BAB 1 ANALISA SKALAR DANVEKTOR

Transkripsi

1 1.1 Skalar dan Vektor BAB 1 ANAISA SKAA DANVEKT Skalar merupakan besaran ang dapat dinatakan dengan sebuah bilangan nata. Simbul,, dan z ang digunakan merupakan scalar, dan besarna juga dinatakan dalam scalar. Vektor mempunai besar dan arah dalam suatu ruangan. 1. Aljabar Vektor Dua buah vector dapat dijumlahkan secara grafik dengan menggambarkan kedua vector tersebut dari titik asal ang sama kemudian melengkapkan gambar jajaran genjangna, atau memulai menggambarkan vector kedua dari ujung vector pertama dan melengkapkan gambar segitiga. Seperti pada gambar 1.1 berikut. Gambar 1.1 Penjumlahan vektor secara grafis 1.3 Sistem Koordinat Cartesian Bentuk Koordinat Kartesian diperlihatkan pada gambar 1. berikut Gambar 1. Sistem Koordinat Cartesian Bentuk aplikasi penempatan titik dalam koordinat kartesian diperlihatkan pada gambar 1.3 berikut. 1

2 Gambar 1.3 Penempatan titik pada koordinat kartesian Contoh jika titik P berada pada koordinat ( o, o,z o ) dan P berada pada ( 1, 1,z 1 ) maka dapat dianalisis jarak antara PP, seperti pada Gambar 1.4 berikut. Gambar 1.4 Penggambaran titik pada koordinat kartesian 1.4 Komponen Vektor dan Vektor Satuan Analisis vector dan vector satuan, diperlihatkan pada Gambar 1.5 berikut.

3 Gambar 1.5 Vektor dan Vektor Satuan Mengacu pada gambar 1.5 bagian c dihasilkan bentuk persamaan, maka besar vector pq 1.5 Perkalian Titik Tinjau dua vektor A dan B, perkalian skalarna atau perkalian titikna didefinisikan sebagai perkalian besar A dan besar B dikalikan dengan kosinus sudut antara kedua vector. Mencari komponen sebuah vektor dalam arah tertentu, seperti diperlihatkan pada gambar 1.6 berikut. Gambar 1.6 Dua vector A dan B Komponen skalar vektor B pada arah vektor a adalah B.a = B. a cos Ba = B. a cos Ba 3

4 1.6 Perkalian Silang Bentuk perkalian silang dapat diasumsikan gerak putar pada sebuah skrup seperti diperlihatkan pada gambar 1.7 berikut. Arah A B ialah arah majuna sekrup putar kanan. Gambar 1.7. Arah putar skrup Contoh Soal: 1. Tunjukkan bahwa vektor ang ditarik dari M( 1, 1,z 1 ) ke N(,,z ) spt gambar adalah ( - 1 )a + ( - 1 )a + (z -z 1 )a z. Koordinat M dan N dipakai untuk menuliskan kedaua vektor A dan B. z M( 1, 1,z A 1 ) A = 1 a + 1 a + z 1 a z B = a + a + z a z A B-A B N(,,z ) Maka B A = ( - 1 )a + ( - 1 )a + (z -z 1 )a z. Diketahui A = a + 4 a 3 a z dan B = a a, tentukan A.B dan AB. A.B = ( a + 4 a 3 a z ).(a a ) = (.1 a.a +.-1 a.a ) + (4.1 a.a a.a ) + (-3.1 a z.a +3.1 a z.a ) =( + ) + (-4) + (+) = - 4

5 A B = a a a z = [(4)()-(-3)(-1)] a + [(-3)(1)-()()]a + [()(-1)-(4)(1)a z ] = -3 a - 3 a - 6 a z 3. Tentukan vektor satuan normal terhadap bidang ang terdapat dua vektor A = 4 a + 1 a B = 4 a + 5 a z A B = a a a z = 5 a a 4 a z a n 5a 5a a 4a z a 4a z 5a a 4a z = = (5a a 4a z) Vektor A ditarik dari titik (,-4,1) ke titik (,,-) dalam koordinat kartesian dan satuan ang searah dengan A z A = (-) a + (-+4)a + (-1) a z A = = - a + a - a z a A = A A ( ) () ( 1) (,-4,1) A (,,-) a 3 a 3 1 a 3 5

6 4. Natakan vektor satuan dari suatu titik sembarang pada bidang dalam z =4 ang mengarah ke titik asal. = (-) a + (-) a + (-4) a z a (,,) (,,z) = a ( ) a ( ) 4a z ( 4) 1.7 Sistem Koordinat Tabung Bentuk koordinat tabung diperlihatkan pada gambar 1.8 berikut. Ketiga bidang saling tegak lurus dalam koordinat tabung Gambar 1.8 Bentuk koordinat tabung Volume diferensial dalam koordinat tabung, dimana, dz : dimensi panjang, d : bukan dimensi panjang, luas permukaan tiap sisi dd, ddz, ddz, dan volume dddz 6

