METODE NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN DIRECTION DAN NORMRERATA ARITMATIKA

Transkripsi

1 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn METODE NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN DIRECTION DAN NORMRERATA ARITMATIKA Rumoo Bui Utomo Uiversitas Muhammaiyah Tagerag Abstract This research is ivestigatig of Steepest Descet umerical metho with irectio a orm arithmetic mea. This research is begi with try to uersta what Steepest Descet Numerical is a its algorithm. After that, we costructig the ew Steepest Descet umerical metho usig aother irectio a orm calle arithmetic mea. This paper also cotaiig umerical coutig examples usig both of these methos a aalyze them self. Keywors: Steepest Descet Methos, Graiet, Directio, Norm Arithmetic Mea PENDAHULUAN Tia selamaya solusi aaliti ari suatu permasalaha matematia hususya masalah optimisasi apat ega muah itemua. Teraag itemua eala yag cuup rumit sehigga solusi aaliti ari permasalaha optimisasi tersebut tia muah itemua. Berasara hal tersebut solusi umeri merupaa sesuatu hasil yag cuup bai utu icari mesi hasilya merupaa hampira atau peeata. Metoe umeri merupaa suatu metoe peeata (approximatio) ari solusi sejati, a berasara hal tersebut terapat besarya aga esalaha (eror) yag ihasila oleh perhituga umeri. Kesalaha ii lebih serig iaibata bai area pemotoga suu atau pembulata ilai (Riali, 8). Masalah optimisasi merupaa persoala yag baya megguaa metoe umeri alam mecari solusi peyelesaia tatala solusi aaliti sulit itemua. Meurut ealaya (costrai), masalah optimisasi ibagi ua yai masalah optimisasi ega eala a tapa eala, seaga meurut variabel bebasya masalah optimisasi juga ibagi atas ua, yai masah optimisasi ega satu variabel bebas a baya variabel bebas.masalah optimisasi juga ibagi atas ua bagia berasara bayaya fugsi objetif yag ioptimala, yai masalah optimisasi ega satu fugsi objetif a baya fugsi objetif. Metoe umeri utu meyelesaia masalah optmisasi ega eala apat megguaa metoe Kuh-Tucer atau pegali Lagrage, seaga utu masalah optimisasi tapa eala ega satu variabel bebas apat megguaa metoe Gole Rasio, Fiboacci, Bisesi, Dichotomus a Secat. Lebih lajut utu meyelesaia masalah optmisasi ega lebih ari satu variabel bebas apat megguaa metoe Asial, Newto, Hoo a Jeeves, Stepest Descet, Arah Kojugasi, a Roseberg (Bazaraa, 6). Utu meyelesaia masalah optimisasi ega baya fugsi objetif apat megguaa program liear multi objetif, amu hal tersebut tia ibahas alam tulisa ii Maalah ii membahas megeai metoe umeri Steepest Descet ega arah pecaria 8 Asioma Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro

2 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn (irectio)a eputusa berheti (orm) berupa rerata aritmatia. Maalah Metoe umeri Stepest Descet ega rerata aritmatia sebearya suah ibahas oleh peulis a ibawaa paa semiar asioal matematia UM malag, amu paa maalah tersebut eputusa berheti iterasi (orm) masih megguaa Z,,,. Dalam tulisa ali ii betu eputusa berheti suatu iterasi (orm) juga merupaa rerata aritmatia atau ega ata lai Z,,, Dietahui bahwa metoe Steepest Descet paa umumya megguaa arah pecaria graie biasa Z, seaga paa peelitia ii arah pecaria imoifiasi mejai rerata aritmatia Z. Tia haya arah pecaria (irectio) yag berupa rereta aritmatia, amu eputusa berheti satu iterasi mestiya juga berupa rerata aritmatia. Berasara hal tersebut alam tulisa ii iefiisia orm Z,,,. Peelitia ilaua ega memahami terlebih ahulu megeai metoe umeri Steepest Descet ega arah pecaria graie biasa emuia meyusualgoritma utu metoe Steepest Descet ega arah pecariairectio a eputusa berhetiormrerata aritmatia Dalam tulisa ii juga aa iberia cotoh perhituga umeri utu metoe Steepest Descet ega eua arah pecaria tersebut beserta aalisis a perbaiga eaurata solusi atara euaya. KAJIAN TEORI Defiisi Ruag Vetor (Ato, 99) Himpua ta osog V merupaa ruag vetor apabila x, y, z V a a, b R seemiia higga memeuhi asioma-asioma sebagai beriut: i. x y V ii. x y y x iii. x y z x y z iv. V sehigga V V v. x V sehigga x x vi. ax V a x y ax ay vii. viii. a b x ax bx ix. ab x abx x. x x Defiisi Norm (Ato, 99) Diberia, Y ua vetor. Sembarag bilaga riil iamaa orm ari apabila memeuhi asioma-asioma sebagai beriut i. ii. a iii. a a, a R iv. Y Y Defiisi Ruag Bagia (Ato, 99) Himpua bagia W ari V isebut ruag bagia ari V jia W ruag vetor ega operasi jumlah a ali sama seperti Defiisi Kombiasi Liear (Ato, 99) Misala, i m vetor-vetor i i V maa isebut ombiasi liear ari vetor-vetor i jia m ai i i Asioma 9 Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro

3 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn Defiisi Bebas Liear (Ato, 99) Vetor i, i m aggota-aggota V isebut ta bebas liear jia a haya jia terhaap bilaga-bilaga riil ta semuaya ol seemiia higga m a i i. Apabila pembuat ol i a, maa vetor-vetor haya i tersebut iataa bebas liear. Defiisi Basis Ortoormal (Salmah, ) Basis ortoormal i sebagai, T seaga utu iefiisia iefiisia l, T, l a basis ortoormal ega,,,,,,,,,,,, T T T l l l Defiisi Hubuga Dua Vetor (Salmah, ) Diberia ua buah vetor, Y ega x x x Y y y y {,,..., } {,,..., } a. Peryataa beriut apat ibutia bear i. Y jia a haya jia xi yi i, i,,..., ii. Y jia a haya jia xi yi i, i,,..., iii. Y jia a haya jia xi yi i, i,,..., Defiisi Bola Terbua (Salmah, ) Diberia x serta. Himpua, B x x x x merupaa perseitara ari x atau isebut bola terbua ega pusat x a raius. Defiisi Titi Dalam (Salmah, ) x isebut titi alam Titi (iterior poit) ari himpua jia B x sehigga Defiisi Titi Batas (salmah, ) Titi x isebut titi batas (bouary poit) ari himpua jia setiap seitar ari x memuat beberapa titi yag beraa i a beberapa titi yag tia beraa i Defiisi Himpua Terbua(Salmah, ) Himpua isebut himpua terbua jia setiap titi ari merupaa titi alam ari. Lebih lajut himpua Y merupaa himpua tertutup jia ompleme ari himpua terbua. Defiisi Himpua Tertutup(Salmah, ) Himpua isebut himpua tertutup jia himpua tersebut memuat semua titi batasya. Defiisi Betu Kuarati (Chog, ) F( ) c x c x... c x c x x, c x x... c x x..., ega c ij R, i, j isebut fugsi betu uarati ega x, x,..., x variabel bebas Defiisi Fugsi Defiit (Chog, ) T Betu uarati A isebut positif (egatif) efiit jia T A ( ) utu semua a terapat seuragya satu vetor ta ol T seemiia higga A. Apabila tia memeuhi euaya, maa betu uarati tersebut iataa iefiite Teorema Fugsi Defiit (Chog, ) Suatu matris A iataa Asioma Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro

4 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn a. Positif efiit jia a haya jia i b. Negatif efiit jia a haya jia i c. Positif semi efiit jia a haya jia i. Negatif semi efiit jia a haya jia i ega i merupaa ilai-ilai eige ari matris A a etiasamaa icapai utu seurag-uragya satu j. Lebih lajut apabila tia i memeuhi i,ii,iii,iv maa matris A isebut iefiite Defiisi Miimum Global (Chog, ) Fugsi F( x) iataa memilii miimum global i x alam S jia f ( x) f ( x ) Defiisi Miimum Loal Relatif (Chog, ) Fugsi F( x) iataa memilii miimum loal i x alam S jia terapat seitar ari x sehigga f ( x) f ( x) utu setiap x i alam perseitara tersebut. Defiisi Deret Taylor (Sawaragi, 985) Deret Taylor utu fugsi F( ) ega iefiisia sebagai x x x {,,..., } ' ( ) F( x) F( ) F( ) H ( )( x) ega merupaa suu bererajat besar, a H( ) merupaa metri Hessia yag iefiisia sebagai F F F x x x xx F F F H xx x xx..... F F F xx xx x Syarat perlu agar merupaa titi estrim ari fugsi F( ) aalah F( ) ega F F F F( ),,..., x x x Algoritma Stepest Descet (Bazaraa,6) Diberia Z F( ) F( x, x,., x ) a aa itetua ilai { x, x,., x } yag memiimala fugsi F( ) tersebut i. Ambil { x, x,., x} R yag merupaa sembarag titi awal a ò yag merupaa suatu ostata positif yag meyataa besarya esalaha eror yag itolerasi. ii. Dibetu fugsi graiet Z Z Z Z,,, a x x x tetuaz a laua utu Z iii. Apabila Z, maa iterasi berheti, sebaliya iterasi ilajuta iv. Tetua ega cara mecari titi estrim Z yai ega cara meerivatifa fugsi Z a meyamaegaa ol ega arah pecaria Z v. Nilai itetua ega METODE PENELITIAN Metoe utu melaua peelitia ii aalah stui literatur, yai ega membaca a memahami osep teori metoe umeri utu meyelesaia Asioma Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro

5 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn masalah optimisasi hususya Stepest Descet. Buu yag iguaa utu melaua peelitia ii atara lai buu-buu seperti, A Itrouctio to Optimizatio arya Ewi K.P.Chog a Staislaw H Za, Theory of Multiobjective Optimizatio arya Yoshiazu Sawaragi, Hirotaa Naayama a Tetsuzo Taio, Noliear Programmig Theory a Algorithm arya Mochtar S Bazaraa, Haif D Sherali a C.M Shetty, Metoe Numeri arya Riali Muir, Ditat uliah Optimisasi arya Salmah, Prosiig Rumoo paa semas UM yag berjuul Metoe Numeri Stepest Descet ega Arah Pecaraia Rerata Aritmatia a materi uliah metoe umeri program stui peiia matematia UMT yag peulis tulis seiri. Setelah memahami metoe umeri Stepest Descet ega arah pecaria Z iembaga graie metoe umeristepest Descet ega arah pecaria rerata aritmatia a iefiisia ega ega Z,,,. Z orm Terahir ilaua simulasi perhituga mecari solusi umeri ari masalah optimisasi ua variabel ega cara metoe umeri Stepest Descet ega arah pecaria graiet biasa ega rerata aritmatia beserta aalisis perhitugaya. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Berasara algoritma Stepest Descet ga arah pecaria graie Z, aa iembaga suatu metoe Stepest Descet ega arah pecaria rerata aritmatia. Algoritma Stepest Descet Dega Arah Pecaraia Rerata Aritmatia Diberia fugsi Z F( ) F( x, x,., x ) a aa itetua { x, x,., x } yag memiimala fugsi F( ) tersebut} i. Ambil { x, x,., x} R titi sembarag titi awal a ò suatu ostata positif yag meyataa besarya esalaha eror yag itolerassi. ii. Dibetu Z Z Z Z,,, x x x emuia tetua utu Z serta Z iii. Apabila Z, maa iterasi berheti, sebaliya iterasi ilajuta iv. Cari ega cara mecari Z titi estrim yai ega cara Z meerivatifa a meyamaegaa ol serta arah pecaria irectio Z a eputusa berheti iterasi orm Z,,, v. Apabila ilai hal ii isebut Rouig atau berputar putar, sehigga tia mugi ilaua iterasi selajutya. Berasara hal tersebut, perhituga harus ihetia a iambil esimpula bahwa ilai umeri Asioma Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro

6 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn ari suatu masalah optimisasi tapa eala aalah atau. Nilai hampira ii apat berupa ilai aaliti atau memag haya berupa ilai peeata. Cotoh Numeri (Rumoo, 6) Tetua ilai { x, x} yag memiimala Z( x, x) x x x x ega megguaa metoe Stepest Descet ega tolerasi esalaha ò. Solusi Stepest Descet ega Arah Pecaria Graie Ambil sebarag tit awal {, } R. Berasara masalah optimisasi i atas apat itetua Z 7,.Karea orm Z maa iterasi 7 ilajuta ega arah pecaria Z 7, a berasara hal tersebut apat iperoleh. 4 Apabila icari lebih lajut, aaiperoleh ilai, 4 ega Z, a ilai graie orm Z. Berasara hal tersebut iterasi berheti sehigga ilai x, x yag memiimala masalah optimisasi i atas aalah, 4. Karea Z hal ii megiiasia bahwa solusi umeri ii sama ega solusi aalitiya. Paa peyelesaia masalah optimisisasi tapa eala i atas, terlihat bahwa utu ilai awal {, } R a arah pecaria Z, solusi umeri yag ihasila sama ega solusi aaliti yai, 4 a lagah pegerjaaya haya mebutuha ua iterasi. Solusi Stepest Descet ega Arah Pecaria a Norm Rerata Aritmatia Tetap iambil sebarag tit awal {, } R. Berasara masalah optimisasi i atas apat Z 7,. itetua Karea orm Z maa 7 iterasi ilajuta ega arah pecaria Z 7, a berasara hal tersebut apat iperoleh. Apabila icari lebih lajut, 4 aa iperoleh ilai, 4 ega Z Z 7 a ega arah pecaria rerata sebagai beriut Z Z Z 7,. Beraara hal tersebut iperoleh sehigga,. 4 Perhatia bahwa ilai, 4, berasara hal tersebut terjai Rouig sehigga bagaimaapu perhituga iberhetia. Berasara hal tersebut ilai umeri iambil, yag ebetula juga 4 merupaa ilai aalitiya. Dega Asioma Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro

7 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn emiia, solusi yag itemua ega metoe ii sesuai ega solusi asliya. Cotoh Numeri (Rumoo, 6) Paag embali cotoh umeri. Apabila iambil {,} R, peyelesaia aa coba ilaua ega metoe Steepest Descet ega eua jeis arah pecaria. Solusi Stepest Descet ega Arah Pecaria Graie Berasara hal tersebut iperoleh Z 7, ega orm Z 5. Karea orm masih lebih besar ari, maa iterasi ilajuta. Arah pecaria Z 7, a berasara 5 hal tersebut apat iperoleh. 98 Apabila icari, iperoleh 76 74, ega Z.7,.494 a ilai orm Z.498, berasara hal tersebut iterasi ilajuta. Dega cara aalog, iperoleh Z.7,.494sehigga berasara hal tersebut apat iperoleh.49. Lebih lajut iperoleh iali.7,.54 ega ilai graie Z.7,.8 a ilaiorm aalah Z.7. Proses ilajuta sehigga iperoleh arah pecaria Z.7,.8 a.5.berasara hal tersebut iperoleh 4, 4 a graie Z 4, Z 4 ega ilai sehigga iterasi berheti a solusi umeriya juga merupaa solusi aaliti Solusi Stepest Descet ega Arah Pecaria a Norm Rerata Aritmatia Diambil {,} R sebarag ilai awal. Berasara hal tersebut iperoleh ilai graiet Z 7, egaorm Z 5. Karea orm masih lebih besar ari, maa iterasi ilajuta. Karea arah pecaria Z 7, maa berasara hal tersebut apat iperoleh Apabila icari, maa aaiperoleh ilai, ega ilai graie Z.7,.494 a orm Z Z.544. Nilai arah pecaria itetua ega Z Z Z.Berasara hal tersebut iperoleh.465, sehigga apat itemua ilai..7764, Asioma Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro

8 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn Lebih lajut Z.56,.49 ega Z i.69. Karea i orm masih lebih besar ari, maa iterasi ilajuta. Dega cara yag sama aa iperoleh.74,.667 ega.9 sehigga apat itemua 4.785,.749 ega Z 4.4,.4858 a orm 5 Z Iterasi i ilajuta sehigga iperoleh 4.678,.67 a 4.5. Berasara hal emiia iperoleh ilai 5.794,.79 ega Z 5.76,.478 a Z Berasara perhituga ii terapat ua hipotesa yag apat iambil yai Pertama ilai x semai mejauhi ilai asliya yai x.75 amu utu x terlihat meeati ilai asliya yai x.5 a suatu saat aa berheti etia aa tetap berheti saat i Z. Keuapaa saat ilai x emugiaa mecapai.5, iterasi tetap tia apat berheti iareaa aa emugia utu ilai orm i Z tiba tiba berbali lebih besar ari. Hal emiia apat terjai area salah satu bagia ari ilai Z i semai positif atau semai membesar. KESIMPULAN DAN SARAN Dari peelitia yag telah ilaua, terapat beberapa hal yag apat isimpula: i. Dalam suatu masalah optimisasi ua variabel tapa eala ega ilai awal tertetu, solusi umeri Stepest Descet ega arah pecaria egtif graie biasa aa meghasila solusi yag ieti ega solusi aaliti paa masalah optimisasi yag ibahas alam tulisa ii. Begitu pula ega solusi umeri yag ihasila oleh metoe Stepest Descet ega arah pecaria a orm rerata aritmatia. Solusi yag ihasia ieti ega solusi asli mesipu hal ii iaibata area Rouig ii. Solusi masalah optimisasi ega metoe Steepest Descet ega arah pecaria a ormrerata aritmatia ega titi awal yag lai meghasila salah satu ilai ari xi, i, yag mejauhi ilai asliya. Utu metoe Steepest Descet ega arah Z pecaria meghasila ilai x yag semai aurat ega solusi asli amu tia sama halya ega x yag justru mejauhi ilai asliya. Mesi emiia Asioma 5 Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro

9 e-issn Vol. 5, No. (6) 8-6 p-issn masih perlu iperisa apaah iterasi bear bear berheti atau suatu saat lai orm justru malah berbali membesar lebih ari ilai Hal emiia apat terjai area salah satu bagia Z i ari ilai semai positif atau semai membesar Aapu sara alam peelitia ii aalah perlu iostrusi arah pecaria rerata aritmatia yag pas agar bai ilai x maupu x yag ihasila apat meuju paa ilai yag seharusya, yai meeati atau sama ega solusi asalitiya a tia memilii emugia meghasila ilai orm yag justru aa membesar. Lebih lajut perlu iseliii utu masalah optimisasi yag lai ega ilai awal tertetu agar itemua esimpula umum megeai ecepata iterasi meemua solusi paa metoe umericsteepest Descet ega arah pecaria graiet biasa ega graiet a orm rerata aritmatia. Sawaragi, Yoshiazu Theory ofmultiobjective optimizatio. Loo: Acaemic Press Ic. Utomo, Rumoo. Bui. 6. MetoeNumeri Stepest Descet Dega Arah Pecaria Rerata Aritmatia, Prosiig Semas Matematia UM. Utomo, Rumoo. Bui. 6. Materi Ajar Metoe Numeri FKIP UMT. iuuh 8 Mei 6 DAFTAR PUSTAKA Ato, Howar. 99. Aljabar Liier. Peerjemah PaturSilaba. Jaarta: Erlagga Bazaraa. S. Mochtar. 6. Noliear Programmig Theory a Algorithms. Loo: Willey Itersciece K.P.Chog,, Ewi... A ItrouctioTo Optimizatio. USA: Joh Wiley & Sos, Ic. Muir, Riali. 8. Metoe umeri. Baug:Iformatia Salmah.. Ditat Optimisasi. Yogyaarya: FMIPA UGM 6 Asioma Jural Peiia Matematia FKIP Uiv. Muhammaiyah Metro