TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :"

Suharto Yuwono
7 tahun lalu
Tontonan:

1 TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m. n 5. ( a ) = a n 6. a m. a n = a m+ n 7. a m : a n = a m n m m m 8. ( a b) = a b m m a a 9. = m b b 0 0. a =, dengan a 0. ( )( ) a b a + b = a b A. Turunan Fungsi Aljabar Rumus turunan fungsi aljabar. f() = a n f () = a n n-. f() = a f () = a. f() = a f () = 0 Rumus turunan fungsi aljabar bentuk sederhana 4. f() = u v f () = u v + u v

2 u 5. f() = v u' v u v' f () = v Contoh :. Tentukan turunan dari f() = + 4!. Tentukan turunan dari f() =!. Tentukan turunan dari f() = ( )! 4. Tentukan turunan pertama fungsi f() = ( ) ( + )! 5. Tentukan turunan pertama fungsi f() = Penyelesaian :. Diketahui f() = + 4! f() = + 4 f () = f () = 6 + +!. Diketahui f() =! f() = f () = f () = f () = f () =

3 f () =. Diketahui f() = ( )! f() = ( ) = f() = f () = f () = 4 4. Diketahui f() = ( ) ( + )! f() = ( ) ( + ) Misal : u = ( ) u = v = ( + ) v = Maka : f () = u v + u v f () = ( + ) + ( ) f () = ( + 4) + ( ) f () = (4 + ) 5. Diketahui f() = +! f() = +! Misal : u = + u = + Maka : u' v u v' f () = v v = v =

4 ( ) ( + + ) f () = ( ) ( + + ) f () = + 0 f () = f () = B. Turunan Fungsi Trigonometri Rumus fungsi trigonometri : d d. [ cos ] = sin d d. [ sin ] = cos d. [ tan ] = sec d Rumus-rumus yang lain : d 4. [ ctg ] = cosec d d d 5. [ sec ] = sec tan d d 6. [ cosec ] = cosec ctg d d 7. [ sin ( a + b) ] = a cos( a + b) d d 8. [ cos ( a + b) ] = a sin( a + b) d d 9. [ tan ( a + b) ] = a sec ( a + b) 4

5 Contoh : Tentukan turunan fungsi berikut :. f() = + sin. y = + cos. f() = sin + 4 cos 4. f() = sin 5. f() = sin cos. Diketahui f() = + sin f() = + sin f () = + cos. Diketahui y = + cos y = + cos y = 0 + (- sin ) y = - sin. Diketahui f() = sin + 4 cos f() = sin + 4 cos f () = (cos ) + 4 (- sin ) f () = cos - 4 sin 4. Diketahui f() = sin f() = sin Misal : u = u = v = sin v = cos 5

6 Maka : f () = u v + u v f () = sin + cos f () = sin + cos 5. Diketahui f() = sin cos f() = sin cos Misal : u = sin u = cos v = cos v = - sin Maka : f () = u v + u v f () = cos cos + sin - sin f () = cos sin dy C. Aturan dalil rantai untuk mencari turunan fungsi ( y = f () = ) d dy dy du dv dt dz = d du dv dt dz d Contoh :. Tentukan turunan pertama fungsi y = ( + ) 5 y = ( + ) 5 Misal : u = du + = 4 + d y = u 5 dy = 5u 4 du 6

7 Maka : dy y = d y = dy du du d y = 5u 4 (4 +) y = 5( + ) 4 (4 + ) y = ( + ) 4 (0 + 5) y = (0 + 5) ( + ) 4. Tentukan turunan pertama fungsi y = (4 + 5)! y = (4 + 5) y = (4 + 5) - 4 y = (4 + 5). Tentukan turunan pertama fungsi f() = ( ) f() = ( + ) = ( + ) +! f () = ( + ) f () = ( + ) = ( + ) 7

8 D. Interval naik dan turun Untuk menentukan interval fungsi f() naik atau turun adalah :. Jika f () > 0 fungsi f naik. Jika f () < 0 fungsi f turun. Jika f () = 0 fungsi f tidak naik dan tidak turun (stationer) Contoh : Tentukan interval f() naik, turun, dan koordinat titik stationer dari f =. ( ) + f ( ) = + f '( ) = f() naik jika f () > 0 > 0 ( ) > 0 Harga nol : = 0 atau = 0 = Jadi, f() naik pada interval : 0 < < f() turun jika f () < 0 < 0 ( ) < 0 Harga nol : = 0 atau = 0 = Jadi, f() naik pada interval : < 0 atau >

9 f() stationer jika f () = 0 = 0 ( ) = 0 Harga nol : = 0 atau = Untuk = 0 maka nilai Untuk = maka nilai y y = + = + y = y = y = 0 y = Jadi koordinat titik stationernya (0, ) dan (, ). f ( ) = + 9

10 f ' ( ) = E. Menggambar grafik fungsi aljabar Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagai berikut:. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya.. Tentukan beberapa titik pada kurva untuk memperhalus gambar. 4. Gambarlah kurva berdasarkan hasil pada point, dan diatas. Contoh : 7 y! Gambar grafik = f ( ) = + 5 Langkah : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat. a. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = = 0 dalam hal ini titik potong dengan sumbu X sukar ditentukan. 0

