Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Transkripsi

1 Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar, sedangkan luas daerah segitiga adalah setengah perkalian alas kali tinggi. Untuk luas poligon dapat dicari dengan membagi poligon menjadi beberapa segitiga. L = w. l L = bh L = A + A + A + A Tetapi, tidak mudah untuk mencari luas daerah yang dibatasi suatu kurva. Misalnya tentukan luas daerah S yang berada di bawah kurva y = f(x) dari a sampai b, yaitu S dibatasi oleh (i) fungsi kontinu f (dengan f(x) 0), (ii) garis vertikal x = a, (iii) garis vertikal x = b. Untuk mencari luas daerah di atas, dapat didekati dengan membuat daerah S ke dalam beberapa persegi panjang (misal sebanyak n) dengan lebar sama x =. Sehingga diperoleh luas pendekatan: R = f(x ) x + f(x ) x + + f(x ) x = f(x ) x Catatan: Persegi panjang menggunakan tipe right endpoint.

2 Left endpoint Right endoint Perhatikan bahwa semakin banyak persegi panjang, maka pendekatan luas S semakin bagus (teliti). Definisi. Luas daerah S yang berada di bawah fungsi kontinu f adalah limit dari penjumlahan luas persegi panjang pendekatan: L = lim R = lim f(x ) x + f(x ) x + + f(x ) x = lim f(x ) x Jika persegi panjang menggunakan tipe midpoint, seperti pada gambar di bawah, diperoleh L = lim R = lim f(x ) x + f(x ) x + + f(x ) x = lim f(x ) x Contoh. Diberikan daerah A yang berada di bawah kurva f(x) = e antara x = 0 dan x = 2.

3 a. Menggunakan right endpoint, tulis rumus luas daerah A dalam limit. b. Estimasi luas daerah A menggunakan midpoint dan 4 subinterval. a. Karena a = 0 dan b = 2, maka lebar subinterval x = = =. Sehingga diperoleh endpoint setiap subinterval x =, x =, x =, x =, dan x =. Jumlah luas persegi panjang pendekatan adalah R = f(x ) x + f(x ) x + + f(x ) x = e x + e x + + e x = e / + e/ + + e/ = e + e + + e Jadi, luas daerah A adalah L = lim R = lim e + e + + e = lim e/ b. Dengan n = 4, maka x = = 0.5. Sehingga diperoleh subinterval [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], dan [1.5, 2] The midpoint dari masing-masing subinterval adalah x = 0.25, x = 0.75, x = 1.25, dan x = 1.75 Jadi, luas pendekatan daerah A adalah L = f(x ) x = f(0.25) x + f(0.75) x + f(1.25) x + f(1.75) x = e. x + e. x + e. x + e. x

4 B. Integral Tertentu (The Definite Integral) Definisi. Jika f fungsi kontinu yang terdefinisi pada a x b, interval [a, b] dibagi menjadi n subinterval dengan lebar sama, x = (b a)/n. Misal x (= a), x, x,, x (= b) adalah endpoint dari subinterval tersebut dan dipilih sample point x, x,, x pada masing-masing subinterval, sehingga x berada pada subinterval ke i, yaitu [x, x ]. Maka integral tertentu dari f dari a ke b adalah f(x)dx = lim f(x ) x Catatan. Di dalam penulisan integral tertentu f(x)dx: (i) (ii) (iii) (iv) f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas, disebut tanda integral. Jika f(x) 0, penjumlahan Riemann f(x ) x adalah jumlah luas persegi panjang. Jika f(x) 0, integral f(x)dx adalah luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b. Jika terdapat kurva f yang berada di bawah sumbu x, maka f(x)dx = L(+) L( ) (x 6x)dx = A A = 6.75 Contoh. Perhatikan grafik fungsi f(x) = x 1 dari 0 sampai 3.

