EKSEKUSI OPTIMAL TRANSAKSI PORTOFOLIO DENGAN MODEL BIAYA LINEAR RIMA FEBRIAN

Transkripsi

1 EKSEKUSI OPTIMAL TRASAKSI PORTOFOLIO DEGA MODEL BIAYA LIEAR RIMA FEBRIA DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR BOGOR 009

2 ABSTRACT RIMA FEBRIA. Optimal Eecutio of Portfolio Trasactio with Liear Cost Model. Supervised by RETO BUDIARTI ad DOY CITRA LESMAA. I ivestmet, wealth is allocated by formig portfolio which cosists of ris free ad risy assets (stocs). There are some factors that ifluece portfolio trasactio, i.e. volatility ris ad trasactio costs. The aim of portfolio trasactio is to produce a future cash flow i terms of divided ad capital gai. The cash flow is obtaied by costructig a optimal portfolio subect to miimum ris of tradig strategies. Optimal portfolio ca be formed by miimizig cost fuctio, which is a combiatio of volatility ris ad trasactio costs arisig from permaet ad temporary maret impact. This optimizatio ca also geerally be doe by miimizig implemetatio of shortfall costs usig liear maret impact cost model. The costructio of efficiet strategies for optimal portfolio is obtaied by a costraied optimizatio problem that miimize the epected value of implemetatio shortfall for ay levels of maimum implemeted shortfall variace. The costraied optimizatio problem ca be solved usig Lagrage multiplier, so that the ucostraied optimizatio problem will miimize cost fuctio. Cost fuctio is assumed to be a quadrature, which is strictly cove for ay positive ris levels. Therefore, by solvig the optimizatio problem, oe ca obtai eplicit traectories of optimal strategies. By solvig iitial value problem of differece equatio, oe ca obtai the specific optimal solutio of a tradig traectory, ad for each ris aversio there is a uique correspodig tradig traectory that miimize cost fuctio. Key words: volatility ris, maret impact, implemetatio shortfall, tradig traectory, tradig strategy, cost fuctio.

3 ABSTRAK RIMA FEBRIA. EKSEKUSI OPTIMAL TRASAKSI PORTOFOLIO DEGA MODEL BIAYA LIEAR. Dibimbig oleh RETO BUDIARTI da DOY CITRA LESMAA. Dalam melaua ivestasi, eayaa dialoasia dega membetu portofolio yag terdiri atas aset bebas risio da aset berisio (saham). Fator-fator yag mempegaruhi trasasi portofolio diataraya risio volatilitas da biaya trasasi. Trasasi portofolio bertuua utu meghasila alira pedapata di masa depa bai divide maupu capital gai, da alira pedapata diperoleh dega meghasila portofolio optimal yaitu mecari strategi perdagaga yag memilii risio miimum. Portofolio optimal dapat dibetu dega cara memiimuma fugsi biaya yag terdiri atas ombiasi risio volatilitas da peigata biaya trasasi yag berasal dari dampa pasar permae da temporer atau secara umum memiimuma biaya implemetasi shortfall. Dega asumsi model biaya dampa pasar liear, ostrusi suatu strategi efisie portofolio optimal dapat dilaua dega meyelesaia masalah optimisasi beredala yaitu memiimuma ilai harapa implemetasi shortfall utu setiap tigat ragam implemetasi shortfall masimum. Masalah edala optimisasi tersebut dapat diselesaia dega megguaa pegali lagrage, sehigga masalah optimisasi meadi ta beredala yaitu memiimuma fugsi biaya. Fugsi biaya adalah fugsi uadratur, berupa strictly cove utu setiap tigat risio positif. Dari peyelesaia masalah optimisasi diperoleh ostrusi esplisit strategi optimal trasasi portofolio. Dega meyelesaia masalah ilai awal suatu persamaa beda, didapat solusi spesifi trayetori perdagaga da strategi perdagaga optimal da utu setiap tigat risio (ris aversio) yag diberia ada orespodesi trayetori perdagaga yag ui dega fugsi biaya adalah miimum.

4 EKSEKUSI OPTIMAL TRASAKSI PORTOFOLIO DEGA MODEL BIAYA LIEAR RIMA FEBRIA Sripsi sebagai salah satu syarat utu memperoleh gelar Saraa Sais pada Departeme Matematia DEPARTEME MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM ISTITUT PERTAIA BOGOR BOGOR 009

5 Judul Sripsi : Eseusi Optimal Trasasi Portofolio dega Model Biaya Liear ama : Rima Febria IM : G Disetuui Komisi Pembimbig Ir. Reto Budiarti, MS. Pembimbig I Doy Citra Lesmaa, S.Si., M.Fi.Math. Pembimbig II Dietahui Dr. drh. Hasim, DEA. Dea Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Taggal Lulus :

