m= f x -f x (1) l 1 A Kemiringan garis l 1 =m 1 Kemiringan garis l = m x x x 1 h Gambar 11.3

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "m= f x -f x (1) l 1 A Kemiringan garis l 1 =m 1 Kemiringan garis l = m x x x 1 h Gambar 11.3"

Transkripsi

1 TURUNAN 11.1 GARIS SINGGUNG Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 11.1 Akan tetapi jika terdapat a buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 11.2 A Gambar 11.1 A B l Gambar 11.2 Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang Matematika Dasar Page 144

2 terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan m fx-fx x-x y (1) l 1 A l B Kemiringan garis l 1 m 1 Kemiringan garis l m x x x 1 h x Gambar 11.3 Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x 1. Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam bentuk, fx-f(x) limm lim m (2) x-x Persaman (2) adalah kemiringan garis l 1 jika x mendekati x 1. Jika kita perhatikan Gambar 3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x 1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi Matematika Dasar Page 145

3 fx-f(x) limm lim m x-x Sehingga m lim fx-f(x) x-x Karena x x h, maka m lim fx+h-f(x) h fx+δx-f(x) Jika dimisalkan h fx, maka m lim Δx Persamaan (3) s/d (5) adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x)) (3) (4) (5) Contoh 11.1 Diketahui f(x) 3x 2 +5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a 2 ) Penyelesaian fx+δx-f(x) m lim Δx 3x+Δx+5-3x-5 3x+6xΔx+3(Δx)+5-3x-5 lim lim Δx Δx lim 6x + 3Δx6x Jadi m 6x (*) Persamaan garis singgung : y mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a 2 ) maka : persamaan (*) menjadi :m 6a persamaan (**) menjadi : a 2 6a 2 + n. Sehingga n -5a 2 Persamaan garis singgung menjadi : y 6ax 5a 2 A. Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukanf (x) menjadi turunan f(x) atau f (x). Matematika Dasar Page 146

4 f(x) differensiasi f (x) Gambar 11.4 Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan (3) dan Gambar 3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk, fx lim fx-f(x) x-x, jika nilai limitnya ada (6) jika persamaan (6) dapat dipenuhi berarti f(x) dapat diferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x. Contoh 11.2 Jika f(x) 2x , tentukan f (x),f (c) dan f (3) Penyelesaian f(x) 2x f(x+δx) 2(x+Δx) 2 +5(x+Δx-72x 2 +4xΔx+2(Δx) 2 +5x+5Δx-7 f(x+δx)-f(x)4xδx+2δx +5Δx Δx)-f(x) 4x Δx+2(Δx)+5Δx f(x)lim lim Δx Δx jadi f(x) 4x+5 f(c) 4c+5 lim 4x+2(Δx)+54x+5 f(3) 4(3)+517 B. Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang yaitu lambang turunan dari suatu fungsi yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange ( ). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double d. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai /, /dz, dimana x dan z adalah peubahpeubah bebas dan y sebagai peubah Matematika Dasar Page 147

5 tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut, Jika terdapat suatu persamaan y f(x), maka : /. C. Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiabel jika memenuhi persamaan (6) yaitu, fx+δx-f(x) fx+δx-f(x) Jika lim ada, maka f(x)lim Δx Δx f(x+δx)-f(x) fx+δx-f(x) Δx) Δx lim(f(x+δx)-f(x))lim fx+δx-f(x) Δx.lim Δxf(x).00 Sehingga lim f(δx+x)lim fx lim fx fx (terbukti) Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontin pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x TEOREMA A. Turunan bilangan konstan Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai,, 0 (7) fxc; f(x+δx)c fxlim fx+δx-f(x) Δx B. Aturan penjumlahan c-x lim 0 (terbukti) Δx Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, h +, + (9) Matematika Dasar Page 148

6 hx fx + gx h(x + x)f(x + x)+g(x + x) hx lim hx+δx-h(x) fx+δxgx+δx lim Δx Δx fx+δx-f(x) gx+δx lim + lim fx + gx (terbukti) Δx Δx Contoh 11.4 Diketahui Tentukan f(x)5x g2x C. Aturan perkalian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, h., hxlim.... lim lim fx + x +limgx. +. (terbukti) (10) Contoh 11.5 Diketahui tentukan Matematika Dasar Page 149

