m= f x -f x (1) l 1 A Kemiringan garis l 1 =m 1 Kemiringan garis l = m x x x 1 h Gambar 11.3
|
|
- Indra Wibowo
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TURUNAN 11.1 GARIS SINGGUNG Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 11.1 Akan tetapi jika terdapat a buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 11.2 A Gambar 11.1 A B l Gambar 11.2 Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang Matematika Dasar Page 144
2 terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan m fx-fx x-x y (1) l 1 A l B Kemiringan garis l 1 m 1 Kemiringan garis l m x x x 1 h x Gambar 11.3 Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x 1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk, fx-f(x) limm lim m (2) x-x Persaman (2) adalah kemiringan garis l 1 jika x mendekati x 1. Jika kita perhatikan Gambar 3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x 1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi Matematika Dasar Page 145
3 fx-f(x) limm lim m x-x Sehingga m lim fx-f(x) x-x Karena x x h, maka m lim fx+h-f(x) h fx+δx-f(x) Jika dimisalkan h fx, maka m lim Δx Persamaan (3) s/d (5) adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x)) (3) (4) (5) Contoh 11.1 Diketahui f(x) 3x 2 +5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a 2 ) Penyelesaian fx+δx-f(x) m lim Δx 3x+Δx+5-3x-5 3x+6xΔx+3(Δx)+5-3x-5 lim lim Δx Δx lim 6x + 3Δx6x Jadi m 6x (*) Persamaan garis singgung : y mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a 2 ) maka : persamaan (*) menjadi :m 6a persamaan (**) menjadi : a 2 6a 2 + n. Sehingga n -5a 2 Persamaan garis singgung menjadi : y 6ax 5a 2 A. Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukanf (x) menjadi turunan f(x) atau f (x). Matematika Dasar Page 146
4 f(x) differensiasi f (x) Gambar 11.4 Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan (3) dan Gambar 3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk, fx lim fx-f(x) x-x, jika nilai limitnya ada (6) jika persamaan (6) dapat dipenuhi berarti f(x) dapat diferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x. Contoh 11.2 Jika f(x) 2x , tentukan f (x),f (c) dan f (3) Penyelesaian f(x) 2x f(x+δx) 2(x+Δx) 2 +5(x+Δx-72x 2 +4xΔx+2(Δx) 2 +5x+5Δx-7 f(x+δx)-f(x)4xδx+2δx +5Δx Δx)-f(x) 4x Δx+2(Δx)+5Δx f(x)lim lim Δx Δx jadi f(x) 4x+5 f(c) 4c+5 lim 4x+2(Δx)+54x+5 f(3) 4(3)+517 B. Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang yaitu lambang turunan dari suatu fungsi yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange ( ). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double d. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai /, /dz, dimana x dan z adalah peubahpeubah bebas dan y sebagai peubah Matematika Dasar Page 147
5 tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut, Jika terdapat suatu persamaan y f(x), maka : /. C. Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiabel jika memenuhi persamaan (6) yaitu, fx+δx-f(x) fx+δx-f(x) Jika lim ada, maka f(x)lim Δx Δx f(x+δx)-f(x) fx+δx-f(x) Δx) Δx lim(f(x+δx)-f(x))lim fx+δx-f(x) Δx.lim Δxf(x).00 Sehingga lim f(δx+x)lim fx lim fx fx (terbukti) Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontin pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x TEOREMA A. Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai,, 0 (7) fxc; f(x+δx)c fxlim fx+δx-f(x) Δx B. Aturan penjumlahan c-x lim 0 (terbukti) Δx Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, h +, + (9) Matematika Dasar Page 148
6 hx fx + gx h(x + x)f(x + x)+g(x + x) hx lim hx+δx-h(x) fx+δxgx+δx lim Δx Δx fx+δx-f(x) gx+δx lim + lim fx + gx (terbukti) Δx Δx Contoh 11.4 Diketahui Tentukan f(x)5x g2x C. Aturan perkalian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, h., hxlim.... lim lim fx + x +limgx. +. (terbukti) (10) Contoh 11.5 Diketahui tentukan Matematika Dasar Page 149