6 PRAKATA Segala pui bagi Allah SWT, subhaallah atas segala aruia da imat-ya yag agug sehigga peulis dapat meyelesaia tugas ahir yag berudul Eseusi Optimal Trasasi Portofolio dega Model Biaya Liear. Shalawat da salam semoga seatiasa tercurah epada uuga ita abi Muhammad SAW yag membawa ebeara bagi umat mausia da rahmat bagi seluruh alam. Keaga yag medalam teruir begitu idah di dalam mozai peralaa pembelaara selama peyusua tugas ahir ii, begitu baya piha yag telah memberia otribusi bai secara lagsug maupu tida lagsug sehigga tugas ahir ii dapat diselesaia. Utu itu, peulis igi megucapa terima asih yag tida terhigga epada:. Allah SWT, sugguh taga cita da esempuraa-mu begitu syahdu epada setiap hamba-mu.. Ibu Reto Budiarti, sebagai pembimbig I yag begitu sabar, teliti, da baya berbagi ilmu selama peyusua tugas ahir ii. Berawal dari tulisa yag tida elas susuaya, sehigga tulisa ii meadi bermaa. Bapa Doy Citra Lesmaa, sebagai pembimbig II yag tetap bersemagat di tegah meelag eberagata studyya direpota utu memberia bimbiga. Ibu Edar Hasafah ugrahai, sebagai pegui atas ebaia, sara da masua yag diberia. 3. Bapa da ema yag sagat au sayagi, terima asihu tiada terira utu semua yag telah dilaua, doa, restu, asih sayag, semagat, bai moral da materil. Semoga Allah SWT membalas dega surga-ya. Ami. Hua yag tetes-tetesya tida perah berheti memberia esegaraya dalam hidupu, esegara di tegah egersaga hati. Tetes-tetes yag atuhaya meyeua iwa yag haus aa cita, tetes-tetes yag memberia tawa da air mata, higga hidup ii begitu legap peuh wara. Teh lulus, Teh Yayu, A Fie, Bag Edi, atas doa, duuga moral da materil ya, serta seluruh eluarga besar u. 4. Seluruh dose Departeme Matematia IPB, yag telah memberia ilmu yag ta terilai semoga ilmu ii dapat diamala da memberia mafaat utu hidup atiya. Ami. 5. Bu Susi, Pa Yoo, Bu Ade, Mas Boo, Mas Dei, Mas Hery, da seluruh staf Tata Usaha Departeme Matematia utu semua iformasi, sara da masua yag telah diberia. 6. Mba Mirai terima asih utu asih da sayagmu, doa da motivasimu yag begitu tulus. Mb Mir yag meadi sahabat sealigus aa utuu. Semoga Allah SWT seatiasa meyayagimu. 7. Mb Titi, Tia, Siti, Pipit, Lela, Mba Lia, Yui, ofita, Dewi, Ety, yag telah berbagi baya hal selama ii, persahabata ii semoga diridhai-ya. 8. Lela, Dewi, da Mas Awi yag bersedia meadi pembahas pada saat semiar, terima asih utu watu da fiira yag telah diberia. 9. Keluarga besar Matematia 4 : Mirai, Pipit, Lela, Tia, Bude, Siti, Lia, ofi, Yui, Dewi, Eo, Mocco, Mas Waro, Awi, Sapto, Qu, Ardy, Dau, Dedi, Dia, Zil, Eyyi, Oby, Lisda, Ety, Yusep, yoma, Mega, Idha, ie, Bima, Ilyas, Vera, Ato, Gita, Octa, Himah, Hap-hap, Ocoy, ola, Ages, Rice, Vita, Luri, Ryu, Rita, Ridwa, Redi, Dawa, Jae, Vio, Heri, Ayu, Achy, Hesti, Fachri, Bayu, Septia, mas Ayeep, Erli, Boy, Yudi, Wiwi, Ka Muhtar, da Acuy terima asih telah memberia wara utu pelagi hidupu ii. 0. Kaa da Adi Kelas di Departeme Matematia, utu semua batua, motivasi, da iformasiya. Serta semua piha yag telah baya membatu dalam peyelesaia tugas ahir ii, area eterbatasa peulis hatura maaf tida dapat meyebuta satu per satu. Peulis meyadari masih ada euraga dalam peyusua tugas ahir ii. Oleh area itu, riti da sara dari berbagai piha sagat membatu dalam peyempuraa tugas ahir ii. Ahir ata, semoga arya ilmiah ii dapat memberia mafaat bagi ita semua. Bogor, September 009 Rima Febria

7 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahira di Bogor pada taggal 08 Februari 987 sebagai aa eempat dari empat bersaudara, aa dari pasaga Amir Hamzah da yai Rosyidah. Peulis meyelesaia pedidia Seolah Dasar pada tahu 999 di Madrasah Ibtidaiyah Mathla ul Awar (MIMA) Pilar Kec. Leuwisadeg Kab. Bogor, Madrasah Tsaawiyah egeri Model Babaasira Kec. Leuwisadeg Kab. Bogor pada tahu 00, Seolah Meegah Atas egeri Leuwiliag Kab. Bogor pada tahu 005, da diterima meadi mahasiswa Istitut Pertaia Bogor melalui alur Uia Sariga Masu IPB (USMI) pada tahu yag sama. Pada tahu 006 diterima sebagai mahasiswa Departeme Matematia Faultas Matematia da IPA Istitut Pertaia Bogor. Selama meadi mahasiswa, pada tahu pertama peulis tergabug dalam epegurusa Kerohaia Islam (Rohis) Kelas Tigat Persiapa Bersama sebagai bedahara, pada tahu edua tergabug dalam epegurusa Rohis Kelas Matematia agata 4 sebagai bedahara da Himpua Profesi Gugus Mahasiswa Matematia (GUMATIKA) sebagai aggota divisi erohaia Ligar Muslim Matematia (LIMIT) periode Pada tahu etiga, peulis tergabug dalam epegurusa Serambi Ruhiyah Mahasiwa FMIPA (SERUM-G) sebagai aggota divisi eputeria periode Selai megiuti orgaisasi, peulis uga perah meadi pegaar privat mahasiswa Tigat Persiapa Bersama utu mata uliah Pegatar Matematia da Kalulus. Pada tahu 009 peulis meadi pegaar SMP da SMA pada lembaga bimbiga belaar di Bogor sampai searag.

8 DAFTAR ISI Halama DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRA... i I PEDAHULUA..... Latar Belaag..... Tuua peulisa Metode Peulisa Sistematia Peulisa... II LADASA TEORI.... Seuritas da Portofolio.... Percobaa Aca....3 Ruag Cotoh....4 Peubah Aca....5 Fugsi Sebara Fugsi Massa Peluag ilai Harapa, Ragam, Peragam, da Koefisie Korelasi Peubah Aca Disret Kebebasa Cove da Strictly Cove Sig Fuctio Pegali Lagrage Persamaa Beda Trigoometri Hiperboli... 7 III PEMODELA Model Perdagaga Defiisi Strategi Perdagaga Diamia Harga Capture da Biaya Trayetori Perdagaga Efisie Frotier Eseusi Optimal... 9 IV PEMBAHASA Dampa Pasar Permae Dampa Pasar Temporer Kostrusi Esplisit dari Strategi Optimal... V ILUSTRASI Pemiliha Parameter Strutur Frotier... 7 VI SIMPULA... 7 DAFTAR PUSTAKA... 8 LAMPIRA... 9

9 DAFTAR TABEL Halama. Parameter da ilai yag dipilih utu simulasi ostrusi portofolio optimal Hasil simulasi ostrusi portofolio optimal dega megguaa parameter 6 tertetu utu Hasil simulasi ostrusi portofolio optimal dega megguaa parameter tertetu utu Hasil simulasi ostrusi portofolio optimal dega megguaa parameter 7 tertetu utu DAFTAR GAMBAR Halama. Ilustrasi Fugsi Cove Ilustrasi Fugsi Trigoometri Hiperboli Ilustrasi Dampa Pasar Trayetori A optimal utu Trayetori B optimal utu Trayetori C optimal utu Trayetori A, B, da C optimal Frotier Efisie... 7 DAFTAR LAMPIRA Halama. Peghituga ilai Harapa Implemetasi Shortfall Peghituga Ragam Implemetasi Shortfall Peghituga ilai Harapa Total Implemetasi Shortfall utu Fugsi Dampa Pasar Permae da Temporer Kostrusi Esplisit Strategi Optimal Kostrusi Esplisit Strategi Optimal Kostrusi Esplisit Strategi Optimal Kostrusi Esplisit Strategi Optimal utu Solusi Spesifi Trayetori Perdagaga Kostrusi Esplisit Strategi Optimal utu Solusi Spesifi Daftar Perdagaga... 7

