MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN INVESTOR DENGAN STRATEGI INVESTASI SAHAM DUA PERUSAHAAN YANG BERGABUNG NUR AZIEZAH

Transkripsi

1 MEMAKIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN INVETOR DENGAN TRATEGI INVETAI AHAM DUA PERUAHAAN YANG BERGABUNG NUR AZIEZAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 ABTRAK NUR AZIEZAH Memaksmumkan Nla Harapan Kekayaan Invesor dengan raeg Invesas aham Dua Perusahaan yang Bergabung Dbmbng oleh IWANDI dan ENDAR HAAFAH NUGRAHANI aham merupakan sarana nvesas yang palng populer Harga saham berubah secara dnams dan acak Dasumskan perubahan harga saham mengku gerak Brown Ada kemungknan nvesor dapa memperoleh keunungan yang lebh besar jka perusahaannya bergabung dengan perusahaan lan Jka erjad penggabungan dua perusahaan maka erjad kombnas lnear dua harga saham yang mengku gerak Brown Tujuan dar karya lmah n adalah menenukan nla harapan yang maksmum dar kekayaan nvesor dengan sraeg nvesas saham dua perusahaan yang bergabung Hasl kajan dalam suau eorema yang menyaakan bahwa sraeg yang dgunakan adalah dengan melha ngka reurn saham perusahaan pada saa erenu Dengan eorema ersebu dbukkan bahwa ada dua kemungknan bag nvesor, yau bernvesas d kedua perusahaan aau bernvesas d salah sau perusahaan saja Nla harapan dar kekayaan nvesor akan maksmum jka alokas nvesas d dua perusahaan adalah maksmum Kaa kunc: gerak Brown, nla harapan, saham, sraeg

3 ABTRACT NUR AZIEZAH Maxmzng Expeced Value of Wealh wh Invesmen raegy on ocks of Two Mergng Companes upervsed by IWANDI and ENDAR HAAFAH NUGRAHANI ock s he mos popular form of nvesmen Is prce changes dynamcally and randomly I s assumed ha he prce moves accordng o Brownan moon Invesors can earn more prof when a company merges wh anoher one In case of a merger of wo companes, here s a lnear combnaon of wo sock prces ha change accordng o Brownan moon The objecve of hs research s o deermne he expeced value of nvesor s wealh wh a ceran sraegy The resul s presened n a heorem, whch descrbes he nvesmen sraegy accordng o he company s sock reurn a ceran me I has been proved ha he nvesor can have wo possbles, e he nvesor does no nves n eher companes, or he nvesor nves only n one company The expeced value of wealh wll be maxmum f he allocaon of nvesmen n boh companes are maxmum Keywords: Brownan moon, expeced value, sock, sraegy

4 MEMAKIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN INVETOR DENGAN TRATEGI INVETAI AHAM DUA PERUAHAAN YANG BERGABUNG NUR AZIEZAH krps ebaga salah sau syara unuk memperoleh gelar arjana ans pada Fakulas Maemaka dan Ilmu Pengeahuan Alam Insu Peranan Bogor DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

