Malang, Agustus Penyusun

Transkripsi

1 KT PENGNTR Materi Kuliah nalisis Vektor ang meliputi Vektor Konstan, Fungsi Vektor, Diferensial Vektor dan Integral Vektor mempunai peranan ang sangat penting bagi para fisikawan dan rekaasawan untuk membantu menelesaikan permasalahanna. Oleh sebab itu mahasiswa teknik perlu mendapat pengetahuan tentang materi ini, sebagai salah satu bagian dasar untuk melatih kemampuan rekaasa mereka. Buku ajar ang berjudul nalisis Vektor ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam memahami pokok bahasan di atas, sehingga proses belajar mengajar mata kuliah ang dimaksud bisa berjalan dengan lebih baik. Penajian dan pembahasan materi dalam Buku jar ini diharapkan dapat dengan mudah diikuti dan dipahami oleh semua mahasiswa. Untuk itu, dalam setiap pokok bahasan, penusun berusaha memberikan beberapa contoh soal ang dapat diselesaikan mahasiswa sebagai latihan. Di bagian akhir dari diktat ini diberikan daftar pustaka untuk membantu bagi ang ingin mempelajari lebih lanjut, agar mendapatkan pemahaman ang lebih mendalam. Buku jar ini tentu saja memiliki banak kekurangan, untuk itu penusun sangat mengharapkan saran dan kritik ang membangun dari pemakai Buku jar ini untuk lebih menempurnakan penajian selanjutna. khirna, penusun berharap agar Buku jar ini dapat benarbenar bermanfaat. Malang, gustus Penusun

2 DFTR ISI KT PENGNTR i DFTR ISI ii BB I : VEKTOR KONSTN. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor. ljabar Vektor. Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4.4 Perkalian ntar Vektor.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri BB II : FUNGSI VEKTOR 8. Fungsi Vektor 8. Kurva Vektor 9 BB III : DIFERENSIL VEKTOR 4. Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 4. Interpretasi Dari Derivatif Vektor 5. Gradien, Difergensi dan url 8.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan url 4 BB IV : INTEGRL VEKTOR Integral Garis Teorema Green Medan Gaa Konservatif Integral Luasan Teorema Divergensi Gauss 4.6 Teorema Stokes 6 DFTR PUSTK

3 BB I VEKTOR KONSTN POKOK BHSN :! Pengertian tentang vektor dan notasi vektor! ljabar vektor! Vektor posisi dalam bidang dan ruang! Perkalian antar vektor! Penggunaan vektor dalam geometri.. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunai besar (magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalna lintasan dan kecepatan sebuah obek ang bergerak, gaa ang bekerja pada suatu benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain sebagaina. Besaran ang mempunai besar dan arah disebut dengan vektor (vector). Sementara besaran ang hana mempunai besar (magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan aplikasina baik dalam bidang (dimensi dua R ) maupun ruang (dimensi tiga R ).Dalam penajianna sebuah vektor biasa digambarkan sebagai segmen atau ruas garis ang berarah sebagai berikut : v B v B B B titik pangkal (initial point) B titik ujung (terminal point) Panjang vektor v v B : menatakan besarna vektor atau panjangna vektor v dan tanda panah dalam B menatakan arah vektor. Program Semi Que Universitas Brawijaa

4 da jenis vektor : a. Vektor Bebas (free vector) : vektor ang boleh digeser sejajar dirina dengan panjang dan arah tetap. b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor ang boleh digeser sepanjang garis kerjana, misalna gaa ang bekerja sepanjang garis lurus. c. Vektor terikat (binding vector) : vektor ang terikat pada sistem koordinat ang menunjukkan posisi tertentu. Kecuali bila digunakan untuk menatakan letak atau posisi, pada umumna orang bekerja dengan vektor bebas... ljabar Vektor Vektor nol (null vector) Ditulis adalah vektor ang panjangna nol sehingga arahna tak tentu (karena ujung dan pangkalna berimpit) Kesamaan vektor Dua vektor dikatakan sama jika mempunai panjang dan arah ang sama. Kesejajaran vektor Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisna sejajar, arahna bisa sama atau berlawanan. Vektor-vektor ang segaris merupakan vektor-vektor ang paralel. Penjumlahan vektor Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran genjang atau aturan segi banak (poligon) Misalna: a. B B B atau Program Semi Que Universitas Brawijaa B

5 B B b. E B D D D E B c. B D E E D Jumlah dari vektor-vektor ang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banak tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan. Penggandaan vektor dengan skalar Jika m besaran skalar dan vektor ang panjangna maka : m vektor ang panjangna m kali panjangna dan arahna sama dengan vektor jika m positif, atau berlawanan dengan arah vektor jika m negatif Pengurangan vektor Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari vektor ang mengurangi Program Semi Que Universitas Brawijaa

6 Jadi: B ( B) B B B Jika B maka B Hukum-hukum ang berlaku dalam ljabar Vektor Jika, B, adalah vektor dan m, n adalah skalar maka. B B (komutatif terhadap jumlahan). (B ) ( B) (asosiatif terhadap jumlahan). Terdapat vektor sehingga: (ada elemen netral) 4. Terdapat vektor sehingga: ( ) (ada elemen invers) 5. (mn) n (m) (asosiatif terhadap perkalian) 6. m ( B) m mb (distributif terhadap perkalian) 7. (m n) m n (distributif terhadap perkalian) 8. () (ada invers dalam perkalian).. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang Teorema Dasar Dalam Vektor : Setiap vektor pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai kombinasi linier sembarang vektor dan B ang tidak paralel dan bukan vektor nol. tau: m nb dengan m, n adalah skalar ang tunggal Program Semi Que 4 Universitas Brawijaa

7 Bukti : P P OP OP OP O B OP paralel dengan sehingga OP P m OP paralel dengan B sehingga OP mb m nb Dalam hal ini m, n adalah skalar ang tunggal. Karena jika tidak tunggal maka akan bisa ditulis sebagai berikut : m n B m n B (m - m) (n - n ) B Karena dan B bukan vektor nol dan tidak paralel maka, m - m m m n - n n n Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R ), sehingga untuk sembarang vektor D dapat ditulis : D m m B m dengan, B dan adalah vektor-vektor ang tidak paralel, bukan vektor nol dan tidak sebidang. Dua vektor dan B dikatakan saling bergantung secara linier (dependent linear) jika terdapat skalar m dan n ang tidak nol dan m n B Kejadian ini akan terjadi jika :. dan B merupakan vektor nol atau. dan B paralel (sejajar) Program Semi Que 5 Universitas Brawijaa

8 ontoh : Buktikan bahwa garis ang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangna sama dengan / dari panjang sisi ketiga tersebut. M titik tengah N titik tengah B M N B B B MN M N B ( B B) sehingga MN // B dan panjang MN ½ panjang B Vektor satuan (unit vector) Vektor satuan adalah vektor dengan panjang satuan panjang. a vektor satuan dari dan a Vektor basis satuan Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R dan pilih vektor satuan i dan j sebagai basis ang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu dan positif dan berpangkal di O. j O i maka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R Di R : sebagai vektor basis ang sejajar dan searah dengan sumbu dinatakan dengan vektor k. Program Semi Que 6 Universitas Brawijaa

9 k i j Vektor posisi a. Vektor Posisi dalam R Jika i dan j adalah vektor-vektor basis di R aitu vektor satuan ang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan berpangkal di titik dalam R. Maka sembarang vektor r dari titik ke titik P(,) dalam bidang XOY selalu bisa dinatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis i dan j. r j j P(X,Y) r j O i r i i Sehingga : r r i r j i j ri i ; r j j disebut vektor-vektor komponen X) r r komponen vektor r pada sumbu X (proeksi r ke sumbu X) komponen vektor r pada sumbu Y (proeksi r ke sumbu Vektor r i j disebut vektor posisi titik P, karena komponenkomponenna merupakan koordinat ang menunjukkan posisi titik P. Panjang dari r r Program Semi Que 7 Universitas Brawijaa