10 I. PEDAHULUA. Latar Belaag Dalam melaua ivestasi, eayaa dialoasia dega membetu portofolio, yag terdiri atas aset bebas risio da aset berisio (saham). Ada beberapa fator yag mempegaruhi trasasi portofolio, di ataraya risio volatilitas da biaya trasasi. Risio volatilitas yaitu risio dalam ilai portofolio yag tida dapat dipredisi dalam volatilitas aset yag medasariya (Bodie et al 006). Adapu biaya trasasi ii terdiri atas biaya yag berasal dari dampa pasar permae da temporer. Dalam odisi ormal, risio ivestasi dapat dipredisi melalui iera perusahaa yag tercermi dalam harga saham. Jia ativitas perusahaa meuua pertumbuha yag prospetif maa harga sahamya aa megalami eaia. Sahamsaham dari perusahaa dega pertumbuha seperti itu dapat memberia capital gai. Capital gai adalah eutuga yag diperoleh pemegag saham selai divide ia harga ual sahamya melebihi harga beliya. Adapu divide adalah bagia dari laba perusahaa yag dibagia epada pemegag saham. Setiap watu, harga saham berflutuasi ai-turu. Flutuasi harga saham iilah yag merupaa risio ivestasi saham area meadia etidapastia tigat eutuga (retur). Stadar deviasi lebih dieal dega ama volatilitas. Secara ituitif, volatilitas adalah uura umlah da itesitas flutuasi harga (Chriss A 997). Utu harga saham yag bersifat volatil, maa flutuasiya lebih serig da lebih uat. Ii berlawaa secara proporsioal dega umlah iformasi yag ita milii megeai harga saham yag aa datag. Utu memperoleh eutuga, seorag ivestor yag aa membeli saham dari suatu perusahaa harus melaua aalisis terhadap ilai sahamya. Aalisis seperti ii terbagi atas dua bagia, yaitu. Aalisis teial, yaitu metode aalisis yag berdasara diagram/grafi dari harga saham. Metode ii dilaua dega cara membadiga geraa harga saham saat ii dega geraa harga saham di masa lalu utu mempredisi harga saham di masa depa yag logis. Dasar dari aalisis teial adalah diagram/grafi dari geraa harga saham.. Aalisis fudametal, yaitu metode aalisis yag berdasara fudametal eoomi suatu perusahaa. Metode ii meitiberata pada rasio fiasial da eadia-eadia yag secara lagsug maupu tida lagsug mempegaruhi iera euaga perusahaa. Kedua aalisis tersebut bertuua utu mempredisi alira pedapata di masa depa bai divide maupu capital gai. Alira pedapata diperoleh dega meghasila portofolio optimal, yaitu mecari strategi perdagaga yag memilii risio miimum di atara semua portofolio yag memilii eutuga (epected retur) yag sama. Dalam arya ilmiah ii, aa dibahas megeai aalisis eseusi optimal suatu trasasi portofolio yag bertuua utu memiimuma ombiasi risio volatilitas da peigata biaya trasasi dari dampa pasar permae da temporer, dega asumsi model biaya liear.. Tuua Peulisa Tuua dari peulisa arya ilmiah ii adalah utu meuua aalisis fudametal eseusi optimal dari trasasi portofolio dega asumsi model biaya liear, sehigga diperoleh perumusa megeai strategi eseusi optimal suatu trasasi portofolio..3 Metode Peulisa Metode peulisa arya ilmiah ii berupa studi literatur. Utu studi literatur, materi diperoleh dari ural ilmiah utama da uralural ilmiah lai, serta buu-buu yag terait dega peyusua arya ilmiah ii. Materi ural ilmiah utama diadaptasi dari ural ilmiah yag berudul Optimal Eecutio

11 of Portfolio Trasactios (Almgre & Chriss 000)..4 Sistematia Peulisa Karya ilmiah ii terdiri atas eam bagia. Bagia pertama berupa pedahulua, terdiri atas latar belaag, tuua peulisa, metode peulisa, da sistematia peulisa. Bagia edua adalah ladasa teori yag meyaia aspe teoritis peulisa arya ilmiah. Bagia etiga merupaa pemodela, yag meampila model perdagaga da efisie frotier strategi optimal yag aa dilaua aalisis eseusi optimal trasasi portofolio, bagia eempat adalah pembahasa yag membahas aalisis fudametal eseusi optimal suatu trasasi portofolio. Bagia elima adalah ilustrasi, yag meampila hasil simulasi trasasi portofolio optimal utu parameter yag dipilih, da yag eeam adalah simpula, merupaa hasil yag diperoleh dari pembahasa arya ilmiah. II LADASA TEORI Ladasa teori meyaia aspe teoritis yag meadi ladasa peulisa arya ilmiah ii. Ladasa teori meelasa megeai defiisi-defiisi dasar, lema, da beberapa teori petig.. Seuritas, da Portofolio Defiisi.. (Seuritas) Seuritas dalam pasar modal Idoesia dieal dega sebuta efe adalah istrume yag meaia pembayara di masa depa. Seuritas atau efe diterbita oleh istitusi yag diual pertama ali e publi dega batua peratara euaga seperti perbaa ivestasi (peami emisi) yag meuala seuritas e publi. Seuritas terdiri atas berbagai macam betu, yaitu surat utag (obligasi), epemilia perusahaa (saham), da betu-betu turua lai seperti otra beraga, da otra opsi. (Bodie et al 006) Defiisi.. (Portofolio) Portofolio didefiisia sebagai olesi atau umpula dari berbagai macam seuritas. (Bodie et al 006). Percobaa Aca Defiisi.. (Percobaa Aca) Percobaa aca adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam odisi yag sama, yag hasil percobaaya tida dapat diteba dega tepat, tetapi dapat dietahui semua emugia hasil yag mucul. (Craig, Hogg, & McKea 005).3 Ruag Cotoh Defiisi.3. (Ruag Cotoh) Ruag cotoh adalah himpua semua emugia yag dapat teradi dari suatu percobaa aca, diotasia dega. (Ghahramai 005).4 Peubah Aca Defiisi.4. (Peubah Aca) Misala adalah ruag cotoh dari suatu percobaa aca. Fugsi X yag terdefiisi pada yag memetaa setiap usur e satu da haya satu bilaga real X disebut peubah aca. Ruag dari X adalah himpua bagi bilaga real A : X,. (Craig, Hogg, & McKea 005)