5 Judul krps Nama NRP : Memaksmumkan Nla Harapan Kekayaan Invesor dengan raeg Invesas aham Dua Perusahaan yang Bergabung : Nur Azezah : G Menyeuju, Pembmbng I Pembmbng II Drs swand, M Dr Ir Endar Hasafah Nugrahan, M NIP NIP Mengeahu, Keua Deparemen Maemaka Dr Berlan eaway, M NIP Tanggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Puj dan syukur penuls panjakan kepada Allah WT aas segala rahma dan karuna-nya sehngga karya lmah n berhasl dselesakan Penyusunan karya lmah n juga dak lepas dar banuan berbaga phak Unuk u penuls mengucapkan erma kash yang sebesar-besarnya kepada: Drs swand, M selaku dosen pembmbng I (erma kash aas semua lmu, kesabaran, movas, dan banuannya selama penulsan skrps n) Dr Ir Endar Hasafah Nugrahan, M selaku dosen pembmbng II (erma kash aas semua lmu, saran, dan movasnya) 3 Ir Reno Budar, M selaku dosen penguj (erma kash aas semua lmu dan sarannya) 4 emua dosen Deparemen Maemaka (erma kash aas semua lmu yang elah dberkan) 5 Bu us, Bu Ade, Bu Mars, Mas Den, Mas Yono, Mas Her 6 Keluargaku ercna: Bapak (erma kash aas semua nasha dan movasnya Kengnan Bapak udah Cc laksanakan), Ibu (erma kash banyak aas semua doa, dukungan, kash sayang, dan kesabarannya), Teeh (erma kash sudah membanu memerksa ugas akhr dan slde presenas), Mang Taa, Mang Wanda, Mang Kanda, Mang Yad, Mang Asep, Mas Angg, Ene, Mang Iam, Pak Asep, dan lan-lan (erma kash aas doanya) 7 Teman-eman Mah 43: Dand, Gand, ubro, Des, Rzky N, Rzky N, Apr, lame, Irsyad, Narsh, Fardan, Davd, Kunoaj, endy, Ran, Ace, Zulkarnaen, Mubarok, Fazal, Dw, Nanu, yahrul, Kk, Pel, dan lan-lan (erma kash doanya, senang bsa belajar bersama) 8 BBB : Ka Amn, lame, Eck, yahrul, Des, N (erma kash doanya, senang bsa mengukr kenangan bersama) 9 Keluarga Bahaga : Mba La Y (erma kash aas banuannya Ilmunya sanga bermanfaa), Mba Ana (erma kash sudah member semanga dan movas, share pengalamannya sanga berharga), Ka Ipu (erma kash sudah sabar membanu), slame (erma kash sudah membanu mencar buku, erma kash dak bosan member semanga dan movasnya dengan berbaga cara), Mas Ian, Eck, Ayu, Mega (erma kash aas doanya) 0 Adk-adk Mah 44 dan Mah 45: erma kash aas doa, semanga dan dukungannya Keluarga Yapsr : Pak Andr, Bu dodo, Kevn, Krse erma kash aas banuannya Teman-eman KR PMI koa Bogor (erma kash aas semanga dan doanya) 3 emua phak yang elah ku membanu bak secara morl maupun secara maerl emoga karya lmah n dapa bermanfaa bag duna lmu pengeahuan khususnya Maemaka dan menjad nspras bag penelan-penelan selanjunya Bogor, epember 0 Nur Azezah

7 RIWAYAT HIDUP Penuls dlahrkan d Bogor pada anggal 8 Jun 988 sebaga anak bungsu dar dua bersaudara, anak dar pasangan udardja (alm) dan Nurulhuda Tahun 000 penuls lulus dar DN ndangbarang 6 Bogor Tahun 003 penuls lulus dar MPN 4 Bogor Tahun 006 penuls lulus dar MAN Bogor dan pada ahun yang sama lulus seleks masuk IPB melalu jalur eleks Penermaan Mahasswa Baru (PMB) Penuls memlh Jurusan Maemaka, Fakulas Maemaka dan Ilmu Pengeahuan Alam elama mengku perkulahan, penuls akf pada kegaan kemahasswaan Gumaka (Gugus Mahasswa Maemaka) sebaga saf Bro Kadersas Deparemen Pengembangan umber Daya Manusa (PDM) perode Penuls juga akf mengku kepanaan Masa Perkenalan Deparemen (MPD) sebaga Koordnaor dvs Meds

8 DAFTAR II DAFTAR II DAFTAR LAMPIRAN I PENDAHULUAN Laar Belakang Tujuan II LANDAAN TEORI Invesas, aham, dan Volalas Proses okask 3 Gerak Brown 4 Pergerakan Harga aham 3 5 Proses Wener Umum 3 6 Proses Io 4 7 Lema Io 4 8 Proses okask unuk Harga aham 4 III HAIL DAN PEMBAHAAN 5 3 Teorema 5 3 Proposs 6 33 Proposs 7 34 Akba 9 35 Nla Harapan Kekayaan Invesor 9 IV IMPULAN DAN ARAN 0 4 mpulan 0 4 aran 0 DAFTAR PUTAKA 0 DAFTAR LAMPIRAN Lampran : Pembukan Persamaan (5) dan (6) Lampran : Pembukan Persamaan (34) dan (35) 4