10 b. Vektor Posisi dalam R : Vektor-vektor basis dalam R adalah vektor-vektor satuan i, j dan k ang masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z positif dan berpangkal di titik.. P(,,) r k i O j r i j k merupakan vektor posisi dari titik P(,,) proeksi OP ke sumbu X proeksi OP ke sumbu Y proeksi OP ke sumbu Z Panjang dari r r Secara umum untuk sembarang vektor i j k dalam R, berlaku : k Panjang i i γ α β j Vektor satuan a Program Semi Que 8 Universitas Brawijaa

11 Dengan : ", ; disebut bilangan arah vektor " Sudut-sudut α ; β ; γ ang dibentuk vektor terhadap sumbu,, positif disebut arah vektor " osinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah. dengan: cos α cos β cos α cos β cos γ cos γ Menatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak OP i j k P (,, ) OP i j k P (,,) O P P OP OP (i j k) (i j k) ( )i ( )j ( )k Sembarang vektor P P dalam sistem koordinat bisa dinatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponenkomponenna adalah komponen vektor posisi titik ujung dikurangi komponen vektor titik pangkalna. Program Semi Que 9 Universitas Brawijaa

12 P P ( ) ( ) ( ) panjang vektor P P SOL-SOL. Tentukan vektor satuan ang sejajar dengan jumlah (resultan) dari vektor-vektor r i 4j 5k r i j k. Tunjukkan bahwa vektor-vektor : i j k B i j 5k i j 4k akan membentuk sebuah segitiga. mbil sembarang segi 4 BD Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi B; B; D dan D Buktikan bahwa PQRS menusun suatu jajaran genjang. (ukup dengan membuktikan bahwa PQ RS atau QR PS ) P - B - Q " " R O! S! D.4. Perkalian ntar Vektor a. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product) Ditulis:! B B cos θ ; θ sudut antara vektor dan B Program Semi Que Universitas Brawijaa

13 θ B cosθ θ B B cosθ Proeksi pada B Proeksi B pada Sifat Hasil Kali Skalar :.! B B!.! cos.! (B )! B! 4. ( B)!! B! Dalam R : i! i j! j k! k (krn //) i! j j! k k! i (krn ) k i j Karena : i! i i i cos i! j i j cos9 Jika: i j k B Bi B j Bk! B ( i j k)! (Bi B j B k)! B B B B Sudut ntar Vektor : Karena! B B cos θ Program Semi Que Universitas Brawijaa

14 cos θ! B B > θ arc cos! B B ontoh : B i 6j 9k -i j k! B (-) (6)() (9() B 4! B cos θ B Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel Vektor-vektor ang tegak lurus (aitu cos θ ) > tau jika : B B B! B atau B Dua vektor paralel jika komponen-komponenna sebanding atau jika : B B B Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha Dalam fisika, usaha gaa jarak perpindahan Jika gaa dan jarak perpindahan tidak sejajar θ F F cosθ d d d W F cos θ.d F! d ontoh : Diketahui : F i j 4k adalah gaa ang bekerja pada benda ang bergerak dari titik (,,) ke titik (,4,) Tentukan besarna usaha ang dilakukan oleh gaa F Program Semi Que Universitas Brawijaa

15 Jawab: W F! d d ( )i (4 )j ( )k i 4j k W (i j 4k)! (i 4j k) satuan usaha b. Hasil Kali vektor (ross Product / Vector Product Ditulis: B hasilna berupa vektor Dengan B θ B B sin θ θ B B B B rah dari sekrup putar kanan. Sifat hasil kali vektor: " B B B (B ) B ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau " (k) B k( B) (kb) " (B ) ( B) ( ) ( B) ( ) (B ) Dalam R anti komutatif i i i i sin θ k i j dengan cara ang sama i i j j k k i j i j sin 9 Program Semi Que Universitas Brawijaa

16 sehingga: i j k ; j k i; k i j j i -k ; k j -i ; i k -j Jika : i j k B B i B j B k atau: B ( i j k) (B i B j Bk) (B B) i (B B) j (B B) k B i B B j k B dan ontoh : (! )( B! B) ( B) B B sin θ! i j k B i j 4k! 4 6 B! B 4 9 B i j - - k 4 i ( 4 ) j(8 ) k( 6 ) i 7j 5k B plikasi dari Hasil Kali Vektor " Menghitung Torsi/Momen Dalam mekanika momen/torsi dari gaa F terhadap titik Q didefinisikan sebagai: Program Semi Que 4 Universitas Brawijaa

17 m F d F dengan d jarak (dalam arah ) Q antara titik Q ke garis gaa F L d d r θ F θ Q Jika: r adalah vektor ang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis gaa F Maka d dan r sin θ ; θ sudut antara r dengan F Jika m F r sin θ F r m M, maka M F r vektor momen dari gaa F terhadap titik Q ontoh : Tentukan vektor momen dari gaa F r (,) terhadap titik O ' ' ' ' F (4,-) Jawab: F (4 ) i ( ) j k i j k r ( ) i ( ) j k i j k Program Semi Que 5 Universitas Brawijaa

18 i j k M - i() j() k( 6) 8k M 64 8 c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product) Jika: i j k B B i B j B k i j k i j B B B B B B k B! B B B B B B B B B disebut hasil kali skalar triple, karena hasilna merupakan skalar. Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat: B!!!. ( B ) ( ) B sehingga: ( B)!! ( B ) Nilai hasil kali ini hana bergantung pada urutan siklus dari vektorna letak tanda dan! na tidak mempengaruhi hasilna. Jika urutan vektorna ditukar maka tandana akan berubah. Sehingga: B! B! B!. Hasil kali skalar tripel: B! bila dan hana bila, B dan sebidang. Program Semi Que 6 Universitas Brawijaa

19 Bukti: a. B!, B dan sebidang Jika B! maka B atau salah satu dari Berarti:, B atau vektor nol i. pabila salah satu dari, B atau vektor nol, maka pasti, B dan sebidang ii. pabila B maka bisa diletakkan sebidang dengan dan B sehingga, B dan sebidang b. Jika, B dan sebidang B! Jika, B dan sebidang, maka B sehingga B! rti Geometris Dari Diberikan vektor O B OB O B!, B dan B O P B B luas jajaran genjang ODB B! P! P cos θ Program Semi Que 7 Universitas Brawijaa

20 cos θ tinggi di atas bidang ODB Jadi B! volume bidang 6 (paralel epipedum) ODB EFG ang disusun oleh, B dan atatan: θ ) ' B Luas jajaran genjang OB OB ' OB O sin θ ontoh : Buktikan bahwa ( B)! ( ) ( B) OB O Bukti: Misalkan B u Maka : v u! v u volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u Karena kedua sisina merupakan vektor ang sama maka ketiga vektor tersebut sebidang sehingga : d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product) Hasil kali vektor tripel adalah : ( B) ( B ) u! v u Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurangna ditukar. Misalkan : (i i) j j i (i j) i k j Program Semi Que 8 Universitas Brawijaa

21 Sifat Hasil Kali Vektor Triple :. ( B ) ( B). ( B ) (! )B (! B) ( B) (! ) B ( B! ) ontoh :. Jika: i j k B i j k i j k Hitung : ( B) ; ( B ) Jawab: i j k i( ) j( ) k( ) a. B i j 4k ( B) i j k 4 i(6 4) i j k j( ) k( 9) b. B i j k i( ) j( ) k( ) i 5 j 4k! B i j 5 k 4 i(8 5) j(8 ) k( ) i 9 j 8k. Buktikan : [ ( B)] (! )(B ) Bukti : Misalkan B Maka ( B ) (! ) (! ) (! B) (! )( B) Program Semi Que 9 Universitas Brawijaa

