OPTIMISASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV. Oleh: ANDRI SURYANA G

Transkripsi

1 OPTIMIAI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV Oleh: ANDRI URYANA G5427 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT PERTANIAN BOGOR 26

2 OPTIMIAI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV risi ebagai salah satu sarat utu memeroleh araa ais aa Faultas Matematia a Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh: ANDRI URYANA G5427 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INTITUT PERTANIAN BOGOR 26 2

3 RINGKAAN ANDRI URYANA Otimisasi Portofolio Poit a Figure Megguaa Hie Maro Dibimbig oleh BERLIAN ETIAWATY a EFFENDI YAHRIL Dalam membuat eutusa iestasi iestor tia megetahui secara asti tigat retur (imbal hasil) ari saham Ketiaastia tigat retur ag ieroleh iestor beraita ega aaa resio (ai-turua harga saham) alam setia atiitas iestasi Resio iestasi aat ireisi melalui iera erusahaa ag tercermi alam harga sahama Utu memeroleh eutuga iestor ag aa membeli saham ari suatu erusahaa harus melaua aalisis terhaa ilai sahama alah satu aalisis ag iguaa aalah aalisis teial Aalisis teial meruaa metoe aalisis ag berasara iagram/grafi ari harga saham Metoe ii ilaua ega cara membaiga geraa harga saham saat ii ega geraa harga saham i masa lalu utu memreisi harga saham i masa ea ag logis Dasar ari aalisis teial aalah iagram/grafi ari geraa harga saham Tie iagram ag ibahas alam ara ilmiah ii aalah iagram PF (Poit a Figure Chart) Diagram PF aalah salah satu tie iagram ari aalisis teial ag haa meamila erubaha harga ag sigifia Dalam melaua iestasi eaaa ialoasia ega membetu ortofolio Tuuaa aalah utu memiimuma resio Portofolio ii teriri atas aset bebas resio a aset beresio (saham) Portofolio ag haa berasara iformasi ag termuat alam iagram PF isebut ortofolio PF Otimisasi ortofolio PF meruaa masalah emiliha ortofolio isret Hal ii iareaa oleh saham (aset beresio) ieragaga alam watu aca isret Aibata ierlua moel watu isret Moel tersebut memelaari hubuga atara masalah ortofolio watu isret ega ose martigale alam otimisasi ortofolio Moel tersebut meelasa esistesi ari ortofolio PF ag otimal Dalam eragaga saham i asar uia harga saham saat ii (harga iiso) iegaruhi oleh tigat olatilitas (ai-turua harga) Tigat olatilitas ii ihitug ega Moel Hie Maro (HMM) HMM meeiaa ua alat ag sagat etig aitu algoritma ag memasimuma ilai haraa (EM-Algorithm) a metoe eluag acua (Referece Probabilit Metho) EM-Algorithm utu meuga arameter-arameter alam HMM berasara ata historis seaga metoe eluag acua ag iombiasia ega ose martigale alam moel watu isret utu memeroleh ortofolio PF ag otimal Portofolio PF ag otimal ari fugsi utilitas logaritmi ieroleh secara eslisit ega megguaa moel watu isret a moel Hie Maro 3

4 Juul Nama NRP : Otimisasi Portofolio Poit a Figure Megguaa Hie Maro : Ari uraa : G5427 Meetuui : Pembimbig I Dr Berlia etiawat M NIP Pembimbig II Drs Effei ahril Gra Dil c NIP Megetahui : Dea Faultas Matematia a Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr Ir Yo Koesmaroo M NIP Taggal Lulus : 4

5 RIWAYAT HIDUP Peulis ilahira i uabumi aa taggal 6 Jui 983 sebagai aa elima ari lima bersauara ari asaga Baa Atag a Ibu Neeg Peulis meelesaia eiia eolah Dasar i DN Dwi Tuggal aa tahu 996 eolah Lauta Tigat Pertama i LTPN Warugiara aa tahu 999 eolah Meegah Umum i MUN Cibaa aa tahu 22 a masu Istitut Pertaia Bogor melalui alur UMI (Uaga elesi Masu IPB) aa tahu ag sama elai megiuti egiata eruliaha eulis erah meai asiste ose utu mata uliah Pegatar Matematia aa tahu aara 25/26 Kalulus aa tahu aara 23/24 a 24/25 serta Kalulus 2 aa tahu aara 23/24 Peulis semat meai teaga egaar i Alabar Power Istitut Eacta Priat a Math Art Priat Peulis uga atif alam egiata emahasiswaa Gumatia (Gugus Mahasiswa Matematia) aa erioe 22/23 sebagai aggota Dearteme Kaia Ilmiah a aa erioe 23/24 sebagai etua Dearteme Kaia Ilmiah 5

6 PRAKATA Bismillaahirrahmaairrahiim Pui a suur eulis aata ehairat Allah WT ag selalu memberia rahmat a aruia sehigga eulis aat meelesaia ara ilmiah ii holawat serta salam tia lua eulis aata eaa Nabi Muhamma AW sahabat eluarga serta ara egiuta samai ahir zama Dega segala etulusa hati eulis igi berterima asih eaa orag-orag ag secara lagsug atauu tia lagsug telah berotribusi besar alam membatu meuug a memberi semagat alam meelesaia ara ilmiah ii : Ibu Berlia etiawat selau embimbig ag telah memberia sara masua serta batua alam eulisa ara ilmiah ii 2 Baa Effei ahril selau embimbig 2 ag telah baa membatu alam eulisa ara ilmiah ii 3 Ibu Ear Hasafah Nugrahai atas bimbiga a eseiaaa sebagai egui 4 Baa a Ibu tercita ag tiaa hetia memberia asihat o a uuga serta semagat Terima asih atas segea asih saag ag ta terbalasa 5 Kaa-aa tersaag ag seatiasa memberi asihat a suort 6 Keoaa-eoaa tersaag ag telah memberia eceriaa 7 Warga amar C-24 Asrama Putra TPB 39 (Pai Azmi Dzulfiar) osa Bafa 7 (Kharisma Mumi Ilham uai Dase a lai-lai) Kosa KC-Math (Yaa Riswa Agus Eam Ae Uga) osa Alabar (Luma Roih DC Febri Jau Yusuf) a Wisma Gizi Abai ag telah memberia motiasi a eceriaa 8 Agus Meria a Ae ag telah berseia meai embahas serta Mar atu a Arif ag telah meeiaa osumsi alam semiar 9 Alumi MUN Cibaa agata 39 i IPB : Febi (MATH) Mar atu (THP) Arif (TMA) Des (BIO) Luc (TEP) Ea (TK) Neli (THH) a Ael (INMT) Kalia aalah tema seeruagau Terimaasih atas ebersamaaa Resti (atas uuga a ebersamaaa) Riswa (atas riti a saraa) Yaa (atas suort-a) Lus MNJ 39 (atas referesia) a Rahma FI 39 (atas ersahabataa) Dose-ose Dearteme Matematia atas segala ilmu ag telah iberia taa lelah 2 taf-staf Dearteme Matematia : Ibu usi (atas segala asihat a ceritaa) Ibu Ae Mas Dei Mas Yoo Mas Boo Ibu Marisi Pa Juaa a Mba Yati ag seatiasa ireota 3 Tema-tema Math 39 ag tia bisa isebuta satu er satu Terima asih atas segala ebersamaa serta mome-mome teriah selama emat tahu terahir 4 Tema-tema Math 37 Math 38 Math 4 Math 4 serta agata 42 ag membuat isah hiu lebih lega 5 erta semua iha ag telah membatu terselesaiaa srisi ii Ahir ata semoga ara ilmiah ii aat bermafaat Ami Bogor Jui 26 Ari uraa 6