7 Penyelesaian f(x)3x+2x g(x)7x D. Aturan pembagian Jika f dan g adalah a buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, " h,.. hx fx fx x ;hx + x gx gx x hx xhx hxlim lim x gx.fx xgx x.fx lim x.gx x.gx fx x gx x fx gx x gx.fx xfx.gxgx x.fxfx.gx lim x.gx x.gx limgx fx xfx.gx lim gx xgx fx x.gx x.gx x.gx x.gx lim gx fx xfx x gx x.gx lim fx.. (terbukti) gx xgx x x.gx x.gx (11) Contoh 11.6 Tentukan turunan h(x) jika h 2x-3x4x Matematika Dasar Page 150

8 4 h E. Turunan fungsi komposisi yfu dan ugx, maka. (12) Jika y f(u) dan u g(x) maka y f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyai bentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x). u g(x) u g(x+ x)-g(x) g(x+ x) g(x) + u u + u Jika u 0 maka x 0 y f(g(x)) y f(g(x+ x))-(f(g(x)) y fgx xfgx x x y fu ufu u x x lim fu ufu u fgx xfgx u u x u u lim x y x lim u.lim x Persamaan (12) disebut aturan rantai Contoh 11.7 Tentukan jika y (4x3 +5x 2 -x+4) 3 fu xfu u u (terbukti) Misal: u 4x 3 +5x 2 -x+4 y u 3 Matematika Dasar Page 151

9 12x+10x-1 3u12x+10x-1 312x+10x-14x+5x-x+4 3u Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut 1. ft at bt gt t 2t3 3. gx 2 x +x 2 t3 4. hx 4x 5 +1 x 5. wx 7 5 2x fx 4x 4x 3x4x 5 +1 x 7. gt at +bt + c(3at 7) 8. hw baw wc F. Turunan fungsi-fungsi trigonometri yfx sin x, maka fxcos x (13) fx xfx sinx xsinx fx lim lim x x sinxcos xcosxsinx lim x sinx cos x1cosxsin x lim x cos x1 lim sinx +cosx x sin x x cos x1 sin x sinx lim +cosx lim x x sinx0 + cosx1 cosx (terbukti) jika y sin u dan u fx, maka cos u (14) Matematika Dasar Page 152

10 y sinu u fx cosu fx cosu (terbukti) jika y fx cos x, maka fx sin x (15) fx xfx cosx xcosx fx lim lim x x cosxcos xsinxsin xcosx lim x cosx cos x1sinxsin x lim x lim cos x1 cosx sinx sin x x x cos x1 sin x cosxlim sinx lim x x cosx0 sinx1 sinx (terbukti) jika y cos u dan u f x, maka sin u (16) y cosu u fx sinu fx sin u (terbukti) Contoh 11.8 Jika y sinπ 2x tentukan Misal uπ-2x ysin u Matematika Dasar Page 153

11 2 cosu cosu 2 2cosπ 2x Contoh 11.9 Jika y cos x, tentukan 2 Misal u x 2 Contoh ycos u sinu sinx 2 Jika y sin2xcos3x, tentukan Misal usin 2x vcos 3x 2cos2x.vu.dv v dv 4sin4x 3cos3xcos4xsin3x4sin4x cos4x 3cos3xcos4x4sin3xsin4x cos4x jika y fx tan x, maka fx sec x (17) y tanx sinx cosx u sinx v cosx cosx dv sinx.vu.dv v cosxsinx cosx cosxcosxsinxsinx cosx 1 cosx secx Matematika Dasar Page 154

12 jika y tan u, maka sec u (18) y tanu v cosx cosx dv sinx secu(terbukti) Contoh Jika y 5tan3x, tentukan Misal u3x 3 y5 tan u dv 5secu 5secu3 15sec3x jika y fx cot x, maka fx csc x (19) y cotx cosx sinx u cosx sinx.vu. v sinxcosx sinx sinxsinxcosxcosx sinx sinxcosx sinx 1 cscx (terbukti) sinx v sinx dv cosx jika y cot u, maka csc u (20) Matematika Dasar Page 155