7 Contoh soal: 5. Natakan vektor satuan dari suatu sumbu kuadrat silinder (r,,) ang mempunai titik (,,5) = - rar + 5 az (,,5) a = ra r (r) 5a z 5 (r,,o) Perubah dalam koordinat cartesian dan koordinat tabung dapat dihubungkan melalui persamaan ang dibentuk melalui gambar 1.9 berikut. dan Gbr 1.9 Koordinat tabung Hubungan perkalian titik dan vector satuan dalam koordinat tabung dan koordinat kartesian, dapat dilakukan dengan pendekatan matrik berikut. 7

8 1.8 Sistem Koordinat Bola Bentuk sstem koordinat bola diperlihatkan pada gambar 1.1 berikut. Gambar 1.1 Bentuk sstem koordinat bola Transformasi skalar dr sistem koordinat bola dan Cartesian, Sebagai dasar : Contoh soal-soal latihan: 8

9 9

10 BAB HUKUM CUMB & INTENSITAS MEDAN ISTIK.1 Hukum Eksperimental coulomb Coulomb menatakan bahwa gaa antara dua benda ang sangat kecil dalam vakum atau ruang hampa ang terpisah pada jarak ang besar dibandingkan dengan ukuranna, berbanding lurus dengan muatan masing-masing benda tersebut dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat. Seperti diperlihatkan pada gambar.1 berikut. Q 1 Q Gambar.1 Dua buah muatan menpunai jarak Q Q 1 Sehingga dapat ditulis dengan persamaan, Gaa Coulomb F k, 1 k = konstanta, k 4 hampa) F 1 1 (permitivitas ruang 36 m F Q1Q 4 Dimana : Q = muatan [C] = jarak antara muatan [m] k = konstanta [SI] F = gaa [N] Contoh Soal: Carilah gaa pada muatan (F ) dengan meninjau adana muatan 1 sebesar 31-4 C pada titik P(1,,3) dan muatan sebesar -1-4 C pada titik Q(,,5). Penelesainna: 1

11 . Intensitas Medan istrik. Muatan Q t ang digerakkan mengelilingi Q 1 akan selalu timbul gaa ang bertumpu pada Q t, sehingga pada muatan Q t ini menunjukkan adana suatu medan gaa. Gaa ang bertumpu pada Q t dinatakan dengan hukum Coulomb: Q1 Besaran pada ruas kanan hana merupakan fungsi dari Q 1 dan segmen garis ang arahna dari Q 1 ke kedudukan muatan uji. Hal ini menggambarkan sebuah medan vektor ang disebut dengan intensitas medan listrik. Intensitas Medan istrik didefinisikan sebagai: gaa vektor ang bertumpu pada suatu satuan muatan uji ang positif. Intensitaas medan listrik = Gaa vektor ang bertumpu pada satuan muatan positif Ft E Q t N C Volt Joule Coulomb Newton meter coulomb Volt meter Newton Coulomb N C V m Q t Q 1 Q Q 1 t Ft a 1t 4 1 t Ft Q t Q t a 1t Medan vektor = intensitas medan listrik

12 .3 Medan dari n Muatan Titik Untuk n buah titik - jumlah gaa masing-masing muatan pada titik ang ditinjau z Q Q 1 r r-r1 r-r E 1 r 1 r E E 1 +E n Q m1 4 r r m Er m a m.4 Medan Distribusi Muatan Volume Malar Kerapatan muatan dari suatu distribusi kontinu Q P lim v V Q dq vol vol dv Q 1 1 a N P a 3 a a 1 E vol ' P r dv ' ' r r 4 r r r r ' ' Q 3 Q 3 N Q N.5 Medan Muatan Garis Muatan garis : a. Asumsi gerak elektron lambat b. Elektron statis kerapatan muatan/ satuan panjang konstan c. Intensitas ang ditimbulkan dalam muatan garis dari - ke + adalah sebagai berikut: 3

13 z dq= d P de z de z de Sifat kesimetrisan : d terhadap koordinasi mana medan tidak berubah komponen medan madan ang tidak muncul bergerak dengan & z komponen tidak berubah bergerak dengan & tetap komponen z tidak berubah bergerak & z tetap medan berubah terhadap tidak ada unsur ang membuat adana komponen E=nol setiap muatan menghasilkan E dan E z, sedang E z untuk - Z saling meniadakan Ez= Q d de d sin 4 d 4 d 3 4 4

14 ~ d E ; 3 ~ cat 4 E 4 1 ~ ~ E.6 Muatan Bidang Kerapatan muatan bidang = c S m Bidang muatan pada bidang z, dan titik ang ditinjau pada sumbu z d s P(,,) Pendekatan seperti muatan garis ang panjang ang mempunai beban kecil (pipih) ang banak = S d Komponen ang ada hana E, Karena E dan Ez saling menghilangkan de X d cos d S S 5

15 E X ~ ~ 1 S d S tan ~ ~ E X S X E X S S E X an a N = Vektor satuan medan ang arahna keluar dari bidang.7 MEDAN AKIBAT DISTIBUSI MUATAN Muatan garis de dq 4 a dq= d P Muatan permukaan/lembaran a E 4 d P dq= dq= S d d S S S E S a 4 d S S Muatan uang 6 E V a 4 d V

16 dq=d S 7