7 DAFTAR II Halama RINGKAAN RIWAYAT HIDUP PRAKATA DAFTAR II ii i i DAFTAR GAMBAR ii DAFTAR LAMPIRAN iii PENDAHULUAN Latar Belaag 2 Tuua Peulisa 2 3 Metoe a istematia Peulisa 2 LANDAAN TEORI 2 2 Ruag Cotoh Keaia a Peluag 2 22 Peubah Aca a Fugsi ebara 3 23 Peuga a Keoergea 4 24 Proses toasti 4 25 Barisa Bilaga Real Keotiua Koes a Cocae 6 26 Vetor 7 27 EM-Algorithm 7 KONTRUKI DIAGRAM PF 8 PORTOFOLIO PF MODEL WAKTU DIKRET 4 MODEL HIDDEN MARKOV 5 OPTIMIAI PORTOFOLIO PF 7 IMPULAN DAN ARAN 8 8 imula 8 82 ara 8 DAFTAR PUTAKA 9 LAMPIRAN 2 7

8 DAFTAR GAMBAR Halama Gambar : Perbaiga Diagram Harga aham UNVR ega Diagram PF-a Gambar 2 : Poho Bier ari : ega 2 te 23 8

9 DAFTAR LAMPIRAN Halama Lamira A : Perhituga alam Masalah 2 Lamira B : Peurua Persamaa 7 22 Lamira C : Peelasa Megeai ebara ari terhaa P 23 Lamira D : Buti Proosisi

10 Latar Belaag aham aalah surat berharga sebagai buti eemilia iiiu mauu istitusi atas suatu erusahaa [alim 23] Dalam membuat eutusa iestasi iestor tia megetahui tigat retur (imbal hasil) ari saham secara asti Ketiaastia tigat retur ag ieroleh iestor beraita ega aaa resio alam setia atiitas iestasi Resio aalah emugia erugia ag aa ialami seseorag ag iaibata oleh bahaa ag mugi terai tetai tia ietahui aa teraia a aa ag aa terai Resio iestasi harus ierhituga secara teat etia memilih saham utu meghiari erugia Dalam melaua iestasi eaaa ialoasia ega membetu ortofolio Portofolio ii teriri atas aset bebas resio a aset beresio (saham) Portofolio tersebut imasua utu memiimuma resio erugia Dalam oisi ormal resio iestasi aat ireisi melalui iera erusahaa ag tercermi alam harga sahama Jia atiitas erusahaa meuua ertumbuha ag rosetif maa harga sahama aa megalami eaia aham-saham ari erusahaa ega ertumbuha seerti itu aat memberia caital gai Caital gai aalah eutuga ag ieroleh emegag saham selai iie ia harga ual sahama melebihi harga belia Diie itu seiri aalah bagia ari laba erusahaa ag ibagia eaa emegag saham etia watu harga saham berflutuasi ai-turu Flutuasi harga saham iilah ag meruaa resio iestasi saham area meaia etiaastia tigat retur Resio iestasi saham berua staar eiasi ari ilai eutuga real Utu memeroleh eutuga seorag iestor ag aa membeli saham ari suatu erusahaa harus melaua aalisis terhaa ilai sahama Aalisis seerti ii terbagi atas 2 bagia aitu : ) Aalisis teial aitu metoe aalisis ag berasara iagram/grafi ari harga saham Metoe ii ilaua ega cara membaiga geraa harga saham saat ii ega geraa harga saham i masa lalu utu memreisi harga saham i masa I PENDAHULUAN ea ag logis Dasar ari aalisis teial aalah iagram/grafi ari geraa harga saham 2) Aalisis fuametal aitu metoe aalisis ag berasara fuametal eoomi suatu erusahaa Metoe ii meiti-berata aa rasio fiasial a eaia-eaia ag secara lagsug mauu tia lagsug memegaruhi iera euaga erusahaa Keua aalisis tersebut bertuua utu memreisi alira eaata i masa ea bai iie mauu caital gai Alira eaata ieroleh ega megotimala ortofolio aitu mecari strategi eragaga ag memasimuma retur Dalam ara ilmiah ii aa ibahas megeai aalisis teial Aau tie iagram ag iguaa aalah iagram PF (Poit a Figure Chart) Permasalaha i atas meruaa ermasalaha ari suatu roses stoasti aitu ermasalaha ag terait ega eluag suatu eaia imaa eaia aa watu ag aa atag tia aat ireisi ega asti etia eaia tetu aa eebaba haa saa teraag eebaba tia iamati secara lagsug Peebab eaia aat membetu berbagai moel matematia salah satua aalah Moel Ratai Maro Pasaga eaia a eebaba isebut sebagai Moel Hie Maro Moel tersebut ibagu oleh arameter-arameter ag aa iguaa utu memreisi eaia i masa ag aa atag Parameter tersebut aat iuga berasara ata historis ega megguaa EM- Algorithm (algoritma ag memasimuma ilai haraa) aitu salah satu metoe eugaa arameter ag aa memasimuma reisi terhaa eaia i masa ag aa atag Dalam tulisa ii iai metoe aatif ari otimisasi ortofolio Gagasa utamaa ialah utu meelasa geraageraa etig ari harga saham ega megguaa Moel Hie Maro (HMM) a meetua ortofolio otimal ega megguaa algoritma reursif Otimisasi ortofolio ii bersifat aatif artia EM-Algorithm sesuai ega moel berasara ata historis ag meigata iera ortofolio

11 2 Tuua Tuua eulisa ara ilmiah ii aalah Memelaari iagram PF 2 Memelaari ortofolio PF 3 Meetua ortofolio PF otimal ega moel watu isret a moel Hie Maro (HMM) 3 Metoe a istematia Peulisa Metoe eulisa ara ilmiah ii aalah stui literatur a materi ara ilmiah ii iambil ari ural ag beruul Portfolio otimizatio hie Maro moels a techical aalsis of PF- Charts oleh Robert Elliot a Juri Hiz aa tahu 24 Kara ilmiah ii teriri atas 8 bagia Bagia e- meelasa latar belaag masalah otimisasi ortofolio tuua metoe a sistematia eulisa Bagia e-2 meaia laasa teori ag membahas ruag cotoh eaia a eluag; eubah aca a fugsi sebara; euga a eoergea; roses stoasti; barisa bilaga real eotiua oes a cocae ; etor; a EM-Algorithm Bagia e-3 membahas ostrusi iagram PF a bagia e-4 membahas ortofolio PF elauta bagia e-5 membahas moel watu isret a bagia e-6 membahas moel Hie Maro (HMM) elai itu bagia e-7 membahas otimisasi ortofolio PF serta bagia e-8 meaia simula a sara ari embahasa sebeluma II LANDAAN TEORI Beriut ii aalah ase teoritis ag meai laasa teori bagi eulisa ara ilmiah ii 2 Ruag Cotoh Keaia a Peluag Dalam suatu ercobaa serigali ilaua egulaga ag biasaa ilaua alam oisi ag sama emua emugia hasil ag aa mucul aat ietahui tetai hasil aa ercobaa beriuta tia aat iuga ega teat Percobaa semacam ii ag aat iulag alam oisi ag sama isebut ercobaa aca [Hogg a Craig 995] Defiisi (Ruag Cotoh a Keaia) Himua ari semua emugia hasil ari suatu ercobaa aca isebut ruag cotoh iotasia ega uatu eaia A aalah himua bagia ari [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 2 (Mea - ) Mea - aalah suatu himua ag aggotaa teriri atas himua bagia ruag cotoh ag memeuhi oisi beriut : 2 Jia A A2 maa Ai i C 3 Jia A maa A [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 3 (Mea Borel) Mea borel aalah mea - terecil ag megaug semua selag berbetu r r iotasia Cotoh : Jia a b maa a b b a a ba b b [Hogg a Craig 995] Defiisi 4 (Uura Peluag) Misala aalah mea - ari ruag cotoh Uura eluag aalah suatu fugsi P : ag aa memeuhi : P( ) P( ) 2 Jia A A2 aalah himua ag salig leas aitu Ai A utu setia asaga i maa P A i PAi i i Pasaga P isebut ruag eluag [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 5 (Keaia alig Bebas) P aalah ruag eluag Misala a A B Keaia A a B iataa salig bebas ia

