Metode Numerik Stepest Descent Dengan Arah Pencarian Negatif Sigma Gradien

Transkripsi

1 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 T - Metoe Numeri Stepest Descet Dega Arah Pecaria Negatif Sigma Graie Rumoo Bui Utomo Uiversitas Muhammaiyah Tagerag rumoo.bui.u@mail.ugm.ac.i Abstra Peelitia ii megaji tetag metoe umeri stepest escet ega arah pecaria egatif sigma graie. Peelitia ilaua ega memahami terlebih ahulu megeai metoe umeri Stepest Descet ega arah pecaria egatif graie beserta algoritmaya. Setelah itu iostrusi metoe umeri Stepest Descet ega arah pecaria egatif sigma graie beserta algoritmaya. Dalam peilitia ii juga iberia cotoh pegguaa eua metoe umeri alam meyelesaia masalah optimisasi satu fugsi tujua tapa eala beserta aalisis hasilya. Kata uci:stepest escet, arah pecaria egatif sigma graie I. PENDAHULUAN Dalam meyelesaia suatu masalah uia yata (real problem), lagah awal yag ilaua para matematiawa aalah meyataa masalah uia yata tersebut ealam pegertia matematis. Lagah ii meliputi ietifiasi variabel-variabel yag terjai paa masalah, a membetu hubuga atar variabel-variabel tersebut[]. Lagah selajutya aalah mejabara variabel-variabel, merumusa asumsi-asumsi yag iperlua a membuat eraga moel sebelum ahirya merumusa moel matematis yag imasu. Moel matematis merupaa suatu formula matematia yag mejelasa atau merepresetasia sistem fisi atau masalah alam uia yata alam peryataa matemati. Moel matemati apat berbetu moel statisti, stoasti, persamaa iferesial tergatug biag yag iguaa alam meyusu moel matematis tersebut. Setelah memperoleh moel matematis, lagah selajutya yag ilaua matematiawa aalah berusaha memperoleh solusi peyelesaia ari moel matematis yag telah ihasila. Solusi peyelesaia ii apat berupa solusi sejati (aalytic) maupu hampira (umeric). Solusi aaliti merupaa solusi sejati ari suatu moel matematis seaga solusi umeri merupaa solusi hampira atau peeata (approximate) ari solusi sejati []. Karea merupaa solusi hampira, maa terapat besarya esalaha atau galat ari solusi umeri terhaap solusi sejati. Besarya esalaha atau galat ii isimbola ega ostata positif epsilo. Kostata positif epsilo yag meyataa galat tia boleh terlalu besar area aa megaibata solusi umeri yag ihasila aa jauh ari solusi sejati, utu hal emiia besarya epsilo iharapa seeat mugi ega ol. Kesalaha atau galat yag imilii oleh solusi umeri umumya isebaba oleh ua fator yai area pemotoga (cuttig) espasi suu yag terlalu pajag, a pembulata (rouig) igit aga esimal. Mesipu memilii galat, bua berarti metoe umeri (solusi umeri) tia mejai piliha, atau haya seaar mejai piliha eua alam meyelesaia moel matematis. Dalam beberapa asus, metoe umeri serig mejai piliha utama tatala moel matematis yag ihasila sagat sulit itemua solusi sejatiya. Dalam ehiupa sehari-hari, salah satu masalah uia yata yag serig itemua aalah pegoptimala atau masalah optimisasi. Beberapa cotoh masalah optimisasi yag serig ijumpai aalah masalah perguaga (ivetory) utu meetua seberapa besar barag yag harus ipesa ari prouse, masalah memiimala biaya prousi suatu perusahaa, sampai epaa aspe yag lebih jauh ari paa itu seperti optimisasi paa jariga listri, abel, a rute perjalaa. Masalah optimisasi seperti ii jelas memerlua moel matematis yag tepat utu memperoleh solusi yag optimal. Secara umum masalah optimisasi berasara fugsi tujua yag igi ioptimala ibagi atas ua jeis yai masalah optimisasi sigle objetif a masalah optimisasi multi objetif. Masalah optimisasi sigle objetif haya memilii satu fugsi tujua yag ioptimala, seaga masalah optimisasi multi objetif memilii seuragya ua fugsi objetif yag ioptimala. Meurut eala (costrai), masalah optimisasi juga ibagi atas ua, yai masalah optmisasi ega a tapa eala. MT 79

