(Density Estimation by Wavelet Thresholding Method) Suparti, Rukun Santoso dan Yulia Sugiyanti

Transkripsi

1 Suparti Ruu Satoso a Yulia Sugiyati (Desity Estimatio by Wavelet Thresholig Metho) Suparti Ruu Satoso a Yulia Sugiyati Program Stui Statistia urusa Matematia FMIPA Uiversitas Dipoegoro Semarag Abstract Let X X X be iepeet observatio ata with uow esity fuctio f I oparametric approach the fuctio f is assume to be quaratic itegrable a smooth fuctio so the fuctio f coul be estimate by orthogoal series estimator especially by Fourier series estimator Aother orthogoal series estimator which coul be use to estimate f is wavelet estimator Wavelet estimator is ivie by two methos they are liear wavelet a wavelet thresholig methos Wavelet thresholig estimator is a extetio of liear wavelet estimator a Fourier series estimator The maor stregth of the wavelet thresholig estimator is that they ca capture very well local features they ca estimate the smooth or usmooth fuctios Keywors: esity estimatio Fourier series estimator wavelet thresholig estimator Peahulua Fugsi esitas merupaa suatu osep asar alam statistia sebagai peetu besar probabilitas utu suatu selag yag iberia Misalya b P(a<X<b)= f x ega f(x) a aalah fugsi esitas ari variabel aca X ia iberia ata pegamata iepee X i i = utu meetua istribusi ari X eivale ega meetua fugsi esitasyadalam prate fugsi esitas ari suatu variabel aca serig tia ietahui sehigga perlu itasir (iestimasi) Estimasi fugsi esitas f apat ilaua melalui ua peeata yaitu peeata parametri maupu oparametri Paa estimasi fugsi esitas ega peeata parametri iperlua asumsi megeai betu istribusi suatu variabel aca (misalya istribusi ormal gammall) a yag aa iestimasi aalah parameterparameter ari istribusi tersebut ega megguaa ata tetag variabel acaya Seaga estimasi fugsi esitas ega peeata oparametri tia memerlua asumsi megeai betu istribusi Peeata ii iguaa ia tia aa iformasi yag tepat megeai betu ari fugsi esitas yag sebearya Dalam estimasi oparametri sebelum mucul estimasi esitas ega metoe wavelet telah ieal ua metoe staar yaitu estimasi esitas ega histogram erel a eret ortogoal Walaupu metoe wavelet telah baya ibicaraa oleh statistiawa paa eae terahir bualah berarti bahwa metoe tersebut sebagai peggati/meggeser metoe sebelumya amu lebih paa pegayaa metoe Namu eyataa alam prate eberaaa metoe wavelet ega elebihaya ari metoe staar sebelumya tetu aa baya iseagi a ipilih sebagai alteratif terbai utu meyelesaia masalah Meurut Oge [] metoe wavelet mempuyai elebiha iataraya aa iperoleh betu estimator yag lebih seerhaa loalisasi ruag a freuesi yag sagat Esata Vol 0 No Agustus 008 ISSN : 4-047