12 PA B PAPB Misala I aalah himua ies Himua eaia Ai i I iataa salig bebas ia P A i PAi ij ij utu setia himua bagia berhigga J ari I [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 6 (Keeialea Uura Peluag) Uura eluag P a Q aa ruag cotoh isebut eiale ia utu eaia A berlau : Q( A) ia a haa ia P( A) [Loee962] Defiisi 7 (Peluag Bersarat) Misala A sehigga PA Misala ula A 2 aalah sebarag himua alam Peluag bersarat ari A ia ietahui A iotasia ega 2 2 P A A ialah P A A 2 P A A P A 2 [Hogg a Craig 995] 22 Peubah Aca a Fugsi ebara Defiisi 2 (Peubah Aca) Misala aalah mea - ari ruag cotoh uatu eubah aca aalah suatu fugsi : ega sifat : ( ) utu setia [Grimmett a tirzaer 992] Catata : Peubah aca iotasia ega huruf besar seerti Y Z seaga ilai eubah aca iotasia ega huruf ecil seerti z Defiisi 22 (Fugsi ebara) Misala P aalah ruag eluag Fugsi sebara ari eubah aca aalah suatu fugsi F : ag iefiisia oleh F P [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 23 (Peubah Aca Disret) Peubah aca iataa isret ia ilaia haa aa himua bagia ag terhitug ari [Grimmett a tirzaer 992] Catata : uatu himua bilaga C isebut terhitug ia C teriri atas bilaga berhigga atau aggota C aat ioresoesia - ega bilaga bulat ositif Defiisi 24 (Fugsi Keraata Peluag) Misala P aalah ruag eluag Fugsi eraata eluag ari eubah aca isret aalah fugsi : ag iberia oleh ( ) P( ) [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 25 (Nilai Haraa) Jia aalah eubah aca isret ega fugsi eraata eluag maa ilai haraa ari aalah ( ) E asala umlah i atas oerge mutla [Hogg a Craig 995] Lema 26 (ifat Nilai Haraa) Beberaa sifat ilai haraa atara lai : ) Jia aalah suatu ostata maa E 2) Jia aalah suatu ostata a V aalah eubah aca maa EV EV 3) Jia 2 aalah ostata a V V 2 aalah eubah aca maa E V V E V E V [Buti lihat Hogg a Craig 995] Defiisi 27 (Fugsi ebara Bersama Dua Peubah Aca) Fugsi sebara bersama ari ua eubah aca a Y aalah suatu fugsi 2 F : ag iefiisia oleh F P Y [Grimmett a tirzaer 992] 2

13 23 Peuga a Keoergea Defiisi 3 (tatisti) tatisti aalah suatu fugsi ari satu atau lebih eubah aca ag tia bergatug aa arameter (ag tia ietahui) [Hogg a Craig 995] Defiisi 32 (Peuga/estimator a Dugaa/estimate) Misala 2 aalah eubah aca uatu statisti U U 2 U ag iguaa utu meuga fugsi arameter g iataa sebagai euga (estimator) bagi g Nilai amata U 2 ari U ega ilai amata isebut sebagai ugaa (estimate) bagi g [Hogg a Craig 995] Defiisi 33 (Koerge Hamir Pasti) Misala 2 aalah eubah aca alam ruag eluag P uatu barisa eubah aca 2 iataa oerge hamir asti e eubah aca itulis berlau : a s utu ia P lim Dega ata lai oerge hamir asti aalah oerge ega eluag [Grimmett a tirzaer 992] 24 Proses toasti Defiisi 4 (Ruag tate) Misala meruaa ilai ari barisa eubah aca maa isebut ruag state [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 42 (Proses toasti) : t T Proses toasti t ag terefiisi aa ruag eluag P aalah suatu himua ari eubah aca ag memetaa suatu ruag cotoh e ruag state [Ross 996] Defiisi 43 (Proses toasti ega Watu Disret a Kotiu) uatu roses stoasti t : t T isebut roses stoasti ega watu isret ia gugus ies T aalah gugus tercacah : t T (coutable set) seaga isebut roses stoasti ega watu otiu ia T aalah suatu iteral [Ross 996] Catata : Cotoh gugus ies T aa roses stoasti ega watu isret aalah T 2 seaga cotoh gugus ies T aa roses stoasti ega watu otiu aalah T [ ) atau gugus bilaga ata Defiisi 44 (Filtrasi) aalah barisa Misala submea- ari isebut filtrasi ia utu semua [ ) [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 45 (Measurable/ Teruur) Misala P aalah ruag eluag Jia fugsi : memilii sifat : ( ) utu setia maa iataa teruur- [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 46 (Aate) Misala P aalah ruag eluag Barisa eubah aca { : t! } iataa aate e filtrasi ia t t t meruaa teruur- utu semua t [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 47 (Martigale) Proses toasti : roses Martigale ia E < t t t! isebut utu semua t a E[ t t ] t [Ross 996] Teorema 48 (Reresetasi Martigale) : t! aalah roses Misala t martigale : t! aat ireresetasia alam betu : t 3