2 ISBN Berasara variabel bebas (iepeet) masalah optimisasi terbagi atas ua jeis yai masalah optimiasasi ega satu a baya variabel bebas. Berbagai metoe peyelesaia apat iguaa utu meyelesaia berbagai jeis masalah optmisasi. Cotohya utu meyelesaia masalah optimisasi sigle objetif ega satu variabel bebas apat iguaa metoe rasio emas (gole rato), Fiboacci, a bisesi, seaga utu meyelesaia masalah optimiasi sigle objetif ega beberapa (multi) variabel bebas apat iguaa metoe umeri Asial, Newto, Hoo a Jeeves, Rooseberg a Stepest Descet []. Utu meyelesaia masalah optimisasi multi objetif apat megguaa Pegali Lagrage a Kuh-Tucer.Paa Masalah optimiasi multi objectif tia ibahas a peeliti lebih memfousa ajia paa masalah optimisasi sigle objetif tapa eala. Metoe umeri Stepest Descet merupaa salah satu metoe yag apat iguaa alam meyelesaia masalah optmisasi sigle objetif tapa eala ega baya variabel bebas. Metoe umeri Stepest Descet beerja ega megambil sembarag titi awal arah pecaria (irectio) egatif graiet Z R ega megguaa []. Metoe umeri Stepest Descet serig iguaa area solusi umeri yag ihasila ceerug aurat ega solusi sejati, baha alam beberapa asus, solusi umeri yag ihasila apat ieti ega solusi sejati atau ega ata lai solusi umeri tapa galat. Mesipu emiia, peelitia lebih lajut paa metoe umeri ii terus iembaga, salah satuya ega memetu arah pecaria (irectio) yag lai. Sebagaimaa ietahui perbeaaa yag measar ari metoe-metoe umeri utu meyelesaia masalah optimisasi sigle tapa eala aa paa arah pecariaya. Metoe umeri Asial, misalya memilii arah pecaria vertor ormal, seaga metoe umeri arah ojugasi melibata matris Hessia alam arah pecariaya. Peelitia ii megaji a membahas megeai metoe umeri Steepest Descet ega arah pecaria (irectio) berupa egatif sigma graie Z. Peelitia ii bertujua utu melihat proses iterasi alam memperoleh solusi umeri ega megguaa metoe Stepest Descet ega arah pecaria yag lai alam hal ii egatif sigma graie. Peelitia ilaua ega memahami terlebih ahulu megeai metoe umeri Steepest Descet ega arah pecaria egatif graie biasa emuia meyusu algoritma utu metoe Steepest Descet ega arah pecaria egatif sigma graiet.buu-buu yag iguaa alam meujag peelitia atara lai A Itrouctio to Optimizatio arya Ewi K.P.Chog a Staislaw H Za, Theory of Multiobjective Optimizatio arya Yoshiazu Sawaragi, Hirotaa Naayama a Tetsuzo Taio, Noliear Programmig Theory a Algorithm arya Mochtar S Bazaraa, Haif D Sherali a C.M Shetty, A Itrouctio to Moel Builig arya Waye L Wisto, Metoe Numeri arya Riali Muir, Ditat uliah Optimisasi arya Salmah a buu-buu laiya yag apat ilihat paa aftar pustaa. Dalam peelitia ii pulaaa iberia cotoh perhituga umeri utu metoe Steepest Descet ega eua arah pecaria tersebut beserta aalisis a perbaiga eaurata solusi atara euaya. II. HASIL DAN PEMBAHASAN Defiisi Norm Diberia Y, sembarag ua vetor. Sembarag bilaga riil iamaa orm ari apabila memeuhi asioma-asioma sebagai beriut i. 0 ii. a 0 0 iii. a a, a R iv. Y Y Defiisi Kombiasi Liear [] Misala jia i, i m vetor-vetor i V maa isebut ombiasi liear ari vetor-vetor i m ai i i MT 80