9 I PENDAHULUAN Laar Belakang Tujuan suau nvesas adalah unuk memperoleh keunungan yang besar dengan ngka resko yang rendah aa n keberadaan pasar modal elah menjad salah sau benuk nvesas yang dapa memberkan keunungan yang cukup besar alah sau nsrumen uama yang dperdagangkan d pasar modal adalah saham aham merupakan nsrumen pasar keuangan yang palng populer Perusahaan menerbkan saham unuk menambah dana perusahaan Fakor yang mempengaruh besarnya permnaan saham dan penawaran saham adalah ngka harga saham ersebu Apabla harga saham dnla erlalu ngg oleh pasar, maka jumlah permnaan akan berkurang ebalknya, bla pasar menla erlalu rendah, jumlah permnaan akan menngka Ada kemungknan nvesor dapa memperoleh keunungan yang lebh besar jka perusahaannya bergabung dengan perusahaan lan Keka penggabungan berlangsung pada waku T, ka mengasumskan bahwa raso dar dua harga saham akan sama dengan, T C T Konsana n merupakan raso harga saham dar dua perusahaan yang menggan saham lama mereka dengan yang baru dar perusahaan yang bersau Dasumskan bahwa nformas n erseda unuk orang dalam, arnya hanya yang melakukan merger saja yang mengeahu, selan u dak Ada banyak conoh dar pasar konvergen keka ada dua aau lebh proses dar harga saham, ngka bursa, aau ngka suku bunga yang salah sau dapa memlk banyak nformas enang perubahan perkembangan yang akan daang Jka dak dbaas, maka orang dalam dapa mencapa kekayaan ak erhngga dalam waku yang erbaas karena orang ersebu mempunya cukup nformas ambahan dbandng orang lan yang berada d pasar Hal n jelas sesuau yang ka ngn kesampngkan Dasumskan nformas ambahan hanya erseda unuk orang dalam yau penggabungan akan erjad pada waku Ada model sraeg yang dharapkan memaksmalkan kekayaan akhr mengku gerak Brown raeg dbaas oleh kendala pada waku yang sngka yang berkaan dengan kekayaan sekarang Pada saa penggabungan dua perusahaan, konds n sama arnya dengan kombnas lnear dar dua harga saham yang mengku gerak Brown Hal n serupa dengan proses jembaan Brown, eap proses dua dmens Ka mengacu pada proses jembaan Brown planar dan menyaakan sebaga solus bag suau ssem persamaan dferensal yang mengku dua gerak Brown Poss n merupakan ssem persamaan dferensal unuk dua harga saham, begu juga unuk dnamka kekayaan dar sraeg opmal yang demukan Karya lmah n merupakan rekonsruks dar ulsan Jonsson & Vecer (005) yang berjudul Insder Tradng n Convergen Markes Tujuan Tujuan penulsan karya lmah n adalah menenukan nla harapan yang maksmum dar kekayaan nvesor dengan sraeg nvesas saham pada dua perusahaan yang bergabung

10 II LANDAAN TEORI Unuk memaham masalah-masalah yang erjad pada karya uls n dperlukan pengeran beberapa konsep berku n Invesas, aham, dan Volalas Defns (Invesas) Invesas adalah kommen aau sumber daya saa n dengan harapan yang lebh besar d masa depan (Bode e al 009) Defns (aham) aham adalah sarana nvesas dengan pendapaan eap dan bersfa jangka panjang (Bode e al 009) Defns 3 (Volalas) Volalas adalah ukuran kedakpasan pendapaan saham (Hull 009) Harga saham sanga dpengaruh oleh nformas yang bersfa acak, dan karenanya harga saham juga bernla acak Volalas saham, yang basanya dlambangkan σ, menyaakan ngka keacakan harga saham emakn besar nla volalas, semakn ak erduga pergerakan harga saham ebalknya, semakn kecl nla volalas, semakn mudah unuk menduga harga saham ersebu Proses okask Defns 4 (Medan ) Medan adalah suau hmpunan yang anggoanya erdr aas hmpunan bagan ruang conoh Ω, yang memenuh syara berku Jka Α, maka 3 Jka AA,, c A A, makaç (Grmme & rzaker 99) Defns 5 (Ukuran Peluang) Msalkan Ω adalah ruang conoh suau percobaan dan adalah medan pada Ω uau fungs yang memeakan unsur-unsur ke hmpunan blangan nyaa, aau P: dsebu ukuran peluang jka : ak negaf, yau unuk seap A, PA ( ) 0, bersfa adf ak hngga, yau jka AA,, dengan A A, j, maka PÇ An P( An) n n P Ω 3 bernorma sau, yau Pasangan (Ω,, P ) dsebu ruang ukuran peluang aau ruang probablas (Hogg & Crag 995) Defns 6 (Proses okask) Proses sokask adalah sekumpulan peubah acak X, T, Γ yang erganung pada parameer dan erdefnskan pada ruang probablas (,, P) (obczyk 99) Defns 7 (Turunan okask) X,, adalah proses Msalkan sokask Jka erdapa fungs a () dan b () sehngga unuk sembarang,, dengan memenuh X X a( ) d b( ) dw( ) maka dkaakan bahwa X () memlk urunan sokask dx () yau dx ( ) a( ) d b( ) dw( ) (obczyk 99) 3 Gerak Brown Defns 8 (Gerak Brown andar) ebuah gerak Brown sandar W : 0 j adalah sebuah proses sokask yang memlk connuous Pah, sasoner, ndependen ncremens, dan 3 W( )~ N( 0, ) unuk semua 0 (Chang 007) Defns 9 (Gerak Brown) ebuah proses X dkaakan gerak Brown, jka dapa dulskan sebaga X X 0 W( ), dengan W adalah sebuah gerak Brown sandar (Chang 007)