13 y cotu u fx cscu fx cscu (terbukti) Contoh Jika y 1 cot 1 tentukan 2 3x Misal u 1 3 x 1 3 y1 2 cot dv 1 2 cscu 1 2 cscu csc1 3 x jika y fxsec x, maka fx sec x tan x (21) y secx 1 cosx Misal u1 0.vu.dv v vcos x dv sinx 0cosx1sinx cosx sinx cosxsecxtanx (terbukti) jika y sec u, maka sec u tan u (22) y secu u fx cscu tan u fx secutanu (terbukti) Matematika Dasar Page 156

14 jika y fx csc x, maka fx csc x cot x (23) y csc x 1 sinx Misal u1 0 vsin x dv cosx.vu.dv v 0sinx1cosx sinx cosx sinx cscxcotx (terbukti) jika y csc u, maka csc u cot u (24) y cscu u fx cscu cot u fx cscucotu (terbukti) Contoh Jika y 1 cotπ x, tentukan 3 Misal u π x v 1 2 csc u 1 dv 1 3 cscucotu 1cscucotu 1 3 1csc ucotu 1 cscπ xcotπ x 3 3 Matematika Dasar Page 157

15 Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. fx sin x 2 π 3 2. fx cos π 2 x 3 3. gx tanx 4. hxcot x 5. wx sec x 2 π 3 6. fx csc π 3 x 7. gt 1 sinawπ sin2tcosπt 8. hw 2 cosπbw 9. vt atsin2t cosbt 10. gt sint cos2t sin3t 11.3 TURUNAN FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS Bukti y arcsinx siny x cosy 1 1 cosy Selanjutnya perhatikan gambar segitiga berikut: siny x cosy 1 x 1x (terbukti) 1x y arcsinu 1 1u 1 1u jika y fx arcsin x, maka fx (terbukti) 1 - x jika y arcsin u dan u fx, maka y 1 x (25) (26) Contoh Jika y 3 arcsin 8 1 x, tentukan 3 Matematika Dasar Page 158

16 Misal u 1 3 x v3 8 arcsin x dv u 1 1u x jika y arcsin u dan u fx, maka (27) Bukti y arccosx cosy x siny 1 1 siny Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cosy x siny 1 x 1 (terbukti) 1x 1 y x 1 x jika y arccos u dan u fx, maka (28) y arccosu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh Jika y 3arccos2x, tentukan Misal u 2x 2 y 3arccosu dv 3 1 1u Matematika Dasar Page 159

17 3 1 1u x jika y fx arctan x, maka fx y arctanx tany x secy 1 1 secy Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! tany x secy 1 +x 1 (terbukti) 1x 1 x y 1 x (29) jika y arctan u dan u fx, maka (30) y arctanu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh Jika y 3 5 arctan1 x, tentukan 3 Penyelesaian Misal u 1 3 x y3 5 arctanu 1 dv u u x x jika y fx arccot x, maka fx (31) Matematika Dasar Page 160

18 y arccotx coty x cscy 1 1 cscy Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! coty x cscy 1 +x 1 (terbukti) 1x 1 x y x 1 jika y arctan u dan u fx, maka (32) y arctanu 1 1u 1 1u (terbukti) Contoh Jika y 2arccot3x, tentukan Penyelesaian Misal u 3x 3 y2arccotu dv 2 1 1u u 13x 19x jika y fx arcsec x, maka (33) Matematika Dasar Page 161

19 y arcsecx secy x secytany 1 1 secytany Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! secy x secytany x x 1 1 (terbukti) x x1 y x 1 x 1 jika y arctan u dan u fx, maka (34) y arcsecu 1 u u1 1 u u1 (terbukti) Contoh 18 Jika y arcsec π 2 Misal u π 2 x 1 1 x, tentukan 1 1 π u u1 yarcsecu 1 u u1 2 xπ 2 x1 jika y fx arccsc x, maka fx y arccscx cscy x csc y coty 1 1 cscycoty (35) Matematika Dasar Page 162

20 Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini! cscy x cscycoty x x 1 1 (terbukti) x x1 y x x 1 jika y arccsc u dan u fx, maka 1 (36) y arccscu 1 u u1 1 u u1 (terbukti) Contoh Jika y arccscx π 2 Misal u x π 2 1, tentukan y2 arccotu 1 u u1 x π 2 xπ u u1 u u1 Latihan 1. y arcsinπ x 3. y cos2x arccos x 2. y 3arccos4x 4. y arctanx sin3x Matematika Dasar Page 163

