KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA

Transkripsi

1 KARAKTERISTIK GRUP YANG DIBANGUN OLEH MATRIKS N X N DENGAN ENTRI BILANGAN BULAT MODULO P, P PRIMA Ibu Hadi Program Studi Matematika, Uiversitas Negeri Jakarta, Idoesia ibu_hadi@uj.ac.id, ibu_uj@yahoo.co.id Abstrak Peelitia ii membahas kostruksi gru yag dibagu oleh matriks x dega etri bilaga bulat modulo, rima. Studi ustaka dega kajia teori dilakuka utuk medaatka eyelesaia ada eelitia ii. Himua matriks yag diguaka meruaka erumuma himua matriks modulo bilaga rima. Diberika suatu ilai ositif yag meruaka bilaga bulat sebarag utuk dijadika sebagai ukura matriks x da suatu bilaga rima sebarag yag aka meetuka bayakya matriks berukura x modulo. Jumlah matriks ada himua ditetuka megguaka kose rak matriks, kebebasa liier da bergatug liier dega mecari jumlah matriks sigularya terlebih dahulu. Jumlah matriks sigular bergatug dari bayakya matriks dega rak 1, 2 samai 1. Dega melihat ola yag mucul, daat ditetuka jumlah matriksya secara keseluruha. Selajutya, matriks yag diguaka ada gru meruaka matriks osigular dari himua matriks. Didaatka bahwa gru yag terbetuk meruaka gru higga. Subgru otrivial diberika sebagai salah satu karakteristik yag mucul ada gru ii. Lebih lajut, beberaa sifat yag mugki dikaji disamaika ada gru ii. Kata Kuci: modulo rima, rak matriks. 1. PENDAHULUAN Gru meruaka suatu struktur yag terdiri dari himua yag didalamya terdefiisi suatu oerasi bier yag memeuhi sifat-sifat tertutu, asosiatif, keberadaa idetitas, ivers. Pada teori gru, kostruksi suatu himua mejadi suatu gru mejadi hal mearik karea daat memuculka sifat-sifat baru yag berawal dari defiisi gru itu sediri. Pemiliha himua da oerasi yag terdefiisi didalamya meetuka karakteristik suatu gru yag dibagu. Herstei, (1975) memuculka cotoh soal himua matriks osigular berukura 2 x 2 dimaa etri matriksmatriksya meruaka bilaga bilaga bulat modulo rima. Jika diilih 2, maka himua matrik tersebut memiliki 6 aggota. Lebih lajut, jika diilih 3 maka himua tersebut memiliki 48 aggota. Permasalahaya adalah jika diambil bilaga rima sebarag, maka matriks harus ditetuka sedemikia rua sehigga didaatka bayakya aggota ada himua tersebut. Kerumita ada himua ii terletak ada bagaimaa meetuka bayakya aggota yag mugki ada. Hadi (2013) da (2014) telah medaatka erumuma jumlah matriks utuk sebarag bilaga rima utuk matriks 2 x 2 da matriks yag berukura 3 x 3. Sebagai kelajutaya, maka eelitia ii aka memerluas himua matriks osigular mejadi berukura x dimaa etri dari matriks tersebut teta bilaga-bilaga bulat modulo rima. Jika diberika suatu bilaga rima Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 677 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