5 Diperoleh: (x 1)dx = A A = (2.2) (1.1) = 1.5. Sifat-sifat Integral Tertentu 1. f(x)dx = f(x)dx 2. f(x)dx = 0 3. cdx = c(b a) 4. cf(x)dx = c f(x)dx 5. [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx 6. [f(x) g(x)]dx = f(x)dx 7. f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx g(x)dx 8. Jika f(x) 0 untuk a x b, maka f(x)dx 0 9. Jika f(x) g(x) untuk a x b, maka

6 f(x)dx g(x)dx 10. Jika m f(x) M untuk a x b, maka m(b a) f(x)dx M(b a) Teorema. Jika f kontinu pada interval [a, b], maka f(x)dx = F(b) F(a) dengan F sebarang antiderivatif dari f, yaitu F = f. Contoh. x dx = x =. 1 0 =. Pada contoh, antiderivatif dari f(x) = x adalah F(x) = x, karena F = f. C. Integral Tak Tentu (Indefinite Integral) Tabel Integral Tak Tentu 1. [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx 2. cf(x)dx = c f(x)dx 3. x dx = + C (n 1) 4. dx = ln x + C 5. e dx = e + C 6. a dx = 7. sin x dx = cos x + C 8. cos x dx = sin x + C 9. sec x dx = tan x + C 10. csc x dx = cot x + C 11. sec x tan x dx = sec x + C 12. csc x cot x dx = csc x + C 13. tan x + C 14. sin x + C Contoh. 1. Tentukan (10x 2 sec x)dx.

7 2. Tentukan (x 6x)dx. 3. Tentukan 2x 6x + dx. 4. Tentukan dt.

8 D. Aplikasi (Applicatios) Perhatikan grafik kecepatan berikut. Perpindahan (displacement) = v(t)dt = A A + A Jarak (distance) = v(t) dt = A + A + A Contoh. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan kecepatan pada waktu t dirumuskan: v(t) = t t 6 dalam m/dt. Tentukan a. Perpindahan partikel selama periode waktu 1 t 4. b. Jarak perjalanan selama periode waktu tersebut. a. Diperoleh Hal ini berarti posisi partikel pada saat t = 4 berada sejauh 4.5 m di sebelah kiri dari posisi awal pada saat t = 1. b. Catatan bahwa v(t) = t t 6 = (t 3)(t + 2), sehingga v(t) 0 pada interval [1,3] dan v(t) 0 pada interval [3,4]. Jadi diperoleh

9 E. Integral Parsial (Integration by Part) Rumus integral parsial: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) g(x)f (x)dx. Jika dimisalkan u = f(x) dan v = g(x), maka du = f (x)dx dan dv = g (x)dx Jadi diperoleh udv = uv vdu Contoh: 1. Tentukan xsin x dx. Misal Diperoleh 2. Tentukan ln x dx. Misal

10 Diperoleh F. Luas Daerah (Area) Jika A adalah daerah yang dibatasi kurva y = f(x), y = g(x), dan garis x = a, x = b, dimana f dan g kontinu dan f(x) g(x) untuk setiap x di [a, b], maka luas daerah A adalah L = [f(x) g(x)] dx Contoh 1. Tentukan luas daerah yang diatasi kurva y = e, y = x, dan garis x = 0 dan x = 1. L = (e x)dx = e x ] = e 1 = e 1.5

11 Contoh 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi parabola y = x dan parabola y = 2x x. Pertama ditentukan titik potong antara kedua parabola, yaitu x = 2x x 2x 2x = 0 2x(x 1) = 0 diperoleh x = 0 atau 1. Jadi, diperoleh titik potong (0,0) dan (1,1) Dari grafik diperoleh L = (2x x x )dx = 2 (x x )dx = (2x 2x )dx = 2 = 2 = Jika A adalah daerah yang dibatasi kurva x = f(y), x = g(y), dan garis y = c, y = d, dimana f dan g kontinu dan f(y) g(y) untuk setiap y di [c, d], maka luas daerah A adalah L = [f(y) g(y)] dx Contoh. Tentukan luas daerah antara y = x 1 dan parabola y = 2x + 6.

12 Dengan menyelesaikan persamaan x 1 = 2x + 6 diperoleh titik potong ( 1, 2) dan (5,4). Dari grafik, diperoleh x = y 3 dan x = y + 1 Jadi, luas daerah tersebut adalah