12 Dalam melaua aalisis portofolio, para ivestor berhadapa dega etidapastia saat merea berivestasi. Karea baya seali emugia yag aa teradi, maa para ivestor tida melihat setiap emugia yag mempuyai peluag utu teradi secara rici, tetapi cuup dega melihat parameter, yaitu ilai-ilai yag meadi ciri dari aalisa yag merea laua. Peubah aca mempuyai parameterparameter, di ataraya ilai tegah, ragam, peragam, da oefisie orelasi. Dalam ligup portofolio, ia aalisis yag dimasud adalah proses memiimuma ombiasi risio volatilitas da peigata biaya trasasi dari dampa pasar permae da temporer, maa peubah aca beraita dega biaya trasasi, adapu parameter-parameterya yaitu ilai harapa biaya trasasi, da ragam biaya trasasi. Defiisi.4. (Peubah Aca Disret) Peubah aca X diataa peubah aca disret ia ilai peubah aca,,... merupaa himpua tercacah. (Grimmett & Stirzaer 99).5 Fugsi Sebara Defiisi.5. (Fugsi Sebara) Jia X suatu peubah aca, fugsi sebara didefiisia sebagai F ( ) P( X ) utu setiap,..6 Fugsi Massa Peluag X (Ghahramai 005) Defiisi.6. (Fugsi Massa Peluag) Fugsi massa peluag p suatu peubah aca X yag memilii himpua semua ilai emugia,,... didefiisia sebagai suatu fugsi dari e yag memeuhi sifat beriut : a. p( ) 0 ; ia,,... b. p( i ) P( X i ) da p( i ) 0, ( i,,3,...) c. i p( ) i (Ghahramai 005).7 ilai Harapa, Ragam, Peragam, da Koefisie Korelasi Peubah Aca Disret Defiisi.7. (ilai Harapa) Jia X adalah peubah aca yag memilii fugsi massa peluag px ( ), maa didefiisia ilai harapa peubah aca X, E( X ) adalah: E( X ) p ( ) () X (Bai 99) Defiisi.7. (Ragam) Jia X adalah peubah aca yag memilii ilai harapa E( X ), maa didefiisia ragam peubah aca X, adalah: X ( ) () X E X E X (Bai 99) Defiisi.7.3 (Peragam) Jia X da Y adalah peubah aca yag memilii ilai harapa berturut-turut E( X ) da E( Y ), maa didefiisia peragam atara peubah aca X da peubah aca Y adalah: cov( X, Y ) E[ X E( X )][ Y E( Y)] (3) atau cov( X, Y ) E( XY) E( X ) E( Y ) (4) (Bai 99) Defiisi.7.4 (Koefisie Korelasi) Jia X da Y adalah peubah aca yag memilii stadar deviasi berturut-turut X da Y, serta peragam atara peubah aca X da peubah aca Y adalah cov( X, Y ) maa didefiisia oefisie orelasi atara peubah aca X da peubah aca Y adalah: cov( X, Y ) XY XY (5) (Bai 99)

13 Teorema.7.5 Utu peubah aca X, X,..., X didefiisia pada ruag cotoh yag sama E( X ) E( X ) i i i i i i. (4) (Ghahramai 005) Corollary Misala X, X,... X suatu peubah aca pada ruag cotoh yag sama, maa: E( X X... X ) ( ) ( )... ( ). (5) E X E X E X (Ghahramai 005) Teorema.7.6 Jia X da Y peubah aca yag salig bebas, maa: a. E( XY ) E( X ) E( Y ) (7) b. Cov( X, Y ) 0. (8) Jia X da Y peubah aca dega a da b ostata maa : c. E( X Y ) E( X ) E( Y ) (9) d. E( ax b) ae( X ) b. (0) (Bai, 99) Teorema.7.7 Jia X adalah suatu peubah aca yag berilai osta, maa ia P( X c) utu suatu ostata c maa E( X ) c. () (Ghahramai 005) Teorema.7.8 Misala X adalah peubah aca disret dega himpua ilai peluag A da fugsi massa peluag p( ), da misala g adalah fugsi berilai real maa g( X ) adalah peubah aca dega: E[ g( X )] g( ) p( ). () A (Ghahramai 005) misala,,..., adalah bilaga real, maa E[ g( X ) g( X )... g( X )] E[ g( X )] E[ g( X )]... E[ g ( X )]. (3) (Ghahramai 005).8 Kebebasa Defiisi.8. (Kebebasa) Peubah aca X,..., X salig bebas ia f X,... X (,..., ) ( )... ( ) f X f X utu semua,...,. (6) (Helms 997).9 (Cove da Strictly Cove) Defiisi.9.3 (Himpua Cove) Suatu himpua S di disebut himpua cove ia utu setiap da y di S, segme garis yag meghubuga da y uga terleta di S. (Peressii et al 988) Defiisi.9.4 (Cove) Suatu fugsi f ( ) : disebut fugsi cove di S ia f t ( t) y tf ( ) ( t) f ( y), y, da t 0,. (Sydsaeter & Hammod 995) Defiisi.9.5 (Strictly Cove) Suatu fugsi f ( ) : disebut fugsi strictly cove di S ia f t ( t) y tf ( ) ( t) f ( y) y da t 0,. (Sydsaeter & Hammod 995) Corollary Misala X adalah peubah aca disret, g, g,..., g adalah fugsi berilai real da

14 Gambar Ilustrasi fugsi cove.0 Sig Fuctio Defiisi.0. (Sig Fuctio) Sig fuctio dari bilaga real didefiisia sebagai:, ia 0 sig( ) 0, ia 0, ia 0 (Shiroov 979). Pegali Lagrage Suatu metode utu memperoleh ilaiilai masimum relatif atau miimum relatif dari fugsi f (, y) yag dipegaruhi oleh odisi persyarata g(, y) 0, terdiri atas pembetua fugsi peolog. F(, y, ) f (, y) g(, y) dega syarat: F F F 0, 0, 0 yag merupaa y syarat perlu utu masimum relatif maupu miimum relatif. Parameter yag tida bergatug pada da y disebut pegali lagrage. Kasus dega satu pegali lagrage Utu suatu masalah yag melibata satu persyarata, diperlua haya satu parameter sebagai pegali lagrage. Jia f (, y) adalah fugsi yag ditetua masimum atau miimum relatifya da g(, y) 0 adalah persyarata yag harus dipeuhi, maa fugsi peologya berbetu : F(, y, ) f (, y) g(, y) Fugsi peolog F(, y, ) adalah fugsi dari tiga variabel, y, da. Dapat dituua bahwa suatu masimum relatif atau miimum relatif dari F adalah uga merupaa masimum atau miimum relatif dari f (, y) dega persyarata g(, y) 0, maa harus dipeuhi persyarata: F f g 0 F f g 0 y y y F g(, y) 0 Setiap peyelesaia dari sistem persamaa ii adalah suatu ilai ritis dari fugsi f (, y). (Soemartoo 987). Persamaa Beda (Differece Equatio) Kosep persamaa beda diguaa dalam aalisis sistem diami dega variabel disret utu meuua diamia/perubaha suatu variabel pada periode tertetu. Utu fugsi yt, ilai y berubah bila ilai t berubah dari iteger yag satu e iteger beriutya, misalya t, t, t 3, da seterusya. Pola perubaha y digambara dega istilah beda (differece). Misala y meuua besarya perubaha y pada dua periode beruruta, sehigga dapat ditulis y yt yt dega yt adalah ilai y pada periode e- t, da yt adalah ilai y pada satu periode setelah periode e- t. Betu di atas dapat ditulis yt yt y yt yt y yt 3 yt y da seterusya. Misala 0 t T, maa ita dapat meyataa yt dalam yt higga y 0. Hal yag sama berlau uga sebaliya, dalam hal ii ia persamaa berbetu yt yt y. (Chiag & Waiwright 005)