2 sebarag, maka himua matriks osigular berukura x meruaka himua higga. Kerumita yag mucul ertama kali adalah eetua bayakya aggota himua matriks tersebut. Karea bayakya aggota himua ii bergatug dari ilai, maka jumlah eleme himua ii aka relatif bayak. Pada himua seerti iilah aka didefiisika suatu gru terhada erkalia matriks da aka ditelusuri karakteristik yag daat dimuculka dari gru tersebut. Gru ii juga aka mejadi cotoh utuk jeis gru berorde higga dega karakteristik khusus yag relatif sulit utuk dikostruksi. Lebih lajut, hasil eelitia ii etig karea aka medaatka suatu erumuma dari kasus khusus ada teori gru. Dari hasil temua ii diharaka utuk daat dikembagka lebih lajut megguaka teori-teori yag ada di dalam aljabar ada umumya. Misalka didefiisika himua matriks berukura x dega etri bilaga bulat modulo rima, maka daat dituliska dega otasi berikut Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 678 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016 a11 a12 a1 a11 a12 a1 2 2 G a11,, a, rima,det 0 a1 a2 a a1 a2 a Perhatika bahwa I G. Jadi G 0. Lebih lajut, jumlah matriks di dalam G (orde dari himua G ) yaitu G. Pertayaaya adalah beraa bayak matriks ada G yag sigular mauu sigular? Pada kasus matriks berukura 2x2, maka aka didaatka himua matriks osigular G,,,,, dega masig-masig matriks meruaka bilaga bulat modulo 2. Dalam 1 0 hal ii, jelas I2 G 0 1 matriks berukura 2 x 2 dega etri bilaga bulat modulo, bilaga. Daat dikataka bahwa ( G 6 ). Utuk 4 rima, didaatka dari Hadi, I, (2013) yaitu og da jika diambil 3, maka aka didaat og 48 da utuk 5 aka didaatka og 480. Selajutya, dari Hadi (2014), utuk matriks berukura 3 x3, maka jumlah matriks osigularya megikuti betuk o( G) Rumusa ii mejadi berbeda secara sigifika utuk setia ilai bilaga rima. Sebagai cotoh, jika = 2, maka

3 aka didaat og ( ) 168. Sedagka utuk = 3, aka didaat og ( ) Jumlah yag cuku bayak utuk dierhitugka secara maual da mecari betuk matriksya mejadi membosaka. Karea itu erlu dicari suatu rosedur yag rigkas utuk meetuka jumlah matriks secara umum. Berikut ii beberaa kose yag aka diguaka dalam meyelesaika ermasalaha ada eelitia ii. 1.1 Defiisi. Misalka S v1, v2,, v adalah suatu himua tak kosog dari vektor, maka ersamaa k1v 1 k2v2 k v 0 memiliki alig sedikit satu (trivial) eyelesaia yaitu k1 k2 k r 0. Jika haya ii meruaka solusiya, maka S disebut himua bebas liear. Sebalikya, S disebut himua yag bergatug liear. 1.1 Teorema. (Ato, 2005) Suatu himua S dega dua atau lebih vektor meruaka a. Bergatug liear jika da haya jika terdaat vektor di yag daat ditulis sebagai kombiasi liear dari vektor lai yag ada di S. b. Bebas liear jika da haya jika tidak ada vektor di yag daat ditulis sebagai kombiasi liear vektor-vektor di S. 1.2 Defiisi. Dimesi dari ruag baris da ruag kolom dari suatu matriks disebut rak dari A rak A. r r da diotasika dega 1.2 Teorema. (Ato, 2005) Suatu matriks rak A m. osigular jika da haya jika A S berukura m x m dikataka Perhatika matriks berukura x berikut. a11 a12 a1 2 a1 a2 a Jika setia etri dari matriks di atas meruaka bilaga bulat modulo bilaga rima, maka aka didaat jumlah matriks sebayak. Jumlah yag cuku bayak jika diambil, yag cuku besar. Lebih lajut, utuk meetuka matriks ii sigular atau tidak juga meruaka hal yag tidak mudah da memerluka rosedur yag baik utuk memastikaya. Oleh karea itu, ada embahasa aka diberika suatu ide bagaimaa memilah himua matriks G dega og 2 sedemikia sehigga didaatka haya matriks yag osigular saja. 1.3 Defiisi. Suatu himua tak kosog G dikataka membetuk suatu gru jika ada G terdefiisi suatu oerasi bier, disebut roduct (hasil kali) da diotasika dega sedemikia sehigga berlaku: a. Jika a, b G maka a b G (sifat tertutu ada gru). b. Jika a, b, c G maka abc ab c (sifat asosiatif ada gru). S 2 A Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 679 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