3 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 Defiisi Betu Kuarati [6] F( ) c x c x... c x c x x c x x... c x x... ega cij, i, j, isebut fugsi betu uarati ega variabel bebas x, x,..., x R, Defiisi Fugsi Positif Betu uarati T T A isebut positif (egatif) efiit jia ( )0 A utu semua 0 T a terapat seuragya satu vetor ta ol seemiia higga A 0. Apabila tia memeuhi euaya, maa betu uarati tersebut iataa Tia efiite. Teorema Fugsi Defiit Suatu matris A iataa i. Positif efiit jia a haya jia i 0 ii. Negatif efiit jia a haya jia i 0 iii. Positif semi efiit jia a haya jia i 0 iv. Negatif semi efiit jia a haya jia i 0 ega i merupaa ilai-ilai eige ari matris A a etiasamaa icapai utu seuraguragya satu j. Apabila efiite. i tia memeuhi butir i,ii,iii, a iv maa matris A isebut Tia Defiisi Miimum Global [7] Fugsi Fx ( ) iataa memilii miimum global i x 0 alam S jia f ( x) f ( x0) Defiisi Miimum Loal Relatif Fugsi Fx ( ) iataa memilii miimum loal i x 0 alam S jia terapat seitar ari x 0 f ( x) f ( x ) seemiia higga 0 utu setiap x i alam perseitara tersebut. Algoritma Stepest Descet eganegatif Graie a Negatif Sigma Graie[8],[9],[0] Diberia suatu fugsi objetif x x x Z F( ) F( x, x,., x ) a aa itetua ilai {,,., } yag memiimalaatau memasimala fugsi Z F( ) tersebut i. Ambil { x, x,., x} R sembarag titi awal a 0 suatu ostata positif yag meyataa besarya esalaha atau galat yag itolerasi. Z Z Z,,, x x x,,, yag meyataa posisi iterasi ii. Dibetu fugsi graiet Z iii. Apabila Z,,,, a tetua Z ega maa iterasi berheti, sebaliya iterasi ilajuta MT 8

4 ISBN ega cara mecari titi estrim Z meerivatifa fugsi Z egative graie Z,,,, iv. Tetua v. Nilai itetua ega yai ega cara a meyamaegaa ol ega arah pecaria Berasara algoritma Stepest Descet ega arah pecaria egatifgraie Z,,,, aa iembaga suatu metoe Stepest Descet ega arah pecaria egatif sigma graiet. Algoritma Stepest Descet ega arah pecaria egative sigma graie memilii lagah yag sama ega metoe umeri steepest escet ega arah pecaria egatifgraie, amu alam hal ii arah pecaria iefiisia sebagai Z Z a iterasi berheti etia ilai orm Cotoh Numeri [] Diberia suatu fugsi Z( x, x ) 6x x x x x x 6 { x, x } metoe Stepest Descet, tetua pembuat miimum {0,} R tolerasi esalaha 0. Solusi Stepest Descet ega Arah Pecaria Negatif Graie Dalam soal ietahui iambiltiti awal {0,}, ega megguaa apabila iberia titi awal R ega tolerasi esalaha 0.. Berasara hal tersebut apat itetua ilai graie Z 0,.Karea ilai orm Z maa iterasi ilajuta ega arah pecaria Z 0 a iperoleh 0 0, 0.09 (Iterasi ). Apabila icari lebih lajut, aa iperoleh ilai 6 0.9,0.86 Z 0.67,.0 a ilai orm ega ilai graie Z Berasara hal tersebut iterasi ilajuta ega arah pecaria Z 0.67,.0 a 0.9 (Iterasi ). Paa Iterasi iperoleh 0.79,0.7 ega graie Z.086,0.88 a orm Z.6. Nilai arah pecaria Z.086, 0.8 ega Paa iterasi, ilai 0.96,0.8 ega ilai graie Z 0.,0.6 a ilai orm Z 0.6. Nilai arah pecaria iperoleh Z 0., 0.6 ega 0.8. Paa Iterasi, Dega megguaa lagah yag sama iperoleh 0.99,0.000 ega graie Z 0.07, 0.0 a ilai orm Z. Karea ilai orm 0. MT 8