11 b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika = 0 7 y = = 5 titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5) Langkah : Menentukan titik stationer dan jenisnya. 7 Dari y = f ( ) = + 5 maka ' ( ) = 7 + Nilai stationer dicapai jika f () = 0, sehingga : 7 + = 0 ( )( 4) = 0 = atau = 4 f. Nilai-nilai stationernya : Untuk = maka f ( ) Untuk = 4 maka f ( ) = = = = 8 8 f() naik jika f () > 0, maka : 7 + > 0 ( )( 4) > 0 < atau > f() turun jika f () < 0, maka : 7 + < 0 ( )( 4) < 0 < <

12 Tanda-tanda f () disekitar = dan = f () > 0 f () < 0 4 f () > 0 Berdasarkan bagan diatas maka : f() = 8 merupakan nilai balik maksimum, sebab f () berubah tanda dari positif menjadi negatif. f() = 8 merupakan nilai balik minimum, sebab f () berubah tanda dari negatif menjadi positif. Langkah : Ambil beberapa titik tertentu untuk memperhalus kurva 4 5 f() Langkah 4 : Beberapa titik yang diperoleh dari langkah-langkah diatas digambar pada bidang cartesius, sehingga diperoleh grafik yang diminta.

13 Titik balik maksimum (, 8 ) (5, 9 ) (, 7 ) (4, Titik balik minimum 8 ) 4 - (, 5 ) (0, -5)

14 F. Menentukan Nilai Stationer Misalkan y = f() maka turunan keduanya adalah y = f (). Jika y < 0, maka kurva f cekung (terbuka) ke bawah. Jika y > 0, maka kurva f cekung (terbuka) ke atas. Contoh : Tentukan interval dimana grafik y = f() = 4 + a. cekung ke atas b. cekung ke bawah y = f() = 4 + y = 8 6 y = 4 6 = 6 (4 ) a. y cekung ke atas jika y > 0, 6 (4 ) > 0 6 ( + ) ( ) > 0 < atau > Jadi kurva f cekung ke atas pada interval < b. y cekung ke bawah jika y < 0, 6 (4 ) < 0 6 ( + ) ( ) < 0 < < Jadi kurva f cekung ke bawah pada interval Misalkan f (a) = 0 : atau >. < <. Jika f (a) < 0, maka f(a) merupakan nilai balik maksimum fungsi f. Jika f (a) > 0, maka f(a) merupakan nilai balik minimum fungsi f. Jika f (a) = 0, maka nilai stationer fungsi f tidak dapat ditentukan. 4

15 Contoh : Tentukan nilai-nilai stationer fungsi f() = f() = f () = + 9 f () = 6 Titik-titik stationer diperoleh jika f () = 0, maka : + 9 = = 0 ( ) ( ) =0 = atau = Untuk =, maka f() = = 5 Untuk =, maka f() = = Jadi nilai-nilai stationer f() adalah 5 dan. f () = 6. = -6 < 0, maka f() = 5 merupakan nilai balik maksimum. f () = 6. = 6 > 0, maka f() = merupakan nilai balik minimum. f() = f' ( ) = f"() = 4-6 5

16 f() = f'() = f () = 6-6

17 G. Gradien dan Persamaan Garis Singgung pada Kurva Gradien garis singgung pada kurva y = f() di = a adalah : m = = Contoh : f (a) dy d. Tentukan gradien dari kurva y = 4 + dititik (, -)!. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = + dititik (, )!. y = 4 + y = 4 titik (, -) (, y) maka gradiennya adalah m = y m = 4 m =. 4 m = 6 4 =. y = + y = titik (, ) (, y) maka gradiennya adalah m = y m = m =. = Persamaan garis singgung melalui (, ) dengan m = adalah (y - y ) = m ( ) (y ) =. ( ) y = y = 7

18 SOAL LATIHAN TURUNAN. y = y =?. f() = - + f () =?. f() = + f () =? 4. f() = + + f () =? 5. y = 4 y =? 6. f() = 7. f() = 8. f() = f () =? + f () =? f () =? f() = ( 5) ( 5 + ) f () =? 0. f() = + + f () =?. y = + + dy =? d 8

19 . y = y =? +. Suatu fungsi ditentukan dengan f() = a + b +c. Jika f() = 6, f (0) = dan f () = 4. Tentukan a, b dan c? 4. f() =. cos f () =? 5. f() = 4 + sin f () =? 6. f() = 4. tan f () =? 7. f() = sin ( ) f () =? 8. f() = cos. (sin +) f () =? 9. f() = + + sin f () =? 0. y =. sin dy =? d. f() = f () =? + sin cos. Persamaan garis singgung y = + + pada titik (, 6) adalah. Persamaan garis singgung y = pada titik (, ) adalah 9

20 4 f adalah 4 4. Gambar grafik fungsi ( ) = Gambar grafik fungsi ( ) = + f adalah 0

dokumen-dokumen yang mirip

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim