3 1 f0( u) e u (.5.10) Karea log f0, maka dperoleh u 1 u log, sehgga 1 x x log (.5.11) Persamaa (.5.5) mejad 1 ˆ arg mx log 1 ˆ arg m 1 x (.5.1) Utuk medapatka la yag memmumka 1 x, maka x ˆ 0 dmaa '. Karea u 1 dfferesal d ttk u = 0, maka ddefska fugs u tdak dapat u 1 jka u<0 sg( u) 0 jka u=0 (.5.13) 1 jka u>0 Defska 1 jka u>0 Iu ( 0) 0 jka u 0 da 1 jka u<0 Iu ( 0) 0 jka u 0 Fugs sg( u ) dapat dyataka sebaga Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
45 33 sg( u) I( u 0) I( u 0) (.5.14) Dega mesubsttuska persamaa (.5.14) ke 1 x ˆ 0 dperoleh 1 1 ˆ I x ˆ ˆ I x ˆ 1 1 x ˆ x ˆ # # 0 sg x ˆ 0 I x I x (.5.15) dmaa # x = bayakya x, sehgga # x ˆ # x ˆ. Hal meyataka bahwa ˆ adalah meda. Jad, jka F 0 = double expoetal, maka MLE dar adalah meda (x). Meda robust terhadap outler. Dar pejelasa datas dapat dsmpulka bahwa bla x x maka MLE dar adalah x, sedagka bla x adalah meda(x). x maka MLE dar Utuk selajutya MLE dar aka dcar berdasarka pada fugs Huber medefska fugs Huber sebaga berkut : u. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
46 34 u 1 u jka u k 1 k u k jka u k (.5.16) Taksra Huber utuk mea adalah la yag memmumka 1 x, sebut ˆHuber. ˆ arg m x Huber 1 Karea ˆHuber ' memmumka x, maka x 1. Berdasarka fugs Huber (.5.16), dapat dperoleh u 1 0, dmaa sepert : u u jka u k. sgu jka u k k (.5.17) Utuk la k, fugs Huber 1 u u =1,,..., Nla taksra utuk mea aka dperoleh dega ˆ arg m x Huber arg m x 1 ˆ Huber Huber x ˆ 0 x Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
47 35 Jad, taksra Huber utuk mea saat k adalah x. Utuk la 0 1 u k u k =1,,..., k, fugs Huber Nla taksra utuk mea aka dperoleh dega ˆ Huber 1 arg mk x k 1 arg m 1 kx Utuk medapatka la yag memmumka 1 kx, maka x ˆ 0 dmaa ' 1 da u k k. sg( u) k jka u<0 jka u>0 Dega mesubsttuska persamaa (.5.14) ke x dperoleh 1 1 ˆ ˆ Huber Huber 1 k. sg x ˆ 0 k I x 0 I x 0 0 k I x ˆ 0 ˆ Huber I x Huber ˆ ˆ Huber Huber k # x # x 0 Huber ˆ 0 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
48 36 sehgga # x ˆ # x ˆ. Hal meyataka bahwa Huber Huber ˆHuber adalah meda. Jad, taksra Huber utuk mea saat k 0 adalah med ( x ). Jka F 0 = N(0,1), dega smulas data, Huber medapatka bahwa dperoleh effses relatf taksra Huber dega k = terhadap taksra Huber dega k adalah 95%, sehgga fugs Huber serg dtuls sebaga : u 1 u jka u u (1.345) jka u Defs 1. Fugs Pegaruh Padag u u. Fugs u terhadap taksra parameter. fucto). u megukur pegaruh dar sebuah data u dsebut fugs pegaruh (fluece Jka u u, maka u u. Pegaruh taksra suatu data terhadap taksra parameter secara ler sejala dega akya u. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
49 37 Sedagka jka u u, maka u 1 jka u<0 sg( u) 0 jka u=0. 1 jka u>0 Pegaruh suatu data terhadap taksra terbatas atara [-1,1]. Sepert yag telah ddefska sebelumya, fugs Huber secara umum ddefska sebaga berkut : u da fugs pegaruh Huber yatu 1 u jka u k 1 k u k jka u k u u jka u k. sgu jka u k k Berkut dtamplka plot dar fugs pegaruh Huber u Gambar 1. Plot fugs pegaruh Huber (Sumber : Robust Statstcs Theory ad methods, 006:6) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
50 38 Jka k fte, maka terhadap taksra terbatas. u aka terbatas, sehgga pegaruh suatu data Defs. Fugs Bobot Msal u log f u da u fugs bobot : 0 adalah fugs pegaruh. Ddefska wu u jka u 0 u (.5.18) ' 0 jka u=0 Utuk medapatka la yag memmumka x 1, maka x ˆ 0 (.5.19) 1 Sehgga berdasarka (.5.18), persamaa (.5.19) dapat dtuls x ˆ ˆ w x 0 utuk x 0 (.5.0) 1 da dapat dperoleh ˆ 1 1 wx w dega w wx ˆ (.5.1) Karea w bergatug pada ˆ, maka ˆ dcar dega teras sebaga berkut : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
51 39 med x med x Plh taksra awal ˆ0 MADN da ˆ 0 meda( x), x ˆ 0 sehgga dapat dhtug w0, w. ˆ 0 Pada setap teras ke-t, htug bobot w, sebelumya. t x ˆ t w ˆ t dar teras Htug taksra mea terbobot yag baru ˆ t1 1 1 w x t, w t, Iteras berhet jka ˆ ˆ t 1 t ; 0. ˆ meyataka estmator dar mea terbobot. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
52 BAB III PENAKSIRAN PARAMETER PADA MODEL REGRESI ROBUST DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI HUBER 3.1 Peaksra Parameter pada Model Regres Robust Sederhaa dega Megguaka Fugs Huber Msalka hubuga ler atara satu varabel depede da satu varabel depede dapat dmodelka sebaga berkut : y x (3.1.1) 0 1 Dmaa y = varabel depede observas ke- x = varabel depede observas ke- = radom error ke- Sepert yag telah djelaska dalam bab sebelumya, basaya parameter regres dtaksr dega megguaka metode OLS, tetap taksra yag dperoleh sagat dpegaruh oleh adaya outler, maka dalam baga aka dbahas megea taksra parameter dalam model regres yag robust terhadap outler. 40 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
53 41 Metode yag palg umum utuk meaksr parameter pada regres robust adalah dega megguaka M-estmator. Metode M-estmator aka meggat kuadrat error, dega fugs dar error. Taksra parameter 0 da 1 dperoleh dega cara memmumka fugs ( ) terhadap 0 da 1, yatu : (3.1.) da (3.1.3) Sehgga dperoleh ˆ ˆ y 0 1x 0 (3.1.4) 1 da ˆ ˆ x y 0 1x 0 (3.1.5) 1 dmaa = turua pertama dar Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
54 4 Sebut e ˆ ˆ y 0 1x da ddefska suatu fugs pembobot ˆ ˆ e y 0 1x w e y ˆ ˆ x 0 1 y ˆ ˆ 0 1 ˆ ˆ x w y 0 1x, sehgga dperoleh. Oleh karea tu, persamaa (3.1.4) da (3.1.5) dapat dyataka sebaga berkut : ˆ ˆ w y 0 1x 0 (3.1.6) 1 da ˆ ˆ xw y 0 1x 0 (3.1.7) 1 Persamaa (3.1.6) dapat dselesaka da dperoleh taksra utuk 0 sepert berkut : y w ˆ w ˆ x w ˆ w y w ˆ x w ˆ y w 1 ˆ w 1 1 x w w (3.1.8) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