22 ( ) (! )( B) (! )( B) (! )( B ).5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri a. Persamaan Garis Dalam R : ndaikan l sebuah garis ang melalui titik P(,,) dan sejajar dengan sebuah vektor v i Bj k. Maka l merupakan tempat kedudukan semua titik P(,,) sedemikian hingga " P P sejajar dengan v P(,, ) V i Bj k P(,, ) Jadi titik P (,,) terletak pada garis l bila dan hana bila P P tv dengan t adalah suatu skalar. tau: ( )i ( ) j ( ) k t (i Bj k) t i tbj tk Ini berarti : t tb t t tb t Persamaan parameter garis ang melalui titik (,,) dan paralel dengan vektor v. Program Semi Que Universitas Brawijaa

23 tau: t B Persamaan standard garis ang melalui titik (,, ) dan paralel dengan v i Bj k Dalam hal ini v i Bj k disebut vektor arah garis l dan, B, merupakan bilangan arah garis. Jika salah satu dari, B dan nol Mis. maka Persamaan standardna ditulis : ontoh : B ; dan Tentukan persamaan garis melalui ( 5,4,) dan B (,, 6) Vektor arah garis v B i j 5k Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(,,) dan titik tertentu ang terletak pada garis diambil titik (5,4,) maka Persamaan standard garis: tau: Persamaan standard garis: Persamaan parameter garis: 5 t 4 t 5t Program Semi Que Universitas Brawijaa

24 Dalam R : Jika suatu garis mempunai gradien (bilangan/tangen arah) m maka vektor arah garis : l i mj b. Persamaan Bidang N Q(,, ) Vektor N bidang W sehingga N disebut Vektor Normal dari bidang w Jika N i Bj k W ) P(,, ) PQ ( ) i ( ) j ( ) k PQ terletak pada bidang W Sehingga PQ N N! PQ tau: ( ) B( ) ( ) Persamaan bidang melalui titik (,, ) dengan normal bidang N i Bj k ontoh :. Tentukan persamaan bidang ang melalui titik-titik P(,,) ; Q(4,,5) ; R(,4,). PQ i j 4k PR i j k vektorpq dan PR terletak pada bidang i j k N PQ PR 4 i 6j k Persamaan bidang: ( ) B( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 4 Program Semi Que Universitas Brawijaa

25 " Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai: B D dengan N i Bj k. Tentukan persamaan bidang ang melalui titik T (4,,-); tegak lurus pada bidang u 8 dan tegak lurus pada bidang v u 8 N U i j k v N V i j k Dicari bidang w ang bidang u dan v, berarti tau N N i Nv j k i 5j w u Persamaan bidang w: ( 4) 5( ) 5( ) c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang 5k N w Nu dan Diberikan sebuah titik P(r,s,t) ang berada di luar bidang V dengan V B D Normal bidang Jika Titik N v i Bj k D k QP r i sj tk D Q ;, terletak pada bidang tersebut. NV Program Semi Que Universitas Brawijaa

26 P(r,s,t) N θ d k Q(-D/,,) θ sudut antara N dan k sehingga d k cosθ N! k N k cosθ N d d N! k N sehingga: D r Bs t d B atau d r Bs t D B Jarak titik P(r,s,t) ke bidang B D ontoh : Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang B jika (,4,) B (6,4,) (,5,) -i j k B 4i k Normal bidang N B i j k j 4k 4 Persamaan bidang B Program Semi Que 4 Universitas Brawijaa

27 ( ) ( 5) 4 ( ) 4 4 Jarak titik P(5,5,4) ke bidang 4 4 (5) (5) 4(4) 4 5!6 4 d d d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang Diberikan bidang v dengan normal Diberikan bidang w dengan normal N v N w (w v) N v " N w Jika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan dengan N v maupun N w Sehingga jika vektor arah garis tersebut " maka ontoh : " N v Nw Tentukan persamaan garis ang merupakan perpotongan bidang 5 dan 6 7 v 5 w 6 5 Vektor arah garis: Nv i j k Nw i 6j k L N v Nw i j 6 k 4i j 5k Program Semi Que 5 Universitas Brawijaa

28 Ditentukan salah satu titik ang terletak pada perpotongan bidang. (i) 5 (ii) Misalkan diambil : (i). () ½ Titik (,,-½ ) terletak pada garis potong bidang. Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang : 4 5 e. Sudut ntara Garis dan Bidang Jika: " ai bj ck vektor arah garis " N i Bj k normal bidang v B k D " N v) θ φ cos θ N! " N " ( B a Bb c )(a b c ) sin φ sin (9 θ) Program Semi Que 6 Universitas Brawijaa

29 cos θ ( B a Bb c )(a b c ) Sehingga sudut antara garis " dengan vektor arah " ai bj ck dengan bidang v dengan normal bidang N v i Bj k adalah φ arcsin ( B a Bb c )(a b c ) Program Semi Que 7 Universitas Brawijaa

30 BB II FUNGSI VEKTOR POKOK BHSN :! Fungsi Vektor! Kurva Vektor. Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor, maka bisa dinatakan sebagai fungsi vektor dari t atau (t), aitu suatu vektor ang komponen-komponenna merupakan fungsi dari nilai skalar t. Dalam R, fungsi vektor (t) biasa ditulis dengan, (t) (t) i (t) j Dalam R, fungsi vektor (t) ditulis dengan, (t) (t) i (t) j (t) k Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (,,) di R dikaitkan dengan suatu vektor, maka bisa dinatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut: (,,) (,,) i (,,) j (,,) k ontoh fungsi vektor, misalna persamaan dari gerakan bebas suatu partikel dalam ruang. Jika setiap titik dalam suatu ruang (R ) dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut disebut medan vektor. ontoh medan vektor, misalna aliran fluida (gas, panas, air dan sebagaina) dalam suatu ruangan. Sembarang fungsi ang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi skalar, dan suatu ruang ang setiap titikna tidak dikaitkan dengan suatu vektor disebut medan skalar. ontoh medan skalar, misalna temperatur sembarang titik dalam suatu ruang atau batang besi, pada suatu saat. Program Semi Que 8 Universitas Brawijaa

31 . Kurva Vektor Sebuah kurva berarah dalam sistem koordinat kartesius, bisa disajikan dalam bentuk fungsi vektor: r(t) [(t), (t), (t)] (t)i (t)j (t)k Pengambilan nilai t to akan menunjuk suatu titik pada kurva ang posisina ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat (to), (to) dan (to). Bentuk penajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penajian parametric dari kurva, dengan t sebagai parameterna. Dalam mekanika, parameter t ini biasana menatakan waktu dalam satuan detik. ONTOH: Penajian kurva berarah sebagai fungsi vektor a. Persamaan Kurva Vektor ang berupa Garis Lurus Dengan persamaan parameter garis lurus Sembarang garis lurus l ang melalui titik (a, a, a) dalam ruang bisa disajikan dalam bentuk fungsi vektor: " r(t) (t)i (t)j (t)k ; untuk t t t dan dengan (t) a tb (t) a (t) a tb tb a a i a j ak vektor posisi titik (a, a, a) ang terletak pada garis l. b b i b j bk vektor arah garis l Jadi, persamaan di atas menatakan persamaan suatu garis ang melalui titik dengan vektor posisi r a dan arahna sesuai dengan arah vektor b. Jika vektor b adalah vektor satuan, maka komponen-komponenna akan merupakan cosinus arah dari arah l. Dalam hal ini, t merupakan jarak setiap titik pada garis l terhadap titik. Program Semi Que 9 Universitas Brawijaa

32 ontoh:. Kurva vektor ang berupa suatu garis lurus dalam bidang, ang melalui titik (,) dengan gradien, a i j b i j (garidien ) sehingga: (t) t (t) t dan r(t) (t) I (t)j (t)i ( t)j tau bisa juga ditentukan sebagai berikut: Persamaan garis ang melalui titik (,) dengan gradien adalah : ( ) Jika, (t) t untuk t t t (t) t Maka r(t) (t)i (t)j ti (t )j. Kurva ang berupa garis lurus melalui titik (,,) menuju titik B(,-4,) Titik awal (,,) a i j j Vektor arah garis b ( )I ( 4 )j ( )k i 4j k (t) t (t) 4t r(t) ( t) i 4tj ( t)k (t) t t t b. Parabola (). Parabola ; - Program Semi Que Universitas Brawijaa