15 Defiisi.. (Persamaa beda orde-) Persamaa beda orde- adalah persamaa beda yag melibata espresi yt yag disebut beda e-, da haya melibata lag watu satu periode. (Chiag & Waiwright 005) Peyelesaia persamaa beda orde- Misala diberia persamaa beda orde- y t ay t c dega a da c adalah ostata. Solusi umum terdiri atas peumlaha dua ompoe, yaitu solusi partiular y yag merupaa solusi dari persamaa ta homoge legap, da fugsi ompleme yc yag merupaa solusi umum dari persamaa y t ay t 0. Peumlaha yp da yc merupaa solusi umum, da diperlua pemberia ilai awal utu memperoleh solusi husus persamaa beda. Misala solusi persamaa beda berbetu t t t yt Ab ( Ab 0 ), berarti y t Ab sehigga persamaa homogeya meadi t t Ab aab 0, dega meghilaga t fator taol Ab diperoleh b a 0 atau b a maa fugsi omplemeya dapat ditulisa sebagai t t yc ( Ab ) A( a) Utu meetua solusi partiular, misala solusi palig sederhaa berbetu yt da yt dega suatu ostata. Substitusia ilai ii e dalam persamaa y t ay t c sehigga a c c, ( a ) a maa diperoleh solusi partiular c y p ( ) ( a ). a Solusi umum persamaa beda dapat dihitug dega meumlaha solusi partiular yp da fugsi ompleme yc t c sehigga yt A( a) dega a. a (Chiag & Waiwright 005) p Defiisi.. (Persamaa beda orde-) Persamaa beda orde- adalah persamaa beda yag melibata espresi y t yag disebut beda e- dari y t, tetapi tida megadug beda yag orde-ya lebih tiggi dari. Didefiisia yt ( yt ) ( yt yt ) = ( yt yt ) ( yt yt ) = yt yt yt. (Chiag & Waiwright 005) Peyelesaia persamaa beda orde- Misala persamaa beda orde- yt a yt a yt c merupaa persamaa beda liear ta homoge dega oefisie osta ( a, a ) da ostata c. Solusi partiular Misala yt da y t. Substitusia ilai ostata y e dalam persamaa yt a yt a yt c, diperoleh a a c c ( a a 0) a a c sehigga y ( p ). a a Fugsi ompleme Persamaa beda homoge berbetu yt a yt a yt 0 t Misala solusi berbetu yt Ab maa t y t Ab, da t yt Ab. t t Substitusia yt Ab, y t Ab da t yt Ab pada persamaa yt a yt a yt 0 sehigga persamaa meadi t t t Ab a Ab a Ab 0. Dega meghilaga fator taol t Ab diperoleh persamaa arateristi b ab a 0, yag memilii dua aar arateristi a a 4a b, b. Berdasara arateristi aar pada aar uadrat dega espresi a a 4a b, b terdapat tiga asus:

16 Kasus : Aar real berbeda Ketia a 4a, persamaa beda memilii aar real berbeda. Fugsi ompleme dapat ditulis sebagai ombiasi liear berbetu t t yc A b Ab Kasus : Aar real sama Ketia a 4a, persamaa beda memilii aar real sama a b( b b ). Fugsi omplemeya memilii betu t t yc A3b A4tb Kasus 3 : Aar omples Ketia a 4a, persamaa beda memilii aar omples b, b h vi dega 4a a a h da v da fugsi omplemeya berbetu t y R ( A cost A si t) c 5 6 a 4a a dega R h v a 4 A5 A A A6 ( A A ) i (Chiag & Waiwright 005).3 Trigoometri Hiperboli Defiisi.3. (Fugsi Trigoometri Hiperboli) Fugsi sius hiperboli, osius hiperboli, da tage hiperboli didefiisia sebagai: sih( ) e e cosh( ) e e sih( ) tah( ) cosh( ) (Purcell & Varberg 999) 3 sih cosh tah 3 Gambar. Ilustrasi fugsi trigoometri hiperboli III PEMODELA 3. Model Perdagaga Utu memahami lebih laut megeai model perdagaga, dalam hal ii diperlua pemahama megeai defiisi strategi perdagaga da gambara diamia harga dalam aitaya dega model, diawali dega defiisi formal megeai strategi perdagaga utu eseusi program peuala yag terdiri atas liuidasi seuritas tuggal. Defiisi da hasil utu program pembelia dapat diaalogia secara legap sama dega program peuala. Di bawah ii aa dielasa megeai defiisi strategi perdagaga da diamia harga yag berpera dalam model perdagaga. 3.. Defiisi Strategi Perdagaga Misala aa dilaua eseusi sebaya X uit saham dari sebuah seuritas yag secara legap aa diliuidasi sebelum watu T. T dibagi e dalam iterval T dega paag, da didefiisia watu disret t, utu 0,...,. Suatu trayetori perdagaga didefiisia sebagai,..., 0, dega yaitu uit saham yag direcaaa utu dieseusi pada watu t. Bayaya saham awal adalah 0 X, da liuidasi pada watu T adalah 0. Dega cara serupa seperti defiisi pada trayetori perdagaga, secara spesifi strategi perdagaga terdiri atas,...,

17 dega yaitu uit saham yag diual atara watu t da t. Secara elas, hubuga da X adalah sebagai beriut: 0,...,. (6) Dari perumusa di atas dapat didefiisia strategi perdagaga sebagai atura utu meetua yag tersedia pada watu t. Strategi ii terdiri atas strategi stati da strategi diami. Strategi stati yaitu atura utu meetua setiap haya berdasara iformasi yag tersedia pada watu t 0. Adapu strategi diami, merupaa ebalia dari strategi stati yaitu atura utu meetua setiap berdasara semua iformasi, termasu pada watu t. 3.. Diamia Harga Misala harga saham awal adalah S 0, sehigga ilai awal pasar adalah XS 0. Harga saham dapat megalami perubaha dari watu e watu, hal tersebut dipegaruhi oleh dua fator, yaitu: a. Fator esoge, terdiri atas:. volatilitas. drift b. Fator edoge, yaitu dampa pasar. Volatilitas da drift diasumsia sebagai hasil dari pembetua pasar yag teradi secara aca da salig bebas dari suatu perdagaga. Dampa pasar dapat dibagi meadi dua bagia, yaitu: a. Dampa temporer, yag megacu pada etidaseimbaga semetara dalam peawara (supply) da permitaa (demad) yag disebaba oleh perdagaga. Hal ii meuua pergeraa harga yag bersifat semetara dari eseimbaga (euilibrium). b. Dampa permae, berarti perubaha dalam harga eseimbaga (euilibrium) perdagaga, sehigga meyebaba adaya sisa setelah proses liuidasi. Gambar 3. Ilustrasi Dampa Pasar Asumsi bahwa perubaha harga saham meurut discrete arithmetic radom wal, utu model yag dipegaruhi oleh dampa pasar permae adalah sebagai beriut: / S S g,,..., (7) dega merepresetasia volatilitas aset, meggambara peubah aca bebas dega rataa ol da ragam utu setiap,...,, da dampa permae g( v) merupaa fugsi dari rata-rata perdagaga selama iterval watu t sampai t, da didefiisia v. (8) Adapu utu model yag dipegaruhi oleh dampa pasar temporer adalah sebagai beriut: S S h (9) dega h merupaa fugsi biaya dampa temporer dari rata-rata perdagaga selama iterval watu t sampai t. Dari model ii dapat dilihat bahwa harga dipegaruhi oleh fugsi dampa semetara (temporer) yaitu h( v ). Harga rata-rata saham megalami perubaha da bersifat semetara yag disebaba oleh perdagaga pada tigat rata-rata v selama satu iterval watu. S merupaa harga sebearya per saham yag diterima pada peuala e Capture da Biaya Trayetori Perdagaga Hasil dari perdagaga sepaag trayetori tertetu meghasila capture trayetori, yaitu total pedapata pada saat