21 11.4 TURUNAN FUNGSI EKSPONEN jika y fx e, maka fx e (37) e dide inisikan sebagai lim 1 +x n Dengan menggunakan teorema binomial didapat, 1 + x n 1 0! x + n.1 x n 1! n +nn1.1 2! x n +nn1n2.1 3! x n + 1 +x+ 11 n 2! lim 1 +x lim 1 n +x+1 2!.x + 11 n 12 n.x + 3! 1 n.x + 11 n 12 n.x + 3! e 1 + x +! +! + (38) e ! +! + (39) Jika y fx e x Maka fx xfx e fx lim lim e ee lim 1 x x x Karena e 1 +x+ x 2! + x 3! +, maka e 1 x + x 2! + x 3! + ee Sehingga lim 1 lim e 1 + x + x + e (terbukti) x 2! 3! Jika y e dan u fx, maka e (40) y e u fx e e fx (terbukti) Matematika Dasar Page 164

22 Contoh Jika y 2e, tentukan Misal u a bx b e b be 11.5 TURUNAN FUNGSI LOGARITMA Jika y fx ln x, maka fx (41) lim 1 x ln1 + x x 1 x lim x x 1 lnlim 1 + x x x Jika x x u, maka x x 1 u, sehingga x ln1 + 1 lim x ln1 + x x x 1 lnlim 1 + x 1 x x lnlim 1 +u 1 lne x x 1(terbukti) x y lnu u fx 1 u Jika y ln u dan u fx, maka 1 u fx (terbukti) (42) Contoh Jika y eln 1 x, tentukan 3 Misal u e v ln 1 3 x Matematika Dasar Page 165

23 2e dv 1 3.v +u.dv 2e.ln1 3 x +e.1 x e ln1 3 x +1 x Jika y fx log x, maka fx (43) y log x ax ylna lx y 1 lna lnx lnax (44) Jika y log u dan u fx, maka y log u 1 lnau 1 lnau (terbukti) Contoh Jika y log3 5x, tentukan Diketahui a 7, misal u 3 5x lnau ln7u 5 5 ln735x Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. y xe 6. y 2ln3x 2. y 3x 2e 56x 7. y e ln4x 3. y xln2x 8. y 3log1x e Matematika Dasar Page 166

24 4. y xln3x e 5. y xln4xe e 9. y x e log4x 10. y xln5xe elnx 11.6 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK Jika y fx sin hx, maka fx cos hx (45) y fx sinhx 1 e e 2 fx 1 e +e coshx (terbukti) 2 Jika y sinh u dan u fx, maka (46) cosh u y sinhu coshu fx 1 e +e coshx (terbukti) 2 Contoh Jika y 3sinh 1 x, tentukan 5 Misal u 1 5 x y 3sinhu 1 5 3coshu 3coshu cosh1x 5 Jika y fxcoshx, maka fx sinhx (47) y fx sinhx 1 e +e 2 fx 1 e e sinhx (terbukti) 2 Matematika Dasar Page 167

25 Jika y sinh u dan u fx, maka cosh u (48) y coshu sinhu sinhu (terbukti) Contoh 23 Jika y cosh1 2x, tentukan Penyelesaian Misal u 1 2x 2 y sinhu coshu coshu 2 2cosh1 2x Jika y fx tanh x, maka fx sech x (49) y fx tanhx sinhx coshx fx coshxcoshxsinhxsinhx coshx 1 sechx (terbukti) coshx Jika y tanh udan u, maka sech u (50) y tanh u sec u sech u terbukti coshxsinhx coshx Matematika Dasar Page 168

26 Contoh Jika y tanha + bx, tentukan Misal u a + bx y tanhu sechu sech ub secha + bx Jika y fx coth x, maka fx csch x (51) y fx coth x fx csch x terbukti Jika y coth u dan u fx, maka csch u (52) y tanh u csch u csch u (terbukti) Contoh Jika y cotha + bt, tentukan Misal u a + bt y coth u cothu csch ub cscha + bt Jika y fx sech x, maka fx tanh x sech x (53) Matematika Dasar Page 169

27 y fx sech x Misal u cosh x sinhu Jika y sech u dan u fx, maka y sech u tanh u sech u tanh u sech u (terbukti) tanh x sech x (terbukti) tanh u sech u (54) Contoh Jika y 2 sech x, tentukan Misal u x y 2 sech u 2 tanh u sech u 2 tanh u sech u tanh u sech u tanh x sech x Jika y fx csch x, maka fx csch x coth x (55) y fx csch x Misal u 1 0 sinh x cosh x.. csch x coth x (terbukti) Matematika Dasar Page 170