2 Suparti Ruu Satoso a Yulia Sugiyati bai Metoe wavelet apat megestimasi bai fugsi mulus maupu tia mulus seaga metoe staar sebelumya tia emiiametoe wavelet ibeaa meai ua macam yaitu metoe wavelet liier a metoe wavelet oliier Metoe wavelet oliier yag isebut uga sebagai metoe wavelet thresholig merupaa suatu metoe wavelet yag iasara paa prisip peyusuta oefisie-oefisie wavelet meuu ol sehigga fugsi yag ieati ega wavelet thresholig iharapa bebas ari oise Deret Fourier ia iberia ata observasi iepee X X X ari suatu istribusi ega esitas f ta ietahui maa ari ata tersebut apat iguaa utu megestimasi fugsi esitas Estimator Deret Fourier Diasumsia f L (R) ega L (R) ruag fugsi yag uaratya teritegrala ega ata lai L (R) = f : f x L (R) merupaa ruag Hilbert [] ega peralia salar a orma yag iefiisia sebagai <fg> = f g( x) x a f f f f x Aaia sistem ortoormal legap (CONS) ari L (R) maa sembarag f L (R) apat iyataa sebagai f ega f a memeuhi ietitas Parseval f Karea f x maa sehigga 0 utu Oleh area itu f apat ieati oleh f utu bilaga bulat cuup besar Khususya ia f L [0] maa f apat ieati ega eret Fourier f a a cos b si( x 0 ) ega oefisie Fourier a f cos( ) f cos x =0 a b f si( ) f si( x) x = ia iberia ata observasi iepee X X X ega suatu fugsi esitas f ta ietahui maa estimator eret Fourier ari esitas f aalah f = a 0 a cos b si ega estimator oefisie Fourier : â cos(x i)x = 0 i bˆ si(x i) = 3 i Tigat emulusa estimator eret Fourier fˆ itetua oleh pemiliha parameter pemulus Semai ecil parameter pemulus semai mulus estimasiya Dega ata lai semai besar parameter Esata Vol 0 No Agustus 008 ISSN : 4-047

3 Suparti Ruu Satoso a Yulia Sugiyati pemulus semai urag mulus estimasi ari f Deret Wavelet Fugsi wavelet aalah suatu fugsi matematia yag mempuyai sifat- sifat tertetu iataraya berosilasi i seitar ol (seperti fugsi sius a cosius) a terloalisasi alam omai watu artiya paa saat ilai omai relatif besar fugsi wavelet berharga ol Fugsi wavelet ibeaa atas ua eis yaitu wavelet ayah () a wavelet ibu () yag mempuyai sifat: x 0 x a Dega ilatasi iai a traslasi iteger wavelet ayah a wavelet ibu melahira eluarga wavelet yaitu (x) (p ) (p x ) a (x) (p ) (p x ) utu suatu salar p>0 a tapa meguragi eumuma apat iambil p= sehigga / (x) ( x ) a (x) / ( x ) Fugsi (x) a (x) mempuyai sifat ' (x) x x) (x)x 0 ( ' ' 0 x / ( x) / x 0 x yag lai a 0 x 0 x yag lai Beberapa cotoh wavelet selai wavelet haar iataraya aalah wavelet Daubechies (Daublet) symmetris (Symmlet) a Coifma (Coiflet) Visualisasi beberapa wavelet apat ituua paa gambar beriut: '' (x) x ' ia i ega i 0 ia i ' Cotoh wavelet palig seerhaa aalah wavelet Haar yag mempuyai rumus Gambar Visualisasi beberapa Wavelet Aalisis Multiresolusi Aalisis multiresolusi L (R) aalah ruag bagia tertutup {V Z} yag memeuhi i) V - V - V 0 V V ii) Z V = {0} Z V = L (R) iii) fv f ( ) V Esata Vol 0 No Agustus 008 ISSN : 4-047