4 eg c. Terdaat suatu eleme sedemikia sehigga ae ea a utuk semua a G (eksistesi dari eleme idetitas di G ). ag 1 d. Utuk setia terdaat suatu eleme sedemikia sehigga 1 1 aa a a e (eksistesi ivers di G ). Lebih lajut, jika berlaku a b b a utuk setia, maka gru tersebut di sebut gru komutatif (gru Abelia). (Herstei, 1975) Jika himua ada gru meruaka himua higga maka gru seerti ii diamaka gru higga. Jika hiua ada gru meruaka himua takhigga maka gru ii meruaka gru takhigga. Bayakya himua ada suatu gru, disebut dega orde dari gru, diotasika dega G. Misalka G himua matriks bilaga bulat berukura x. Tulis Ambil A, B G Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 680 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016 a G a, bg a11 a12 a1 2 G a11,, a a1 a2 a. Daat ditulis a11 a12 a1 b11 b12 b1 2 A b21 b22 b 2 da B. a1 a2 a b1 b 2 b Dari teori matriks, maka AB G. Lebih lajut, jika A, B, C G maka berlaku ABC A BC G. Perhatika bahwa G karea I G. Aka tetai jika diambil matriks osigular di G, maka matriks tersebut tidak memiliki ivers. Jadi haruslah himua matriks G meruaka himua matriks osigular. 1.1 Lemma. (Herstei, 1975) Suatu subhimua tak kosog H dari gru G adalah suatu subgru dari G jika da haya jika a. Jika a, b H maka ab H. 1 b. Jika a H maka a H. 1.4 Teorema. (Herstei, 1975) Jika subgru dari G H G suatu gru higga da G, maka suatu embagi dari H suatu 1.4 Defiisi. Jika G suatu gru da a G, orde (eriode) dari a adalah m bilaga bulat ositif terkecil m sedemikia sehigga a e. 1.5 Defiisi. Suatu subgru N dari G dikataka suatu subgru ormal dari 1 G jika utuk setia g G da N berlaku gg N. 2. METODE PENELITIAN Tulisa ii megguaka metode eelitia kajia teori dari berbagai sumber yag releva dega materi yag dibahas. Peelitia ii dimulai

5 dega meemuka ermasalaha tetag erluasa cotoh suatu gru. Hadi (2013) da (2014) sudah meemuka erumuma betuk utuk kasus khusus bilaga rima dega ukura matriks 2 x 2 da 3 x 3. Peelitia ii di mulai dega mecari teori yag releva da alig mudah utuk diguaka dalam mecari jumlah matriks berukura x modulo bilaga rima. Dalam hal ii, teori yag diilih megguaka kose rak matriks, kebebasa da bergatug liier dari suatu vektor. Daat diagga bahwa eleme baris dari suatu matriks x meruaka vektor baris. Selajutya, bayakya jumlah dari himua matriks ii dega cara meetuka jumlah matriks sigularya terlebih dahulu. Teryata, mucul beberaa kemugkia betuk dari matriks sigular ii berdasarka rak matriksya. Selajutya, ditetuka suatu ola jumlah matriks dari setia kasus yag mucul sehigga total jumlah matriks sigular daat ditemuka. Dari hasil iilah aka didaatka jumlah matriks osigular yag atiya aka dikostruksi mejadi gru da dicari beberaa karakteristikya. Sebagai tambaha, eelitia ii masih belum selesai karea bayak sekali sifat dari gru yag belum dikaji. Masih terbuka kemugkia egembaga dari matriks ii dikaitka dega kose gru, gelaggag atauu kose-kose aljabar laiya. 3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Misalka diberika himua matriks a11 a12 a1 a11 a12 a1 2 2 G a11,, a, rima,det 0 a1 a2 a a1 a2 a Aka ditetuka beraa jumlah matriks osigular ada G. Ideya adalah dega melihat beraa bayak jumlah matriks sigularya lebih dulu. Dalam hal ii, beberaa kemugkia matriks sigular yag terbetuk yaitu Kasus 1. Utuk matriks dega rak ol, maka aka didaat satu da haya satu matriks yaitu matriks ol berukura x. Kasus 2. Utuk matriks berukura x dega rak satu, terdaat beberaa kemugkia yaitu a. Jika baris ertama samai baris ke ( 1) dari matriks berbetuk 0 0 0, maka baris ke dari matriks tidak boleh berbetuk Akibatya, aka ada sebayak 1 kemugkia utuk matriks seerti ii. Perhatika betuk reresetasi matriks yag memeuhi kriteria ii. Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 681 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