55 43 Utuk medapatka taksra 1, persamaa (3.1.7) dapat dselesaka 1 x w y ˆ ˆ x ˆ ˆ x w y x w x w x 0 (3.1.9) Substtuska (3.1.8) pada persamaa (3.1.9) y w x w 1 ˆ 1 ˆ xw y x w x w w w 1 1 y w x w x w x w 1 1 ˆ 1 1 ˆ xw y 1 1 x w w w 1 1 (3.1.10) Persamaa (3.1.10) dkalka dega w pada kedua ss, sehgga 1 dperoleh w ˆ ˆ xw y yw xw 1 xw 1 w x w ˆ ˆ 1 w x w 1 xw w xw y yw xw ˆ 1 w x w xw w xw y yw xw Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
56 44 w x w y y w x w ˆ w x w xw (3.1.11) dmaa w = bobot dar observas ke-. Jka fugs tdak ler, maka persamaa dselesaka dega metode teras. Metode yag dguaka adalah teras kuadrat terkecl terbobot (teratvely reweghted least square) dega prosedur : 1. Plh la taksra awal (0) 0 ˆ da (0) 1 ˆ, sehgga dapat dhtug w (0) (0) (0) y ˆ ˆ 0 1 x y ˆ ˆ x (0) (0) 0 1. Pada setap teras ke-t, htug resdual e y ˆ ˆ x da ( 1) ( 1) ( 1) 0 1 bobot w w e dar teras sebelumya. ( t1) ( t1) 3. Htug taksra kuadrat terkecl terbobot yag baru ˆ ( t1) ( t1) yw xw () t 1 ˆ ( t1) ( t1) w w 1 1 ˆ ( t1) ( t1) ( t1) ( t1) w xw y yw xw () t ( t1) ( t1) ( t1) w x w xw Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
57 45 dmaa ( t 1) w = bobot pada teras ke-(t-1) Lagkah ke- da ke-3 berulag hgga taksra parameter yag dperoleh koverge. Dega perkataa la, jka ˆ ˆ cukup kecl utuk j=0,1. ( t) ( t 1) j j Jka peaksra parameter pada model regres robust dcar dega megguaka fugs Huber, maka bobot w dapat dcar sebaga berkut : Padag fugs Huber 1 jka k 1 k k jka k (3.1.1) Turua dar fugs Huber yatu : k jka k jka k k jka k (3.1.13) Sebut y ˆ ˆ 0 1x e, maka dperoleh k jka e k ˆ ˆ e y 0 1x e jka e k k jka e k (3.1.14) Sepert telah dketahu w e e, maka ddapat Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
58 46 k jka e k e w 1 jka e k k jka e k e (3.1.15) Dega perkataa la w 1 jka k jka e e e k k (3.1.16) Jka dambl la terstadardsas dar e, maka berdasarka smulas yag dlakuka oleh Huber dplh la k = 1.345, sehgga bobot mejad sepert berkut : w 1 jka e jka e e Dega metode teras kuadrat terkecl terbobot sepert yag telah djelaska datas, maka taksra ˆ dapat dperoleh. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
59 47 3. Peaksra Parameter pada Model Regres Robust Bergada dega Megguaka Fugs Huber Pada baga aka dbahas megea regres robust bergada yag melbatka lebh dar satu varabel depede. Msalka hubuga ler atara satu varabel depede dega varabel-varabel depedeya dapat dmodelka sebaga : y 0 1x 1 x... k xk, =1,,..., (3..1) dmaa y = varabel depede observas ke- x j = varabel depede ke-j dar observas ke- = radom error ke- j = parameter regres yag tdak dketahu laya, j=0,1,,,k Pejabara dar model (3..1) dapat dtuls sepert berkut : y x x... x k 1k 1 y x x... x k k y x x... x k k (3..) Dalam betuk matrks, model datas dapat dtulska sebaga berkut : y x (3..3) T Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
60 48 T dmaa x 1 x x 1 k 0 1 k Taksra parameter dperoleh dega cara memmumka fugs 1 ( ) terhadap, yatu T y 1 1 x ( ) ( ) 0 (3..4) Sehgga dperoleh 1 T ˆ xj y x 0, j 0,1,,..., k (3..5) Dmaa = ' x j = la observas ke- pada varabel depede ke-j x0 1 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
61 49 Sebut e T y x ˆ da ddefska suatu fugs pembobot w T, sehgga dperoleh ˆ T y ˆ x w y x mejad, maka persamaa (3..5) e e 1 T ˆ xj w y x 0, j 0,1,,..., k (3..6) T xj w y xj w 1 1 x ˆ 0 T ˆ xj w xj w y 1 1 x (3..7) Utuk j=0 dar persamaa (3..7), dperoleh T ˆ x 0w x x0w y 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ... ˆ... ˆ ˆ... ˆ k k k k k k w x x w y k k 1 1 w x... x... w x... x w y w y... w y k 1k k k 1 1 w w w w x w x w x w y w y k k w y... ˆ w... ˆ x w w y w y... w y (3..8) Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
62 50 Utuk j=1 dar persamaa (3..7), dperoleh T ˆ x1w x x1w y 1 1 ˆ ˆ ˆ x1w 0 1x 1... k xk x1w y 1 1 ˆ ˆ... ˆ... ˆ ˆ k k... k k x11w1 y x w x x x w x x x w y x w y k 1k k ˆ x w ˆ x w ˆ x w x ˆ x w x ˆ k 1 k x w y k ˆ x w... ˆ x x w x w y x w y... x w y (3..9) Demka seterusya, hgga j=k. Utuk j=k, dperoleh ˆ 0 x ˆ kw... k xk w x1 kw1 y1 xkw y... xkw y 1 1 (3..10) Pejabara dar persamaa (3..7) utuk j=0,1,,k dapat dtuls dalam betuk matrks sebaga berkut : ˆ ˆ ˆ 0 w 1 x 1w... k xkw w1 y1 w y... w y ˆ ˆ ˆ 0 x 1w 1 x 1w... k x 1xkw x11w1 y1 x1w y... x w y x1 kw1 y1 xkw y... xkw y ˆ ˆ ˆ 0 xkw 1 x 1xkw... k xkw Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
63 51 w x 1w xkw ˆ 0 w 1 w w y1 x ˆ 1w x 1w x 1xkw x 1 11w1 x1w x 1w y ˆ x w x w x w y 1k 1 k k k xkw x 1xkw xkw w1 w w ˆ 1 x11 x1 k w1 0 0 y1 x ˆ 11w1 x1w x 1w 1 x1 x k x 1 11 x1 x 1 0 w 0 y = x1 kw1 xkw xkw 1 x 1 xk ˆ x1k xk xk 0 0 w y k w x ˆ 11 x1 k 0 x ˆ 11 x1 x 1 0 w 0 1 x1 x k 1 T X Wy x1 k xk xk 0 0 w 1 x 1 xk ˆ k Jad, persamaa (3..7) dapat dtulska dalam betuk matrks, yatu T ˆ T X WX X Wy ˆ T X WX 1 T X Wy (3..11) Dmaa W = matrks dagoal berukura x dega eleme dagoalya berupa bobot w 1,w,,w. Jka fugs tdak ler, maka persamaa dselesaka dega metode teras. Prosedur dar metode teras kuadrat terkecl terbobot (teratvely reweghted least square) sama dega regres robust sederhaa, yatu : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