7 Penyelesaian f(x)3x+2x g(x)7x D. Aturan pembagian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, " h,.. hx fx fx x ;hx + x gx gx x hx xhx hxlim lim x gx.fx xgx x.fx lim x.gx x.gx fx x gx x fx gx x gx.fx xfx.gxgx x.fxfx.gx lim x.gx x.gx limgx fx xfx.gx lim gx xgx fx x.gx x.gx x.gx x.gx lim gx fx xfx x gx x.gx lim fx.. (terbukti) gx xgx x x.gx x.gx (11) Contoh 11.6 Tentukan turunan h(x) jika h 2x-3x4x Matematika Dasar Page 150
8 4 h E. Turunan fungsi komposisi yfu dan ugx, maka. (12) Jika y f(u) dan u g(x) maka y f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). u g(x) u g(x+ x)-g(x) g(x+ x) g(x) + u u + u Jika u 0 maka x 0 y f(g(x)) y f(g(x+ x))-(f(g(x)) y fgx xfgx x x y fu ufu u x x lim fu ufu u fgx xfgx u u x u u lim x y x lim u.lim x Persamaan (12) disebut aturan rantai Contoh 11.7 Tentukan jika y (4x3 +5x 2 -x+4) 3 fu xfu u u (terbukti) Misal: u 4x 3 +5x 2 -x+4 y u 3 Matematika Dasar Page 151
9 12x+10x-1 3u12x+10x-1 312x+10x-14x+5x-x+4 3u Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut 1. ft at bt gt t 2t3 3. gx 2 x +x 2 t3 4. hx 4x 5 +1 x 5. wx 7 5 2x fx 4x 4x 3x4x 5 +1 x 7. gt at +bt + c(3at 7) 8. hw baw wc F. Turunan fungsi-fungsi trigonometri yfx sin x, maka fxcos x (13) fx xfx sinx xsinx fx lim lim x x sinxcos xcosxsinx lim x sinx cos x1cosxsin x lim x cos x1 lim sinx +cosx x sin x x cos x1 sin x sinx lim +cosx lim x x sinx0 + cosx1 cosx (terbukti) jika y sin u dan u fx, maka cos u (14) Matematika Dasar Page 152
10 y sinu u fx cosu fx cosu (terbukti) jika y fx cos x, maka fx sin x (15) fx xfx cosx xcosx fx lim lim x x cosxcos xsinxsin xcosx lim x cosx cos x1sinxsin x lim x lim cos x1 cosx sinx sin x x x cos x1 sin x cosxlim sinx lim x x cosx0 sinx1 sinx (terbukti) jika y cos u dan u f x, maka sin u (16) y cosu u fx sinu fx sin u (terbukti) Contoh 11.8 Jika y sinπ 2x tentukan Misal uπ-2x ysin u Matematika Dasar Page 153
11 2 cosu cosu 2 2cosπ 2x Contoh 11.9 Jika y cos x, tentukan 2 Misal u x 2 Contoh ycos u sinu sinx 2 Jika y sin2xcos3x, tentukan Misal usin 2x vcos 3x 2cos2x.vu.dv v dv 4sin4x 3cos3xcos4xsin3x4sin4x cos4x 3cos3xcos4x4sin3xsin4x cos4x jika y fx tan x, maka fx sec x (17) y tanx sinx cosx u sinx v cosx cosx dv sinx.vu.dv v cosxsinx cosx cosxcosxsinxsinx cosx 1 cosx secx Matematika Dasar Page 154
12 jika y tan u, maka sec u (18) y tanu v cosx cosx dv sinx secu(terbukti) Contoh Jika y 5tan3x, tentukan Misal u3x 3 y5 tan u dv 5secu 5secu3 15sec3x jika y fx cot x, maka fx csc x (19) y cotx cosx sinx u cosx sinx.vu. v sinxcosx sinx sinxsinxcosxcosx sinx sinxcosx sinx 1 cscx (terbukti) sinx v sinx dv cosx jika y cot u, maka csc u (20) Matematika Dasar Page 155
13 y cotu u fx cscu fx cscu (terbukti) Contoh Jika y 1 cot 1 tentukan 2 3x Misal u 1 3 x 1 3 y1 2 cot dv 1 2 cscu 1 2 cscu csc1 3 x jika y fxsec x, maka fx sec x tan x (21) y secx 1 cosx Misal u1 0.vu.dv v vcos x dv sinx 0cosx1sinx cosx sinx cosxsecxtanx (terbukti) jika y sec u, maka sec u tan u (22) y secu u fx cscu tan u fx secutanu (terbukti) Matematika Dasar Page 156
14 jika y fx csc x, maka fx csc x cot x (23) y csc x 1 sinx Misal u1 0 vsin x dv cosx.vu.dv v 0sinx1cosx sinx cosx sinx cscxcotx (terbukti) jika y csc u, maka csc u cot u (24) y cscu u fx cscu cot u fx cscucotu (terbukti) Contoh Jika y 1 cotπ x, tentukan 3 Misal u π x v 1 2 csc u 1 dv 1 3 cscucotu 1cscucotu 1 3 1csc ucotu 1 cscπ xcotπ x 3 3 Matematika Dasar Page 157