11 3 Defns 0 (Proses Gaussan) uau proses sokask X, 0 dkaakan proses Gaussan jka X,, X( n ) memlk sebaran normal bersama unuk semua,, n (Ross 996) Defns (Jembaan Brown andar) ebuah jembaan Brown sandar adalah sebuah proses Gaussan X dengan pah yang konnu, raaan 0, dan fungs kovaran Cov X s, X s( ) unuk 0 s 4 Pergerakan Harga aham (Chang 007) ecara umum, pergerakan harga saham dapa dpecah menjad dua fakor, yau fakor yang dapa dperhungkan (msalnya suku bunga) dan fakor yang dak dapa dperhungkan (msalnya bera nak-urunnya harga saham perusahaan lan) Fakor kedua n menyebabkan pergerakan harga saham dak dapa dmodelkan secara deermnsk Model yang basa dgunakan unuk kasus seper n adalah model/proses sokask Menuru Wllmo e al (996), model sokask bag pergerakan harga saham memlk benuk sebaga berku : d d dw () Dalam hal n, d adalah perubahan harga saham selama nerval d dbag harga saham sebelum nerval d μ adalah raa-raa perumbuhan harga saham, σ adalah volalas, dan dw adalah bagan yang mengandung keacakan/kedakpasan dar harga saham Dasumskan bahwa dw mengku proses Wener sera memlk sfa: dw adalah varabel acak yang menyebar normal, raaan dar dw adalah nol, ragam dar dw adalah d 5 Proses Wener Umum Proses Wener merupakan salah sau proses sokask markov dengan perubahan raaan nol dan laju varan per ahun Varabel W dkaakan mengku proses Wener jka mempunya sfa: Perubahan W selama perode waku yang kecl adalah W dmana adalah peubah acak dengan sebaran normal baku 0, Nla dar W unuk dua nerval waku yang sngka adalah bebas (Hull 009) Proses sokask memlk urunan yang bersfa sokask Perubahan raaan persauan waku unuk proses sokask dkeahu sebaga laju drf dan varan per sauan waku dkeahu sebaga laju varan Proses Wener dasar, mempunya laju drf nol dan laju varan sau Laju drf dar raaan nol adalah nla harapan dar W pada waku yang akan daang adalah sama dengan nla yang sebenarnya Laju varan maksudnya bahwa perubahan varan d pada nerval waku dengan panjang sama dengan Proses Wener umum unuk varabel dapa ddefnskan dalam benuk sebaga dx ad bdw () dmana dan konsan Benuk mengakbakan mempunya harapan laju drf per sauan waku Jka bagan dkeluarkan maka persamaan menjad : dx ad dx ad x a c 0 x0 c sehngga x x0 a (3) dengan adalah nla dar saa, pada perode waku dengan panjang T, dan varabel nak sebanyak Proses Wener mempunya sandar devas Pada saa proses Wener mempunya smpangan baku sebesar dx ad bdz ~ N( ad, b d ) b d (4) dx dalam selang nerval waku yang kecl, perubahan menjad: x a b (5) ebelumnya mempunya sebaran normal baku, sehngga mempunya sebaran normal dengan raaan : smpangan baku : varan :