28 Jika y csch u dan u fx, maka coth u csch u (56) y csch u coth u csch u Latihan coth u csch u (terbukti) Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut! 1. y sinh2 3x 6. y 2. y coshax b 7. y 3. y x sinh 5x 8. y 4. y e cosh 2x 9. y x cschx 1 5. y ln2 x tanh 3x 10. y e cscha bx 11.7 TURUNAN FUNGSI HIPERBOLIK INVERS Jika y sinh x, maka fx (57) y fx sinh x lnx + x n + 1 (terbukti) Jika y sinh u dan u fx, maka fx (58) y sinh u (terbukti) Matematika Dasar Page 171

29 Contoh Jika y 3 sinh x, tentukan Misal u x y 3 sinh u Jika y cosh x, maka, x > 1 (59) y fx cosh x lnx + xn 1, x > 1 (terbukti) Jika y cosh u dan u fx, maka, x > 1 (60) y cosh u (terbukti) Contoh Jika y cosh x, tentukan Misal u x y cosh u Jika y fx tanh x, maka fx, x < 1 (61) Matematika Dasar Page 172

30 y fx tanh x ln, x < 1, x < 1 ( ) Jika y tanh u dan u fx, maka, u < 1 (62) y tanh u, u < 1 (terbukti) Contoh Jika y tanh2x 1, tentukan Misal u 2x y tanh u Jika y fx coth x, maka fx, x > 1 (63) y fx coth x ln, x > 1, x > 1 ( ) Jika y coth u dan u fx, maka, u > 1 (64) y coth u, u > 1 ( ) Matematika Dasar Page 173

31 Contoh Jika y 3 coth2 3x, tentukan Misal u 2 3x y 3 coth u 3 3 Jika y fx sech x, maka fx, 0 < < 1 (65) y fx sech x ln, 0 < < 1, 0 < < 1 ( ) Jika y sech u dan u fx, maka, 0 < < 1 (66) y sech u, 0 < < 1 ( ) Contoh Jika y 2 sech1 x, tentukan Misal u 1 x 1 1 (67) Jika y fx csch x, maka fx y 2 sech u Matematika Dasar Page 174

32 y fx csch x ln (terbukti) Jika y csch u dan u fx, maka (68) y csch u (terbukti) Contoh Jika y cschsin x, tentukan Misal u sin x cos x cos x y csch u Latihan Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi : 1. y sinhcos x 2. y coshsin 2x 3. y tanh3x + π 4. y x coth x 5. y sechx sin x 6. y e cscsh 1 2x 11.8 TURUNAN TINGKAT TINGGI Jika terdapat suatu fungsi f(x) yang differensiable, maka kita dapat mencari turunan pertamanya yaitu f (x). Jika turunan pertama tersebut juga differensiable maka kita dapat menentukan turunan kea dari fungsi tersebut. Secara umum jika turunan ke (n-1) differensiable maka kita dapat menentukan turunan ke n dari fungsi tersebut. Biasanya turunan kea dan seterusnya dari suatu fungsi Matematika Dasar Page 175

33 disebut turunan tingkat tinggi. Turunan pertama, kea dan ketiga ditulis dengan lambang :, dan d y atau f'(x), f''(x) dan f'''(x). Sedangkan untuk turunan ke n, dengan n 4, kita gunakan lambang d y atau f( ) (x). Contoh Tentukan turunan pertama sampai dengan turunan keempat dari f(x) (x 4) f' x3(x - 4)(2x) 6x(x - 4) d y d y f''(x) 6(x - 4) + 6x(2(x - 4)(2x)) 6(x - 4) + 24x (x - 4) f'''(x) 12(x - 4)(2x) + 48x(x - 4) + 24x (2x) 120x - 208x d y f( ) (x) 360x 208 Latihan Tentukan turunan kea dari fungsi-fungsi, 1. fx 2xe 2. fx ln a bx 3. fx 4. fx 5. fx sina bx 6. fx cosmx + n Matematika Dasar Page 176