14 ega m t t m aalah aate- a aalah roses stoasti ag megambil ilai aa { u } ega u P( )! [Buti lihat Williams 99] Defiisi 49 (Watu Aca) Misala P aalah ruag eluag T : { } T isebut watu aca ari roses { t : t! } ia eaia { T t} itetua oleh eubah aca t Artia ega megetahui t aaah T t atau tia Jia P{ T } maa watu aca T isebut sebagai stoig time [Ross 996] Defiisi 4 (Ratai Maro ega Watu Disret) Misala P aalah ruag eluag a aalah ruag state Proses stoasti : t! ega ruag state isebut t ratai Maro ega watu isret ia t berlau : P( i i i ) t t t t t P( i) t utu semua emugia ilai ari i i it it ; [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 4 (Matris Trasisi) Misala t : t! aalah ratai Maro a aalah ruag state ag beruura N Matris trasisi t i beruura N" N aalah matris ari eluag trasisi P i i t t utu i 2 N [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 42 (Ratai Maro ag Homoge) : t! isebut Ratai Maro homoge ia P t t i P i i t utu semua t! a i [Grimmett a tirzaer 992] Defiisi 43 (Gera Brow) uatu roses stoasti t : t T isebut roses gera Brow imesi ia utu t berlau : (i) (ii) utu t t2 t eubah aca i 2 aalah salig ti t i bebas (iii) utu s t berlau : ~ N( t s) t s [Karatzas a hree 987] Defiisi 44 (Kotiu Absolut) Jia a aalah uura eluag aa Uura eluag iataa otiu absolut e uura eluag ia A maa A utu setia A Diotasia [Roe 963] Teorema 45 (Rao-Niom) Jia P a P meruaa ua uura eluag aa sehigga utu setia B PB meebaba PB aibata aa eubah aca ta-egatif# sehigga PC $ # P utu semua C C P Notasia : # P [Buti lihat Wog a Hae 985] Catata : Utu P isebut Keraata P Rao-Niom ari P terhaa P P Utu P Keraata Rao-Niom terhaa P isebut ari P Defiisi 46 (Nilai Haraa Bersarat) Misala P aalah ruag eluag a aalah submea- ari Jia aalah eubah aca ta egatif a 4

15 teritegrala maa E % ' ( iefiisia sebagai eubah aca ag teruur- a bersifat tuggal ecuali aa eaia bereluag ol serta memeuhi : P E% ' ( P A $ $ A A [Elliott 995] Teorema 47 (Teorema Bersarat Baes) Misala P aalah ruag eluag a aalah submea ari Misala P aalah uura eluag lai ag otiu absolut terhaa P serta berlau atura turua Rao-Niom : P P # Jia ) aalah sebarag eubah aca ag bisa iitegrala ari teruur- maa E% E ' )# % ( ' ) ( E% # ' ( [Buti lihat Elliott 995] 25 Barisa Bilaga Real Keotiua Koes a Cocae Defiisi 5 (Barisa) uatu barisa i i ari bilaga real aalah suatu fugsi ari (himua bilaga bulat ositif) e himua bilaga real) [Golberg 976] Defiisi 52 (Batas Atas a Batas Bawah) Misala (i) uatu u isebut batas atas ari ia s u s (ii) uatu w isebut batas bawah ari ia w s s Himua terbatas i atas ia memilii batas atas a terbatas i bawah ia memilii batas bawah Jia himua memilii batas atas a batas bawah maa himua tersebut isebut terbatas [Bartle a herbert 982] Defiisi 53 (uremum a Ifimum) (i) uatu bilaga u isebut suremum (batas atas terecil) ari ia memeuhi ua oisi beriut : s u s 2 ia s s maa u (ii) uatu bilaga w isebut ifimum (batas bawah terbesar ) ari ia memeuhi ua oisi beriut : w s s 2 ia s s maa w [Bartle a herbert 982] Defiisi 54 (Kotiu Kaa) uatu fugsi f isebut otiu aa aa bilaga c ia a haa ia lim f ( ) f ( c) c [Purcell a Varberg 999] Defiisi 55 (Himua Koes) uatu himua i isebut himua oes ia utu setia a i segme garis ag meghubuga a uga terleta i [Peressii 988] Defiisi 56 (Cocae) uatu fugsi f ( ) f ( 2 ) iefiisia aa himua oes isebut cocae i ia f (( ) )! ( ) f ( ) f ( ) a () Jia () a sehigga f (( ) ) ( ) f ( ) f ( ) maa f aalah strictl cocae [saeter a Hammo 995] Defiisi 57 (Fugsi Nai a Fugsi Turu) (i) Jia f ( ) f ( 2 ) etia 2 maa f isebut fugsi ai (ii) Jia f ( ) f ( 2 ) etia 2 maa f isebut fugsi turu [saeter a Hammo 995] Defiisi 58 (Fugsi Iiator) Fugsi iiator ari himua A iotasia ega I A iefiisia sebagai fugsi : + ; A I A + + ; - A [Casella a Berger996] 5

16 Defiisi 59 (Ruag L ) Misala aalah ruag eluag L L utu aalah elas ari fugsi real imaa f ag teruur f aalah teritegrala Notasia utu f alam L : f % f / ' $ ( [Billigsle995] Defiisi 5 (Ruag Metri Disret) Misala : " Defiisia + ( ) + + ag memeuhi : ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) 4 ( ) ( z) ( z ) z isebut ara (metri) isret utu isebut ruag metri isret iotasia Defiisi 5 ( M ) [Golberg 976] M aalah eluarga ari fugsi teruur M M berilai real i aalah subeluarga fugsi ari ega suremum orm : g su g g M 26 Vetor M [Rolsi 2] Defiisi 6 (Ruag Vetor) V isebut sebuah ruag etor ia utu setia etor u w V a sebarag salar a l ieuhi asioma beriut : Jia u V maa u V 2 u u 3 u ( w) ( u ) w 4 Aa V sehigga u u u u V 5 Utu u V aa u V ag iamaa egatif u sehigga u ( u) ( u) u 6 Jia aalah sebarag salar a u V maa u V 7 ( u ) u 8 ( l) u u lu 9 ( lu) ( l) u u u [H Ato 997] Defiisi 62 (Peralia Dalam) Jia uu u2 u a 2 aalah sebarag etor aa maa hasil ali alam eucli u iefiisia ega u u u22 u [H Ato997] Defiisi 63 (Ruag Hasil Kali Dalam) ebuah hasil ali alam aa ruag etor real V aalah fugsi ag megasosiasia bilaga real u ega masig-masig asaga etor u a aa V seemiia rua sehigga asioma-asioma beriut ieuhi utu semua u w V a salar : u u 2 u w u w w 3 u u 4! ; a ia a haa ia ebuah ruag etor real ega sebuah hasil ali alam iamaa ruag hasil ali alam real [H Ato997] 27 (EM-Algorithm/Algoritma ag Memasimuma Nilai Haraa) Misala P : V aalah eluarga ari uura eluag aa ruag teruur ( ) ag otiu absolut terhaa uura eluag P Misala ula Fugsi lielihoo utu meghitug eugaa ari arameter berasara iformasi ag aa aa aalah 6