12 4 6 Proses Io Jens proses sokask lannya adalah proses Io Proses Io merupakan proses Wener umum dengan parameer dan adalah fungs dar nla underlyng varabel x dan waku Proses Io dapa duls secara aljabar sebaga : dx a x, d b( x, ) dw (6) Pada nerval waku yang kecl anara dan, varabel berubah dar ke, dmana x a x, b( x, ) (7) Dasumskan bahwa laju drf dan varan eap konsan yau ( ) dan ( ) selama nerval waku anara dan dx ~ N( a( x, ) d, b( x, ) d ) (8) 7 Lema Io Msalkan X() memlk urunan sokask dx ( ) a( ) d b( ) dw( ) dan msalkan g(,x) adalah fungs konnu dalam dan x bersama urunannya,, maka fungs ( ( )) memlk urunan sokask (dengan Proses Wener ( )) sebaga berku : G G G G dg a( ) b ( ) d b( ) dw( ) x x x (obczyk 99) Harga ops saham adalah fungs yang mendasar harga saham dan waku ecara umum dkaakan bahwa harga dar suau dervaf adalah fungs yang mendasar peubah acak sokask, sebuah dervaf dan waku Msalkan nla dar peubah acak x mengku proses Io: dx a x, d b( x, ) dw (9) dmana adalah proses Wener, dan adalah fungs dar dan Peubah acak mempunya laju drf dan laju varan Lema Io menunjukkan bahwa fungs dar dan memenuh G G G dg a b d x x G bdw x (0) dmana adalah proses Wener yang sama pada persamaan (9) sehngga juga mengku proses Io dengan laju drf G G G a b x x dan laju varan G b x ehngga dengan mudah dapa dunjukkan bahwa d d dw () dengan µ dan σ konsan, adalah model perubahan harga saham berdasarkan lema Io Proses ersebu dku oleh fungs erhadap dan sebaga berku G G G dg d G dw () dan dpengaruh oleh sumber yang mendasar kedakpasan yang sama 8 Proses okask unuk Harga aham Pada bagan n akan dbahas proses sokask yang basanya dasumskan unuk harga saham anpa pembayaran dvden Harga saham mengku proses Wener umum yang mempunya harapan laju drf konsan dan laju varan konsan Msalkan adalah harga saham, maka d a, d b, dw (3) Jka adalah harga saham pada waku, maka harapan laju drf pada dasumskan unuk parameer konsan Pada nerval waku yang kecl, akan nak sebesar Parameer merupakan laju harapan mbal hasl pada saham Jka volalas dar harga saham selalu nol, maka modelnya menjad: µ (4) saa 0 Dengan demkan d µd d d (5) Inegralkan kedua ruas pada (5) menjad d d ln k, (6) dengan k = konsana sembarang Persamaan (6) dapa duls menjad k e k e e (7)

13 5 Dengan memsalkan, maka persamaan (7) menjad c e (8) Msalkan dan merupakan harga saham pada waku dan, maka persamaan (8) menjad (9) Persamaan (9) menunjukkan bahwa laju varan nol, harga saham umbuh dengan laju connous compoundng per sauan waku Pada kenyaaannya harga saham menunjukkan volalas karena asumsnya varas dar persenas mbal hasl pada perode waku yang sngka sama anpa memperhakan harga saham mpangan baku dar perubahan dalam perode waku yang sngka akan proporsonal ke harga saham dan berperan penng unuk model: d d dw d μd dw (0) Persamaan (0) sebagan dgunakan unuk memodelkan ngkah laku harga saham Varabel adalah volalas dar harga saham Varabel adalah harapan laju mbal hasl Persamaan (0) dsebu juga sebaga gerak Brown geomerk III HAIL DAN PEMBAHAAN Msalkan ada dua perusahaan yang akan bergabung Msalkan pula harga saham masng-masng perusahaan mengku gerak Brown geomerk d d dw d d dw () adalah harga saham perusahaan pada saa, adalah raa-raa perumbuhan harga saham perusahaan, adalah volalas perusahaan, W dan W adalah gerak Brown dengan dw dw d,, adalah korelas anara gerak Brown perusahaan perama dengan gerak Brown perusahaan kedua, dan pada saa penggabungan (yau saa T) berlaku T C T () Dasumskan ngka suku bunga adalah nol, msalkan kekayaan awal adalah yang merupakan kekayaan eap nvesor dan kekayaan nvesor saa dengan sraeg, adalah Y, dan berlaku dy d d (3) Y dengan adalah bagan dar kekayaan yang dnvesaskan pada saham, oleh karenanya adalah bagan dar kekayaan yang ddeposokan Unuk memaksmumkan harapan dar kegunaan suau kekayaan dengan beberapa kendala perdagangan, dasumskan dak ada pemnjaman dan shor sellng Dengan kaa lan, 0 dan Toal kekayaan Y bernla ak negaf Dasumskan juga fungs harapan dar kekayaan yang ngn dmaksmumkan oleh nvesor adalah fungs lnear Ada dua kemungknan sraeg yang memaksmumkan nla harapan kekayaan nvesor yau: 0,0,,0, 0,,,0, 0,,,,,, 0,,, 0, raeg yang dbahas pada karya lmah n adalah sraeg yang perama 3 Teorema raeg yang memaksmumkan EY T 0,0,,0, 0, dan selalu memenuh hanya erganung pada log X T C Lebh epanya, meneapkan proses planar Z dengan melha ngka reurn saham perusahaan saa ( Z ) sebaga,, Z Z Z A X B A X B, dmana