64 5 1. Plh la taksra awal (0) ˆ, sehgga dapat dhtug w (0) T y ˆ x y x ˆ T (0) (0). Pada setap teras ke-t, htug resdual e y x ˆ da bobot ( t1) T ( t1) w w e dar teras sebelumya. ( t1) ( t1) 3. Htug taksra kuadrat terkecl terbobot yag baru 1 ˆ ( t ) T ( t 1) T ( t 1) X W X X W y Dmaa X matrks berukura x p dega ( t1) W adalah matrks bobot pada teras ke (t-1). T x bars ke- dar X da Lagkah ke- da ke-3 berulag hgga taksra parameter yag dperoleh koverge. Dega perkataa la, jka ˆ ˆ cukup kecl utuk ( t) ( t 1) j j j=0,1,,k. Sepert pada model regres robust sederhaa, matrks bobot W dperoleh dar fugs Huber. Jka dambl la terstadardsas dar e, maka berdasarka smulas yag dlakuka oleh Huber, dplh la k =1.345, sehgga dperoleh w sebaga berkut : Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
65 53 w 1 jka e jka e e dega w merupaka eleme dagoal ke- dar matrks bobot W. Dega metode teras kuadrat terkecl terbobot sepert yag telah djelaska datas, maka taksra ˆ dapat dperoleh. 3.3 Effses Taksra Parameter pada Model Regres Robust dega Megguaka Fugs Huber da Metode OLS Effses relatf dar dua peaksr alah raso dar varas kedua peaksr tersebut. Msal ˆ jhuber merupaka taksra parameter regres ke-j yag ddapat dega metode regres robust dega fugs Huber da ˆ jls merupaka taksra parameter regres ke-j yag ddapat dega metode Ordary Least Square, dmaa j=0,1,,k. Efses relatf ˆ jhuber terhadap ˆ jls dapat dukur dega ˆ eff ˆ jhuber jls var ˆ var ˆ jhuber jls Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
66 54 Peaksr ˆ jhuber dkataka lebh efse dbadg ˆ jls jka atau var ˆ var ˆ jhuber jls. ˆ eff ˆ jhuber jls 1 Metode Ordary Least Square Sepert yag telah dtujukka pada bab., la varas dar taksra parameter pada metode least square, ˆ jls sebaga berkut : ˆ var jls C jj T dmaa C jj = eleme dagoal ke-j dar matrks 1 XX. Karea ˆ MSE adalah taksra tak bas utuk ˆ dapat dtaksr dega ˆ C. var jls jj, maka var ˆ jls Metode regres robust dega megguaka fugs Huber Sepert telah djelaska pada bab3., taksra robust utuk ˆ adalah 1 ˆ T T Huber X WX X Wy. Meurut Maroa, Mart, da Yoha (006), dapat dbuktka bahwa cov ˆ T 1 Huber v XX Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
67 55 ˆ var jhuber jj vc dmaa C jj = eleme dagoal ke-j dar matrks 1 T XX ' e E v e E, da la taksra dar v adalah ˆ ˆ ˆ ' ˆ e ave v p e ave, jka ˆ ˆ ˆ, jka ˆ ˆ e e k e e e k sg k Taksra robust yag serg dguaka utuk meaksr adalah MADN(e). Dar pejelasa datas, maka ˆ () ' ˆ ˆ var ˆ ˆ ˆ var jj jhuber jhuber jj jls jls e ave MAD e C p e ave eff MSE C Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
68 56 Jka ˆ eff ˆ jhuber jls 1, maka dapat dsmpulka bahwa taksra parameter pada model regres robust dega fugs Huber lebh effse darpada taksra parameter metode OLS. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
69 BAB IV CONTOH PENERAPAN Dalam bab aka dbahas effses taksra parameter yag dperoleh dega metode Ordary Least Square (OLS) da metode regres robust dega fugs Huber dega suatu cotoh kasus. Ada cotoh kasus yag aka dberka dalam baga, yatu data yag ada outler da data yag tapa outler. 4.1 Kasus Data yag Megadug Outler Data Data yag dguaka megea pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat. Data terdr dar 100 observas dega varabel yag dguaka harga jual rumah (dalam rbua dollar), usa rumah (dalam tahu) da luas taah (dalam meter perseg). Data pejuala rumah memlk outler, sehgga dguaka sebaga cotoh pada tugas akhr. Dasumska outler yag ada buka karea suatu kesalaha dalam pegambla sampel, sehgga outler tdak aka dkeluarka dar aalss. 57 Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
70 Aalss Data Berdasarka data yag ada, aka dlhat hubuga atara harga jual rumah dega usa rumah da luas taah. Dalam hal, harga jual rumah merupaka varabel depede, usa rumah da luas taah merupaka varabel depede. Model secara umum dar data yag ada alah y x x dmaa y = harga jual rumah observas ke- (dalam rbua dollar) j = parameter regres, j = 0,1, x 1 = usa rumah observas ke- (dalam tahu) x = luas taah observas ke- (dalam meter perseg) = radom error ke- Sebelum mecar taksra parameter, aka dperksa terlebh dahulu keberadaa outler dalam data. Outler aka ddeteks berdasarka ukura outler, sepert stadardzed resduals, studetzed resduals, R-studet, leverage, DFFITS, DFBETAS, da cook s dstace utuk setap observas. Pegolaha data dlakuka dega megguaka peragkat luak SPSS Pada kasus, karea = 100 da p = 3, dmaa p merupaka bayakya parameter regres, maka observas dkataka sebaga outler jka la stadardzed resduals, d Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
71 59 studetzed resduals, r R-studet, t Leverage, h p DFFITS p DFBETAS Berdasarka Tabel deteks outler utuk data pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat saat data ada outler (Tabel 7) terlhat ada beberapa observas yag memeuh krtera sebaga outler. Observas ke- 15, da 57 ddkaska kuat merupaka outler. Pada observas ke-15, d r t h DFFITS DFBETAS 0, DFBETAS 3, Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
72 60 Pada observas ke-57, d r57.66 t DFFITS DFBETAS 1, DFBETAS 3, Terlhat bahwa observas ke-15 da 57 memeuh bayak krtera observas sebaga outler. Oleh karea tu, observas ke-15 da 57 merupaka outler da aka membuat taksra parameter yag dperoleh dega metode OLS mejad tdak bagus. Sela tu, ada observasobservas laya yag memeuh krtera observas sebaga outler tetap haya 1 atau krtera, sepert observas ke-6, la DFBETAS 0, da DFBETAS 1, Hal buka merupaka dkas yag kuat utuk meyataka bahwa observas ke-6 merupaka outler. Demka juga dega observas ke-9, 4, 5 da beberapa observas laya. Pegolaha data utuk mecar taksra parameter bak utuk metode OLS maupu metode regres robust dega megguaka fugs Huber dperoleh dega megguaka peragkat luak S-Plus 000 Professoal Release. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