17 % P L E P / ' ( a euga masimum lielihoo (MLE) iefiisia sebagai : arg ma L V ecara umum eghituga secara lagsug ega megguaa MLE cuu sulit Utu megatasia iguaa EM- Algorithm EM-Algorithm aalah metoe arosimasi iteratif ag iguaa utu meghitug secara lagsug eugaa ari arameter Aau lagah-lagaha aalah sebagai beriut ) Meetaa a memilih 2) (Lagah E) Meetaa meghitug Q imaa a ˆ % P Q E log / ' P ( 3) (Lagah M) Mecari arg ma Q V 4) Meggati ega + a megulagi roses tersebut ari lagah 2 samai riteria eghetia ieuhi EM-Algorithm meghasila barisa :! ari arameter ag membuat ilai ari fugsi lielihoo aalah ta turu [Elliott 995] III KONTRUKI DIAGRAM PF Dalam otes Blac-choles teraat 2 eis aset alam asar moal aitu aset t t! a aset bebas resio ( ) : beresio ( t) : t! Masalah ari otimisasi ortofolio (taa osumsi) ialah utu mecari strategi eragaga ag memasimuma retur ecara ata alam asar uia saham (aset beresio) ieragaga alam watu aca isret Dalam hal ii ierlua metoe samlig watu Disretisasi ag teat haa meliuti watu etig aitu watu ag aat meghasila ortofolio tia setimbag aibat erubaha harga saham Dalam eataaa samlig ari harga saham iguaa oleh aalis teial alam Poit a Figure Chart (iagram PF) Diagram PF haa meamila erubaha harga ag sigifia Diagram tersebut meamila eawara a ermitaa ag measari suatu harga Aau ase teretig ari iagram tersebut aalah olaola ag itamila oleh olom a o Kolom meggambara ermitaa melebihi aawara sehigga harga meai ai seaga olom o meggambara eawara melebihi ermitaa sehigga harga meai turu etia olom aat berisi atau o tetai tia erah berisi euaa Perubaha olom meaaa erubaha arah ergeraa harga Ketia olom tamil ii meuua bahwa harga seag bergera ai a etia olom o tamil ii meuua bahwa harga seag bergera turu ecara umum iagram PF ari harga saham aat iostrusi sebagai beriut Meetua 2 2 Memulai egamata aa watu 3 Meulisa salah satu simbol atau o aa watu etia harga saham melewati iteral % / ( ) 2 ( ) 2 ' Jia harga ( saham beraa aa ( ) 2 maa aa iagram tersebut itulisa simbol a ia harga saham beraa aa ( ) 2 maa aa iagram tersebut itulisa simbol o 4 Megulagi ega roseur ag sama terhaa iteral beriuta % / ( ) 2 ( ) 2 ' ( Cara eraa berlagsug secara reursif sehigga ieroleh watu { : } etia watu { : } memilii salah satu simbol atau o imbol tersebut iatur alam olom suatu iagram PF ebagai ilustrasi iberia ata historis ari harga saham UNVR (Uileer Ioesia Tb) sebagai beriut 7

18 Data Harga aham UNVR t 29/7/25 43 /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/ /8/25 44 umber ata : Komas (29 Juli 26 Agustus 25) Aau iagram PF-a aat iostrusi sebagai beriut Misala 2 2 Pegamata awal iambil ari t ari ata harga saham UNVR ega 43 3 Utu iteral : % / ( ) 2 ( ) ' ( Berasara iagram (a) aa gambar harga saham bergera ai ari egamata awal a melewati iteral Harga saham tersebut beraa aa watu etia hargaa beraa aa leel 44 a aa olom ertama iagram PF itulisa simbol 4 Utu iteral beriuta : % / ( ) 2 ( ) ' ( Berasara iagram (a) aa gambar harga saham masih bergera ai ari watu a melewati iteral Harga saham tersebut beraa aa watu 2 etia hargaa beraa aa leel 45 a masih aa olom ertama iagram PF itulisa simbol Hal ii iareaa oleh eaia harga saham eiale ega tiggia simbol aa olom iagram PF a eurua harga saham eiale ega tiggia simbol o aa olom iagram PF 5 Megulagi roses tersebut utu iteral beriuta : % / ( ) 2 ( ) 2 ' ( ega 22 Ahira ieroleh watu { : 23} ag meruaa stoig time ari harga saham ega Diagram harga saham UNVR (alam watu t a ) a iagram PF-a iberia aa Gambar 8

19 Diagram Harga aham UNVR Diagram PF Harga aham UNVR O 44 saham 44 O O O O O (a) (c) Diagram Harga aham UNVR saham (b) Gambar Perbaiga Diagram Harga aham UNVR (alam watu t (a) a (b)) ega Diagram PF-a (c) 9

20 Pergeraa harga saham ag ecil a tia sigifia aitu harga saham ag beraa alam iteral ( ) 2 ( ) 2 ega aat ihilaga alam iagram PF a haa ciri-ciri teretiglah aitu harga saham ag melewati iteral % / ( ) 2 ( ) 2 ' ( ega ag beraa alam iagram tersebut Beberaa aalis teial bereaat bahwa metoe tersebut seerti sebuah filter ag haa meamila iformasi teretig ari harga saham Portofolio ag haa berasara iformasi ag termuat alam iagram PF isebut ortofolio PF eorag iestor ag megiuti ortofolio PF aa memerual-belia sahama haa aa watu { : } etia watu haa berasara egamata ( ) ( ) Otimisasi ortofolio PF meruaa masalah emiliha ortofolio isret Catata bahwa isretisasi ari erubaha harga saham iberia oleh ua ilai aitu atau o Hal ii memuai beberaa eutuga ari suut aag matematia etia harga samle igambara alam Moel Co-Ross-Rubistei sehigga ierlua metoe martigale ari otimisasi ortofolio Defiisi : Moel Co-Ross-Rubistei (CRR) aalah betu husus ari moel bier multierioi utu setia iteral watu ari harga saham ag bergera ari ilai searag e salah satu u atau ega u a aalah ostata teta r2t ega e u Catata : Betu seerti ii berua moel biomial Peluag ari harga saham aa watu : P u ega r T e 2 u u Utu meetua ortofolio PF ag otimal ierlua eugaa sebara eluag terhaa roses harga samle Gagasa utamaa ialah utu meelasa harga samle ega Moel Hie Maro (HMM) Moel tersebut meeiaa ua alat ag sagat etig aitu algoritma ag memasimuma ilai haraa (EM-Algorithm) a metoe eluag acua (Referece Probabilit Metho) EM-Algorithm sesuai ega Moel Hie Maro ag berasara ata historis seaga metoe eluag acua ag iombiasia ega eeata martigale terhaa emiliha ortofolio utu meaata ortofolio PF ag otimal IV PORTOFOLIO PF Misala { ( t) : t! } aalah harga aset bebas resio a { ( t) : t! } aalah harga aset beresio (saham) ag memuai iamia : ( t) ( t) r( t) t () ; ( t) ( t) b( t) t( t) W ( t) () ( ) ega { r( t) : t! } aalah tigat buga { b( t) : t! } aalah rataa tigat retur a { ( t) : t! } aalah olatilitas (staar eiasi ari retur harga saham) Ketigaa aalah roses stoasti ag teruur a aate alam ruag eluag P{ : t! } ega filtrasi t { t: t! } aalah otiu aa a { t W ( t) : t! } aalah gera Brow Misala r() b () () a () aalah terbatas r () aalah etermiisti a () hamir asti t! Misala aalah filtrasi lega t ag ihasila oleh { ( t) : t! } t meuua iformasi ari egamata atas harga saham samai watu t Asumsia bahwa aalah satu-satua t 2