18 perdagaga selesai, yag merupaa hasil ali uit yag diual dalam tiap iterval watu dialia harga efetif per saham S yag diterima pada saat peuala. / S XS0 g h dega XS 0 / g h = ilai awal saham = Total efe volatilitas (0) = Dampa pasar permae = Dampa pasar temporer. Biaya total dari perdagaga adalah selisih XS S, yaitu atara ilai awal da 0 total pedapata perdagaga (capture). Ii adalah stadar uura e-post dari biaya trasasi yag diguaa dalam peilaia performa, da disebut sebagai implemetasi shortfall (Perold 988). Dalam model ii, implemetasi shortfall merupaa peubah aca, dega E( ) sebagai ilai harapa shortfall da V ( ) sebagai ragam shortfall, dega E( ) g h () (Buti : lihat Lampira ) da ( ). V () (Buti : lihat Lampira ) Karea meyebar Gauss maa implemetasi shortfall uga meyebar Gauss. 3. Efisie Frotier Eseusi Optimal Pada bagia ii aa dibahas megeai defiisi efisie frotier da peetua trayetori eseusi optimal, serta aa diperlihata hubuga atara tigat risio (ris aversio) da defiisi pegoptimala. Khususya, aa dituua bahwa utu setiap tigat risio, ada strategi eseusi optimal tertetu. Efisie frotier didefiisia sebagai himpua portofolio-portofolio yag meawara ilai harapa imbal hasil masimum utu risio yag berbeda da meawara risio miimum utu ilai harapa imbal hasil yag berbeda (Bodie 993). Model Marowitz meyataa bahwa portofolio berisio yag optimal terleta pada efisie frotier. Portofolio berisio optimal ii dibetu dari portofolio-portofolio yag berada di efisie frotier. Kaitaya dega implemetasi shortfall seorag pedagag yag rasioal aa selalu mecari cara utu memiimuma ilai harapa dari implemetasi shortfall utu setiap tigat ragam shortfall yag diberia. Suatu strategi diataa efisie atau optimal ia tida ada strategi lai yag memilii ragam yag lebih redah utu ilai harapa implemetasi shortfall pada tigat yag sama atau lebih redah, atau dega ata lai tida ada strategi yag memilii tigat lebih redah dari ilai harapa implemetasi shortfall utu ragam sama atau lebih redah. Kostrusi suatu strategi efisie dapat dilaua dega meyelesaia masalah optimisasi beredala: mi E( ). (3) : V ( ) V* Ii berarti, utu suatu tigat ragam masimum yag diberia V* 0, dapat ditemua strategi yag memilii ilai harapa implemetasi shortfall miimum. Karea V ( ) cove, maa himpua { V ( ) V* } adalah cove, da area E( ) adalah strictly cove, maa ada suatu ilai miimum yag ui (uique miimizer) * ( V *). Begitu famili semua emugia strategi efisie optimal memilii parameter peubah tuggal V *, maa hal ii merepresetasia megeai semua emugia masimum tigat ragam pada implemetasi shortfall. Ii

19 disebut sebagai famili efficiet frotier strategi perdagaga optimal. Utu pembahasa selautya, aa dituua bahwa utu setiap ilai ada orespodesi trayetori perdagaga yag ui sehigga E( ) V ( ) adalah miimum. Aa diselesaia masalah edala optimisasi (3) dega mempereala pegali Lagrage, peyelesaia permasalaha meadi ta beredala sebagai beriut: mi( E( ) V ( )). (4) Jia 0 maa E V adalah strictly cove, da persamaa (4) memilii solusi ui * ( ). Karea bervariasi, * ( ) meluas pada satu famili parameter yag sama. Persamaa (4) meuua bahwa adalah uura tigat risio (ris-aversio), yag berarti berapa baya perbadiga relatif ragam terhadap biaya rata-rata. Utu ilai parameter yag diberia, masalah (4) dapat diselesaia dega tei umeri yag bervariasi, bergatug pada betu fugsi yag dipilih utu g( v) da h( v ). Dalam asus husus berupa fugsi liear, dapat ditulisa solusi esplisit strategi perdagaga. Utu mecari solusi esplisit strategi perdagaga tersebut, dapat diostrusi dega meyelesaia turua parsial persamaa (4) terhadap da memberia ilai sama dega ol. Sebelum meyelesaia solusi esplisit strategi perdagaga, aa ditetua terlebih dahulu ilai harapa da ragam dari implemetasi shortfall dega asumsi fugsi dampa pasar yag liear. IV PEMBAHASA Meghitug trayetori optimal secara sigifia aa lebih mudah ia megambil fugsi dampa pasar permae da temporer berupa fugsi liear terhadap rata-rata perdagaga. 4. Dampa Pasar Permae Misala g( v) v (5) Perhatia persamaa (7), setiap uit yag diual meea harga per saham sebesar. Dari persamaa (7): S S g. Utu 0 S S g Utu ( ) S S g( ) S0 g( ) g( ) S0 ( ) g( ) g( ) S0 g( ).

20 Utu 3 3 S3 S 3 g( ) S g g S 0 ( ) ( ) ( ) 3 g 3 ( ) 0 3 S ( ) 3 g( ) g( ) g( ) S0 g( ) S (... ) g g g g S S0 g( ) 0 3 ( ) ( ) ( )... ( ). S g( v ) dega v. Substitusia persamaa (5) sehigga S S0 v 0 0 S S. Substitusia persamaa (6), didapat S0 X S ( ) (6) Dari persamaa (0) perhatia bagia dari persamaa dampa pasar permae, yaitu: g. (7) Substitusia persamaa (5) e dalam persamaa (7) sehigga diperoleh: g = v. g v Persamaa ii dapat diuraia meadi g v ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( 0 ) ( )...( ) ( ) ( 0 ) X (area 0 X, da 0) sehigga utu dampa pasar permae meadi: g X. (8) Utu tipe asus program peuala muri atau program pembelia muri, maa X.

