VEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
|
|
- Ratna Gunardi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1
2 VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal
3 PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering menjumpai besaran yang dapat dinyatakan suatu bilangan disertai satuan yang dinamakan besaran skalar. Di samping itu ada besaran yang selain dinyatakan dengan suatu bilangan disertai satuan juga mempuai arah yang dinamakan Vektor. Vektor digunakan sebagai alat bantu untuk menunjukan besar dan arah suatu gaya.
4 PETA KONSEP
5 Vektor di R 2 1. PENGERTIAN VEKTOR DI R 2 Vektor di R 2 adalah vektor yang terletak pada bidang datar. Vektor di R 2 dapat digambarkan pada bidang kartesius. Secara geometri, suatu vektor digambarkan dengan anak panah yang mempunyai titik pangkal dan titik ujung.
6 Vektor di R 2 Panjang anak panah menyatakan besar vektor, sedangkan arah anak panah adalah arah vektor. Vektor pada gambar disamping merupakan vector dengan panjang 3 satuan dan arahnya 30 o sumbu X positif. dari
7 Vektor di R 2 A. NOTASI VEKTOR Suatu vektor dapat ditulis dengan beberapa cara ; 1. Menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal, misalnya a, b,c,.y, z 2. Menggunakan huruf kecil dengan tanda anak panah diatasnya, misalnya a, b,c, 3. Menggunakan huruf kecil dengan tanda garis di bawahnya, misalnya a, b, c,
8 Vektor di R 2 B. VEKTOR POSSISI Y D O C X B Diberikan suatu persegi panjang OBCD yang terletak pada bidang cartesius dengan OB = 8 satuan panjang dan BC = 6 satuan panjang seperti gambar di samping. Koordinat titik B adalah (8,0) maka vektor posisi titik B terhadap O adalah b = 8,0. Koordinat titik C adalah
9 Vektor di R 2 C(8,6) maka vektor posisi C terhadap O adalah c = 8,6. Koordinat titik D adalah D(0,6) sehingga vektor posisi titik D terhadap O adalah d = 0,6. Dari hasil tersebut, yang dimaksud vektor posisi dari suatu titik terhadap O adalah vektor yang titik pangkalnya terletak pada pangkal koordinat O(0,0) dan titik ujungnya adalah titik itu sendiri.
10 Vektor di R 2 Dari uraian diatas tampak bahwa suatu vektor di R 2 ditentukan oleh komponen mendatar dan komponen vertikal. Komponen mendatar bernilai positif jika arahnya dari kiri ke kanan dan negatif jika arahnya dari kanan ke kiri. Selanjutnya, komponen vertikal bernilai positif jika arah vektor dari bawah ke atas dan negatif jika arahnya dari atas ke bawah
11 Vektor di R 2 C. Panjang atau Besar Vektor y C 6 O 8 X Perhatikan gambar disamping. Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat ditentukan panjang atau besar vektor OC = = 100 = 10
12 Vektor di R 2 2. OPERASI ALJABAR PADA VEKTOR A. Kesamaan Dua Vektor Dua vektor dikatakan sama apabila keduanya mempunyai besar dan arah yang sama. Misalnya diberikan dua vektor u = u 1, u 2 dan v = v 1, v 2. Vektor u = v jika u 1 = v 1 dan u 2 = v 2
13 Vektor di R 2 B. Penjumlahan Vektor Misalkan vektor c adalah hasil penjumlahan vektor a dengan vektor b, ditulis c = a + b. a b Vektor c dinamakan resultan dari vektor a dan vektor b. Besar vektor c dapat ditentukan dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang.
14 Vektor di R 2 1). Aturan segitiga Diketahui dua buah vektor a b seperti gambar di atas. Untuk c = a + b mendapatkan vektor c = a + b, vektor b dipindahkan sedemikian rupa, sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor a. vektor c = a + b adalah suatu vektor yang pangkalnya merupakan titik pangkal vektor a dan ujungnya merupakan titik ujung vektor b.
15 Vektor di R 2 2). Aturan jajargenjang Cara lain untuk mendapatkan vektor c = a + b adalah dengan a c = a + b b memindahkan vektor b sedemikian rupa sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor a. Vektor c = a + b yang kita cari adalah vektor yang titik pangkalnya dititik pangkal vektor a dan b serta berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh a dan b.
16 Vektor di R 2 C. Vektor nol dan lawan suatu vektor Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya a -a sama dengan nol dan arahnya sembarang. Vektor nol dinotasikan dengan 0 = 0, 0. Lawan suatu vektor a adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a menghasilkan vektor 0. Lawan vektor a dapat ditulis a yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a, seperti gambar disamping.