21 iformasi ag terseia utu iestor aa watu t Beriut ii aalah beberaa efiisi ag ibutuha alam membahas ortofolio PF Defiisi 2 : uatu ortofolio 3 () aalah asaga ( 3 () 3 ()) ari { t: t! } ag rosesa teruur a aate i ega 2 t $ 3 s s hamir asti ( i ) t! Dalam hal ii 3 ( t) meuua umlah uit aset e i ( i ) ag imilii aa watu t Defiisi 3 : Proses eaaa iestor ag bersesuaia ega 3 () aa watu t aalah 3 i i ( t) 3 ( t) ( t); t! i Defiisi 4 : Portofolio 3 () isebut selffiace aa watu t ia 3 3 ( t) () 3 ( u) ( u); t! t $ i ega asumsi bahwa iestor tia melibata osumsi Catata : elf-fiace meruaa strategi eragaga imaa embelia terhaa seumlah aset haa iaai ari hasil euala aset alam ortofolio eorag iestor alam melaua iestasia memetiga tigat euasa Tigat euasa iestor bergatug aa tigat retur a resio Dalam ilmu eoomi tigat euasa iuur ega fugsi utilitas Defiisi 5 : uatu fugsi U C (( )) isebut fugsi utilitas ia fugsi tersebut meruaa strictl cocae a fugsi ai a U meruaa lim U ( z) z i i fugsi turu ega a lim U ( z) z i Defiisia U ma U ega U aalah bagia egatif ari U Fugsi utilitas tersebut aat berua fugsi obetif ega eala ag aa Fugsi utilitas aa ara ilmiah ii berua fugsi obetif iestor ag memasimuma ilai haraa utilitas ari eaaa selama horiso watu (erioe erecaaa iestasi) Fugsi obetifa aat itulis sebagai beriut : su E% 3 U T / 3 ' ( Aau ealaa aalah eaaa ag imilii oleh iestor selama horiso watu tia egatif Beriut ii aalah masalah otimisasi ortofolio ag beraita ega horiso watu otiu Masalah : Diberia fugsi utilitas U eowmet awal ( ) a horiso watu berhigga T utu meetua 3 () ag memberia suremum 3 T 3 E U aa himua 3 () : ortofolio self-fiace 3 () E% 3 U T '/ ( Utu memeroleh 3 () saham harus ieragaga secara otiu Hal ii tia mugi terai secara ata alam asar uia elai itu arosimasi ari eragaga tersebut melibata biaa trasasi ag tiggi Utu alasa itulah ierlua suatu samlig watu alam iagram PF Utu membahas lebih laut megeai samlig watu efiisia terlebih ahulu roses harga iiso ag meruaa harga saat ii (reset alue) Defiisi 6 : Proses harga iiso iefiisia sebagai : ( ) ( ) : t ( t)! t t Catata : aalah fator iso t ( t) Diberia u Defiisia secara reursif barisa hamir asti 2

22 berhigga { : } stoig { t: t! } : : ( ) : if t! ( ) : ( t)( )- time- % ( ( ))( ) u ( ( ))( ) /' ( utu roses harga iiso ( t) Defiisia roses watu aca isret oleh samlig : : : : ( ) () Dietahui bahwa : memeuhi ersamaa reursif : (2) ega { :! } aalah roses stoasti ag megambil ilai aa { u } ega P( )! Defiisi 7 : uatu ortofolio self-fiace 3 () isebut ortofolio PF ia t! berlau : i i i [ ] ( ] 3 ( t) : 3 ( t) 3 ( t) ( i ) { 3 : } a aate- ega! ( ( ) : ) : ( : ) :! 3 { 3 : } aalah Catata : Jia 3 () aalah self-fiace maa eaaa 3 () memeuhi : 3 3 i i i 3 i ( ) ( ) ( ( ) ( )) Dalam hal ii eaaa tia aa imasimuma aa watu T tetai aa watu aca Hal ii iareaa oleh eggatia masalah otimisasi ari watu otiu e watu isret alam raga memereala samlig watu aca Beriut ii aalah masalah otimisasi ortofolio ag beraita ega watu aca Masalah : Diberia fugsi utilitas U eowmet awal ( ) a horiso watu utu meetua ortofolio PF 3 () ag memberia suremum 3 E% U /' ( aa himua A( ) = 3 () : ortofolio PF 3 () 3 ( ) Masalah ii aa iselesaia ega tei otimisasi ortofolio watu isret Utu meelesaia masalah ii efiisia roses : : 4 utu setia { : } aate- a ( ) Misala ula J ( ) meruaa ortofolio PF seerti alam ersamaa (3) ega 3 : 3 : 5 Misala ietahui roses : a( ) : : aate- ega utu ( ) uatu erhituga lagsug (lihat lamira A) meuua bahwa ia suremum E% U / ' ( aa a( ) iberia oleh maa suremum 3 3 E% U T / ' aa himua ( ) ( A iberia oleh J Masalah meruaa masalah otimisasi ortofolio watu isret 22

23 V MODEL WAKTU DIKRET Beriut ii aa ibahas megeai moel watu isret Moel tersebut memelaari hubuga atara masalah ortofolio watu isret ega ose martigale Hal ii meliuti Moel Co- Ross-Rubistei ag meruaa ersi watu isret ari Moel Blac-choles Hal-hal ag ierlua alam otimisasi ortofolio PF aalah Nilai ( ) u a ilai { u } Proses { : } aa ( P) ega P( ) 2 6 Nilai (seerti alam ersamaa ()) aalah harga ari aset beresio (saham) aa watu a (seerti alam ersamaa ()) aalah harga ari aset bebas resio aa watu Berasara ersamaa (2) roses { : } meggambara ai-turua harga iiso ari aset beresio Proses tersebut meruaa egamata berasara omoe/ola ari iagram PF Harga samle iiso : ari aset beresio ieroleh ari { : } secara reursif oleh ersamaa ega ilai awal oleh ( ) Filtrasi historis iberia : ( : ) { } Misala ( ) aalah eowmet awal a U aalah fugsi utilitas Defiisia a seerti alam ersamaa (4) utu setia roses { : } aate - Beriut ii aalah masalah otimisasi ortofolio ag beraita ega moel watu isret Masalah 2 : Diberia fugsi utilitas U eowmet awal ( ) a horiso watu Tetualah roses a( ) aate - ag memberia suremum % E U aa himua /' ( a( ) : aate - ega Hubuga atara a( ) ega U alam Masalah 2 ielasa oleh metoe martigale utu otimisasi ortofolio alam Proosisi beriut Proosisi : ) Aa uura eluag tuggal Q aa eiale ega P aa : aalah sehigga martigale- Q Defiisia : Q ) : P 2) Jia B aalah teruur- a E) B maa aa a( ) ega B 3) Pemetaa : ( ) ( ) ega z E% ) U ' z) /' memuai ( iers 4) a U aa a( ) sehigga U ' ( ) ) % su % / '/ ( ' ( a E U E U a( ) Buti : lihat Elliot Hiz 24 Proosisi meelasa esistesi ari Kuatitas ag utama alam roosisi Q tersebut aalah ) Jia P uatitas tersebut suah itetua maa iami aa etia alur : membetu suatu oho bier Mesiu emiia utu memeroleh ilai P ia ietahui meruaa masalah ag 23