21 4. Dampa Pasar Temporer Misala h sig( ) (9) dega merupaa biaya tetap peuala, da merupaa parameter biaya trasasi temporer yaitu rasio eragama bid-as dega satu perse dari volume saham haria yag diperdagaga. Model liear (9) serig disebut model biaya uadrati area biaya total yag teradi oleh pembelia atau peuala uit dalam satua watu tuggal. Dari persamaa (0) perhatia utu persamaa dampa pasar temporer yaitu: h. (30) Substitusia persamaa (9) e dalam persamaa (30) sehigga diperoleh: h sig( ). Sehigga persamaa utu dampa pasar temporer meadi: h. (3) Dega asumsi model biaya yag liear utu persamaa dampa pasar permae da temporer, yaitu persamaa (5) da persamaa (9), ilai harapa dari biaya dampa pasar pada persamaa () meadi E( ) X (3) dega. (Buti : lihat Lampira 3) ilai harapa E adalah fugsi strictly cove sepaag Kostrusi Esplisit dari Strategi Optimal Dega E( X ) dari (3) da V ( X ) dari (), da asumsi bahwa positif, ombiasi U ( ) E( ) V ( ) adalah fugsi uadratur dari,...,, berupa fugsi yag strictly cove utu 0. Oleh area itu aa ditetua miimum global ui dega megatur turua parsialya sama dega ol. Sehigga U. (33) (Buti: lihat Lampira 4) Persamaa (33) berlau utu,...,. U 0 adalah eivale dega ( ) (34) dega. (35) (Buti : lihat Lampira 5) Persamaa (34) adalah persamaa beda liear yag solusiya dapat ditulis sebagai ombiasi espoesial ep( t ), dega memeuhi (cosh( ) ). (36) (Buti : lihat Lampira 6) Simbol da diotasia sebagai suatu fator oresi ( ), area 0 maa da. Solusi spesifi dega 0 X da 0 adalah trayetori perdagaga berbetu:

22 X (Buti : lihat Lampira 7) Utu strategi perdagaga tersebut diperoleh: X X utu,..., dega 0 utu setiap sepaag X 0 (Buti : lihat Lampira 8) Utu peuala yag memilii posisi awal berilai besar, solusi aa meuru secara mooto dari ilai awal terhadap ol pada saat tarif ditetua oleh parameter. Utu yag sagat ecil, diperoleh espresi hampira: ( ) ( ), 0 (37) Begitu iterval perdagaga pede, secara esesial merupaa rasio dari hasil ali volatilitas da ris-itolerace terhadap parameter biaya trasasi temporer. Beriut ii aa diperlihata ilustrasi megeai strategi optimal trasasi portofolio, dega megguaa parameter yag dipilih sesuai dega aalisis strategi optimal trasasi portofolio yag diperoleh pada pembahasa. V ILUSTRASI 5. Pemiliha Parameter Pada bagia ii aa diberia cotoh umeri dega tuua megesplorasi arateristi frotier efisie secara ualitatif. Dipilih harga awal per saham S 0 50, da bayaya saham awal sebesar satu uta saham, adi ilai awal saham sebesar 50 uta. Saham ii memilii volatilitas tahua 30%, epected retur tahua sebesar 0%, bid-as memilii eragama, da media volume 8 haria perdagaga sebesar 5 uta saham. Dega perdagaga tahua selama 50 hari, ii memberia volatilitas haria sebesar , da epected retur haria sebesar 4 0. Parameter mutla 50 diperoleh dari peralia volatilitas haria dega harga awal sehigga diperoleh: Liuidasi dilaua dalam watu satu miggu, sehigga T 5 hari. Utu memilih parameter fugsi biaya temporer pada persamaa (9), merupaa biaya tetap dari biaya temporer yaitu setegah dari eragama bid-as, sehigga diperoleh

23 Utu dimisala 8 6 bahwa utu setiap satu perse dari volume saham yag diperdagaga, dibuat harga dampa sama dega eragama bid-as. Sebagai cotoh, perdagaga dega tigat 5% dari volume saham haria teradi biaya satu watu setiap perdagaga sebesar 5 8. Di bawah asumsi tersebut diperoleh: Utu biaya permae, atura yag biasaya teradi bahwa harga saham meadi sigifia etia meual 0% dari harga haria, sehigga diperoleh: (0.50 ) 6 Telah dipilih bahwa 0. Persamaa (37) diperoleh utu strategi optimal, 0.6 / hari sehigga T 3. Utu lebih elas dapat dilihat pada tabel beriut: Tabel Parameter da ilai yag dipilih utu simulasi ostrusi portofolio optimal Parameter ilai T 5 5 X S0 50 0,95 0,065 0,6 Tabel Hasil simulasi ostrusi portofolio optimal dega megguaa parameter tertetu utu t , , , 8

24 Gambar 4 Trayetori A optimal utu 0 6 Tabel 3 Hasil simulasi ostrusi portofolio optimal dega megguaa parameter tertetu utu t Gambar 5 Trayetori B optimal utu 0

25 Tabel 4 Hasil simulasi ostrusi portofolio optimal dega megguaa parameter tertetu utu t Gambar 6 Trayetori C optimal utu 0 7 Gambar 7 Trayetori A, B, da C optimal

26 5. Strutur frotier Sebuah cotoh dari frotier efisie dituua pada Gambar 7. Garis tage megidiasia solusi 6 optimal utu parameter risio 0. Gambar 8 Frotier efisie Trayetori bersesuaia dega idiasi titi pada frotier yag dituua pada trayetori A, B, da C. Trayetori A pada Gambar 4 memilii 6 0, itu dipilih oleh pedagag yag taut risio (ris-averse) yag megharapa meual dega cepat utu meguragi risio volatilitas, di sampig biaya perdagaga. Trayetori B pada Gambar 5 memilii 0, disebut sebagai strategi aïve, areaya merepresetasia strategi optimal yag memimimuma implemetasi shortfall tapa memperhituga ragam. Trayetori C pada Gambar 6 memilii 7 0, itu dipilih oleh pedagag yag seag risio yaitu seseorag yag meuda meual sahamya, da meual sahamya dega cepat pada ahir periode Dari gambar trayetori optimal, setiap parameter yag berbeda meuua bahwa merupaa uura tigat risio (ris-aversio), da teryata utu setiap ilai yag diberia ada orespodesi trayetori perdagaga yag ui. VI SIMPULA Pada pembahasa telah dilaua aalisis megeai eseusi optimal trasasi portofolio yag bertuua utu memiimuma ombiasi risio volatilitas da peigata biaya trasasi dari dampa pasar permae da temporer, atau secara umum memiimuma biaya implemetasi shortfall. Kostrusi suatu strategi efisie dapat dilaua dega meyelesaia masalah optimisasi beredala yaitu memiimuma ilai harapa implemetasi shortfall utu setiap tigat ragam implemetasi shortfall masimum. Masalah edala optimisasi tersebut dapat diselesaia dega megguaa pegali lagrage dega memiimuma fugsi biaya. Fugsi biaya yag dipilih merupaa fugsi uadratur, berupa fugsi yag strictly cove utu tigat risio positif. Oleh area itu dapat ditetua miimum global ui dega megatur turua parsialya sama dega ol. Dega asumsi model biaya dampa pasar liear, diperoleh ostrusi esplisit strategi optimal trasasi portofolio dega meyelesaia masalah ilai awal persamaa beda, dega umlah saham awal sebesar X da sisa saham pada ahir periode sama dega ol maa diperoleh solusi spesifi trayetori perdagaga optimal. Dapat disimpula bahwa utu setiap tigat risio (ris aversio) yag diberia, ada orespodesi trayetori perdagaga yag ui dega fugsi biaya yag miimum.