15 Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. fx sin x 2 π 3 2. fx cos π 2 x 3 3. gx tanx 4. hxcot x 5. wx sec x 2 π 3 6. fx csc π 3 x 7. gt 1 sinawπ sin2tcosπt 8. hw 2 cosπbw 9. vt atsin2t cosbt 10. gt sint cos2t sin3t 11.3 TURUNAN FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS Bukti y arcsinx siny x cosy 1 1 cosy Selanjutnya perhatikan gambar segitiga berikut: siny x cosy 1 x 1x (terbukti) 1x y arcsinu 1 1u 1 1u jika y fx arcsin x, maka fx (terbukti) 1 - x jika y arcsin u dan u fx, maka y 1 x (25) (26) Contoh Jika y 3 arcsin 8 1 x, tentukan 3 Matematika Dasar Page 158
16 Misal u 1 3 x v3 8 arcsin x dv u 1 1u x jika y arcsin u dan u fx, maka (27) Bukti y arccosx cosy x siny 1 1 siny Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cosy x siny 1 x 1 (terbukti) 1x 1 y x 1 x jika y arccos u dan u fx, maka (28) y arccosu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh Jika y 3arccos2x, tentukan Misal u 2x 2 y 3arccosu dv 3 1 1u Matematika Dasar Page 159
17 3 1 1u x jika y fx arctan x, maka fx y arctanx tany x secy 1 1 secy Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! tany x secy 1 +x 1 (terbukti) 1x 1 x y 1 x (29) jika y arctan u dan u fx, maka (30) y arctanu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh Jika y 3 5 arctan1 x, tentukan 3 Penyelesaian Misal u 1 3 x y3 5 arctanu 1 dv u u x x jika y fx arccot x, maka fx (31) Matematika Dasar Page 160
18 y arccotx coty x cscy 1 1 cscy Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! coty x cscy 1 +x 1 (terbukti) 1x 1 x y x 1 jika y arctan u dan u fx, maka (32) y arctanu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh Jika y 2arccot3x, tentukan Penyelesaian Misal u 3x 3 y2arccotu dv 2 1 1u u 13x 19x jika y fx arcsec x, maka (33) Matematika Dasar Page 161
19 y arcsecx secy x secytany 1 1 secytany Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! secy x secytany x x 1 1 (terbukti) x x1 y x 1 x 1 jika y arctan u dan u fx, maka (34) y arcsecu 1 u u1 1 u u1 (terbukti) Contoh 18 Jika y arcsec π 2 Misal u π 2 x 1 1 x, tentukan 1 1 π u u1 yarcsecu 1 u u1 2 xπ 2 x1 jika y fx arccsc x, maka fx y arccscx cscy x csc y coty 1 1 cscycoty (35) Matematika Dasar Page 162
20 Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cscy x cscycoty x x 1 1 (terbukti) x x1 y x x 1 jika y arccsc u dan u fx, maka 1 (36) y arccscu 1 u u1 1 u u1 (terbukti) Contoh Jika y arccscx π 2 Misal u x π 2 1, tentukan y2 arccotu 1 u u1 x π 2 xπ u u1 u u1 Latihan 1. y arcsinπ x 3. y cos2x arccos x 2. y 3arccos4x 4. y arctanx sin3x Matematika Dasar Page 163
21 11.4 TURUNAN FUNGSI EKSPONEN jika y fx e, maka fx e (37) e dide inisikan sebagai lim 1 +x n Dengan menggunakan teorema binomial didapat, 1 + x n 1 0! x + n.1 x n 1! n +nn1.1 2! x n +nn1n2.1 3! x n + 1 +x+ 11 n 2! lim 1 +x lim 1 n +x+1 2!.x + 11 n 12 n.x + 3! 1 n.x + 11 n 12 n.x + 3! e 1 + x +! +! + (38) e ! +! + (39) Jika y fx e x Maka fx xfx e fx lim lim e ee lim 1 x x x Karena e 1 +x+ x 2! + x 3! +, maka e 1 x + x 2! + x 3! + ee Sehingga lim 1 lim e 1 + x + x + e (terbukti) x 2! 3! Jika y e dan u fx, maka e (40) y e u fx e e fx (terbukti) Matematika Dasar Page 164
22 Contoh Jika y 2e, tentukan Misal u a bx b e b be 11.5 TURUNAN FUNGSI LOGARITMA Jika y fx ln x, maka fx (41) lim 1 x ln1 + x x 1 x lim x x 1 lnlim 1 + x x x Jika x x u, maka x x 1 u, sehingga x ln1 + 1 lim x ln1 + x x x 1 lnlim 1 + x 1 x x lnlim 1 +u 1 lne x x 1(terbukti) x y lnu u fx 1 u Jika y ln u dan u fx, maka 1 u fx (terbukti) (42) Contoh Jika y eln 1 x, tentukan 3 Misal u e v ln 1 3 x Matematika Dasar Page 165