33 - (t) t ( t) (t) t (karena ) Sehingga : r(t) ti t j, dengan t - t (). Parabola :, ; ; di R (t) t ; t t (t) t (t) r(t) ti t j k c. Ellips/Lingkaran Persamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius: a, c di R b Program Semi Que Universitas Brawijaa

34 dibawa ke bentuk parameter, dengan : (t) a cos t (t) b sin t (t) c sehingga bentuk fungsi vektorna menjadi: r(t) a cos t i b sin j c k Jika a b r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran: r atau r ; c di R r dan persamaan fungsi vektorna : r(t) r cos t i r sin t j c k d. Heli Putar Heli putar adalah suatu kurva ang berbentuk seperti spiral ang terletak pada silinder. Persamaan heli putar ang terletak pada silinder a, dalam bentuk fungsi vektor adalah: r(t) cos i a sin t j ct k (c ) Jika c > bentuk heli mengikuti sekrup putar kanan Jika c < bentuk heli mengikuti sekrup putar kiri Misalna: Persamaan heli r(t) cos t i sin t j t k adalah persamaan dari heli putar kanan ang terletak pada silinder dan berjarak vertikal π, artina jika dihubungkan dengan garis vertikal (sejajar Program Semi Que Universitas Brawijaa

35 dengan sumbu ) maka jarak dua titik pada heli akan merupakan kelipatan π. Z Z Y Y X X a. Heli putar kanan b. Heli putar kiri Program Semi Que Universitas Brawijaa

36 Bab III DIFERENSIL VEKTOR POKOK BHSN :! Derivatif atau turunan dari fungsi vektor! Interpretasi dari derifatif vektor! Gradien, divergendi dan curl! Penggunaan gradien, divergendi dan curl. Derivatif tau Turunan ljabar Dari Fungsi Vektor Fungsi vektor (t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut: (t Δt) (t) d Δt lim '(t) ada Δt dt Dalam hal ini, vektor (t) disebut derivatif (turunan) dari vektor (t) Jadi, jika (t) (t) i (t) j (t)k, Maka d d '(t) i dt dt ' (t) i ' d j k dt (t) j ' (t) k Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor: (c)' c' (c konstanta atau skalar ) ( B)' ' B' (! B)' '! B! B' ( B)' ' B B' ( B )' ('B ) ( B' ) ( B ' ) Derivatif Parsial Fungsi Vektor Untuk fungsi vektor ang komponen-komponenna terdiri dari dua variabel atau lebih, misalna: (,,) (,,)i (,,) j (,,)k maka, bisa ditentukan derivatif parsial dari (,,) terhadap, atau sebagai berikut: i j k i j k Program Semi Que 4 Universitas Brawijaa

37 i j k ONTOH: Diberikan fungsi vektor: φ (,) a cos i a sin j k φ a sin i a cos j φ k Jika φ fungsi skalar, B fungsi vektor ; maka: a. d d dφ ( φ ) φ dt dt dt ( dan φ merupakan fungsi t) b. B (! B)!! B t ( dan B merupakan fungsi, dan ) c. B ( B) B ( dan B merupakan fungsi,, dan ). Interpretasi Dari Derivatif Vektor a. Interpretasi geometris Jika adalah kurva ang dinatakan dalam bentuk fungsi vektor r(t) (t)i (t)j (t)k, maka:. Derivatif dari kurva di P, atau d r(t) d (t) d (t) d (t) r' (t) i j dt dt dt dt merupakan vektor singgung (tangent vector) dari kurva di P. r'. u.. vektor singgung satuan (unit tangent) r' k Program Semi Que 5 Universitas Brawijaa

38 r' ( t ) : r( t) P t t. i r'!r' dt panjang kurva, t b (length of a b a curve) 4. s(t) r'! r' dt panjang busur a t (arc length of a t a curve) ONTOH: Diberikan fungsi vektor dari kurva ang berbentuk lingkaran sebagai berikut: r(t) cos t i sin t j t, maka: a) vektor singgung dari kurva di t π adalah r' (t) - sin t i cos t j t -i - i - i b) u i i c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran): π π r'!r'dt sin t o o 4cost dt π π π 4dt o o 4 dt Program Semi Que 6 Universitas Brawijaa

39 t π o 4π b. Interpretasi dalam mekanika Jika adalah lintasan suatu benda ang dinatakan dalam bentuk fungsi vektor maka: " " dr( t) v r' dt merupakan vektor kecepatan di suatu titik t. ds v r'! r' laju (speed) atau besarna kecepatan dt di sautu titik t. " a(t) v'(t) r''(t) vektor percepatan ONTOH :. Gerak Rotasi Jika : r(t) R cos ωt i R sin ωt j persamaan gerak sebuah partikel P ang bergerak melingkar berlawanan dengan arah jarum jam. Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut. v(t) r'(t) Rω sin ωt i Rω cos ωt j Kecepatan sudut (kecepatan angular) v R Vektor percepatan Jadi, Rω R ω sin ωt R ω cos ωt ω R a v' R ω t i R ω sin ωt j - r(t) a -ω r(t) ω R percepatan centripetal (dengan arah menuju pusat lingkaran). Tentukan persamaan lintasan partikel ang bergerak dengan vektor percepatan a i k, jika posisi awalna dititik (-,,) dan vektor kecepatan awalna v() j Program Semi Que 7 Universitas Brawijaa

40 Program Semi Que 8 Universitas Brawijaa k c t j c i c t k dt j dt i dt t v ) ( ) ( ) ( k dt c j dt c i dt c t t r ) ( ) ( ) ( k c t c t j c t c i c t c t ) ( ) ( ) ( Kecepatan awal :,, ) ( ) ( ) ( c c c j k c j c i c v k t j i t t v ) ( Posisi awal : k j i r ) ( k c c j c c i c c r ). ( ). ( ). ( ) ( 6 5 4,, c c c k j i k c j c i c k t j t i t t r ) ( ) ( ) ( ) (. Gradien, Divergensi Dan url Didefinisikan suatu operator vektor (dibaca del atau nabla) sebagai berikut: k j i k j i Jika φ φ (,,) adalah fungsi skalar, dan (,,) (,,) i (,,) j (,,)k adalah fungsi vektor ang mempunai turunan pertama ang kontinu di suatu daerah. Maka :. GRDIEN dari φ (,,) didefinisikan dengan grad φ φ k j i ),, ( ),, ( ),, ( φ φ φ k j i k j i ),, ( ),, ( ),, ( φ φ φ

41 Program Semi Que 9 Universitas Brawijaa. DIVERGENSI dari (,,): div! k j i,) (,,) (,,) (,. URL atau ROTSI dari (,,): url ( ) k j i k j i k j i k j i k j i 4. Operator Laplace (LPLIN) dari φ φ div ( φ) div (grad φ) φ φ φ k j i k j i! φ φ φ φ Rumus-Rumus : Jika, B fungsi vektor U,V fungsi skalar, maka. (U V) U V atau grad (U V) grad U grad V. B div div B) atau div ( B B) (!!!