BAB IV DIFFERENSIASI

BAB IV DIFFERENSIASI BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika

Lebih terperinci

(a) (b) Gambar 1. garis singgung

(a) (b) Gambar 1. garis singgung BAB. TURUNAN Sebelm membahas trnan, terlebih dahl ditinja tentang garis singgng pada sat krva. A. Garis singgng Garis singgng adalah garis yang menyinggng sat titik tertent pada sat krva. Pengertian garis

Lebih terperinci

Turunan. Ayundyah Kesumawati. January 8, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, / 15

Turunan. Ayundyah Kesumawati. January 8, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, / 15 Turunan Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII January 8, 2015 Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 1 / 15 Sub Materi Turunan : a. Turunan Fungsi b. Turunan Tingkat Tinggi c. Teorema

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 75 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 75 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 75 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

FUNGSI Matematika Industri I

FUNGSI Matematika Industri I FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN

BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan

Lebih terperinci

Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f

Gambar 1. Gradien garis singgung grafik f D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,

Lebih terperinci

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

Bab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai;

Bab 5 Turunan Fungsi. Definisi. Ilustrasi. Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu fungsi. dapat ditulis sebagai; Bab Turunan Fungsi Deinisi d Misalkan D menyatakan operator turunan. Pernyataan tentang turunan suatu ungsi d dapat ditulis sebagai; d d D d d Atau dideinisikan juga sebagai y 0 lim Gambar Pengertian tentang

Lebih terperinci

DERIVATIVE (continued)

DERIVATIVE (continued) DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan December 9 th, 2011 Yogyakarta Turunan Latihan Turunan Latihan sin (cos 1 x) = cos (sin 1 x) = sec (tan 1 x) = tan (sec 1 x) = 1 x 2 1 x 2 1 +

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. 64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli

Lebih terperinci

MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL)

MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) MAKALAH MATEMATIKA DASAR TURUNAN (DIFERENSIAL) KATA PENGANTAR Puji dan Syukur kami panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat limpahan Rahmat dan Karunia-nya sehingga kami dapat menyusun makalah

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .

log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) . TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx

Perbandingan trigonometri sin x merupakan relasi yang memetakan setiap x tepat satu nilai sin x yang dinyatakan dengan notasi f : x sinx MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Perbandingan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari sinus, kosinus dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri

Lebih terperinci

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba

Lebih terperinci

Bab 3 Fungsi Elementer

Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use DIKTAT KALKULUS 1. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si.

Open Source. Not For Commercial Use DIKTAT KALKULUS 1. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. DIKTAT KALKULUS 1 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Departemen Matematika, Fakultas MIPA Institut Teknologi Bandung September 2010 Pengantar Kalkulus merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Matematika

Matematika Diferensial/ Diferensial/ dan Aplikasinya D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Diferensial/ Diferensial/turunan adalah metode atau prosedur untuk menghitung laju perubahan. Definisi Diferensial/

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

DERIVATIVE (continued)

DERIVATIVE (continued) DERIVATIVE (continued) (TURUNAN) Kus Prihantoso Krisnawan November 25 rd, 2011 Yogyakarta Aturan Turunan Trigonometri Aturan Turunan Trigonometri d (sin x) = cos x d (cos x) = sin x Aturan Turunan Trigonometri

Lebih terperinci

FUNGSI HIPERBOLIK Matematika

FUNGSI HIPERBOLIK Matematika FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik

Lebih terperinci

A B A B. ( a ) ( b )

A B A B. ( a ) ( b ) BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.

Lebih terperinci

Analisis Riil II: Diferensiasi

Analisis Riil II: Diferensiasi Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI BAB. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI A. Definisi it Sebelum mendefinisikan it, terlebih dahulu perhatikan gambar berikut! y L + ε ε ε f() f() - L L f() - L f() L - ε c - δ c c + δ c- -c δ δ Gambar. Dari gambar

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2. Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0

Lebih terperinci

Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012

Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012 Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012 PETUNJUK UMUM 1. Sebelum mengerjakan ujian, periksalah terlebih dulu, jumlah soal dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket Oleh : Fendi Alfi Fauzi. Lingkaran x 6) 2 + y + ) 2 menyinggung garis y di titik a), ) b), ) c) 6, ) d) 6,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.