5 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 Z, maa iterasi berheti a solusi umeri utu masalah optimisasi paa cotoh ii aalah {0.99,0.000} R. Peyajia perhituga isajiia alam tabel beriut ii. Iterasi TABEL. PERHITUNGAN NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN ARAH PENCARIAN NEGATIF GRADIEN Z Z {0,} 0, 0.9, , , ,0.8 0., , , , , 0.67,.0.086, , Dari tabel i atas, terlihat bahwa solusi umeri utu masalah optimisasi paa cotoh satu aalah. Apabila ilaua pegecea lebih lajut, solusi sejati utu masalah x 0.99 a x optimisasi paa cotoh ii aalah x a x 0 yag ihasila utu x aalah a x aalah 0.00., berasara hal tersebut galat ari solusi umeri Solusi Stepest Descet ega Arah Pecaria Negatif Graie Paa bagia ii aa icoba pecaria solusi umeri masalah optimisasi ii ega cara Stepest Descet ega arah pecaria egatif sigma graie. Paa iterasi, tetap ilaua pegambila titi awal iperoleh Z 0, ega Z {0,} R ega 0., selajutya 0. Lebih lajut arah pecaria 0 Z 0, a Apabila icari lebih lajut, aa iperoleh ilai 6 0.9,0.86 ega ilai graie Z 0.67,.0 a ilai orm Z 0.6. Berasara hal tersebut iterasi ilajuta ega arah pecaria Z 9.8,.0 a (Iterasi ). Paa Iterasi iperoleh.0,0.76 ega graie Z.678,.086 ilai ormiperoleh Z a.069. Nilai arah pecaria iperoleh Z 7.696, 8.90 ega Paa Iterasi iperoleh.,0.66 ega graie Z.998,.7890 ilai orm iperoleh Z a.988. Nilai arah pecaria iperoleh Z.6898, ega 0.0. MT 8

6 ISBN Paa Iterasi, ega megguaa lagah yag sama iperoleh.876,0.88 ega graie Z.08,.7 a ilai orm Z.Nilai arah pecaria iperoleh Z 0.660, ega , Hasil perhituga isajia alam tabel i bawah ii. a ilai Iterasi TABEL. PERHITUNGAN NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN ARAH PENCARIAN NEGATIF SIGMA GRADIEN. Z Z {0,} 0, 0.9, , , 9.8, ,0.76,678, , , ,, , , , , , Paa tabel i atas, terlihat bahwa iterasi tia mugi berheti iareaa ilai orm Z selalu lebih besar ari epsilo. Hal ii itaai ega ilai graie Z semai membesar a ilai,,,, yag semai membesar. Hasil perhituga ilai terlihat bahwa ilai x semai mejaui ari ilai asliya yai x, begitupu paa x yag juga mejauh ari ilai asliya yai x 0 mesipu sampai iterasi e, terlihat ilai x seolah meuju ilai asliya, amu hal emiia tia bear ega melihat paa iterasi selajutya imaa ilai x justru mejauhi ilai ol. III. SIMPULAN DAN SARAN Simpula Terapat beberapa hal yag mejai esimpula alam peelitia ii, iatarya:. Masalah optimisasi berasara fugsi ojetifya ibagi atas jeis yai masalah optimisasi sigle objetif a masalah optimisasi multi objetif.. Meurut variabel bebasya masalah optimisasi ibagi atas jeis yai masalah optimisasi ega satu variabel bebas a multi variabel bebas. Lebih lajut, meurut ealaya masalah optimisasi juga ibagi atas jeis yai masalah optimisasi ega a tapa eala. Masalah optimisasi sigle objetif tapa eala ega satu variabel bebas apat iselesaia ega metoe umeri gole rasio, Fiboacci, bisesi l, seaga masalah optimisasi sigle objetif tapa eala ega multi variable bebas apat iselesaia salah satuya ega metoe umeri Stepest Descet yag MT 8

