NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS

Transkripsi

1 NORM VEKTOR DN NORM MTRIK umaag Muhtar Gozal UNIVERIT PENDIDIKN INDONEI. Pedahulua Jka kta membcaraka topk ruag vektor maka cotoh sederhaa yag dapat kta ambl adalah ruag Eucld R. D ruag kta medefska pajag (Eucld) vektor yag dapat kta aggap sebaga ukura vektor tersebut. Dega kosep pajag kta dapat membadgka atara dua buah vektor, yatu dega membadgka pajag keduaya. Dsampg tu kta juga dapat megukur jarak atara dua buah vektor dega meghtug pajag dar selsh kedua vektor tersebut. Bagamaa halya dega ruag matrks M yag merupaka ruag vektor dega dmes lebh besar? Ukura vektor sepert apa yag dapat kta defska d saa? Bagamaa pula dega ruag vektor yag melbatka blaga kompleks atau bahka ruag vektor berdmes tak hgga, sepert ruag-ruag fugs. Utuk mejawab masalah kta perlu membcaraka kosep orm yag dapat kta aggap sebaga betuk perumuma dar pajag Eucld. Defs. Msalka V suatu ruag vektor atas F ( real atau kompleks). uatu fugs () 0 : V R dsebut orm vektor jka utuk semua, y V berlaku, (a) = 0 jka da haya jka = 0 (2) c = c utuk semua c F (3) + y + y uatu fugs yag memeuh (), (2) da (3) tapa perlu memeuh (a) dsebut semorm. Dalam hal kta dapat memadag semorm sebaga perumuma dar orm.

2 alah satu kosep petg yag terkat dega pajag vektor d ruag Eucld adalah sudut atara dua vektor. Lebh khusus lag adalah kosep ortogoaltas atara dua vektor da y melalu defs perkala ttk y = 0. Dalam hal kta aka melhat perumuma dar perkala ttk yatu kosep perkala dalam yag bayak kataya dega kosep orm d atas. Defs 2. Msalka V suatu ruag vektor atas F ( real atau kompleks). uatu fugs : V V F dsebut perkala dalam jka utuk semua, y, z V berlaku, (), 0 (a), = 0 jka da haya jka = 0 (2) + y, z =, z + y, z (3) c, y = c, y utuk semua c F (4), y = y, Nampak sekal beberapa kemrpa sfat yag dpeuh oleh orm da perkala dalam yag memugkka utuk memperoleh yag satu dar yag laya. Lebh lajut kta mempuya akbat berkut. kbat 3. Jka meyataka suatu perkala dalam d ruag vektor V atas F maka, 2 memeuh sfat-sfat orm d V. Norm dkataka orm yag dduks dar perkala dalam. Dega megguaka kbat 3, jka kta mempuya suatu ruag perkala dalam X maka dalam waktu yag sama kta bsa memadag X sebaga ruag berorm dega orm yag dduks dar perkala dalam tersebut. 2

3 3. fat-sfat aljabar orm vektor Kta telah medefska beberapa orm pada ruag vektor V, bagamaakah kta memperoleh betuk orm yag baru dar orm-orm yag sudah ada. Dalam hal, jka kta mempuya dua buah orm defs berkut memeuh sfat-sfat orm. a. + b. c, c > 0 c. ma {, } da maka dapat dperksa bahwa semua Teorema 7. (Ekuvales Norm) Msalka da masg-masg adalah orm d ruag berdmes hgga V. Maka terdapat kostata C m da C sehgga berlaku C m C kbat petg dar teorema dyataka dalam rumusa berkut. kbat 8. Msalka { (k) } suatu barsa d ruag vektor berdmes hgga V da, masgmasg adalah orm d V. Maka peryataa berkut ekuvale: ( a. k ) { } terhadap orm ( b. k ) { } terhadap orm 3

4 Dega megacu pada ekuvales orm d atas maka semua orma d R ekuvale dega. kbatya jka { ( k ) } terhadap sebarag orm d R maka ekuvale dega k lm ( ) = utuk semua =, K, ergkal masalah yag dhadap adalah apakah suatu barsa tu koverge atau tdak d V, tapa perlu megetahu ttk lmt kekovergeaya. Dalam hal kta aka melhat krtera Cauchy utuk kekovergea barsa d ruag berdmes hgga. Defs 9 (Barsa Cauchy) (k ) uatu barsa { } dsebut barsa Cauchy terhadap orm jka berlaku utuk sebarag ε > 0 terdapat blaga bulat postf N( ε ) sehgga berlaku utuk semua k, k2 N( ( k ) ( k2 ) ε ε ) dapu krtera Cauchy utuk kekovergea dberka oleh teorema berkut. Norm Matrks Ruag matrks M adalah suatu ruag vektor berdmes 2. Dega demka sfat-sfat orm vektor d ruag berdmes hgga tetap berlaku d saa. Perbedaaya, utuk sebarag da B d M kta dapat megalka keduaya yag meghaslka matrks baru B d M juga. agatlah wajar jka kta meggka suatu ukura matrks yag memberka hubuga atara ukura ketgaya. Defs uatu fugs : M R dsebut orm matrks jka utuk sebarag, B M berlaku lma aksoma berkut: (). 0 (a). = 0 jka da haya jka = 0 (2). c = c utuk semua scalar kompleks c. 4