14 6 A dan A, B A A dan B A A, maka 0,0 jka Z 0 dan Z 0,0 jka Z 0 dan Z Z 0, jka Z 0 dan Z Z Arnya jka dan, maka nvesor dak bernvesas d kedua perusahaan Jka dan, maka nvesor bernvesas d perusahaan perama Jka dan, maka nvesor bernvesas d perusahaan kedua Unuk membukkan Teorema ersebu, dperlukan Proposs dan Proposs 3 Proposs Msalkan W dan Brown dmula dar dw dw d, saa W adalah dua gerak 0 W0 0 W dengan aw T aw T b (4) dmana dan b adalah konsan Dnamka dar dan dapa duls sebaga b aw a W a a dw a a d d T a aa a a aa a a a a a a d b aw a W a a dw a a d d T a aa a a aa a a a a a a d (5) (6) dengan d dan d adalah dua gerak Brown sandar yang bebas Buk: Unuk membukkan proposs dkeahu X bahwa konds sebuah gerak Brown 0 T pada nla ujung X mengarah pada sebuah jembaan Brown Jka nla awal X0 adan nla akhr XT b, maka b X dx d dw, X0 a (7) T Persamaan (7) merupakan jembaan Brown sau dmens edangkan, jembaan Brown planar merupakan vers dua dmens dar persamaan (7) Ka defnskan dua proses baru: U aw a W (8) U a a W a a W (9) dengan U dan U bebas U a a a a adalah konds sebuah gerak Brown pada nla ujung dan U a aa a adalah sebuah gerak Brown ehngga berdasarkan persamaan (7), ka dapa menulskan U dan U dalam benuk bu du d a a a a d T (30) du a a a a d (3) dmana d dan d adalah gerak Brown sandar yang bebas ubsus persamaan (8) ke persamaan (30), akan dperoleh b aw aw d aw aw d T a a a a d

15 7 Persamaan ersebu akan menghaslkan (lha Lampran a) b aw a W a a a dw a a d d d T a aa a a aa a a aa a ubsus persamaan (9) ke persamaan (3) d a a W a a W a a a a d Persamaan ersebu akan menghaslkan (lha Lampran b) b aw a W a a a dw a a d d d T a aa a a aa a a aa a Dengan menggunakan jembaan Brown, dperoleh dnamka dar dua saham yang bergabung 33 Proposs Msalkan dnamka dar dua harga saham dberkan sebaga berku d d dw d d dw (3) dmana W dan W adalah dua gerak Brown dengan dw dw d pada saa C (33) maka harga saham dnamk dapa dekspreskan sebaga d A X B d Cd Dd (34) d A X B d C d Dd (35) Buk: Dar pembahasan erdahulu dkeahu dan adalah dua gerak Brown bebas dengan X, A, A, B, B ada pada eorema dan C C D Ddefnskan G ln Jka fungs durunkan erhadap, maka G Jka fungs durunkan dua kal erhadap, maka G Jka fungs durunkan erhadap, maka G 0 (36) Berdasarkan persamaan () ddapa G G G dg d G dw dengan mensubsus G G,, dan G, persamaan () menjad dg 0 d dw sehngga dg d dw (37) dan dg dw d (38) d Karena G ln, maka persamaan (38) menjad d( ln) dw d (39) d sehngga d dw d (40) d

16 8 aau d d dw (4) Unuk mendapakan persamaan dalam, dlakukan pengnegralan kedua ruas pada persamaan (4) d d dw ln W C exp W C exp C exp W Jka [ ], maka 0exp W (4) sehngga unuk konds sebaga C darkan T T C T T 0exp T T W C 0 exp T WT exp T WT C exp T WT exp T W T T WT C 0 0 T W T T WT ln C 0 0 T T W T T T WT lnc 0 0 W T WT T T lnc 0 0 W T WT T T lnc 0 0 W T WT T lnc (43) 0 Persamaan (43) sesua dengan persamaan (4) dengan a, a, dan b 0 T ln C (44) 0 Dnamka jembaan Brown planar dberkan pada Proposs, persamaan dar dua gerak Brown sandar dan Jka persamaan (5) dsubsus ke persamaan (3), maka d baw aw a a d a a d d T a aa a a aa a a d a aa a Berdasarkan eorema, persamaan ersebu menjad (lha Lampran ) d A X B d Cd Dd