73 61 Tabel 1 Nla taksra parameter da stadar error dar metode OLS saat data ada outler Varabel Nla Taksra Std error Itercept usa Luas Tabel Nla taksra parameter da stadar error metode regres robust dega megguaka fugs Huber Varabel Nla Taksra Std error Itercept usa Luas Taksra parameter yag dperoleh dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber cukup berbeda, yatu ˆ 0 LS ˆ Huber = sedagka 0 = , 1 = ˆ LS sedagka ˆ 1Huber = , da ˆ LS =.4044 sedagka ˆ Huber = Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
74 6 Utuk melhat effses relatf taksra parameter metode regres robust dega megguaka fugs Huber terhadap taksra parameter metode OLS, aka dlhat dar varas masg-masg parameter. Dar tabel 1 da tabel, dapat dlhat la stadar error dar masg-masg parameter. Karea stadar error merupaka akar varas dar taksra, maka dapat dperoleh la varas taksra masg-masg parameter. Tabel 3 Nla varas taksra parameter dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data ada outler Varabel var OLS var reg robust Itercept usa Luas Dega demka dapat dperoleh la effses utuk masg-masg parameter, sebaga berkut eff ˆ ˆ LS 0Huber ˆ 1Huber eff ˆ LS Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
75 huber$resduals eff ˆ ˆ LS Huber Nla effses utuk masg-masg parameter dperoleh lebh kecl dar 1. Dega perkataa la, varas taksra parameter metode regres robust dega megguaka fugs Huber lebh kecl dar taksra parameter dega metode OLS. Hal meujukka bahwa pada cotoh datas, metode regres robust dega megguaka fugs Huber lebh effse darpada metode OLS. Dar model Huber dapat dgambarka plot resdual sebaga berkut : Idex Gambar. Plot resdual metode regres robust dega megguaka fugs Huber dar setap observas Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
76 Huber Weght Dar Gambar dapat dlhat bahwa observas ke-15 memlk resdual yag palg besar dbadg observas laya. Sela tu, observas ke-57 juga memlk resdual yag cukup besar. Bobot yag dberka utuk setap observas dapat dgambarka dalam plot dbawah : Idex Gambar 3. Plot besarya bobot yag dberka pada setap observas Dar Gambar 3 terlhat bahwa bobot utuk obervas ke-15 palg kecl dbadgka observas laya. Setelah tu, bobot ke- terkecl dberka utuk observas ke-57. Jad, dapat dsmpulka bahwa dalam regres robust dega megguaka fugs Huber, utuk observas yag mempuya resdual besar dberka bobot kecl. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
77 65 4. Kasus Data Tapa Outler 4..1 Data Data yag dguaka serupa dega data pada kasus sebelumya, yatu megea pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat. Aka tetap data haya terdr dar 60 observas da data tdak mempuya outler. Varabel yag dguaka harga jual rumah (dalam rbua dollar), usa rumah (dalam tahu) da luas taah (dalam meter perseg). 4.. Aalss Data Aka dlhat hubuga atara harga jual rumah dega usa rumah da luas taah, dmaa harga jual rumah merupaka varabel depede, usa rumah da luas taah merupaka varabel depede. Model secara umum dar data yag ada alah y x x dmaa y = harga jual rumah observas ke- (dalam rbua dollar) j = parameter regres, j = 0,1, x 1 = usa rumah observas ke- (dalam tahu) x = luas taah observas ke- (dalam meter perseg) = radom error ke- Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
78 66 Sebelum mecar taksra parameter, aka dperksa terlebh dahulu keberadaa outler dalam data. Pegolaha data dlakuka dega megguaka peragkat luak SPSS Pada kasus, karea = 60 da p = 3, dmaa p merupaka bayakya parameter regres, maka observas dkataka sebaga outler jka la stadardzed resduals, d studetzed resduals, r R-studet, t Leverage, h p DFFITS p DFBETAS Berdasarka Tabel deteks outler utuk data pejuala rumah ddaerah Arzoa, Amerka Serkat saat data tapa outler (Tabel 8), terlhat tdak ada data yag megdkaska kuat sebaga outler. Pegolaha data utuk mecar taksra parameter bak utuk metode OLS maupu metode regres robust dega megguaka fugs Huber dperoleh dega megguaka peragkat luak S-Plus 000 Professoal Release. Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
79 67 Tabel 4 Nla taksra parameter da stadar error dar metode OLS saat data tapa outler Varabel Nla Taksra Std error Itercept usa Luas Tabel 5 Nla taksra parameter da stadar error metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data tapa outler Varabel Nla Taksra Std error Itercept usa Luas Taksra parameter yag dperoleh dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber tdak terlalu berbeda, yatu ˆ 0 LS ˆ Huber = sedagka 0 = , 1 = ˆ LS sedagka ˆ 1Huber = , da ˆ LS = sedagka ˆ Huber = Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
80 68 Dar tabel 4 da tabel 5, dapat dperoleh la varas dar taksra masg-masg parameter. Tabel 6 Nla varas taksra parameter dar metode OLS da metode regres robust dega megguaka fugs Huber saat data tapa outler Varabel var OLS var reg robust Itercept usa Luas Dega demka dapat dperoleh la effses utuk masg-masg parameter, sebaga berkut : eff ˆ 0Huber ˆ LS eff ˆ ˆ LS 1Huber eff ˆ Huber ˆ LS Nla effses utuk masg-masg parameter dperoleh lebh besar dar 1. Dega perkataa la, varas taksra parameter metode regres robust dega megguaka fugs Huber lebh besar dar taksra Taksra parameter..., Steva Wjaya, FMIPA UI, 009.
BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu.
BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa yag varabel bebasya ( berpagkat palg tgg satu. Utuk regres ler sederhaa, regres ler haya melbatka dua varabel ( da. Persamaa regresya dapat dtulska
BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier
BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa merupaka baga regres yag mecakup hubuga ler satu peubah acak tak bebas dega satu peubah bebas. Hubuga ler da dar satu populas dsebut gars regres
BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai
BAB LANDASAN TEORI. Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres regressso aalyss merupaka suatu tekk utuk membagu persamaa da megguaka persamaa tersebut utuk membuat perkraa predcto. Dega demka, aalss regres
BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu
BAB II LADASA TEORI Dalam pegambla sampel dar suatu populas, dperluka suatu tekk pegambla sampel yag tepat sesua dega keadaa populas tersebut. Sehgga sampel yag dperoleh adalah sampel yag dapat mewakl
BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI
BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI Tujua utama aalss regres adalah mecar ada tdakya hubuga ler atara dua varabel: Varabel bebas (X), yatu varabel yag mempegaruh Varabel terkat (Y), yatu varabel yag dpegaruh
PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM
PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM 1 Megetahu perhtuga persamaa regres ler Meggambarka persamaa regres ler ke dalam dagram pecar TEORI PENUNJANG Persamaa Regres adalah persamaa matematka
BAB 2. Tinjauan Teoritis
BAB Tjaua Teorts.1 Regres Lear Sederhaa Regres lear adalah alat statstk yag dperguaka utuk megetahu pegaruh atara satu atau beberapa varabel terhadap satu buah varabel. Varabel yag mempegaruh serg dsebut
BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam
BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL 3. Pegerta Masalah regres vers dega betuk lear dapat djumpa dalam berbaga bdag kehdupa, dataraya dalam bdag ekoom, kesehata, fska, kma
ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas:
ANALISIS REGRESI Pedahulua Aalss regres berkata dega stud megea ketergatuga satu peubah (peubah terkat) terhadap satu atau lebh peubah laya (peubah pejelas). Jka Y dumpamaka sebaga peubah terkat da X1,X,...,X
11/10/2010 REGRESI LINEAR SEDERHANA DAN KORELASI TUJUAN
// REGRESI LINEAR SEDERHANA DAN KORELASI. Model Regres Lear. Peaksr Kuadrat Terkecl 3. Predks Nla Respos 4. Iferes Utuk Parameter-parameter Regres 5. Kecocoka Model Regres 6. Korelas Utrwe Mukhayar MA
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 1 Pegerta Regres Istlah regres pertama kal dperkealka oleh Fracs Galto Meurut Galto, aalss regres berkeaa dega stud ketergatuga dar suatu varabel yag dsebut tak bebas depedet varable,
BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP
BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP Msal dguaka kode ler C[, k, d] dega matrks pembagu G da matrks cek partas H. Sebuah blok formas x = x 1 x 2 x k, x = 0 atau 1, yag aka dkrm terlebh
BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis regresi adalah suatu proses memperkirakan secara sistematis tentang apa yang paling
BAB LANDASAN TEORI Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres adalah suatu proses memperkraka secara sstemats tetag apa yag palg mugk terjad dmasa yag aka datag berdasarka formas yag sekarag dmlk agar memperkecl
BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah
BAB III INEGRAL RIEMANN-SIELJES. Pedahulua Pada Bab, telah dsggug bahwa ukura meghtug merupaka salah satu pedekata utuk membetuk proses ttk. Berkata dega masalah perhtuga, ada hal meark yag perlu amat,
Bab II Teori Pendukung
Bab II Teor Pedukug.. asar Statstka Utuk keperlua peaksra outstadg clams lablty, pegetahua dalam statstka mead hal yag petg. asar statstka yag dguaka dalam tess atara la :. strbus ormal Sebuah peubah acak
TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD
TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Eka Mer Krst ), Arsma Ada ), Sgt Sugarto ) ekamer_tross@ymal.com ) Mahasswa Program S Matematka FMIPA-UR
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Sampa saat, model Regres da model Aalss Varas telah dpadag sebaga dua hal ag tdak berkata. Meskpu merupaka pedekata ag umum dalam meeragka kedua cara pada taraf permulaa,
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Regres merupaka suatu metode statstka yag dguaka utuk meyeldk pola hubuga atara dua atau lebh varabel.betuk atau pola hubuga varabelvarabel tersebut dapat ddetfkas
BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU
BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SAU Pada baga sebelumya, kta telah membahas peerapa metoda Ruge-Kutta orde 4 utuk meyelesaka masalah la awal dar persamaa dferesal basa orde. Pada bab, kta aka melakuka
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Pedahulua Sebelum membahas megea prosedur peguja hpotess, terlebh dahulu aka djelaska beberapa teor da metode yag meujag utuk mempermudah pembahasa. Adapu teor da metode tersebut
UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK
UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK MODUL 4 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK. Pedahulua Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu persoala, bak megea sampel atau pu
Regresi Linier Sederhana Definisi Pengaruh
Regres Ler Sederhaa Dah Idra Baga Bostatstka da Kepeduduka Fakultas Kesehata Masyarakat Uverstas Arlagga Defs Pegaruh Jka terdapat varabel, msalka da yag data-dataya dplot sepert gambar dbawah 3 Defs Pegaruh
TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE KUADRAT TERKECIL
TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE KUADRAT TERKECIL Hesty ala, Arsma Ada, Bustam hestyfala@ymalcom Mahasswa Program S Matematka MIPA-UR Dose Matematka MIPA-UR
Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu
KORELASI 1 D dua kta tdak dapat hdup sedr, tetap memerluka hubuga dega orag la. Hubuga tu pada umumya dlakuka dega maksud tertetu sepert medapat kergaa pajak, memperoleh kredt, memjam uag, serta mta pertologa/batua
KONSISTENSI KOEFISIEN DETERMINASI SEBAGAI UKURAN KESESUAIAN MODEL PADA REGRESI ROBUST
KONSISTENSI KOEFISIEN DETERINASI SEBAGAI UKURAN KESESUAIAN ODEL PADA REGRESI ROBUST Harm Sugart (harm@ut.ac.d) Ad egawar Jurusa Statstka FIPA Uverstas Terbuka ABSTRACT I statstcs, the coeffcet of determato
BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI
BB 6 PRINSIP INKLUSI DN EKSKLUSI Pada baga aka ddskuska topk berkutya yatu eumeras yag damaka Prsp Iklus da Eksklus. Kosep dalam bab merupaka perluasa de dalam Dagram Ve beserta oepras rsa da gabuga, amu
BAB 2 LANDASAN TEORI. disebut dengan bermacam-macam istilah: variabel penjelas, variabel
BAB LANDASAN TEORI.1 Pegerta Regres Regres dalam statstka adalah salah satu metode utuk meetuka tgkat pegaruh suatu varabel terhadap varabel yag la. Varabel yag pertama dsebut dega bermacam-macam stlah:
PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN
PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN Idah Vltr, Harso, Haposa Srat Mahassa Program S Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu
BAB II LANDASAN TEORI. teori dan definisi mengenai variabel random, regresi linier, metode kuadrat
BAB II LANDASAN TEORI Sebaga pedukug dalam pembahasa selajutya, dperluka beberapa teor da defs megea varabel radom, regres ler, metode kuadrat terkecl, peguja asums aalss regres, outler, da regres robust.