4 Suparti Ruu Satoso a Yulia Sugiyati iv) f V0 f ( ) V0 Z v) Terapat sebuah fugsi V0 sehigga 0 ( ) Z membetu basis ortoormal utu V 0 imaa utu semua Z (x) x ia {V Z} aalisis multiresolusi ari L (R) maa aa basis ortoormal ; Z utu L (R): / ( x ) sehigga utu sembarag f L (R) P f P f f Z yaitu yag iturua ari x c x ( ) Z Utu maa P f f Aibat Bila aalah fugsi sala yag membagu aalisis multiresolusi a ψ(x) ( ) c (x) Z maa eomposisi sembarag fl (R) e alam eret wavelet ortoormal meai f c o ψ o Z o Z ega c o f o a f Estimator fugsi esitas ega metoe wavelet thresholig Thresholig merupaa asar pegeraa statisti ega wavelet yag iasara paa prisip peyusuta oefisie-oefisie wavelet meuu ol Dega wavelet thresholig iharapa hasil fugsi yag iestimasi bebas ari oise Dega ata lai wavelet thresholig apat meghilaga oefisie wavelet ecil yag iaggap meai oise Dega meghilaga yag ecil a meyimpa yag besar apat iguaa utu megefisiea estimasi Gagasa ii apat itelusuri ari prisip MRA; yaitu proyesi (peeata) fugsi f paa ruag V Z yag iyataa sebagai P f P f g ega g merupaa resiu atara proyesi P f a proyesi sebelumya P f Fugsi etail f ; memuat g Z oefisie-oefisie wavelet f ia oefisieoefisie wavelet tersebut apat isusuta meuu ol maa aa iperoleh estimasi utu f yag bebas ari oise Dooho a ohstoe [34] memberia metoe yag meeaa reostrusi wavelet alam megestimasi suatu fugsi f ta ietahui ega megguaa seumlah oefisie wavelet terbesar yai haya oefisie yag lebih besar ari suatu ilai tertetu yag iambil seaga oefisie selebihya iabaia area iaggap ol Nilai tertetu tersebut iamaa ilai threshol a estimator waveletya iamaa estimator wavelet thresholig Misal terseia ilai threshol maa estimator esitas f ega metoe wavelet thresholig apat iyataa sebagai fˆ Z cˆ o Z o o ˆ ega : = fugsi thresholig = parameter threshol Esata Vol 0 No Agustus 008 ISSN : 4-047

5 Suparti Ruu Satoso a Yulia Sugiyati ĉ o = i ˆ = i o (X i ) (X i ) Tigat emulusa estimator itetua oleh pemiliha level resolusi fugsi thresholig a parameter threshol Namu pemiliha a tia omia seaga omia Semai besar yag iguaa meghasila estimasi esitas yag semai mulus Sebaliya semai ecil yag iguaa meghasila estimasi esitas yag semai urag mulus Lagah-lagah Thresholig Lagah-lagah thresholig paa estimasi esitas paa asarya aalog ega thresholig paa estimasi fugsi regresi teriri ari: Pemiliha Fugsi Thresholig Aa ua eis fugsi thresholig yaitu: Soft Thresholig x x S 0 x x x Har Thresholig H x x 0 x yag lai ega merupaa parameter threshol Pemiliha Parameter Threshol Optimal Tigat emulusa estimator wavelet thresholig itetua oleh ilai threshol Memilih ilai threshol yag terlalu besar aa meghasila estimasi terlalu mulus (oversmooth) area oefisie yag masu alam reostrusi terlalu seiit Sebaliya ia memilih ilai threshol yag terlalu ecil aa meghasila estimasi urag mulus (uersmooth) area terlalu baya oefisie yag imasua alam reostrusi Oleh area itu perlu ipilih optimal [5] Aa beberapa cara utu meetua ilai threshol optimal paa fugsi thresholig yag ielompoa alam ua ategori yaitu global thresholig a level-epeet thresholig [5] (a) Global thresholig Global thresholig berarti memilih satu ilai yag iguaa utu seluruh level resolusi paa oefisie-oefisie wavelet empiri ˆ Dooho a ohstoe [4] memberia ua cara global thresholig yaitu: Threshol Miimax Nilai-ilai threshol miimax itetua berasara bayaya ata observasi yag apat ilihat paa tabel beriut Threshol Uiversal Threshol uiversal iefiisia ega: log ega aalah bayaya ata observasi Nilai-ilai threshol uiversal lebih besar ari threshol miimax utu ilai yag sama Sehigga threshol uiversal meghasila estimasi yag lebih mulus aripaa estimasi miimax (b) Level-Depeet Thresholig Level-epeet thresholig berarti memilih bergatug paa level resolusi Dega emiia aa emugia perbeaa ilai threshol yag ipilih utu tiap level wavelet Aa beberapa cara Esata Vol 0 No Agustus 008 ISSN : 4-047