Lebih terperinci

Turunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka

Turunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka A. Turunan sebagai Limit Fungsi Turunan Fungsi Aljabar f(t) t = t t jika dan hanya jika t = t + t m = f(t ) f(t ) t t = f( t+t ) f(t ) t = f( t+t ) f(t ) t f( t+t ) f(t ) t 0 t = f (t ) f(+x) f(x) m =

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part)

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 06 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 1 / 14 Mari mengingat

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan

Lebih terperinci

MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka

MACLAURIN S SERIES. Ghifari Eka MACLAURIN S SERIES Ghifari Eka Taylor Series Sebelum membahas mengenai Maclaurin s series alangkah lebih baiknya apabila kita mengetahui terlebih dahulu mengenai Taylor series. Misalkan terdapat fungsi

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika Dasar Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika Dasar Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 536 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. Nilai p agar vektor 2i + pj + k dan i 2j 2k saling tegak lurus adalah... a) 6

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi

TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi Pelatihanosn.com TRIGONOMETRI Konversi Sudut = π putaran= rad = 6 menit 36 8 (6 ) = 36 detik (36") rad = 8 π = π putaran ket : yang didalam kurung merupakan cara penulisan Perbandingan Geometri sin t =

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3 Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat

Lebih terperinci

FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA

FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA. Penekatan Kalkulus: menefinisikan fungsi logaritma natural sebagai integral Panang sebuah fungsi yang iefinisikan engan menggunakan integral: (.) L(x) = t t. Dari Teorema

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:

PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si   Blog: PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 (2) Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi

Lebih terperinci

KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh :

KALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh : KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut : Kumpulan Soal-Soal Diferensial 1. Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2) 4 +(4x-1) 3 adalah... Jawab: misalnya : f (x) = y = (3x-2) 4 misal U = (3x-2) du/dx = 3 dy/dx = n.u n-1. du/dx = 4. (3x-2) 4-1.3

Lebih terperinci

BAB 1 Sistem Bilangan, Pertaksamaan dan Koordinat Kartesius 4. BAB 7 Fungsi-Fungsi Transenden 92

BAB 1 Sistem Bilangan, Pertaksamaan dan Koordinat Kartesius 4. BAB 7 Fungsi-Fungsi Transenden 92 Daftar Isi BAB 1 Sistem Bilangan, Pertaksamaan dan Koordinat Kartesius 4 BAB 2 Fungsi dan Limit 14 BAB 3 Turunan 32 BAB 4 Penggunaan Turunan 42 BAB 5 Integral 57 BAB 6 Penggunaan Integral 78 BAB 7 Fungsi-Fungsi

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -

Lebih terperinci

I N T E G R A L (Anti Turunan)

I N T E G R A L (Anti Turunan) I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.

Lebih terperinci

Fungsi Elementer (Bagian Kedua)

Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON

SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTUKTUR LIMIT DAN TURUNAN Disusun oleh : RADITYA AMARA BOJA 1037 SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON 1 KULON PROGO OKTOBER 2015 Kata Pengantar Puji syukur saya panjatkan kepada

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) = Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,

Lebih terperinci

Ujian Nasional. Tahun Pelajaran 2010/2011 IPA MATEMATIKA (D10) UTAMA. SMA / MA Program Studi

Ujian Nasional. Tahun Pelajaran 2010/2011 IPA MATEMATIKA (D10) UTAMA. SMA / MA Program Studi Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D0) c Fendi Alfi Fauzi alfysta@yahoo.com Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 (Pelajaran Matematika) Tulisan ini bebas dibaca

Lebih terperinci

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis

Lebih terperinci

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS Lecture 5. Integral A. Masalah Luas (The Area Problem) Sebelumnya kita pernah mempelajari rumus-rumus luas dari beberapa bentuk geometri. Misalnya, luas daerah persegi panjang adalah panjang kali lebar,

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari

LIMIT DAN KONTINUITAS. Arum Handini Primandari LIMIT DAN KONTINUITAS Arum Handini Primandari Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka yang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3x, maka simbol dari. atau ditulis

DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3x, maka simbol dari. atau ditulis DIFERENSIAL (Derivatif) A. Simbol Deferensial Jika ada Persamaan y = 3, maka simbol dari Turunan pertama y 1 atau Turunan kea y 11 atau d( ) B. Rumus Dasar Deferensial Jika y = n maka d (3) atau ditulis

Lebih terperinci