42 . ( B) B atau curl ( B) curl curl B 4.! ( U) ( U)! U (! ) 5. ( U) ( U) U ( ) 6.! ( B) B (! ) (! B) 7. ( B) (B! ) B(! ) (! B)B (! B) 8.! (! B) (B! ) (! )B B ( ) ( B) U U U 9.! ( U) U disebut Laplace dari U dan disebut Operator Laplace. ( U) curl dari gradien U.! ( ) divergensi dari curl. ( ) (! ) ONTOH: Misalkan φ fungsi skalar i j k fungsi vektor a. grad φ φ φ φ φ i j k i j k b. div! i j k! (i j k ) c. curl i j k i ( ) j (4 ) k ( ) i (4 ) j Program Semi Que 4 Universitas Brawijaa

43 d. div ( φ )! (φ) i j k! ( i - j k ) 4 4 ( ) i ( ) j ( ) k 4 i j 6 4 k e. curl ( φ) ( φ) ( ( i j k) ) i j k - 4 (4 4 ) i (8 4 ) j ( 4 ) k.4 Penggunaan Gradien, Divergensi dan url a. Derivatif berarah (directional derivatve) Misalkan temperatur sembarang titik (,,) dalam sebuah ruangan adalah T(,,). besarna T(,,) tergantung pada posisi,, dalam ruang tersebut. sehingga temperatur di suatu titik tertentu mungkin akan berbeda dengan temperatur di titik lainna. Karena adana perbedaan temperatur ini, maka bisa ditentukan besarna rata-rata perubahan (laju perubahan) temperatur dari satu titik ke titik lainna persatuan jarak (panjang). Besarna laju perubahan temperatur sesaat di suatu titik, akan tergantung pada arah gerakna, atau ke titik mana ang akan dituju. Oleh sebab itu, laju perubahan ini disebut dengan derivatif berarah (directional derivative) ara menentukan derivatif berarah: Diberikan suatu medan skalar ang dinatakan fungsi (,,). Besarna laju perubahan dari fungsi (,,) di titik (,, ) persatuan jarak (panjang), dengan arah gerak tertentu, misalkan vektor arah satuanna u ai bj ck, bisa ditentukan sebagai berikut, Program Semi Que 4 Universitas Brawijaa

44 φ φ kons tan θ ) u dφ dalam arah u ds atau D u φ Persamaan garis melalui titik (,, ) dengan vektor arah satuan u ai bj ck, bisa dinatakan dalam bentuk parameter o o o as bs cs Sehingga sepanjang garis tersebut,,, akan merupakan fungsi dari satu variabel s. Jika,, di atas didistribusikan dalam fungsi φ (,, ), maka φ akan merupakan fungsi dari s, artina sepanjang garis gerak di atas φ merupakan fungsi dari satu variabel s, sehingga dihitung. dφ D uφ ds u φ d φ d φ d φ φ φ a b c ds ds ds φ φ φ %"$"# %""" $ """# u φ i j k ( ai bj ck ) dφ ds bisa Jadi, dφ Duφ φ! u grad φ! u ds u Program Semi Que 4 Universitas Brawijaa

45 Definisi perkalian skalar, diperoleh: dφ ds u φ! u φ u cosθ ; θ adalah sudut antara φ dan vektor u Karena u vektor satuan, maka u, jadi dφ ds u φ cosθ nilai ini akan maksimum jika cos θ atau θ, aitu jika u searah dengan φ. Harga maksimum dari dφ adalah ds u φ ONTOH:. Tentukan derivatif berarah dari fungsi f di titik (,, ) dalam arah menuju titik (,, -). Dalam arah manakah derivatif berarah ini akan berharga maksimum. Berapa nilai maksimumna. a. Vektor arah titik (, -,) menuju (,,-) ( )i ()j (--)k i j k. Vektor arah satuan u i j k f i j k i j k D (,-,) f (,-,) uf i j k i j k 4 4 i j k ( i j k)! ( 4 4 ) (,,) 8 4), ( b. Nilai Duf di atas akan maksimum jika arah gerakna searah dengan f, dan besarna nilai maksimum f (,, ) Program Semi Que 4 Universitas Brawijaa

46 . Jika (,,) dalam ruangan pada suatu waktu tertentu. Tentukan laju pertumbuhan temperatur sesaat di titik (,-,-) jika bergerak ke arah titik (,,) i j k Vektor arah satuan u ( i j k) 4 4 Laju perubahan temperatur di titik (, -, ) dengan arah u D uf (,-,) ( )! ( i j k) [ i ( ) j k)! [ i j k] ( 8 6) Tanda negatif menunjukkan perubahan ang menurun artina terjadi penurunan suhu jika bergerak dari titik (, -, ) ke titik (,,). b. Gradien sebagai vektor Normal Luasan Misalkan f(,,) adalah persamaan luasan S dalam ruang (R ) dan fungsi vektor r (t) (t)i (t)j (t)k adalah persamaan kurva ang terletak pada luasan S. Karena r(t) terletak pada f(,,), maka berlaku F[(t), (t), (t)] dan f f f t t t t f f f d d d i j k! dt dt dt d r(t) d r(t) f! f [ t' (t)] dt dt Program Semi Que 44 Universitas Brawijaa

47 f r' ( t) P r(t) Karena r(t) merupakan persamaan kurva pada luasan s, maka r'(t) dr merupakan singgung kurva r(t), ang berarti vektor singgung dt luasan S di titik tertentu. Jadi, f vektor luasan > berarti f merupakan vektor normal luasan S di suatu titik. f Dan n vektor normal satuan. f ONTOH: Tentukan vektor normal dari kerucut putaran: 4( ) di titik P(,,). Persamaan luasan dalam bentuk f(,,) adalah f(,,) 4( ) f (4( ) ) 8 i 8 j 8 k (,,) 8i 4k f n f 8i 4k i 4k 8 i k 5 Program Semi Que 45 Universitas Brawijaa

48 c. Penggunaan lain dari Gradien Misalkan adalah suatu partikel dengan massa M ang terletak pada titik tetap Po(o, o, o) dan B adalah suatu partikel bebas dengan massa m ang berada pada posisi P(,,) dalam suatu ruang, maka B akan mengalami gaa tarik dari partikel. menurut hukum Newton tentang gravitasi, arah gaa p adalah P menuju Po, dan besarna sebanding dengan /r, antara P dengan Po. Sehingga, c p c GMm r G 6,67 konstan dan r ( ; r o ) ( o) ( o) Dalam hal ini, p merupakan suatu vektor dalam ruang. Jika vektor jarak dari P ke Po, dan maka r ( o)i ( o)j ( o)k ; r r r r vektor p r r vektor satuan arah dari p (tanda minus menatakan arah dari Po ke P) r r p ( c / r ) ( c / r ) r r r o o o c i c j c k r r r > fungsi vektor ang menatakan gaa tarik menarik antara dua partikel. Jika fungsi skala f(,,) c/r ; r merupakan potensial dari medan gravitasi tersebut, ternata bisa dibuktikan bahwa grad f p sebagai berikut: grad f i j k ( o ) ( o) ( o) - ( o) c i / [( ) ( ) ( ) ] o o Program Semi Que 46 Universitas Brawijaa o c

49 Program Semi Que 47 Universitas Brawijaa j c / o o o o ] ) ( ) ( ) [( ) - ( k c / o o o o ] ) ( ) ( ) [( ) - ( k c r j c r i c r o o o p Selain itu bisa dibuktikan bahwa: 5 o ) ( r r r 5 o ) ( r r r 5 o ) ( r r r Jika dijumlahkan menjadi: r r r 5 o o o ) ( ) ( ) ( r r 5 r r r Sehingga, karena f c/r maka f atau f f f Jadi medan gaa ang dihasilkan oleh sebaran massa partikel akan merupakan fungsi vektor (p) ang merupakan gradien dari fungsi skalar f (potensial dari medan gravitasi) dan f memenuhi sifat f Dalam elektrostatis, gaa tarik menarik antara dua partikel bermuatan Q dan Q adalah r r k p (Hukum ouloumb)

50 dengan: QQ 4 πε k ; ε konstanta elektrik Dalam hal ini p adalah gradien dari fungsi potensial f k/r ; dengan f ONTOH: Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(,) ln( ) volt. Tentukan gaa listrik di titik P (,5). Vektor gaa elektrostatik p grad V 6 i j (, 5 (i 5 j) 9 p ) rah gaana searah dengan arah vektor p Penggunaan Difergensi Dalam aliran fluida: Perhatikan suatu aliran tak tunak (non-stead state) dari fluida termampatkan (compressible fluid), misalna gas atau uap, dalam suatu ruangan. Karena termampatkan, maka besarna (densitas massa massa persatuan volume) akan tergantung pada koordinat,, dan. Dan karena aliranna tak tunak maka juga tergantung pada t (berubah-ubah dari waktu ke waktu). Jadi (,,,t). Misalkan v(,,) vi vj vk adalah vektor kecepatan sesaat dari partikel fluida di suatu titik (,, ) Selanjutna, ambil sembarang bagian volume ang sangat kecil dari ruangan tersebut, misalkan volume W seperti dalam gambar berikut. Program Semi Que 48 Universitas Brawijaa