6 Suparti Ruu Satoso a Yulia Sugiyati level-epeet thresholig iataraya yaitu: Threshol Aapt Threshol aapt aalah ilai threshol yag itetua berasara paa level resolusi Pemiliha threshol ii iasara paa prisip utu memiimala Stei Ubiase Ris Estimator (SURE) paa suatu level resolusi Threshol aapt utu himpua oefisie etail yag beraggotaa K oefisie iefiisia sebagai arg mi t 0 SURE t ega SURE K mi K t K t / t Threshol aapt aa memberia hasil yag urag bai ia oefisie-oefisieya sagat arag (sebagia besar oefisie paa level tersebut meeati ol) Oleh area itu himpua oefisie ii iui ega persamaa beriut: K 3 / log K K K ia persamaa tersebut terpeuhi maa threshol yag iguaa paa level resolusi aalah threshol uiversal seaga ia tia maa threshol aaptlah yag iguaa [6] Threshol Top Nilai threshol ii itetua ega meetua besarya umlah oefisie yag iguaa ari eseluruha oefisie wavelet alam mereostrusi fugsi Sehigga apat itetua berapa umlah oefisie wavelet yag aa iguaa utu megestimasi suatu fugsi [6] Cotoh estimasi esitas ega metoe wavelet thresholig Beriut ii ata peguura gluosa (iuur alam milligram per eciliter) ari waita berumur tahu e atas berasal ari suu Iiaa Pima a tiggal i eat Phoeix Arizoa yag terea iabetes [7] Dataya sebagai beriut : Data tersebut bersifat aca a salig bebas Dari ata tersebut icari estimasi esitasya megguaa metoe wavelet thresholig ega fugsi har thresholig a threshol optimal yag iguaa yai threshol miimax Beriut ii hasil estimasi esitas ega megguaa program S+Wavelets Esata Vol 0 No Agustus 008 ISSN : 4-047

7 Suparti Ruu Satoso a Yulia Sugiyati Gambar : Estimasi esitas ega metoe wavelet hresholig Kesimpula Estimator wavelet thresholig mempuyai elebiha alam megaalisis fugsi mulus maupu fugsi tia mulus ega emampuaya megaaptasi secara loal Tigat emulusa estimator sagat itetua oleh parameter threshol Semai besar yag iguaa meghasila estimasi esitas yag semai mulus a sebaliya Oleh area itu perlu ipilih optimal Aa beberapa cara utu meetua ilai threshol optimal yag ielompoa alam ua ategori yaitu global thresholig a levelepeet thresholig Threshol miimax a threshol uiversal merupaa cara pemiliha threshol optimal paa global thresholig seaga threshol aapt a threshol top merupaa cara pemiliha threshol optimal paa level-epeet thresholig Daftar Pustaa [] Oge RT 997 Essetial Wavelets for Statistical Applicatios a Data Aalysis Birhauser Bosto [] Vetterli M a Kovacevic 995 Wavelets A Subba Coig Pretice Hall PTR New ersey [3] Hall P a Patil P 995 O Wavelet Methos for Estimatig Smooth Fuctio Beroulli (/) [4] Dooho DL ohstoe IM Keryacharia G a Picar D 996 Desity Estimatio by Wavelet Thersholig The Aals of Statistics Vol 4 No [5] HallP a PatilP(996) O the Choice of Smoothig Parameter Threshol a Trucatio i Noparametri Regressio by oliier Wavelet MethosRStatistSocB (996) 58 No [6] Bruce A a Gao H Y 996 Applie Wavelet Aalysis with S - PLUS Spriger-Verlag New Yor [7] ustratio_of_esity_estimatio Esata Vol 0 No Agustus 008 ISSN : 4-047