5 (3). + B + B (4). B B (sub-multplkatf) Pada defs d atas keempat sfat pertama tdak la merupaka sfat-sfat orm vektor. dapu sfat terakhr dtambahka utuk meghubugka ukura matrksmatrks, B da hasl perkala keduaya yatu matrks B. Ilah yag membedaka orm matrks dega orm vektor. Dega melhat keterkata atara ruag M da C maka kta dapat medefska suatu orm d M dega melbatka orm d C sepert pada defs berkut. Cotoh-cotoh Norm Matrks Dsampg orm matrks atural d atas ada beberapa cotoh orm matrks yag la, dataraya:. Norm jumlah kolom maksmum 2. Norm jumlah bars maksmum ma j = a j ma j= a j 3. Norm pektral 2 ma { λ : λ la ege dar * } 4. Norm smlartas Msalka suatu orm d M da matrks o-sgular d M. Defska utuk semua M fat () sampa sfat (3) cukup mudah dbuktka, adapu sfat (4) adalah berdasarka fakta: B B = ( )( B) B = B 5

6 Teorema 5 Jka adalah sebarag orm matrks d M da ρ ( ) M maka berlaku Kekovergea elajutya kta g megkaraktersas kekovergea suatu matrks. Dalam hal apa syarat cukup agar berlaku lema berkut. k 0, k. Terkat dega hal kta mempuya Lema 6 Msalka sebarag. Jka terdapat orm matrks sehgga berlaku < M Maka lm k = 0, k yatu semua etr dar k meuju 0. Pada lema d atas kta melhat kods yag harus dpeuh oleh yag megakbatka koverge. Bagamaa halya hubuga atara kekovergea dega radus spektralya, dberka oleh teorema berkut. Teorema 7 Msalka M. Maka berlaku lm k = 0, k jka da haya jka ρ ( ) < 6

7 MTRIK DEFINIT POITIF Pada baga kta aka medskuska satu jes matrks, yatu deft da sem deft postf. Jes matrks erat kataya dega kosep-kosep d bdag aalss. Defs uatu matrks Hermta M dkataka deft postf jka * > 0, utuk semua C Jka ketaksamaa d atas dperlemah mejad * 0 maka dkataka semdeft postf. ecara mplct, ruas kr pada ketaksamaa d atas meyataka suatu blaga real. Beberapa sfat petg berkata dega matrks deft postf adalah: a. Pejumlaha sebarag dua buah matrks deft postf meghaslka matrks deft postf juga. ecara umum berlaku sebarag kombas lear oegatve dar matrks-matrks semdeft postf meghaslka matrks semdeft postf Msalka da B keduaya semdeft postf, da a, b Ο. a + bb = a + b B Ο utuk semua C. Perhatka bahwa ( ) ( ) ( ) b. etap la ege dar matrks deft postf adalah blaga real postf Msalka deft postf da λ σ ( ), yatu suatu la ege dar da adalah vektor ege yag bersesuaa dega λ. Perhatka, ( ) Oleh karea tu kta peroleh = keduaya postf. = λ = λ. λ dmaa pemblag da peyebut c. ebaga akbat dar baga (b), trace da determa dar matrks deft postf adalah postf 7

8 Karaktersas Matrks Deft Postf Pada baga kta aka melhat syarat cukup yag harus dpeuh oleh matrks deft da semdeft postf yag dyataka dalam teorema berkut. Teorema 2. uatu matrks Hermta M adalah semdeft postf jka da haya jka semua la egeya oegatve. 2. uatu matrks Hermta M adalah deft postf jka da haya jka semua la egeya postf. Jka setap la ege dar adalah postf maka utuk sebarag vektor tak ol berlaku C = U DU = y Dy = d y y = d Dmaa D adalah matrks dagoal dega etr-etr dagoal adalah la-la ege dar, y = U da U uter. = = y y > Ο Dega megguaka teorema d atas kta dapat memperoleh akbat berkut kbat 3 Jka M suatu matrks semdeft postf maka demka juga matrks k, k =,2, Jka λ adalah suatu la ege dar maka Berdasarka Teorema d atas maka k semdeft postf. k λ adalah la ege utuk k. Matrks Gram 8

9 Terkat dega perkala dalam d ruag vektor kta dapat membetuk suatu matrks sem deft postf melalu matrks Gram. dapu defs dar matrks Gram adalah sebaga berkut Defs 5 Msalka v, K, v } adalah hmpua k buah vektor pada ruag hasl kal dalam V { k dega perkala dalam. Matrks Gram dar v, K, v } terhadap perkala dalam { k adalah matrks G = [ g j ] M k dega gj = v j, v. fat-sfat utama dar matrks Gram dyataka melalu teorema berkut. Teorema 6 Msalka G M k adalah matrks Gram dar vektor-vektor { w, K, w k } C terhadap perkala dalam da msalka W = [ w, K, w k ] M, k. Maka berlaku a. G semdeft postf b. G osgular jka da haya jka w, K, w } bebas lear { k c. Terdapat matrks deft postf M sehgga berlaku G = W * W d. Rak G = rak W = Bayak maksmum vektor-vektor yag bebas lear pada hmpua w, K, w } { k 9