Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel

Transkripsi

1 Adalah : hubungan antara variabel bebas, variabel Bentuk Umum : bebas dan turunanna. d d F(,,, n d,..., ) n Persamaan differensial (PD) menatakan hubungan dinamik, maksudna hubungan tersebut memuat besaran ang berubah, dan oleh karena itu PD sering muncul dalam persoalan ilmu pengetahuan dan teknik. Orde PD ditentukan oleh turunan tertinggi ang terdapat dalam persamaan tsb, sedangkan derajat PD ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi. 0

2 Contoh : d d d d d d d d d cos cos 3. 0 sin

3 SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFFERENSIAL Untuk mencari solusi dari PD, harus mencari fungsi ang memenuhi persamaan itu, artina ang memuat persaman itu menjadi benar. Hal ini berarti harus mengolah persamaan tersebut sehingga semua koefisien differensial hilang, ang ada hana hubungan antara variabel dan saja, aitu : F (, ) = 0

4 Contoh : d 4 0 maka : = atau = +, atau = merupakan jawab dari PD diatas. Terlihat bahwa PD diatas mempunai jawaban tidak tunggal. Secara umum solusi dari PD diatas dapat ditulis : = + c + c dimana c dan c adalah konstanta,

5 JENIS-JENIS PD ORDE SATU YANG KHUSUS Bentuk umum : M(, ) + N(, ) d = 0. PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f() + g() d = 0 Solusi umum PD : f ) g( ) d ( c, c adalah konstanta contoh : (+) + ( 3) d = 0

6 . Reduksi ke PD Variabel Terpisah Bentuk PD : f () g () + f () g () d = 0 direduksi dengan mengalikan : PD diatas menjadi : karena telah menjadi PD variabel terpisah, maka solusi PD diatas : ) ( ) ( f g o d g g f f ) ( ) ( ) ( ) ( c d g g f f ) ( ) ( ) ( ) (

7 Contoh :. (-) + (+) d = 0. + ( + ) d = 0 3. d cos + ( + e ) sin d = 0

8 Latihan :. ( + e )d + ( + e - ) = 0. ln d + (e + e - ) = 0 3. tg d ctg = 0 4. ( + )d ( ) = 0 5. ( + ) d + ( + ) = 0

9 3. PD Homogen Suatu fungsi f(,) dikatakan homogen berderajat n, jika : f(λ, λ) = λ n f(,) PD : M(, ) + N(, ) d = 0 Dikatakan PD Homogen derajat n jika : M(,) dan N(,) adalah fungsi homogen ang berderajat sama. Untuk mencari solusi dari PD homogen kita lakukan transformasi : = v dan d = v + dv dengan transformasi tsb diperoleh suatu PD dalam dan v dengan variabel terpisah.

10 Contoh :. ( ) d 0 subtitusikan = v dan d = v + dv, sehingga diperoleh : ( ( v ( v) ) ( v)( v dv) 0 3 ( v ) vdv 0 ) 3 vdv 0... PD. variabel terpisah ln vdv v 0 ( ) 4 ln( v ) c ln vdv ( v ln( 4 ) ) 0 c

11 . ( 3 3 ) 3 d 0 3. ( ) d 0 4. ( ) 3d 0

12 Latihan :. ( + ) d = 0. ( + ) { + ( + )}d = 0 3. ( ) + 3 d = 0 4. (sin - cos ) + cos d = 0 5. d - ( ) = 0

13 4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Suatu PD : M(,) + N(,) d = 0 dikatakan PD Eksak jika ada suatu fungsi F(,) sehingga : df = M(,) + N(,) d.() Rumus differensial : df F F d...() Maka dari () dan () diperoleh : F F M(,)......(3) N(, )......(4)

14 Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak adalah : M N Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui persamaan (3) atau persamaan (4). Dari persamaan (3) F M(,) F(, ) M(,) A(, ) c() Untuk mencari c() turunkan F(,) terhadap F c'() A c' () )- A N(, )- N(, ) c() ( N(, A )d c

15 Dari persamaan (4) F N(, ) F(, ) N(, )d B(, ) c() Untuk mencari c() turunkan F(,) terhadap F B c' () M(,) c' () M(, )- M(, )- B c() ( B ) c

16 Contoh :. ( ) d = 0 M M (, ) N N(, ) F N(, ) F(, ) N(, )d - d - c() Untuk mencari c() turunkan F(,) terhadap F c' () M(,) 3 c' () c() c 3 Jadi, F(, ) - 3 c 3