17 9 Jka persamaan (6) dsubsus ke persamaan (3), maka d baw aw a a d a a d d T a aa a a aa a a d a aa a Berdasarkan eorema, persamaan ersebu menjad (lha Lampran ) d A X B d Cd Dd Dengan demkan Proposs erbuk 34 Akba Dasumskan bahwa saham unggal mengku d d dw (45) aa T C, maka d T log d d T (46) dengan adalah sebuah gerak Brown sandar Buk: Persamaan (46) merupakan kasus khusus dar proposs dengan,,, 0, d A X B d Cd Dd C 0 σ 00 D A A 0 00 B A A X log log T C T log T maka d A X B d Cd Dd log d d 0 T T log d d T Dengan demkan akba erbuk 35 Nla Harapan Kekayaan Invesor Persamaan (3) yang menyaakan kekayaan nvesor adalah dy d d Y dy Y d d Y T d d Y 0 (47) Nla harapan dar kekayaan nvesor adalah kekayaan eap nvesor dambah dengan nla harapan kekayaan nvesor yang dmaksmumkan T d d E YT Y0 E Y T (48) 0 Jka persamaan (34) dan (35) dsubsuskan ke persamaan (48), maka nla harapan dar kekayaan nvesor dapa duls

18 0 T E YT Y0 E A X B d Cd Dd A X B d Cd Dd YT d 0 T Y0 E A X B A X B YT d (49) 0 Berdasarkan eorema Z, Z A X B, A X B, maka persamaan (49) menjad T E YT Y0 E Z Z YT d 0 Karena nla harapan dar proses Wener adalah nol, maka nla harapan dar gerak Brown ( ) adalah nol, sehngga negral mempunya nla harapan nol Karena asums anpa pnjaman, maka Inegral ersebu akan maksmal jka Z Z maksmal unuk seap IV IMPULAN DAN ARAN 4 mpulan Dengan asums pergerakan harga saham mengku gerak Brown yang mempunya harapan laju drf konsan dan laju varan konsan raeg yang dgunakan adalah dengan melha ngka reurn saham perusahaan saa ( ) Ada dua kemungknan sraeg, bag nvesor yang dbahas, yau: dak bernvesas d kedua perusahaan 0,0 aau bernvesas d salah sau perusahaan 0,,,0 Dengan sraeg nvesas ersebu dperoleh nla harapan kekayaan nvesor dar dua perusahaan yang bergabung akan maksmum jka Z Z maksmum 4 aran Analss lebh lanju mengena memaksmumkan nla harapan dar kekayaan nvesor dapa dkembangkan unuk sraeg,0, 0,,,,,,,0, 0, DAFTAR PUTAKA Bode, Kane, Markus 009 Invesmen 8 h Ed The McGraw-Hll Companes Inc Chang J 007 ochasc Processes Yale Unversy Grmme GR, DR rzaker 99 Probably and Random Processes h Ed Clarendon Press Oxford Hogg RV, AT Crag 995 Inroducon o Mahemacal ascs 5 h Ed Prence Hall, Englewood Clffs New Jersey Hull JC 009 Opons, Fuures, and Oher Dervaves 7 h Ed Prence Hall Inernaonal Inc Torono Jonsson M, Vecer J 005 Insder Tradng n Convergen Markes, Appled Mahemacal Fnance, Vol : 43-5 Ross M 996 ochasc Processes Unversy of Calforna obczyk K 99 ochasc Dfferenal Equaons wh Aplcaons o Physcs and Engneerng Kluwer Academc Publsher Wlmo P, Howson, Dewynne J 996 The Mahemacs of Fnancal Dervaves Cambrdge Unversy Press Cambrdge

19 LAMPIRAN

20 Lampran : Pembukan Persamaan (5) dan (6) a Akan dbukkan Persamaan (5), yau b aw a W a a dw a a d d T a aa a a aa a a a a a a d (L-) Buk: Dberkan persamaan U aw a W (L-) U a a W a a W (L-3) dengan dan bebas ujung dan U U a a a a a aa a persamaan (7), ka dapa menulskan dan dalam benuk bu du d a aa a d T adalah konds sebuah gerak Brown pada nla adalah sebuah gerak Brown ehngga berdasarkan (L-4) du a a a a d (L-5) ubsus persamaan (L-) ke persamaan (L-4), akan dperoleh b aw aw d aw aw d a aa a d T Msalkan: b aw aw m dan n a aa a, maka d aw aw md nd T Berdasarkan sfa urunan, d aw d a W md nd adw adw md nd (L-6) ubsus persamaan (L-3) ke persamaan (L-5) d a a W a a W a a a a d Jka n a a a a, maka d a a W a a W nd (L-7) Berdasarkan sfa urunan, persamaan (L-7) menjad d a a W d a a W nd a a dw a a dw nd (L-8) Jka persamaan (L-6) dkal a a dan persamaan (L-8) dkal a kemudan dlakukan elmnas, maka akan dperoleh a a a dw a a a dw a a md a a nd a a a dw a a a dw na d - a a a dw a a a dw a a md a a nd na d a dw a a dw a a dw a dw a a md a a nd na d