24 sulit olusia meliuti uraia tererici : ag megeai iombiasia ega eugaa arameter berasara ata historis Misala eaaa asar global ag tia iamati secara lagsug aat iietifiasi oleh eleme ari himua setia watu Himua tersebut meggambara semua state asar ag etig utu erilau aset beresio Eolusi ari state asar aa meai roses : a ilaia beraa i etia eaaa global berubah secara ermae Misala aalah berhigga a : aalah ratai Maro tate global memegaruhi ergeraa harga saham Pergeraa harga bergatug aa ergeraa sebeluma ag haa melalui state global aa watu Dalam hal ii ierlua arosimasi beriut Aa roses : sehigga P : : aalah Moel Hie Maro (HMM) Keguaa ari Teori Hie Maro utu otimisasi ortofolio iuraia sebagai beriut etelah samlig watu beraa alam iagram PF setia alur ( t )( ) : t! ari aset beresio ag iiso memberia barisa ( ) 2( ) ari egamata alam u Deret aca :! secara arosimasi iuraia oleh HMM sehigga ierlua umula egamata sebeluma ( ) : a eeraa EM-Algorithm utu meuga arameter-arameter alam HMM VI MODEL HIDDEN MARKOV (HMM) Paa umuma HMM iguaa utu emoela berbagai feomea stoasti Gagasa utamaa ialah utu meelasa eret watu { : } ega asumsi bahwa bersifat aca a bergatug aa oerasi reim Oerasi tersebut tia iamati secara lagsug a meruaa ratai Maro Paa awal erumusa HMM egamata iasumsia bersifat isret Hal tersebut meruaa realisasi ari : ag beraa alam himua berhigga Defiisi 8 : Misala P aalah ruag eluag Dietahui bahwa roses sistem : beraa aa ruag state berhigga ag memuai N eleme Taa ehilaga eumuma aat iietifiasi oleh himua N e e N ari etor uit ei i imaa haa eleme e-i ag berilai a : sisaa Proses outut megambil ilai alam ruag outut Pasaga roses stoasti P : : isebut Moel Hie Maro (HMM) ia ) : meruaa Ratai Maro ega sebara awal a matris trasisi 2) ebara ari etia aalah 4 3) Uura Y : Y aalah bebas stoasti ieti Catata bahwa HMM secara tuggal igambara oleh triel Y ag teriri atas sebara eluag P aa matris trasisi aa a matris trasisi Y Y C ari e seerti alam sarat (3) HMM ebara bersama ari itetua oleh P Y C P C C C 7 Aau eurua ersamaa 7 iberia aa lamira B 24

25 : Misala P : aalah HMM Defiisia filtrasi a sebagai beriut : : : : : : : : : HMM tereal alam aliasi Hal ii iareaa oleh HMM meeiaa solusi reursif ag efisie ari masalah beriut Diberia roses taa iamati secara lagsug h : aate- utu meetua eugaa ^ h : E% h ' ( : berasara egamata ari roses outut : Masalah ii aat iselesaia ega Metoe Peluag Acua ag aa iuraia beriut Defiisi 9 : Uura eluag µ i isebut Uura Peluag Acua ia hal tersebut eiale ega Y Gagasa ari metoe eluag acua aalah utu memereala uura eluag baru P ag eiale ega P ega eraata # sehigga P # : P Defiisia # utu sebagai beriut : # : Y # : 8 ebara ari terhaa P aalah 4 ega 5 q q u u 5 aalah fugsi iiator 5 q u Aau eelasa megeai hal ii iberia aa lamira C Defiisia euga taterormala h ari h setelah ietahui : h: E %# h P / ' ( 9 utu setia eubah aca h L P Dega megguaa Teorema Bersarat Baes maa ^ E % h P h : E h ' #/ % ( ' ( E % P ' #/ ( h = utu suatu roses h : aate- ecara umum euga taterormala memeuhi hubuga reursif ebagai cotoh euga taterormala : ari state Hie Maro iberia oleh Y E ega N e e N Istilah eormala ieroleh ega meumlaha semua omoe etia aitu : = 2 N meuua etor ari Utu h aa ersamaa (9) maa utu : : E % P / ' # ( % Y E P /' ( % Y Y E P /' ( 25

26 % Y # E / P / ' ( % Y u Y # q q q q / ' ( # % Y u Y / ' ( # # P P Catata : Utu : P P Berasara ersamaa (3) 3 aalah martigale- aa ruag eluag P meruaa turua Rao-Niom ari P terhaa P ia ietahui Ase etig laia ari HMM aalah sebara eluag ari roses outut aat iuga ulag oleh EM-Algorithm Misala eluarga arameter P : : : V ari HMM memeuhi asumsi : semua uura Y : V M aalah eiale ega 4 Misala erubaha e uura eluag acua iberia oleh P # P ega # : V Y Dalam hal ii : Y C N C ebara ari aalah terhaa P 4 emua uura P : V aalah bebas stoasti ieti Uura tersebut iotasia ega Q Berasara eelasa sebeluma aalah martigale- aa ruag eluag P maa % P : E P / P ' ( P P P V Q Dalam hal ii Niom ari 5 aalah turua Rao- P terhaa Q ia ietahui Kuatitas muah ihitug secara reursif ari V seerti ielasa alam ersamaa () EM-Algorithm meghasila barisa :! ari arameter sehigga :! meigat Algoritma tersebut aa berheti setelah lagah e N a ieroleh N V sehigga N Artia eelasa ari egamata HMM ag isesuaia P N : : lebih bai ari moel awal P : : VII OPTIMIAI PORTOFOLIO PF Misala iberia uatitas seerti alam ersamaa (6) Misala P : : aalah HMM Proosisi beriut meuua bahwa ortofolio PF ag otimal ari fugsi utilitas logaritmi aa ieroleh secara eslisit ega 26

27 megguaa moel watu isret a moel Hie Maro Proosisi 2 : Misala ) Jia U ( z) lz z maa Y u Y u 2) Jia U ( z) z z ega maa P P E m ega roses m : aate- itetua oleh E m Buti : iberia aa lamira D a iturua ari Proosisi Catata : Peugaa terhaa arameter oleh EM- Algorithm meigata uatitas aalah eraata Rao-Niom ari sebara eluag terhaa sebara acua Berasara Proosisi 2 emiliha terhaa uura martigale Q sebagai sebara acua megaibata eraata aa eaaa suatu ortofolio PF ag otimal ari fugsi utilitas logaritmi harus ialia ega Hal ii meruaa eesuaia HMM terhaa egamata ari iagram PF ag meigata iera ortofolio PF logaritmi ia hal tersebut iealuasi aa egamata sebeluma VIII IMPULAN DAN ARAN 8 imula Diagram PF (Poit a Figure Chart) meruaa metoe aalisis teial alam megaalisis ilai saham suatu erusahaa utu memeroleh retur Diagram PF haa meamila erubaha harga ag sigifia Portofolio PF aalah ortofolio ag haa berasara iformasi ag termuat alam iagram PF Moel watu isret memelaari hubuga atara masalah ortofolio watu isret ega ose martigale Moel tersebut meelasa esistesi ari ortofolio PF ag otimal Moel Hie Maro iguaa utu meghitug tigat olatilitas ari harga saham saat ii (harga iiso) Moel tersebut meeiaa 2 alat ag sagat etig aitu EM-Algorithm iguaa utu meuga arameter-arameter alam HMM berasara ata historis Metoe eluag acua ag iombiasia ega ose martigale alam moel watu isret iguaa utu memeroleh ortofolio PF ag otimal Portofolio PF ag otimal ari fugsi utilitas logaritmi ieroleh secara eslisit ega megguaa moel watu isret a moel Hie Maro 82 ara Tema alam ara ilmiah ii aat iterusa bagi ag bermiat salah satua aalah erhituga ortofolio PF ag otimal secara umeri a egguaa aalisis fuametal alam megaalisis ilai saham utu memeroleh ortofolio otimal 27