I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu
METODE FUNGS QUAS-FED SATU ARAMETER UNTUK MENYEESAKAN MASAAH ROGRAM NTEGER TAK NEAR Ra Hardyat (M4) ABSTRAK Dalam kehdupa sehar-har serg djumpa masalah optmas yag membutuhka hasl teger Masalah tersebut
SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS
Bulet Ilmah Mat. Stat. da Terapaya (Bmaster) Volume 03, No. 2(204), hal 35 42. SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Suhard, Helm, Yudar INTISARI Fugs terbatas merupaka fugs yag memlk batas atas da batas
STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis
STATISTIK Ukura Gejala Pusat Ukura Letak Ukura Smpaga, Dspers da Varas Mome, Kemrga, da Kurtoss Notas Varabel dyataka dega huruf besar Nla dar varabel dyataka dega huruf kecl basaya dtuls Tmes New Roma
PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan
Aalsa Numerk Baha Matrkulas PENDAHULUAN Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah
S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih
S2 MP Oleh ; N. Setyagsh MATERI PERTEMUAN 1-3 (1)Pedahulua pera statstka dalam peelta ; (2)Peyaja data : dalam betuk (a) tabel da (b) dagram; (3) ukura tedes setaral da ukura peympaga (4)dstrbus ormal
Pendahuluan. Relasi Antar Variabel. Relasi Antar Variabel. Relasi Antar Variabel 4/6/2015. Oleh : Fauzan Amin
4/6/015 Oleh : Fauza Am Se, 06 Aprl 015 GDL 11 (07.30-10.50) Pedahulua Aalsa regres dguaka utuk mempelajar da megukur hubuga statstk ag terjad atara dua atau lebh varbel. Dalam regres sederhaa dkaj dua
NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS
NORM VEKTOR DN NORM MTRIK umaag Muhtar Gozal UNIVERIT PENDIDIKN INDONEI. Pedahulua Jka kta membcaraka topk ruag vektor maka cotoh sederhaa yag dapat kta ambl adalah ruag Eucld R. D ruag kta medefska pajag
Jawablah pertanyaan berikut dengan ringkas dan jelas menggunakan bolpoin. Total nilai 100. A. ISIAN SINGKAT (Poin 20) 2
M 81 STTISTIK DSR SEMESTER II 11/1 KK STTISTIK, FMIP IT SOLUSI UJIN TENGH SEMESTER (UTS) Sabtu, 1 Me 1, Pukul 9. 1.4 WI (1 met) Kelas 1. Pegajar: Udjaa S. Pasarbu/Rr. Kura Novta Sar, Kelas. Pegajar: Utrwe
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Defes Aalss Korelas da Regres a Aalss Korelas adalah metode statstka yag dguaka utuk meetuka kuatya atau derajat huuga lear atara dua varael atau leh. Semak yata huuga ler gars lurus,
TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : 1410-8518 TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari:
5 Mamum Lkelhood Estmato Defs Fugs Lkelhood Msalka X, X,, X adalah eubah acak d dega fugs massa eluag ( ; θ, dega θ dasumska skalar da tdak dketahu, maka rosedur fugs lkelhood daat dtulska sebaga berkut
4/1/2013. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut. Dengan: n = banyak data
//203 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas Ukura
PENAKSIR REGRESI CUM RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN KOEFISIEN KURTOSIS DAN KOEFISIEN SKEWNESS
PENAKIR REGREI CUM RAIO UNTUK RATA-RATA POPULAI DENGAN MENGGUNAKAN KOEFIIEN KURTOI DAN KOEFIIEN KEWNE usta Wula ar *, Arsma Ada, Haposa rat Mahasswa Program Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka
* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES
* PENYAJIAN DATA Secara umum, ada dua cara peyaja data, yatu : 1. Tabel atau daftar. Grafk atau dagram Macam-macam daftar yag dkeal : a. Daftar bars kolom b. Daftar kotges c. Daftar dstrbus frekues Sedagka
BAB II LANDASAN TEORI. penulisan skripsi yaitu mengenai data panel, beberapa bentuk dan sifat
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab II aka dbahas dasar-dasar teor yag dguaka dalam peulsa skrps yatu megea data pael, beberapa betuk da sfat matrks, matrks parts, betuk ler da betuk kuadratk beserta ekspektasya,
BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Statstka Deskrptf da Statstka Iferesal Dewasa d berbaga bdag lmu da kehdupa utuk memaham/megetahu sesuatu dperluka dat Sebaga cotoh utuk megetahu berapa bayak rakyat Idoesa yag memerluka
STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran
Kurkulum 013/006 matematka K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, kamu dharapka memlk kemampua berkut. 1. Dapat meetuka rata-rata data tuggal da data berkelompok..
TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas
TEKNIK SAMPLING Hazmra Yozza Izzat Rahm HG Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Adalas Defs Suatu cotoh gerombol adalah suatu cotoh acak sederhaa dmaa setap ut pearka cotoh adalah kelompok atau gerombol dar
Regresi & Korelasi Linier Sederhana. Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton ( )
Regres & Korelas Ler Sederhaa 1. Pedahulua Gagasa perhtuga dtetapka oleh Sr Fracs Galto (18-1911) Persamaa regres :Persamaa matematk yag memugkka peramala la suatu peubah takbebas (depedet varable) dar
REGRESI ROBUST DENGAN M-ESTIMASI MAKALAH
REGRESI ROBUST DENGAN M-ESTIMASI MAKALAH Dajuka utuk Memeuh Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Sas Program Stud Matematka Dsusu oleh : Ages Tr Suslawat NIM : 534 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN
PENAKSIR RASIO REGRESI LINEAR YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN
PENAKIR RAIO REGREI LINEAR ANG EFIIEN UNTUK RATA-RATA POPULAI DENGAN MENGGUNAKAN DUA VARIABEL TAMBAHAN Ed Jamlu 1* Harso Haposa rat 1 Mahasswa Program tud 1 Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka
BAB III ISI. x 2. 2πσ
BAB III ISI 4. Keadata Normal Multvarat da Sfat-sfatya Keadata ormal multvarat meruaka geeralsas dar keadata ormal uvarat utuk dmes. f ( x) [( x )/ ] / = e x π x = ( x )( ) ( x ). < < (-) (-) Betuk (-)
LANGKAH-LANGKAH UJI HIPOTESIS DENGAN 2 (Untuk Data Nominal)
LANGKAH-LANGKAH UJI HIPOTESIS DENGAN (Utuk Data Nomal). Merumuska hpotess (termasuk rumusa hpotess statstk). Data hasl peelta duat dalam etuk tael slag (tael frekues oservas) 3. Meetuka krtera uj atau
Analisis Regresi Robust Menggunakan Kuadrat Terkecil Terpangkas untuk Pendugaan Parameter