6 a1 a2 a dega a 1, a 2,, a tidak semua ol , b. Jika baris ertama samai baris ke ( 2) berbetuk maka baris ke meruaka keliata dari baris ke ( 1). Misalka baris ke ( 1) berbetuk a 11 a 12 a 1, maka baris ke haruslah berbetuk ka 11 ka 12 ka 1 dega k 0,1,, 1. Karea terdaat kemugkia utuk meghasilka baris ke ( 1), maka jumlah utuk matriks berukura x dega kasus ii sebayak. Sebagai ilustrasi, erhatika matriks berikut a 11 a 12 a 1 ka 11 ka 12 ka 1 dega a 11, a 12,, a 1 tidak semua ol da k 0,1,, 1. c. Jika baris ertama samai baris ke ( 3) ada matriks x berbetuk maka baris ke da baris ke ( 1) meruaka 1 1 keliata dari baris ke ( 2). Misalka baris ke ( 2) berbetuk a 21 a 22 a 2 maka baris ke da baris ke ( 1) masig-masig aka berbetuk ma 21 ma 22 ma 2 da a 21 a 22 a 2 dega m, 0,1,, 1. Karea terdaat 1 kemugkia utuk meghasilka baris ke ( 2), maka jumlah utuk matriks berukura x dega kasus ii sebayak 2 1 berikut. Sebagai ilustrasi, erhatika betuk martiks berukura x Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 682 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

7 ma 21 ma 22 ma2 2 dimaa a21, a22,, a 2 tidak semua ol da m, 0,1,, 1. Jika dierhatika olaya, maka bayakya matriks dega rak 1 daat 1 k ditulis dalam betuk 1 dega bilaga rima, ukura k0 matriks x. Kasus 3. Utuk matriks berukura x dega rak 2, maka kemugkiaya adalah a. Jika baris ertama samai baris ke ( 2) berbetuk maka baris ke ( 1) da ke keduaya tidak bisa berbetuk da salig bebas liier. Jadi jika baris ke ( 1) berbetuk a 11 a 12 a 1 da baris ke daat berbetuk sebarag kecuali la 11 la 12 la 1 dega 0,1,, 1 l. Lebih lajut, karea terdaat 1 utuk membetuk baris ke ( 1) da cara membetuk baris ke, maka terdaat sebayak 1 matriks yag memeuhi syarat ii. b. Jika baris ertama samai baris ke ( 3) berbetuk 0 0 0, baris ke ( 2) tidak berbetuk da baris ke ( 1) meruaka keliata dari baris ke ( 2), maka baris ke harus bebas liier terhada baris ke ( 2). Karea terdaat 1 cara utuk membetuk baris ke ( 2), cara utuk membetuk baris ke ( 1) da cara membetuk baris ke, maka terdaat sebayak 1 utuk matriks dega jeis ii. c. Jika ertama samai baris ke ( 3) berbetuk da baris ke ( 2) tidak berbetuk 0 0 0, baris ke ( 1) bebas liier terhada baris ke ( 2), maka baris ke harus meruaka kombiasi liier dari baris ke ( 2) da baris ke ( 1). Jadi jika baris ke ( 2) berbetuk a 21 a 22 a 2 da baris ke ( 1) Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 683 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