23 2e dv 1 3.v +u.dv 2e.ln1 3 x +e.1 x e ln1 3 x +1 x Jika y fx log x, maka fx (43) y log x ax ylna lx y 1 lna lnx lnax (44) Jika y log u dan u fx, maka y log u 1 lnau 1 lnau (terbukti) Contoh Jika y log3 5x, tentukan Diketahui a 7, misal u 3 5x lnau ln7u 5 5 ln735x Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. y xe 6. y 2ln3x 2. y 3x 2e 56x 7. y e ln4x 3. y xln2x 8. y 3log1x e Matematika Dasar Page 166
24 4. y xln3x e 5. y xln4xe e 9. y x e log4x 10. y xln5xe elnx 11.6 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK Jika y fx sin hx, maka fx cos hx (45) y fx sinhx 1 e e 2 fx 1 e +e coshx (terbukti) 2 Jika y sinh u dan u fx, maka (46) cosh u y sinhu coshu fx 1 e +e coshx (terbukti) 2 Contoh Jika y 3sinh 1 x, tentukan 5 Misal u 1 5 x y 3sinhu 1 5 3coshu 3coshu cosh1x 5 Jika y fxcoshx, maka fx sinhx (47) y fx sinhx 1 e +e 2 fx 1 e e sinhx (terbukti) 2 Matematika Dasar Page 167
25 Jika y sinh u dan u fx, maka cosh u (48) y coshu sinhu sinhu (terbukti) Contoh 23 Jika y cosh1 2x, tentukan Penyelesaian Misal u 1 2x 2 y sinhu coshu coshu 2 2cosh1 2x Jika y fx tanh x, maka fx sech x (49) y fx tanhx sinhx coshx fx coshxcoshxsinhxsinhx coshx 1 sechx (terbukti) coshx Jika y tanh udan u, maka sech u (50) y tanh u sec u sech u terbukti coshxsinhx coshx Matematika Dasar Page 168
26 Contoh Jika y tanha + bx, tentukan Misal u a + bx y tanhu sechu sech ub secha + bx Jika y fx coth x, maka fx csch x (51) y fx coth x fx csch x terbukti Jika y coth u dan u fx, maka csch u (52) y tanh u csch u csch u (terbukti) Contoh Jika y cotha + bt, tentukan Misal u a + bt y coth u cothu csch ub cscha + bt Jika y fx sech x, maka fx tanh x sech x (53) Matematika Dasar Page 169
27 y fx sech x Misal u cosh x sinhu Jika y sech u dan u fx, maka y sech u tanh u sech u tanh u sech u (terbukti) tanh x sech x (terbukti) tanh u sech u (54) Contoh Jika y 2 sech x, tentukan Misal u x y 2 sech u 2 tanh u sech u 2 tanh u sech u tanh u sech u tanh x sech x Jika y fx csch x, maka fx csch x coth x (55) y fx csch x Misal u 1 0 sinh x cosh x.. csch x coth x (terbukti) Matematika Dasar Page 170
28 Jika y csch u dan u fx, maka coth u csch u (56) y csch u coth u csch u Latihan coth u csch u (terbukti) Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. y sinh2 3x 6. y 2. y coshax b 7. y 3. y x sinh 5x 8. y 4. y e cosh 2x 9. y x cschx 1 5. y ln2 x tanh 3x 10. y e cscha bx 11.7 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK INVERS Jika y sinh x, maka fx (57) y fx sinh x lnx + x n + 1 (terbukti) Jika y sinh u dan u fx, maka fx (58) y sinh u (terbukti) Matematika Dasar Page 171
29 Contoh Jika y 3 sinh x, tentukan Misal u x y 3 sinh u Jika y cosh x, maka, x > 1 (59) y fx cosh x lnx + xn 1, x > 1 (terbukti) Jika y cosh u dan u fx, maka, x > 1 (60) y cosh u (terbukti) Contoh Jika y cosh x, tentukan Misal u x y cosh u Jika y fx tanh x, maka fx, x < 1 (61) Matematika Dasar Page 172
30 y fx tanh x ln, x < 1, x < 1 ( ) Jika y tanh u dan u fx, maka, u < 1 (62) y tanh u, u < 1 (terbukti) Contoh Jika y tanh2x 1, tentukan Misal u 2x y tanh u Jika y fx coth x, maka fx, x > 1 (63) y fx coth x ln, x > 1, x > 1 ( ) Jika y coth u dan u fx, maka, u > 1 (64) y coth u, u > 1 ( ) Matematika Dasar Page 173
31 Contoh Jika y 3 coth2 3x, tentukan Misal u 2 3x y 3 coth u 3 3 Jika y fx sech x, maka fx, 0 < < 1 (65) y fx sech x ln, 0 < < 1, 0 < < 1 ( ) Jika y sech u dan u fx, maka, 0 < < 1 (66) y sech u, 0 < < 1 ( ) Contoh Jika y 2 sech1 x, tentukan Misal u 1 x 1 1 (67) Jika y fx csch x, maka fx y 2 sech u Matematika Dasar Page 174
32 y fx csch x ln (terbukti) Jika y csch u dan u fx, maka (68) y csch u (terbukti) Contoh Jika y cschsin x, tentukan Misal u sin x cos x cos x y csch u Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi : 1. y sinhcos x 2. y coshsin 2x 3. y tanh3x + π 4. y x coth x 5. y sechx sin x 6. y e cscsh 1 2x 11.8 TURUNAN TINGKAT TINGGI Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f (x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kea dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kea dan seterusnya dari suatu fungsi Matematika Dasar Page 175