27 DAFTAR PUSTAKA Almgre R, Chriss A Optimal Eecutio of Portfolio Trasactios. Jural Ris. Vol. 3, o.. Pp : Bai JL, Egelhardt M. 99. Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics. Ed. Ke-. PWS-Ket. Bosto. Bodie Z, Kae A, Marrcus AJ Ivestasi. Edisi Ke-6. Alih Bahasa : Z Dalimuthe da B Wibowo. Salemba Empat. Jaarta. Teremaha dari: Ivestmets 6 th ed. Chiag CA, Waiwright K Fudametal Methods of Mathematical Ecoomics. Ed. Ke-4. McGraw-Hill Compaies ic. ew Yor. Chriss A Blac-Scholes ad Beyod Optio Pricig Models. Irwi Professioal Publishig. Chicago. Craig AT, Hogg RV & McKea JW Itroductio to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6. Pearso Pretice Hall. Uited States of America. Ghahramai S Fudametals of Probability with Stochastic Processes. Ed. Ke-3. Pearso Pretice Hall. Uited States of America. Mooey DD, Radall JS. 00. A Course i Mathematical Modellig. The Mathematical Associatio of America. Uited States of America. Peressii AL, Sulliva FE & Uhl JJ The Mathematics of oliear Programmig. Spriger-Verlag ew Yor Ic. ew Yor. Perold AF The Implemetatio Shortfall: Paper vs Reality. Joural of Portfolio Maagemet. Vol 4. o. 3. Pp: 4-9. Purcell J, Varberg D Kalulus da Geometri Aalitis. Ed. Ke-5. Alih Bahasa : Susila, Kartasasmita B, & Rawuh. Erlagga. Jaarta. Teremaha dari : Calculus with Aalytic Geometry. Shiroov YM Algebra of threedimesioal geeralized fuctios. Spriger-verlag ew Yor Ic. ew Yor. Soemartoo Kalulus Lauta. Uiversitas Idoesia Press. Jaarta. Sydsaeter K, Hammod PJ. 995 Mathematics for Ecoomic Aalysis. Eglewood Cliffs Pretice-Hall. ew Yor. Grimmett GR, Stirzaer DR. 99. Probability ad Radom Processes. Ed. Ke-. Claredo Press. Oford.

28

29 LAMPIRA

30 Lampira Peghituga ilai Harapa Implemetasi Shortfall Dietahui: Persamaa (9) S XS g h / 0 ( ) Aa dibutia: E( ) g h Buti: / S XS 0 g ( ) h XS0 S h g ( ) Dari model di atas aa dicari ilai harapa Implemetasi Shortfall E( ), misala fugsi implemetasi shortfall: 0 XS S Sehigga dapat dihitug ilai harapa implemetasi shortfall : 0 E( ) E( XS S ) E h g E h g E h g h g g h ( memilii rataa ol da ragam )

31 Lampira Peghituga Ragam Implemetasi Shortfall Dietahui: Persamaa (9): / S XS 0 g ( ) h E( ) g h Aa dibutia: V ( ) Buti : / S XS 0 g ( ) h XS0 S h g ( ) Dari model di atas aa dicari ragam Implemetasi Shortfall V( ), misala fugsi shortfall : 0 XS S Var( ) V ( ) E E( ) V( ) E h g( ) g h E h g g h E E E E E E ( peubah aca bebas yag memilii rataa ol da ragam )

32 Lampira 3 Peghituga ilai Harapa Total Implemetasi Shortfall utu Fugsi Dampa Pasar Permae da Temporer Dietahui: E( ) g h (Telah dibutia) Persamaa (7) : g X Persamaa (30) : h Aa dibutia: E( ) X Buti: Substitusi persamaa (7) da (30) pada persamaa ilai harapa E( ), sehigga : E( ) g h Dimaa X X X X

33 Lampira 4 Kostrusi Esplisit Strategi Optimal Dietahui: U ( ) E( ) V ( ) E( ) X dega persamaa (3) V ( ) persamaa () Aa dibutia : U. Buti : U ( ) E( ) V ( ) U( ) X X X Substitusi e dalam persamaa (36) sehigga : U ( ) X X U X ( ) ( ) (area ) 0 ( ) ( ) (area X ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) 0 0 (0 ) ( 0 ) ( ) (36)

34 0 0 = ; utu,... U sehigga berlau utu,... Lampira 5 Kostrusi Esplisit Strategi Optimal Dietahui : U Aa dibutia : ( ) (34) Buti : U 0 U 0 dimaa Sehigga :, area

35 Lampira 6 Kostrusi Esplisit Strategi Optimal Persamaa (33) adalah persamaa beda liear yag solusiya dapat ditulis sebagai ombiasi espoesial ep( ) t. e e Aa dibutia : (cosh( ) ) cosh( ) e e

36 Lampira 7 Kostrusi Esplisit Strategi Optimal utu Solusi Spesifi Trayetori Perdagaga Persamaa merupaa persamaa beda yag dapat diselesaia dega mecari solusi Merupaa persamaa beda liear homoge. Agar diperoleh solusi dega mecari persamaa arateristiya, maa oefisie harus sama dega, sehigga persamaaya meadi 0 0 a ( ) Misala da a, maa 0 ( ) 0 ( ) 0 Sehigga persamaa arateristiya meadi : ( ) 0 4, , ( 4), ( 4), Karea, berbeda tada solusi umumya berbetu : C C, berarti ( 4) ( 4) C C

37 Diberia masalah ilai awal 0 X da 0 sehigga dapat dicari solusi husus persamaa beda liear homoge sebagai beriut : 0 0 ( 4) ( 4) 0 C C X C C X C X C ( 4) ( 4) C C 0 ( 4) ( 4) C C C C 0 Subsitusi persamaa () pada persamaa () sehigga : C C 0 ( X C ) C 0 X C C 0 C C X C X C X ( 4) Substitusi, sehigga : C ( 4) X ( 4) ( 4) dari persamaa () dapat di peroleh C C X C C X X 0 ( 4) X C X ( 4) ( 4) () ()

38 ( 4) ( 4) ( 4) X X C ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) C da C disubstitusia pada solusi umum C C t t 4 t t 4 X t t t t t t t t Lampira 8 Kostrusi Esplisit Strategi Optimal utu Solusi Spesifi Strategi Perdagaga X 0,..., X (6) X utu,...