8 berbetuk a 11 a 12 a 1 maka baris ke berbetuk xa 21 ya 11 xa 22 ya 12 xa 2 ya 1 dega x, y 0,1,, 1. Karea terdaat cara utuk membetuk baris ke ( 2), sebayak cara utuk membetuk baris ke, maka terdaat matriks dega jeis ii. Jika ditotal, maka bayakya matriks berukura x dega rak 2 sejumlah 1 1 k. Lebih lajut, dega cara yag serua, k0 bayakya matriks berukura x dega rak 3 sejumlah k sehigga didaatka jumlah matriks dega k0 2 1 k rak (-1) sebayak 1. Jadi, jumlah seluruh matriks sigular ada himua matriks G adalah 2 j 1 k 1 1. j0 k0 Dari sii, disimulka bayakya aggota himua yaitu 2 2 j 1 k 1 1 j0 k0 atau 2 2 j 1 k G 1 1 j0 k0 Dari hal ii, maka daat gru dega himua matriks berukura x dega etri bilaga bulat modulo rima daat dibetuk. Gru ii meruaka gru higga dega orde bergatug emiliha ilai da. Lebih lajut, gru yag dibagu oleh himua matriks G meruaka gru o-abelia (tidak komutatif) karea berdasarka sifat-sifat ada teori matriks, terdaat A, B G sedemikia sehigga A B B A. Jika dimisalka a11 a12 a1 a11 a12 a1 2 2 H a11,, a, rima,det 1 a1 a2 a a1 a2 a maka daat dibuktika bahwa H membetuk subgru dari G. Permasalaha selajutya yag daat dikaji adalah jika diambil sebarag A I G, misalka k0 Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 684 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

9 a11 a12 a1 2 A a1 a2 a Aka ditetuka bilaga bulat ositif terkecil m sedemikia sehigga m A I. Artiya, harus ditemuka suatu agkat dari matriks A sedemikia sehigga hasil kaliya meruaka matriks idetitas di G. Jika, maka. Permasalaha ii mejadi mearik da terbuka utuk diselesaika. Diharaka ada eulisa selajutya, daat ditemuka bilaga bulat ositif A 2 I m A I A A 1 terkecil m sehigga utuk A A I.Permasalaha lai yag mugki bisa dikaji adalah mecari koset dari gru G jika diketahui orde dari subgru H. Dalam hal ii, eulis belum medaatka hasil yag releva. Diharaka jika sudah diketahui kaita atara gru, subgru da kosetya, aka ditemuka karakteristik dari gru G terutama terkait keormala dari subgru-subgruya. 4. SIMPULAN Kesimula ada eelitia ii atara lai bahwa gru yag dibagu dari matriks berukura x dega etri bilaga bulat modulo rima meruaka gru higga dega jumlah eleme bergatug dari ilai da. Gru ii jelas memiliki subgru trivial. Tetai utuk megkostruksi subgru otrivialya dierluka embahasa lebih lajut. Orde dari setia elemeya erlu ditemuka betukya secara umum. Sebagai tidak lajutya eelitia, disaraka agar semua sifat yag sudah dikeal di dalam teori gru daat ditelaah ada gru ii. 5. DAFTAR PUSTAKA Ato, Howard da Chris Rorres, (2005), Elemetary Liear Algebra 9 d ed., Joh Wiley ad Sos, New York Burto, David M, (2002), Elemetary Number Theory,McGraw Hill Durbi, Joh R, (2005), Moder Algebra A Itroductio 6 d ed, Joh Wiley ad Sos, New York Herstei, I.N, (1975), Toics i Algebra, Joh Wiley ad Sos, New York Hugerford, Thomas W, (1974), Algebra, Sriger-Verlag, New York Hadi, I, (2013), Karakteristik Gru yag Dibagu oleh Himua Matriks Berukura 2x2 Dega Etri Bilaga Bulat Modulo P, Prosidig Semiar Matematika da Pedidika Matematika, Malag, 18 Mei Hadi, I., Mahatma, Y (2014), The Proerties of Grou of 3x3 Matrices Over Itegers Modulo Prime Numbers, Proceedig of Iteratioal Coferece O Research, Imlemetatio Ad Educatio Of Mathematics Ad Scieces 2014, Yogyakarta State Uiversity May Koferesi Nasioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 685 Uiversitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016