33 disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kea dan ketiga ditulis dengan lambang :, dan d y atau f'(x), f''(x) dan f'''(x). Sedangkan untuk turunan ke n, dengan n 4, kita gunakan lambang d y atau f( ) (x). Contoh Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) (x 4) f' x3(x - 4)(2x) 6x(x - 4) d y d y f''(x) 6(x - 4) + 6x(2(x - 4)(2x)) 6(x - 4) + 24x (x - 4) f'''(x) 12(x - 4)(2x) + 48x(x - 4) + 24x (2x) 120x - 208x d y f( ) (x) 360x 208 Latihan Tentukan turunan kea dari fungsi-fungsi, 1. fx 2xe 2. fx ln a bx 3. fx 4. fx 5. fx sina bx 6. fx cosmx + n Matematika Dasar Page 176
BAB IV DIFFERENSIASI
BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika
Lebih terperinci(a) (b) Gambar 1. garis singgung
BAB. TURUNAN Sebelm membahas trnan, terlebih dahl ditinja tentang garis singgng pada sat krva. A. Garis singgng Garis singgng adalah garis yang menyinggng sat titik tertent pada sat krva. Pengertian garis
Lebih terperinciTurunan. Ayundyah Kesumawati. January 8, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, / 15
Turunan Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII January 8, 2015 Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 1 / 15 Sub Materi Turunan : a. Turunan Fungsi b. Turunan Tingkat Tinggi c. Teorema
Lebih terperinci= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperincibila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.
Lebih terperinciTeknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal
Lebih terperinciMatematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )
Lebih terperinciINTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciFUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
Lebih terperinciINTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul
Lebih terperinciBAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Lebih terperincimatematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 4 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi
Lebih terperinciBab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai;
Bab Turunan Fungsi Deinisi d Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu ungsi d dapat ditulis sebagai; d d D d d Atau dideinisikan juga sebagai y 0 lim Gambar Pengertian tentang
Lebih terperinciDERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan December 9 th, 2011 Yogyakarta Turunan Latihan Turunan Latihan sin (cos 1 x) = cos (sin 1 x) = sec (tan 1 x) = tan (sec 1 x) = 1 x 2 1 x 2 1 +
Lebih terperinciINTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Lebih terperinciBAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
Lebih terperinciMAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)
MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah
Lebih terperinci16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.
6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,
Lebih terperinciMatematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Lebih terperincilog2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .
TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciPerbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx
MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri
Lebih terperinciFUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba
Lebih terperinciBab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use DIKTAT KALKULUS 1. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si.