51 ρv ρ v ρv W ) ρv ρv ρ v ρv ρ v ρv Karena terdapat aliran fluida ang compressible dalam ruangan tersebut, maka dalam volume W juga akan terjadi perubahan massa fluida. Untuk mengukur besarna perubahan massa fluida dalam volume W, bisa dilakukan dengan mengukur besarna selisih massa fluida sebelum masuk dan saat meninggalkan W persatuan waktu. Jika, massa fluida ang melewati salah satu sisi dari W Selama t [komponen vektor kecepatan ang dengan masingmasing sisi W] ρ [luas permukaan sisi tersebut] [ t) fluks massa fluida pada masing-masing sisi W. Maka, untuk menghitung besarna perubahan massa fluida ang melalui W, bisa dilakukan dengan menghitung jumlah fluks massa ang keluar dikurangi dengan jumlah fluks massa ang masuk dari masing-masing sisi W. " Fluks massa ang masuk selama t melalui: sisi kiri ρv t sisi belakang ρv t sisi bawah ρv t " Fluks massa ang keluar selama t melalui: Program Semi Que 49 Universitas Brawijaa

52 sisi kanan (ρv ρv) t sisi depan (ρv ρv) t sisi atas (ρv ρv) t Jumlah selisih massa fluida persatuan waktu persatuan Volume (Σ ang keluar - Σ ang masuk)/volume/waktu ρ v t ρv t ρv t ( t) ρ v ρv ρv Karena volume W diambil sangat kecil, maka Jadi, besarna perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan volume dalam ruangan lim ρ ρv ρv ρv ρv ρv v i j k! ( ρvi ρv j ρvk)! ρv div ( ρv) Sementara itu, telah diketahui bahwa besarna perubahan massa fluida persatuan waktu persatuan volume akan sama dengan laju ρ perubahan (penurunan) densitas massa persatuan waktu, atau t Jadi, tau ρ div ρv t Program Semi Que 5 Universitas Brawijaa

53 ρ div ρv t merupakan persamaan kontinuitas dari aliran non-stead state dari fluida termampatkan Jika aliranna tunak (stead state), ang berarti bahwa densitas massana tidak tergantung pada t (tidak berubah dari waktu ke waktu), maka: ρ t div ρ v merupakan kontinuitas untuk aliran stead state dari fluida termampatkan (compressible). Untuk aliran stead-state dari fluida tak termampatkan (in compressible fluid), berarti na konstan (tidak tergantung pada,, dan ) maka, div ρv div v (ρ ) div v persamaan koninuitas dari aliran stead-state Penggunaan url Dalam gerak rotasi dari fluida tak termampatkan (incompressible fluid). Misalkan sebuah benda berputar uniform dengan kecepatan sudut (konstan) mengelilingi sumbu &. Program Semi Que 5 Universitas Brawijaa

54 P r v Ω R θ & O Didefinisikan vektor kecepatan sudut Ωang panjangna, sejajar sumbu & dengan arah mengikuti arah majuna sekrup putar kanan terhadap gerakan benda. Jika R adalah vektor dari titik di & ke sembarang titik P pada benda, maka " radius putar titik P: r R sin θ sehingga, " kecepatan linier titik P v ω R sin θ Ω R sin θ Ω R Vektor v ini mempunai arah bidang ang dibentuk oleh Ω dan R, sehingga Ω, R, dan v membentuk sistem sekrup putar kanan. Jadi hasil dari perkalian Ω R, selain memberikan besarna nilai v juga akan menentukan arah dari v. Program Semi Que 5 Universitas Brawijaa

55 Jika titik diambil sebagai titik asal koordinat, maka: R i j k dan Ω Ωi Ω j Ωk sehingga, v Ω R bisa ditulis v (Ω Ω )i (Ω - Ω)j (Ω - Ω) k dan i j k curl v v ( Ω Ω) ( Ω Ω) ( Ω Ω Ω i Ω j Ω k Ω Jadi, Kecepatan sudut dari sebuah benda ang bergerak uniform ½ curl dari kecepatan lintas sembarang titik. ) SOL-SOL LTIHN. Misalkan f 9 4 Tentukan g v i ( ) j k w i 4 j k a. grad f di titik (, -, ) Jawab : 6i 8j b. f Jawab : 8 c. f! g Jawab : 7 d. g Jawab : e. f! v Jawab : 8 ( ) 6 f. div w Jawab : g. div v (curl v) Jawab : h. div (v k) Jawab : i. curl (v k) Jawab : i ( )j ( )k Program Semi Que 5 Universitas Brawijaa

56 j. Dwf di (,, ) Jawab : 8 5 k. Dwg di (,, ) Jawab : l. div (v w) Jawab :. Jika r(t) menatakan persamaan kurva lintasan, dengan t waktu. Tentukan vektor kecepatan, besarna laju (speed) dan vektor percepatan di P[(t); (t)], jika a. r(t) (t)i (t)j (t)k ti t j Jawab: v i j k ; v 45 ; a 6 j b. r(t) (t)i (t)j (t)k ti t j tk, di titik P (4,,4) Jawab: v i j k ; v ; a. Jika vektor posisi dari lintasan sebuah partikel dinatakan dalam r r(t) t i tj (t t)k, t waktu. a. Kapan (pada saat berapa) partikel akan melintas di titik (4,- 4,8). Jawab: t b. Tentukan vektor kecepatan dan laju partikel di saat melintasi titik (4,-4,8). Jawab: v 4i j 6k; v 4 c. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva lintasan partikel tersebut, dan bidang normal dari kurva di titik (4,-4,8) Jawab: ( 4)/4 ( 4)/(-) ( 8)/ Jika berangkat dari titik (,) dalam arah manakah fungsi φ akan menurun dengan cepat (menurun secara maksimum). Jawab i Program Semi Que 54 Universitas Brawijaa

57 5. Jika diberikan medan skalar r dan R, tentukan a. Laplace dari ln r Jawab : b. Laplace dari R Jawab : /R 6. Jika potensial antara dua silinder konsentris adalah V(,) ln( ) volt. Tentukan arah garis-garis ekipotensialna di titik P (,5). atatan: garis ekipotensial adalah garis ang tegak lurus dengan garis gaa elektrotatis. Program Semi Que 55 Universitas Brawijaa

58 BB IV INTEGRL VEKTOR 4. Integral Garis (Line Integrals) Konsep integral garis merupakan generalisasi (perluasan) dari konsep integral tertentu a b Dalam integral tertentu a b f ()d. f ()d, fungsi f() diintegrasikan sepanjang sumbu dari a sampai b, dengan f() adalah fungsi ang terdefinisi pada setiap titik pada sumbu antara sampai b. Dalam integral garis, akan diintegrasikan suatu fungsi F sepanjang kurva dalam ruang atau bidang, dan fungsi F adalah fungsi ang terdefinisi pada setiap titik di. Kurva, oleh sebab itu disebut sebagai lintasan integrasi. Lintasan integrasi merupakan kurva licin (smooth curve) ang bisa dinatakan dalam bentuk fungsi vektor: r(t) (t) i (t) j (t) k ; a t b dan r(t) mempunai derivatif kontinu, dr d(t) d(t) d(t) r '(t) i j k dt dt dt dt ang tidak nol POKOK BHSN :! Integral garis! Teorema Green! Medan Gaa Konservatif! Integral luasan! Teorema divergensi Gauss! Teorema Stokes ' (t) i '(t) j '(t) k Dalam hal ini merupakan kurva berarah dengan: : r(a) titik awal dari B : r(b) t akhir dari rah dari ke B sepanjang disebut arah positif dari dan dalam gambar, arah ini ditunjukkan dengan tanda panah. Program Semi Que 56 Universitas Brawijaa