7 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 06 { x, x,., x }. Metoe umeri Stepest Descet imulai ega megambil sembarag ega arah pecaria egatif graie Z Z,,,,. Iterasi berheti etia orm. Metoe umeri Stepset Descet ega arah pecaria egatif sigma graiet juga imulai ega megambil { x, x,., x }, amu megguaa arah pecaria Z. Iterasi berheti etia ilai orm Z,,,, 6. Paa cotoh alam peelitia ii, terlihat bahwa utu masalah optimisasi sigle objetif tapa eala memiimala Z( x, x ) 6x x x x x x 6 ega tolerasi esalaha 0., solusi umeri yag ihasila melalui Stepest Descet ega arah egatif graiet aa berheti paa iterasi e yai ega ilai x 0.99 a x ega ilai orm Z Galata atau esalaha yag ihasila utu x aalah a x aalah Berbea ega solusi umeri yag ihasila oleh Stepest Descet ega arah pecaria egatif graiet, solusi umer yag ihasila ega metoe umeri egaif sigma graiet justru tia aa berheti utu ilai iterasi berapapu. Hal ii apat isebaba ilai graie Z a,,,, aa semai membesar seirig bertambahya iterasi. Hal emia terlihat cotoh i atas ega ilai yag semai mejaui ari ilai asliya. Sara Terapat beberapa hal yag mejai sara alam peelitia ii, iatarya:. Umumya metoe umeri Stepest Descet ega arah pecaria egatif graie suah cuup bai alam meyelesaia masalah optimisasi sigle objetif tapa eala, amu peelitia utu megembaga arah pecaria yag lai tetap iperlua agar lagah iterasi utu mecari solusi umeri mejai lebih sigat a mejai semai aurat.. Beraca paa hasil Stepest Descet ega arah pecaria egatif sigma graie yag justu meghasila solusi yag tia optimal, maa perlu iembaga lagi arah pecaria yag lai agar solusi umeri ari masalah optmiasi mejai lebih aurat a ega lagah yag lebih seiit. UCAPAN TERIMA KASIH Ucapa terimaasih peulis ucapa epaa Retorat Uiversitas Muhammaiyah Tagerag a Departeme S Matematia ITB atas batua fiasial sehigga peulis apat meyelesaia paper a megiuti semiar asioal matematia a pembelajara matematia UNY paa taggal November 06 DAFTAR PUSTAKA [] Wiowati, Sutimi, Pemoela Matematia: Aalisis aapliasiya, Semarag, Peerbit Uip Press: 0 [] Muir, Riali. Metoe Numeri, Baug, Iformatia: 008 [] Epperso, James, A Itrouctio to Numerical Methos a Aalysis, New Yor: Joh Willey a Sos. Ic: 0 [] Otto, S.R. a Deier, J.P, A itrouctio to Programmig a Numerical Methos i Matlab, Loo, Spriger-Verlag: 00 [] Ato, Howar, Aljabar Liier Elemeter: Peerjemah Patur Silaba, Jaarta, Erlagga: 99 [6] Bazaraa, S. Mochtar,Noliear Programmig Theory a Algorithms, Loo, Joh-Willey Iter Sciece: 006 [7] Salmah, Ditat Optimisasi, Yogyaarya, FMIPA UGM: 0 MT 8

8 ISBN [8] Bober, William, A Itrouctio to Numerical a Aalytical Methos with Matlab for Egieers a Scietist, Loo: Taylor a Fracis Group: 0 [9] K.P.Chog,Ewi, A Itrouctio to Optimizatio, New Yor, Joh Wiley & Sos: 00 Ic. [0] Corless, Robert, M, a Fillio, Nicholas. A Grauate Itrouctio to Numerical Methos,Loo, Spriger-Verlag:0 [] Lia, Metoe Numeri Stepest Descet: Soal UAS FKIP UMT, 06 MT 86