28 I DAFTAR PUTAKA Ato H 997 Alabar Liear Elemeter E e-5 Teremaha Patur ilaba a I Noma usila Peerbit Erlagga Jaarta Bartle R G a D R herbert 982 Itrouctio to Real Aalsis Joh Wile os New Yor Billigsle P 995 Probabilit Measure E e-3 Joh Wile os New Yor Casella G a R L Berger 99 tatistical Iferece E e- WasworthBroos/cole Pasific Groe Califoria Elliot J R 995 Hie Maro Moels Cotiuous riger-verlag New Yor Elliot R a J Hiz 24 Portfolio otimizatio hie Maro moels a techical aalsis of PF-Charts htt://wwwiformathethzch/staff/hiz/ PFf [6 Juli 25] Golberg R R 976 Methos of Real Aalsis E e-2 Joh Wile os New Yor Grimmett G R a D R tirzaer 992 Probabilit a Raom Processes E e-2 Clareo Press Ofor Hogg R V a A T Craig 995 Itrouctio to Mathematics tatistics E e-5 Pretice Hall Eglewoo Cliffs New Jerse Karatzas I a E hree 987 Browia Motio a tochastic Calculus riger-verlag New Yor Loee M 962 Probabilit Theor E e- 3 D Va Nostra Coma Ic Priceto New Jerse Peressii A L 988 The Mathematics of Noliear Programmig riger-verlag New Yor Purcell E J a D Verberg 999 Kalulus a Geometri Aaliti Jili 2 E e-5 Teremaha I Noma usila Baa Kartasasmita a Rawuh Peerbit Erlagga Jaarta Rolsi T 2 tochastic Processes for Isurace a Fiace Joh Wile os New Yor Ross M 996 tochastic Processes E e-2 Joh Wile os New Yor Roe H L 968 Real Aalsis E e- 2 Macmilla Publishig co Ic New Yor alim L 23 Aalisa Teial alam Peragaga aham PT Ele Meia Komutio Kelomo Grameia Jaarta ulistastuti D R 22 aham a Obligasi: Rigasa Teori a oal Jawab E e- Uiersitas Atma Jaa Yogaarta saeter K a P J Hammo 995 Mathematics for Ecoomic Aalsis Pretice Hall Toroto Williams D 99 Probabilit with Martigale Cambrige Uiersit Press Cambrige Egla Wog E a B Hae 985 tochastic Processes i Egieerig stems riger-verlag New Yor 28

29 LAMPIRAN 29

30 Lamira A Perhituga alam Masalah 3 Aa ibutia bahwa H su E % U HJ su E % U T / 6 a ' ( / 3 A ' ( su E % 3 U T su E % 3 U / 3A ' ( / 3 A ' ( () Dietahui bahwa H su E % U / a ' ( % su a /' ( E U % su E U a / ' ( Dietahui uga bahwa Utu : Utu 2 : = 3 = % / 3 3 ' ( 3 3 ecara umum 3 3 % / ' ( Dari ersamaa () ieroleh : % su E% 3 U su E U 3 % / 3 3 3A ' ( / 3A 2 ' ( / ' ( Dega mesubstitusi 3 a 3 : ersamaa (2) iberia oleh J Dega ata lai 3 H J su E% U T / 3A ' ( 3

31 Lamira B Peurua Persamaa 7 P C C P C P C C 2 2 P C C P C P C P P C P C C 2 P P C P C C 2 P C P C C P P 2 P C P C P P P P P C C P C P C 2 P C P P C P 2 P C P P P C P P Y C 3

32 Lamira C Peelasa Megeai ebara ari terhaa P Paa ruag eluag ( P) teraat harga aset bebas resio { ( t) : t! } harga aset beresio { ( t) : t! } a roses { : } ag meggambara ai-turua harga iiso : ari aset beresio ag megambil ilai aa { u } ega u a P( ) 2 Paa ruag eluag ( P) beresio ag ieroleh ari ersamaa ari aset teraat roses harga iiso : ega ilai awal + u + ++ ( ) ega ilai { u } berasara omoe/ola aa iagram PF Dega ata lai roses harga iiso : memeuhi Moel Co-Ross-Rubistei ag iilustrasia sebagai beriut u ega eluag q atau bergera Harga iiso awal aa bergera ai e leel turu e leel ega eluag -q selama watu elauta harga iiso u aa bergera ai e leel uu u ega eluag q atau bergera turu e leel u ega eluag -q selama watu Begitu uga utu harga iiso ia aa bergera ai e leel u u ega eluag q atau bergera turu e leel ega eluag -q selama watu a seterusa sehigga membetu oho bier uu q aitu q u -q u -q q -q te te 2 2 Gambar 2 Poho bier ari : ega 2 ste Jai sebara ari terhaa P aalah 4i qu q ega u aalah fugsi iiator q a u 32

33 Lamira D Buti Proosisi 2 ) Jia U ( z) lz maa U '( z) z z U ' ( z) z Dari roosisi (3) ieroleh : ( z) E % U ' ( z ) /) ) ' ( = E % z /) ) ' ( = E% z /)) ' ( = E% z /' ( = z z ( z) 7 ( z) z Dari roosisi (4) ieroleh : U ' ( ) ) U ' ) ) ) P Q ega Q aalah uura eluag ari Proosisi () Dega megguaa HMM iereala uura eluag baru P oleh P# P ega 5 # : u q 5 q 5 aalah fugsi iiator u Y 5 q u Dega megguaa ersamaa (5) maa P Q Aibata : 33

34 (ari ersamaa (4)) = ( 2 ) : aalah martigale- aa ruag eluag Q : aat ireresetasia alam betu : Di lai iha sehigga m m m ari ersamaa 2 m m Berasara ersamaa (4) : (ari ersamaa (2)) maa m m atau Utu m m teruur- a itetua oleh (ari ersamaa (2)) Y = (ari ersamaa ()) Y = Y Y = Y 34

35 Y = Yu Y q q Yu Y u u Yu Y u u u Yu Y u u Y u Y u Yu Y Yu Y u u u u u Yu Yu Y Y u u u u Y u Yu Y Y u u u Y u Y Y u Y = u u u Y u Y Y u Y u u Y u Y u Y u Y u Y u Y = u sehigga m Y u Y u 35

36 Jai m Yu Y u Terbuti 2) Jia U ( z) z maa U '( z) z U ' ( z) z Dari roosisi (3) ieroleh : ( z) E % U ' ( z ) /) ) ' ( % = E/ ) z) ' ( % = E )) z /' ( % = E ) z /' ( % = E ) z '/ ( ( z) z % E ) /' ( ( z) z z ( z) 7 % % E ) E ) / / ' ( ' ( z Dari roosisi (4) ieroleh : U ' ( ) ) ( ) ) ) % E ) / ' ( ) % E ) /' ( 36

37 Karea P ) Q (ari ersamaa (5)) maa % E / ' ( % E /' ( Aibata : (ari ersamaa (4)) % E / = ' ( % E /' ( Di lai iha sehigga aalah martigale- aa ruag eluag Q : : aat ireresetasia alam betu : m m sehigga m % P % E P /' ( E/ m / /' ( m P m P m 37

38 Aibata : % E /' ( m m m m (ari ersamaa (2)) ega m : aate- Berasara ersamaa (4) : maa m Terbuti 38