59 Jika B disebut kurva tertutup. B r(b) r(a) B r(b) : r(t) r(a) Definisi Integral Garis Integral garis dari suatu fungsi vektor F(r) sepanjang kurva ang terdefinisikan pada a t b, didefinisikan sebagai: Jika, r (t) (t) i (t) j (t) k F(r)! dr b dr F [r(t)! a dt b F [r(t)! r'(t)dt dr d(t) d(t) d(t) r '(t) i j dt dt dt dt dr d(t) i d(t) j d(t) k F(r) F i F j F k maka: F(r) dr [ d(t) F d(t) F d(t) ]! F b d d d F F F dt a dt dt dt b dt [ F '(t) F '(t) F '(t) ] a " Integral garis sepanjang lintasan ang tertutup dinotasikan dengan F (r)! dr a k dt ontoh Program Semi Que 57 Universitas Brawijaa

60 . Tentukan integral garis F (r)! dr, jika F(r) i j : adalah busur lingkaran seperti dalam gambar berikut dari titik ke titik B. B(,) dan F[r(t)] (, ) sin t i sin t cos t j f' sin t i cos t j : r(t) cost i sint j Sehingga, (t) cost t (t) sin t π t F (r)! dr b F [r(t)]! r'(t)dt a π/ a π/ [sin t sin t cos cos t dt π/ t]dt cos t d cos t t sin t 4 cos t π/ o π t 4 π 4. Tentukan nilai integral garis pada contoh, jika : garis lurus ang menghubungkan dan B Program Semi B(,) Que 58 Universitas Brawijaa

61 : r(t) ( t) i t j (t) t t t F[r(t)] t i t( t) j r'(t) i j F (r)! dr [t t( t)]dt [t t]dt t t " Dari dua contoh di atas terlihat bahwa nilai integral garis selain tergantung pada batas integrasi, juga tergantung pada lintasanna.. Tentukan F (r)! dr, jika c F(r) i j k : r(t) cos t i sin t j t k, t (t) (t) (t) cos t sin t t (r) dr F[r(t)] t i cos t j sin t k r'(t) sin t i cos t j k / F! [ t sin t cos t sin t] π t cos t dt π/ π/ π/ t cos t dt sin t dt [t cos t cos tdt] t sin t cos t 4 Program Semi Que 59 Universitas Brawijaa

62 t cos t sin t t sin t 4 cos t π Interpretasi Integral Garis Dalam MEKNIK Usaha ang dilakukan oleh guru konstan F ang bergerak sepanjang vektor lurus d adalah W F! d Jika gaa F tidak konstan (merupakan fungsi variabel), dan bergerak sepanjang kurva r(t), maka besarna usaha ang dilakukan oleh gaa F bisa ditentukan dengan menghitung nilai limit dari jumlah usaha ang dilakukan oleh F sepanjang segmen kecil dari, jika dibagi menjadi n buah segmen kecil-kecil sehingga setiap segmen mendekati garis lurus. t t t b t n a t Untuk sembarang m; m n, maka W F[r(t )]![r(t m m m ) r(t m )] t m t m Sementara, r'(t tm m Jadi, lim r(t) r(t ) t m t tm tm W F[r(t )]! r' (t ) t ]! r'(t m karena m m m m n, maka: n n m ) n m m m ) t W lim W lim F[r(t )]! r'(t m n m m m ) t m Program Semi Que 6 Universitas Brawijaa

63 b F [r(t)]! r'(t) dt Usaha W F(r)! dr " Karena dr v(t) vektor kecepatan dt maka: W a b F (r)! dr F[(r)]! v(t) dt a " Dari hukum Newton II : F ma, bisa diturunkan F m r''(t) m v' (t) Sehingga, W dengan a b m v'(t)! v(t) dt b m ' [ v ] a dt m m [ v(b) v(a) ] m v b a v b energi kinetik v! v m dt a ' Bentuk-bentuk lain Integral Garis Bentuk-bentuk berikut merupakan kejadian khusus dari integral garis F (r)! dr, Jika F F i F (r)! dr F d F F j F (r)! dr F d F F k F (r)! dr F d Bentuk : f (r)! dt a b f[r(t)] dt : r(t); a t b Merupakan bentuk khusus dari F (r)! dr, jika Program Semi Que 6 Universitas Brawijaa

64 F F i dan F f[r(t)], sehingga d / dt d F dt f F '(t) Jadi, f[r(t)] F (r)! dr F! d d d / dt b f[r(t) dt a ontoh Tentukan ( ) dt jika : r (t) cos t i sin t j t k ; t f ( ) r(t) cos t i sin t j t k (t) cos t (t) sin t (t) t f[r(t)] [cos t sin t 9t ] ( 9t ) ( ) dt π ( 9t ) dt π 4 [ 8t 8t ]dt t 6t 8 t 5 π π 48π π Program Semi Que 6 Universitas Brawijaa

65 Sifat-sifat a. F(r) dr k k! (r)! dr ; konstanta b. [ G(r)! dr] F(r) F(r)! dr G(r)! dr c. dr F(r)! dr F(r)! F(r)! dr ; jika lintasan dibagi menjadi dua busur, aitu, dan dengan arah ang sama dengan arah. ontoh Soal. Tentukan F(r)! dr a. F i 4 j ; jika : r(t) t i t j ; t b. F i : sepanjang kurva 4 4 dari (, ) ke (, ) c. F i j : segmen garis lurus dari (, ) ke (, ½ ) a. (t) t (t) t F t i t r'(t) i t 4 j j F(r)! dr [ t t ] dt t t 7 8 b. F(r)! dr d ; : Program Semi Que 6 Universitas Brawijaa

66 F(r)! dr 4 4 d 4 4 c. (, ) 4 8 (8 ) (, ) 4 Persamaan segmen garis dari (, ) ke (, ½), adalah:, 4 (t) t (t) 4 t r(t) t i t j 4 F[r(t)] r'(t) t i t j 4 i 4 j F(r)! dr t t dt 4 4 t dt 4 t. Tentukan usaha ang dilakukan oleh harga F i j k ang bergerak sepanjang : 4, ; dari (,, ) ke (,, ) t 4 t r(t) i tj t 4 k ; t F[r(t)] i t 4 j t k r'(t) j 4t k Program Semi Que 64 Universitas Brawijaa

67 W F! dr [ ] t 8t dt 4t dt 5 t Tentukan ( ) ds, jika : lintasan dari (, ) ke (, ) ds d d d d ds d (d) d 5 ; ( ) ds ( 4 ) 5 d 5 5 d Tentukan d d ; jika : Lintasan trapeium seperti dalam gambar berikut (,) (,) 4 (, ) (, ) d d ( d d) ( d d) ( d d) ( d 4 d) " Lintasan : Program Semi Que 65 Universitas Brawijaa

68 t... d dt... d t ( d ( dt t d) ) dt " Lintasan : t... d dt... d t " Lintasan : t t d dt d dt ( d 4dt 4t ( t 4 8 ( 4 d) 8 ( d d) t ) t 4 ) 6 (t 4dt) ( t ) dt) t t t. dt " Lintasan 4:... d t... d dt t 4 d d 8 6 ( d (t d) dt) 5. Tentukan besarna usaha dalam gerakan partikel ang menjalani lintasan satu putaran elips dibuang dibidang XOY, jika elips tersebut berpusat di titik dengan sumbu panjang 4 dan sumbu pendek, dan jika medan gaana diberikan oleh: F ( 4 )i (4 )j ( 4 ) k Persamaan ellips : 4 Program Semi Que 66 Universitas Brawijaa

69 9 6 ; 4 Misalkan cos t 4sin t r(t) cos t i 4sin t t π j F[r(t)] [9 cost 6 sint] i [ cost 8 sint] j [ 6 sint] k r'(t) sint i 4 cost j W π sin t(9cos t 6sin t) 4cos t(cos t t 48cos t π ( 7sin t cos t 48sin π (48 5sin t cos t)dt 8sin t)dt sin t cos t)dt Soal-Soal π π (48dt 5 sin t d(sin t) π 5 π 48t sin t 96π 96π. Hitunglah F[r] dr F[r] jika: [ ] i [ ] j a. : Parabola dari [, ] sampai [4, ] b. : Garis lurus dari [, ] sampai [4, ] c. : Garis lurus dari [, ] ke [, ] dan dilanjutkan ke [4, ]. Hutunglah F[r].dr jika Program Semi Que 67 Universitas Brawijaa

70 F[r] [ 4] i [5 6] j a. : Sekeliling segitiga di bidang o dengan titik-titik sudut [,] [,], [,] ang dijalani berlawanan arah jaru jam. b. : Sekeliling lingkungan berjari-jari 4 dan berpusat di [, ]. Hitunglah [ ] ds jika a. : Sepanjang busur lingkaran 4 dari [, ] sampai [,] b. : Sepanjang sumbu dari [, ] ke [, ] kemudian dilanjutkan ke [, ] Jawab 4. a. ; b. ; c.. a. ; b. 64. a. 4 ; b. 5 Program Semi Que 68 Universitas Brawijaa

71 4.. Teorema Green Transformasi Integral Rangkap Dua Ke Integral Garis Integral rangkap dua ang meliputi suatu daerah dalam bidang XOY bisa ditransformasikan ke dalam integral garis sepanjang batas dari daerah tersebut atau sebalikna. Transformasi tersebut dilakukan dengan teorema Green pada bidang. Transformasi dengan teorema Green ini penting karena bisa digunakan untuk membantu mengevaluasi perhitungan integral dengan lebih mudah. Teorema Green : Misalkan R adalah daerah tertutup dan terbatas pada bidang XOY ang batas na erdiri atas sejumlah kurva licin (smooth curve) ang berhingga, misalkan F(,) dan F(,) adalah fungsi-fungsi ang kontinu dan mempunai derivatif parsial memuat R, maka : F F dan dalam domain ang R F F d d F d F d] F! dr [ Integrasi ini dilakukan sepanjang batas di R. R pabila ditulis dalam bentuk vektor menjadi : R [ urlf ]! k dd Program Semi Que 69 Universitas Brawijaa

72 F! dr F F(,) i F(,) ONTOH : Misalkan : F ( - 7) i ( ) j F - 7 F : lingkaran - Ruas Kiri : - R F d d [ ] ( ) ( 7) dd R F 9 R dd 9 luas lingkaran Ruas Kanan : 9π r(t) cos t i sin t j ; t π (t) cos t (t) sin t F[r(t)] sin t - 7 sin t F[r(t)] cos t sin t cos t r'(t) - sin t i cos t j π F! dr [(sin t 7sin t)( sin t) (cost sin t cost)(cost) ] dt Program Semi Que 7 Universitas Brawijaa

73 π π ( cos t) dt [ sin t 7sin t cos t sin t cos t] π π 7 [ ( cos t ) d cost [ ] cost dt - π cos cos t - cos t 7 7 t sin t cos t t sin t 4 7 π π 9π dt Ι π td cost Bukti Teorema Green : ** d p() v() q() * c u() a b Misalkan R adalah daerah ang dibatasi oleh lengkung * ** seperti dalam gambar, maka : a b ; u() v() c d ; p() q() F d d [ R b a b v ( ) F d ] b d F (, ) u( ) [ F [, v( )] F[, u( )] ] a b d F[, v( )] d - F[, u( )] d a a - F[, v( )] d - F[, u( )] d b - F [, ] d - F [, ] d ** b a * b a a v( ) u( ) Program Semi Que 7 Universitas Brawijaa

74 - F (, ) d Secara sama : F d d [ R d c d q( ) F d ] d d F (, ) p( ) [ F [ q( ), ] F[ p( ), ] ] c d d F[ q( ), ] d - F[ p( ), ] d c d F[ q( ), ] d F[ p( ), ] d c d c c d c q( ) p( ) F[, ] d F[, ] d * F (, ) d ** F R d d - R F d d F (, ) d F (, ) d atau : R F F d d F d F d] F! dr [ Luas Daerah Pada Bidang Sebagai Integral Garis Dalam Lintasan Tertutup Jika F F, maka R dd d dan jika F F, maka R dd - d sehingga, R dd (d d) Karena maka, R dd luas daerah ang dibatasi oleh bidang R Program Semi Que 7 Universitas Brawijaa

75 R dd (d d) Luas Daerah Pada Bidang Dalam Koordinat Polar. Misalkan : r cos θ r sin θ d cosθ dr - r sinθ dθ d sinθ dr r cosθ dθ R dd (d d) [ r cosθ (sinθdr r cosθdθ ) r sinθ (cosθdr r sinθdθ )] [ r cosθ sinθdr r cos θdθ r sinθ cosθdr r sin θdθ ] [ r cos θdθ r sin θdθ ] r dθ r dθ ONTOH :. Dengan menggunakan teorema Green tentukan F( r)! dr sepanjang lintasan, jika F i - 4 j : sekeliling segi 4 dengan batas 4 ; dengan arah berlawanan dengan arah jarum jam. Penelesaian : (,) (4,) (,) (4,) F i - 4 j F F F 4 F -4 F( r)! dr [ F d Fd] Program Semi Que 7 Universitas Brawijaa

76 Teorema Green : F F [ F d Fd] d d R 4 4 ( 4 ) d d 4 - d d. Tentukan luas daerah ang dibatasi ellips b a Penelesaian : b a cosθ d - a sinθ dθ -a a b sinθ d b cosθ dθ ( d d) [ a cosθb cosθdθ ) bsinθ ( asinθdθ )] π π ab θ ab θ d θ [ cos sin ] π θ abd ab θ π π ab. Tentukan luas Kardioida r a( - cos θ) ; θ π Penelesaian : a a -a Luas Kardioida r dθ π [a( cosθ )] dθ Program Semi Que 74 Universitas Brawijaa

77 SOL-SOL : π [a ( cosθ cos θ )] dθ a π cos θ θ sinθ dθ a [ θ sinθ θ θ ] π 4 sin π a θ θ ] 4 sin a π a [ π ]. Dengan teorema Green tentukan [( ) d ( ) d] dengan : lintasan bujur sangkar dengan titik-titik sudut (,); (,); (,); (,) Jawab : 8. Dengan teorema Green tentukan [( ) d d] dengan : daerah ang dibatasi lingkaran 4 dan 6 Jawab : π. Dengan teorema Green tentukan F ( r)! dr, jika F i - j : batas daerah ang dibatasi oleh ; - Jawab : -/ 4. Tentukan luas daerah di kuadran I ang dibatasi oleh dan Jawab : /4 5. Tentukan luas daerah ang dibatasi oleh hiposikloida Persamaan parameterna adalah : a cos t a sin t ; t π a Jawab : π 8 / / a / Program Semi Que 75 Universitas Brawijaa

78 4.. Medan Gaa Konservatif. Integral Garis ang tidak tergantung pada bentuk lintasan Dalam bidang (R ) : Jika F(,) F(,) i F(,) j r i j dr d i d j Teorema : Sarat perlu dan cukup untuk F! dr F d Fd tidak tergantung pada bentuk lintasan ang menghubungkan dua titik pada daerah R dalam bidang R adalah : F F atau jika bisa ditemukan suatu fungsi φ (,) sedemikian hingga : φ F φ F Kejadian khusus jika lintasan tertutup dan F! dr F F maka BUKTI : F! dr F(,) d F(,) d Karena F F, maka pasti dapat ditemukan fungsi φ (,) sedemikian hingga : φ F φ F, sebab F φ F φ Program Semi Que 76 Universitas Brawijaa