Vol. 6, No., 9-6, Jauar Aalss Regres Robust Megguaka Kuadrat Terkecl Terpagkas utuk Pedugaa Parameter Asa, Raupog, Sarmat Zaudd Abstrak Prosedur regres robust dtujuka utuk megakomodas adaya keaeha data,
BAB II TINJAUAN TEORITIS. Statistik merupakan cara cara tertentu yang digunakan dalam mengumpulkan,
BAB II TINJAUAN TEORITIS.1 Kosep Dasar Statstka Statstk merupaka cara cara tertetu yag dguaka dalam megumpulka, meyusu atau megatur, meyajka, megaalsa da member terpretas terhadap sekumpula data, sehgga
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab aka mejelaska megea ladasa teor yag dpaka oleh peuls dalam peelta. Bab dbag mejad beberapa baga, yag masg masg aka mejelaska Prcpal Compoet Aalyss (PCA), Egeface, Klusterg K-Meas,
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA : PERSOALAN ESTIMASI DAN PENGUJIAN HIPOTESIS
ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA : PERSOALAN ESTIMASI DAN PENGUJIAN HIPOTESIS = 1 + + + + k k + u PowerPot Sldes baa Rohmaa Educato Uverst of Idoesa 007 Laboratorum Ekoom & Koperas Publshg Jl. Dr. Setabud
Penarikan Contoh Gerombol (Cluster Sampling) Departemen Statistika FMIPA IPB
Pearka Cotoh Gerombol (Cluster Samplg) Departeme Statstka FMIPA IPB Radom samplg (Revew) Smple radom samplg Stratfed radom samplg Rato, regresso, ad dfferece estmato Systematc radom samplg Cluster radom
BAB 2 TINJAUAN TEORITIS. regresi berkenaan dengan studi ketergantungan antara dua atau lebih variabel yaitu
BAB TINJAUAN TEORITIS. Pegerta Aalsa Regres Istlah regres pertama kal dperkealka oleh Fracs Galto. Meurutya, aalss regres berkeaa dega stud ketergatuga atara dua atau lebh varabel yatu varabel yag meeragka
FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani
FMDAM (2) Chartas Fbra Techque for Order Preferece by Smlarty to Ideal Soluto () ddasarka pada kosep dmaa alteratf terplh yag terbak tdak haya memlk jarak terpedek dar solus deal postf, amu juga memlk
INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2
INTERVAL KEPERCAAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFIIEN VARIAI DARI DITRIBUI LOGNORMAL I. Pebrya * Bustam. ugarto Mahasswa Program Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas
PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD
PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Mayag Novhta Sar *, Bustam, Sgt Sugarto Mahasswa Program Stud S Matematka FMIPA Uverstas Rau Dose Fakultas
TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER
TUGAS ATA KULIAH TEORI RING LANJUT ODUL NOETHER Da Aresta Yuwagsh (/364/PPA/03489) Sebelumya, telah dketahu bahwa sebaga rg dega eleme satua memeuh sfat rata ak utuk deal-deal d. Apabla dpadag sebaga modul,
ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF
ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF KELOMPOK A I GUSTI BAGUS HADI WIDHINUGRAHA (0860500) NI PUTU SINTYA DEWI (0860507) LUH GEDE PUTRI SUARDANI (0860508) I PUTU INDRA MAHENDRA PRIYADI (0860500)
2.2.3 Ukuran Dispersi
3 Ukura Dspers Yag aka dbahas ds adalah smpaga baku da varas karea dua ukura dspers yag palg serg dguaka Hubuga atara smpaga baku dega varas adalah Varas = Kuadrat dar Smpaga baku otas yag umum dguaka
Uji Statistika yangb digunakan dikaitan dengan jenis data
Uj Statstka yagb dguaka dkata dega jes data Jes Data omal Ordal Iterval da Raso Uj Statstka Koefse Kotges Rak Spearma Kedall Tau Korelas Parsal Kedall Tau Koefse Kokordas Kedall W Pearso Korelas Gada Korelas
XI. ANALISIS REGRESI KORELASI
I ANALISIS REGRESI KORELASI Aalss regres mempelajar betuk hubuga atara satu atau lebh peubah bebas dega satu peubah tak bebas dalam peelta peubah bebas basaya peubah yag dtetuka oelh peelt secara bebas
SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS
C. Pembelajara 3 1. Slabus N o STANDA R KOMPE TENSI KOMPE TENSI DASAR INDIKATOR MATERI TUGAS BUKTI BELAJAR KON TEN INDIKA TOR WAK TU SUM BER BELA JAR Meerap ka atura kosep statstka dalam pemecah a masalah
II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema
II. LANDAAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teoremateorema ag medukug utuk pembahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorema tersebut dtulska sebaga berkut.. Teorema Proeks Teorema
PRAKTIKUM 5 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel
Praktkum 5 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel PRAKTIKUM 5 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel Tujua : Mempelajar metode Secat dega modfkas tabel utuk peelesaa
KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.
KALKULUS LANJUT Pertemua ke-4 Rey Ra Marlaa, S.S.,M.Stat. Plot Mater Notas Jumlah & Sgma Itegral Tetu Jumlah Rema Pedahulua Luas Notas Jumlah & Sgma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fugs yag daerah
KOMBINASI PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI, KOEFISIEN KURTOSIS DAN KOEFISIEN VARIASI
KOMBINASI PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI, KOEFISIEN KURTOSIS DAN KOEFISIEN VARIASI Defl Ardh 1, Frdaus, Haposa Srat defl_math@ahoo.com
Mean untuk Data Tunggal. Definisi. Jika suatu sampel berukuran n dengan anggota x1, x2, x3,, xn, maka mean sampel didefinisiskan : n Xi.
Mea utuk Data Tuggal Des. Jka suatu sampel berukura dega aggota x1, x, x3,, x, maka mea sampel ddesska : 1... N 1 Mea utuk Data Kelompok Des Mea dar data yag dkelompoka adalah : x x 1 1 1 dega : x = ttk
POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA
MODUL KULIAH ILMU UKUR TANAH POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA Pegerta : peetua azmuth awal da akhr, peetuat kesalaha peutup sudut,koreks sudut, kesalaha lear da koreks lear kearah sumbu X da Y, Peetua
WAKTU PERGANTIAN ALAT BERAT JENIS WHEEL LOADER DENGAN METODE LEAST COST
Koferes Nasoal Tekk Spl 3 (KoNTekS 3) Jakarta, 6 7 Me 009 WAKTU PERGANTIAN ALAT BERAT JENIS WHEEL LOADER DENGAN METODE LEAST COST Maksum Taubrata Program Stud Tekk Spl, Uverstas Krste Maraatha Badug Jl.