17 . ( + ) + d = 0 3. ( + e ) + e d = 0 4. ( + cos ) + sin d = 0 5. ( + + ) + ( + 3) d = 0 6. ( 3 + 4) ( 4 3 ) d = 0

18 5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK Jika M(,) + N(,) d = 0 adalah PD tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi I(,) sedemikian sehingga PD : I(,) { M(,) + N(,) d } = 0 merupakan PD eksak, maka fungsi I(,) dinamakan factor integrasi dari PD tersebut. Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain : M N N. Jika f () suatu fungsi dari saja, maka e f ( ) adalah faktor integrasi dari PD tsb.

19 . Jika suatu fungsi dari saja maka M e N M g( ) d g() adalah faktor integrasi dari PD tsb. 3. Jika M(,) + N(,) d = 0 merupakan PD Homogen dan M + N 0, maka, adalah faktor integrasi dari PD tsb. M N 4. Jika M(,) + N(,) d = 0 dapat ditulis dlm bentuk : f(,) + g(,) = 0, dimana f(,) g(,), maka M N adalah faktor integrasi dari PD tersebut.

20 Contoh:. ( 3 ) + d = (4 3 ) d = 0 3. ( + + ) + d = 0 4. ( + 3 ) d = 0 5. ( + ) d = 0 6. ( 3 + ) + ( - 3 ) d = 0

21 Latihan :. ( ) d = 0. ( + cos ) + sin d = 0 3. ( + e )dr + re d = 0 4. ( ) + (3 4 - )d = 0 5. { ( + ) } + { ( + )- }d = 0

22 6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA Bentuk umum : d P() Q() Persamaan ini mempunai faktor integrasi : e P() Solusi umum dari PD ini adalah : e P( ) Q( ) e P( ) c

23 Contoh :. d e P() =, Q() = + e Faktor Integrasi : I = maka solusina : e Jadi, e e 3 ( e ) e (e e ) e e 3 e 3 ce 3 c. 3. d e d 4

24 7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI Bentuk umum : d n P( ) Q( ) Dengan transformasi : z n dan n d - n dz akan menghasilkan persamaan differensial linier orde satu : dz ( n) zp( ) ( n) Q( ) ang mempunai solusi umum : z. e ( n) P( ) ( n) Q( ). e (n ) P( ) c

25 Contoh :.. d d ( e 3 ) ( 3 ) 3. d 6 ( 6 ) 4. d ln

26 PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA DERAJAT TINGGI Bentuk umum : F(,, d, d,..., d n ) 0 atau F(,,p,.,p n ) = 0 dimana p = d/ Ada beberapa cara untuk menelesaikanna. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai : (p F ) (p F ).. (p F n ) = 0 dimana F, F,., F n adalah fgs dan

27 Langkah menentukan solusi umum (). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, aitu : (p F ) (p F ).. (p F n ) = 0.(*) dimana F, F,., F n adalah fgs dan (). Selesaikan n persamaan differensial orde satu derajat satu dari (*), aitu : (p F ) (p F ).. (p F ) d d d F (, ) 0 f(,, c) F (, ) 0 f(,, c) F n (, ) 0 f n (,, c) 0 0 0

28 (3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu tersebut, aitu : f (,,c). f (,,c) f n (,,c). = 0

29 . Jika PD tidak mengandung, dan dapat dipisahkan. Bentuk PD : F(, p) = 0 dan = f(p) Langkah menentukan solusi umum (). Differensialkan terhadap p, aitu : dp f ' ( p) f ( p) dp d ().Karena p maka d shg : p d f ' (p)dp (3).Solusi umum dari PD telah diperoleh ' p d p f (p)dp ' p f (p)dp c = f(p) p adalah parameter = ' pf ( p) dp c

30 3. Jika PD tidak mengandung, dan dapat dipisahkan. Bentuk PD : F(, p) = 0 dan = f(p) Langkah menentukan solusi umum : (). Differensialkan terhadap p, aitu : d dp f ' ( p) d p ' p f (p)dp d ( p) dp (). Karena maka d p sehingga : (3). Solusi umum dari PD telah diperoleh f ' f p p (p)dp f ' (p)dp c = f(p) p adalah parameter = ' p f ( p) dp c

31 contoh :. p + p 6 = 0. 7p 3 + 3p = 3. p 3 + 5p + 7p = 4. 4 p = 0