21 3 a a a a dw a a md a a nd na d n dw a a md a a nd na d a a m a a n na dw d d d n n n a a m a a a dw d d d (L-9) n n n Dengan menggan kembal m dan n pada persamaan (L-9), dperoleh b aw a W a a a dw a a d d d T a aa a a aa a a aa a b Akan dbukkan Persamaan (6), yau b aw a W a a dw a a d d Buk: T a aa a a aa a a a a a a d Dengan cara yang sama saa pada a, jka persamaan (L-6) dkal a a (L-8) dkal a kemudan dlakukan elmnas, maka akan dperoleh a a a dw a a a dw a a md a a nd a a a dw a a a dw na d (L-0) dan persamaan - a a a dw a a a dw a a md a a nd na d a a a dw a a a dw a a md a a nd na d (L-) Dengan sfa dsrbuf, persamaan (L-) menjad a dw a a dw a a dw a dw a a md a a nd na d a dw a a dw a dw a a md a a nd na d (L-) Fakorkan pada persamaan (L-), sehngga persamaan menjad a a a a dw a a md a a nd na d (L-3) Karena n a a a a, maka persamaan (L-3) menjad n dw a a md a a nd na d (L-4) elanjunya kedua ruas persamaan (L-4) dbag dengan n, sehngga persamaan menjad a a m a a n na dw d d d (L-5) n n n Persamaan (L-5) dsederhanakan menjad a a m a a a dw d d d (L-6) n n n Jka menggan kembal m dan n pada persamaan (L-6), maka dperoleh b aw a W a a a dw a a d d d T a aa a a aa a a aa a Terbuk

22 4 Lampran : Pembukan Persamaan (34) dan (35) Akan dbukkan : Persamaan (34), yau d A X B d Cd Dd (L-7) Persamaan (35), yau d A X B d Cd Dd (L-8) Buk : Dkeahu persamaan (L-9) dan persamaan (L-0) d d dw (L-9) b aw aw a a T a aa a a aa a dw a a d d a a a a a d Jka persamaan (L-0) dsubsus ke persamaan (L-9), maka d baw aw a a d a a d d T a aa a a aa a a d a aa a d baw aw a a d a a d d T a aa a a aa a a d a aa a d b aw a W T a a a a a a a a a a a a d d a a a a a d a a a a d b aw a W d d a a a a a a a a T a a a a a d (L-0) d ( ) bw ( ) W d d T ( ) ( ) ( ) d

23 5 d b W W d d d T d d T d d 0 T ln C W W 0 T 0 T ln C W W 0 d d 0 T lnc d 0 W W d T T T d d d d d 0 T lnc 0 T T W W d d d T (L-) 0 Berdasarkan eorema, A dan X ln C maka, persamaan (L-) T 0 menjad T d W W A A X A d d T T d d W W T A X A d d T T d (L-)

24 6 Dengan C dan D maka, persamaan (L-) menjad T d W W A X A d Cd Dd T T (L-3) Berdasarkan Maas Jonsson & Jan Vecer, persamaan (L-3) menjad d A X B d Cd Dd Dkeahu persamaan (L-4) dan persamaan (L-5) d d dw (L-4) b aw aw a a T a aa a a aa a dw a a d d a a a a a d Jka persamaan (L-5) dsubsus ke persamaan (L-4), maka d baw aw a a d a a d d T a aa a a aa a a a a a a d d baw aw a a d a a d d T a aa a a aa a a d a aa a d b aw a W T a a a a a a a a a a a a d d a a a a a d a a a a d b aw a W d d a a a a a a a a T a a a a a d (L-5) d bw ( ) W d d T ( ) ( ) ( ) d

25 7 d b W W d d d d T d T d d 0 T ln C W W 0 T d d 0 T ln C W W 0 0 T lnc d 0 W W d T T T d d d 0 T lnc 0 T T d d W W d d d T (L-6) 0 Berdasarkan eorema, A dan X ln C maka, persamaan (L-6) T 0 menjad T d W W A A X A d d T T d

26 8 d W W T A X A d d T T d (L-7) Dengan C dan D maka, persamaan (L-7) menjad T d W W A X A d Cd Dd T T (L-8) Berdasarkan Maas Jonsson & Jan Vecer, persamaan (L-8) menjad d A X B d Cd Dd Terbuk