BAB III METODE PENELITIAN. Tempat penelitian ini dilaksanakan di SMP Negeri 4 Tilamuta Kabupaten
BAB III METODE PENELITIAN 3. Tempat da Waktu Peelta 3.. Tempat Tempat peelta dlaksaaka d SMP Neger 4 Tlamuta Kabupate Boalemo pada sswa kelas VIII. 3.. Waktu Peelta dlaksaaka dalam waktu 3 bula yatu dar
MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI
MINGGU KE-0 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI Hubuga atar koverges Hrark atar koverges dyataka dalam teorema berkut. Teorema Msalka X da X, X, X 3,... adalah varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag
PEMBENTUKAN MODEL PROBIT BIVARIAT
PEMBENTUKAN MODEL PROBIT BIVARIAT SKRIPSI Dsusu Oleh : Yudh Cadra JE 003 66 PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 009
Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc &
Notas Sgma Fadjar Shadq, M.App.Sc (fadjar_pg@yahoo.com & www.fadjarpg.wordpress.com Notas sgma memag jarag djumpa dalam kehdupa sehar-har, tetap otas tersebut aka bayak djumpa pada baga matematka yag la,
ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS
LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI SUTU MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar Program Stud Matematka FMIP UNDIP JlProfSoedarto SH Semarag 575 bstract Ths research dscussed about how to obtaed
II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel. Dalam regresi sederhana dikaji dua variabel, sedangkan dalam regresi
3 II. TINJAUAN PUSTAKA. Aalss Regres Aalss regres merupaka salah satu metode statstka ag dguaka utuk mempelajar da megukur huuga statstk ag terjad atara dua atau leh varael. Dalam regres sederhaa dkaj
PRAKTIKUM 7 Penyelesaian Persamaan Non Linier Metode Secant Dengan Modifikasi Tabel
Praktkum 7 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel PRAKTIKUM 7 Peelesaa Persamaa No Ler Metode Secat Dega Modfkas Tabel Tujua : Mempelajar metode Secat dega modfkas tabel utuk peelesaa
BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Dalam pemodela program ler, semua parameter yag dguaka dalam model dasumska dapat dketahu secara past. Parameter-parameter terdr dar koefse batasa ( ) a, la kuattas batasa
BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.
BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fugs dega doma berupa hmpua blaga asl N. ebuah barsa kompleks
BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA
BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA A. Ukura Gejala Pusat Ukura pemusata adalah suatu ukura yag meujukka d maa suatu data memusat atau suatu kumpula pegamata memusat (megelompok). Ukura pemusata data adalah
3/19/2012. Bila X 1, X 2, X 3,,X n adalah pengamatan dari sampel, maka rata-rata hitung dirumuskan sebagai berikut
3/9/202 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK Kaa Evta Dew, S.Pd., M.S. Ukura gejala pusat Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu hal, bak tu dar sampel ataupu populas
ANALISIS PEUBAH PREDIKTOR YANG MEMUAT KESALAHAN PENGUKURAN DENGAN REGRESI ORTOGONAL
Prosdg Semar Nasoal Peelta, Peddka da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uverstas Neger Yogyakarta, 4 Me ANALISIS PEUBAH PREDIKTOR YANG MEMUAT KESALAHAN PENGUKURAN DENGAN REGRESI ORTOGONAL Ksmat Jurusa Peddka
TINJAUAN PUSTAKA Evaluasi Pengajaran
TINJAUAN PUSTAKA Evaluas Pegajara Evaluas adalah suatu proses merecaaka, memperoleh da meyedaka formas yag sagat dperluka utuk membuat alteratf- alteratf keputusa. Dalam hubuga dega kegata pegajara evaluas
REGRESI LINIER SEDERHANA
MODUL REGRESI LINIER SEDERHANA Dsusu oleh : I MADE YULIARA Jurusa Fska Fakultas Matematka Da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Udayaa Tahu 016 Kata Pegatar Puj syukur saya ucapka ke hadapa Tuha Yag Maha Kuasa
Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruag Baach Sumaag Muhtar Gozal UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Satu kose etg d kulah Aalss ugsoal adalah teor ruag Baach. Pada baga aka drevu defs, cotoh-cotoh, serta sfat-sfat etg ruag Baach. Kta aka
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. melakukan smash sebelum dan sesudah latihan power otot lengan adalah sebagai
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 4. Deskrps Peelta Berdasarka hasl peelta, d peroleh data megea kemempua sswa melakuka smash sebelum da sesudah latha power otot lega adalah sebaga berkut : Tabel.
Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN
Peelta Operasoal II Teor Permaa 7 2 TEORI PERMAINAN 2 Pegatar 2 Krtera Tekk Permaa : () Terdapat persaga kepetga datara pelaku (2) Setap pema memlk stateg, bak terbatas maupu tak terbatas (3) Far Game
; θ ) dengan parameter θ,
Vol. 4. No. 3, 5-59, Desember 00, ISSN : 40-858 APLIKASI METODE BESARAN PIVOTAL DALAM PENENTUAN SELANG KEYAKINAN TAKSIRAN PARAMETER POPULASI. Agus Rusgyoo Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstraks Dberka populas
BAB IX PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI
BAB IX PENGGUNAAN STATISTIK DALAM SIMULASI 9.1. Dstrbus Kotu Dstrbus memlk sfat kotu dmaa data yag damat berjala secara kesambuga da tdak terputus. Maksudya adalah bahwa data yag damat tersebut tergatug
REGRESI SEDERHANA Regresi
P a g e REGRESI SEDERHANA.. Regres Istlah regres dkemukaka utuk pertama kal oleh seorag atropolog da ahl meteorology Fracs Galto dalam artkelya Famly Lkeess Stature pada tahu 886. Ada juga sumber la yag
REGRESI LINEAR SEDERHANA
REGRESI LINEAR SEDERHANA MODUL Dra. Sr Pagest, S.U. PENDAHULUAN A alss regres merupaka aalss statstk yag mempelajar ubuga atara dua varabel atau leb. Dalam aalss regres lear dasumska berlakuya betuk ubuga
Bab II Teori Dasar. Data spasial adalah data yang memuat informasi lokasi. Misalkan z( ), i = 1,
Bab II Teor Dasar II. Estmas Spasal Data spasal adalah data yag memuat formas lokas. Msalka z, =, s,,, s D, adalah data observas peubah acak d lokas atau koordat yag dyataka dega vektor s. Vektor koordat
BAB I PENDAHULUAN. dengan masalah peramalan, karena dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Topk Para lmua, ekoom, pskolog, da sosolog selalu berkepetga dega masalah peramala, karea dapat dguaka utuk meyelesaka masalah dalam pegelolaa da maajeme. Salah satu metode
III. METODE PENELITIAN. yang hidup dan berguna bagi masyarakat, maupun bagi peneliti sendiri
III. METODE PEELITIA A. Metodolog Peelta Metodolog peelta adalah cara yag dlakuka secara sstemats megkut atura-atura, recaaka oleh para peeltutuk memecahka permasalaha yag hdup da bergua bag masyarakat,
BAB 2 LANDASAN TEORITIS. yang akan terjadi pada masa yang akan datang dengan waktu yang relatif lama.
BAB 2 LANDASAN TEORITIS 2.1 Pegerta Peramala Peramala ( forecastg ) adalah kegata memperkraka atau mempredkska apa yag aka terjad pada masa yag aka datag dega waktu yag relatf lama. Sedagka ramala adalah
PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN MEDIAN
PENAKI AIO UNTUK ATA-ATA POPULAI PADA AMPLING ACAK EDEHANA MENGGUNAKAN KOEFIIEN VAIAI DAN MEDIAN sk ahmada *, Arsma Ada, Haposa rat Mahasswa Program Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da