DIKTAT KALKULUS 1 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Departemen Matematika, Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung September 2010 Pengantar Kalkulus merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciMatematika
Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka
Lebih terperinciDERIVATIVE (continued)
DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd, 2011 Yogyakarta Aturan Turunan Trigonometri Aturan Turunan Trigonometri d (sin x) = cos x d (cos x) = sin x Aturan Turunan Trigonometri
Lebih terperinciFUNGSI HIPERBOLIK Matematika
FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciAturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
Lebih terperinciBAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
BAB. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI A. Definisi it Sebelum mendefinisikan it, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut! y L + ε ε ε f() f() - L L f() - L f() L - ε c - δ c c + δ c- -c δ δ Gambar. Dari gambar
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0
Lebih terperinciPembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012
Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012 PETUNJUK UMUM 1. Sebelum mengerjakan ujian, periksalah terlebih dulu, jumlah soal dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari
Lebih terperinci4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah
Lebih terperinciINTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP
A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket Oleh : Fendi Alfi Fauzi. Lingkaran x 6) 2 + y + ) 2 menyinggung garis y di titik a), ) b), ) c) 6, ) d) 6,
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciTurunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka
A. Turunan sebagai Limit Fungsi Turunan Fungsi Aljabar f(t) t = t t jika dan hanya jika t = t + t m = f(t ) f(t ) t t = f( t+t ) f(t ) t = f( t+t ) f(t ) t f( t+t ) f(t ) t 0 t = f (t ) f(+x) f(x) m =
Lebih terperinciPREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi
Lebih terperinciTeknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part)
Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 06 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 1 / 14 Mari mengingat
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciLUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan
Lebih terperinciMACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka
MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi
Lebih terperinciPembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar
Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika Dasar Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 536 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. Nilai p agar vektor 2i + pj + k dan i 2j 2k saling tegak lurus adalah... a) 6
Lebih terperinciMateri UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi
Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan
Lebih terperinci15. TURUNAN (DERIVATIF)
5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0
Lebih terperinciTRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi
Pelatihanosn.com TRIGONOMETRI Konversi Sudut = π putaran= rad = 6 menit 36 8 (6 ) = 36 detik (36") rad = 8 π = π putaran ket : yang didalam kurung merupakan cara penulisan Perbandingan Geometri sin t =
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperincidigunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
Lebih terperinciFUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA
FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA. Penekatan Kalkulus: menefinisikan fungsi logaritma natural sebagai integral Panang sebuah fungsi yang iefinisikan engan menggunakan integral: (.) L(x) = t t. Dari Teorema
Lebih terperinciPREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi
Lebih terperinciKALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh :
KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka
Lebih terperinciPembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciSetelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :
Kumpulan Soal-Soal Diferensial 1. Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2) 4 +(4x-1) 3 adalah... Jawab: misalnya : f (x) = y = (3x-2) 4 misal U = (3x-2) du/dx = 3 dy/dx = n.u n-1. du/dx = 4. (3x-2) 4-1.3
Lebih terperinciBAB 1 Sistem Bilangan, Pertaksamaan dan Koordinat Kartesius 4. BAB 7 Fungsi-Fungsi Transenden 92
Daftar Isi BAB 1 Sistem Bilangan, Pertaksamaan dan Koordinat Kartesius 4 BAB 2 Fungsi dan Limit 14 BAB 3 Turunan 32 BAB 4 Penggunaan Turunan 42 BAB 5 Integral 57 BAB 6 Penggunaan Integral 78 BAB 7 Fungsi-Fungsi
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -
Lebih terperinciI N T E G R A L (Anti Turunan)
I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.
Lebih terperinciFungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciTEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
Lebih terperinciSEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTUKTUR LIMIT DAN TURUNAN Disusun oleh : RADITYA AMARA BOJA 1037 SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON 1 KULON PROGO OKTOBER 2015 Kata Pengantar Puji syukur saya panjatkan kepada
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinci= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =
Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,
Lebih terperinciUjian Nasional. Tahun Pelajaran 2010/2011 IPA MATEMATIKA (D10) UTAMA. SMA / MA Program Studi
Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D0) c Fendi Alfi Fauzi alfysta@yahoo.com Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 (Pelajaran Matematika) Tulisan ini bebas dibaca
Lebih terperinciIndikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,
Lebih terperinciTIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
Lebih terperinciLIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari
LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciDIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3x, maka simbol dari. atau ditulis
DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3, maka simbol dari Turunan pertama y 1 atau Turunan kea y 11 atau d( ) B. Rumus Dasar Deferensial Jika y = n maka d (3) atau ditulis
Lebih terperinci