17 Vektor di R 2 D. Sifat-sifat Penjumlahan Jika a, b, dan c, adalah vektor-vektor sembarang, pada operasi penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat 1. Komutatif a + b = b + a 2. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) 3. Terdapat unsur identitas, yaitu vektor o sehingga a + 0 = 0 + a = a 4. Setiap vektor mempunyai invers. Invers dari a adalah a sehingga a +(-a)= -a + a = 0
18 Vektor di R 2 E. Pengurangan Vektor Pengurangan vektor dapat dilakukan dengan menggunakan pengertian invers jumlah suatu vektor. a b = a + (-b) a -b b a-b a (a) (b) Misalkan diketahui vektor a dan b pada gambar (a). Vektor a b diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b, seperti gambar (b)
19 Vektor di R 2 CONTOH SOAL Tentukan AB, CD, dan EF pada gambar disamping! Penyelesaian ; Komponen mendatar 3 Komponen vertikal 2 Vektor AB = (3,2) Dengan cara yang sama, diperoleh vektor CD= (5,1) dan EF=(-4,1) B A C F E D
20 Vektor di R 2 3. Perkalian Vektor dengan Skalar A. Pengertian Perkalian Vektor dengn Skalar Jika a adalah suatu vektor dan k adalah bilangan real (skalar), perkalian antara vektor a dengan skalar k ditulis sebagai ka, yaitu suatu vektor yang panjangnya sama dengan k kali panjang vektor a dengan arah ; a. Untuk k>0 maka ka searah dengan vektor a. b. Untuk k<0 maka ka berlawanan arah dengan vektor a. Jika a = (a 1, a 2 ) maka ka = (ka 1, ka 2 )
21 Vektor di R 2 B. Sifat-sifat Perkalian Vektor dengan Skalar Misalkan vektor a dan b adalah vektor sembarang, sedangkan k dan l adalah sembarang skalar. Perkalian vektor dengan skalar memenuhi sifat-sifat berikut ; 1. ka = k a 2. k(-a)=-ka 3. ka = ak 4. (kl)a = k (la) = a (kl) 5. (k + l)a = ka + la 6. K(a + b) = ka + kb
22 Vektor di R 2 CONTOH SOAL Diketahui segitiga ABC dengan ruas0ruas garis berarah AC dan AB berturut-turut mewakili vektor c dan b. Ruas garis PQ menghubungkan titik P dan Q, dengan P adalah titik tengah AC dan Q adalah titik tengh BC. Nyatakan QC dalam b dan c. Penyelesaian ; Perhatika QC = ½ BC BC = AC AB = c b Dengan demikian QC = ½ (c b) C P Q A B
23 Vektor di R 2 4. Perkalian Skalar Dua Vektor A. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor Perkalian vektor dengan vektor dinamakan perkalian skalar dua vektor atau perkalian titik antara dua vektor (dot product). Misalkan diberikan sembarang vektor bukan nol yaitu a dan b. hasil kali dari vektor a dan b ditulis a. b, didefinisikan sebagai berikut ; a. b = a b cos θ
24 Vektor di R 2 Dengan θ sudut terkecil yang dibentuk oleh a dan b. Hasil kali titik dari vektor a dan b merupakan suatu skalar. Jika a = (a 1, a 2 ) dan b = (b 1, b 2 ) maka hasil kali titik dari vektor a dan b adalah a. b = a 1 b 1 + a 2 b 2
25 Vektor di R 2 B. sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Jika u, v dan w adalah vektor-vektor sembarang dan k suatu skalar, berlaku sifat-sifat sebagai berikut ; 1. u. v = v. u 2. u. (v + w) = u. v + u. w 3. k (u. v) = (ku). v = u.(kv) v = v. 0 = 0 5. u. u = u 2
26 Vektor di R 2 C. Teorema Ortogonalitas Dari rumus dot product, diperoleh teorema ortogonalitas yaitu dua vektor bukan nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu hasilnya sama dengan nol. Jadi vektor u dan v tegak lurus jika dan hanya jika ; u. v = 0
27 Vektor di R 2 CONTOH SOAL Tentukan nilai a agar vektor u =(8,a) dan vektor v =(3,4) saling tegak lurus. Penyelesaian ; Dua vektor tegak lurus jika hasil kali titik kedua vektor itu sama dengan nol, sehingga u. v = a = 0 4a = 24 a = 6
28 Vektor di R 2 5. Vektor Basis di R 2 Misalkan terdapat vektor î =(1,0) dan ĵ = (o,1). Dengan memandang komponen-komponen pada vektor tersebut tampak bahwa kedua vektor itu saling tegak lurus dan besar kedua vektor tersebut adalah î = ĵ = 1. setiap vektor u = (u 1, u 2 ) dapat dinyatakan secara tunggal oleh î dan ĵ, yaitu u= (u 1,u 2 )= u 1 (1,0)+ u 2 (0,1)= u 1 î + u 2 ĵ
29 Vektor di R 2 Dalam hal ini, vektor î dan ĵ dinamakan vektor basis di R2 pada arah sumbu X positif dan sumbu Y positif. Karena î dan ĵ mempunyai panjang satu satuan, vektor î dan ĵ berturut-turut disbut vektor satuan pada arah sumbu X positif dan sumbu Y positif.
30 Vektor di R 2 o y p x Sebagai contoh, vektor yang mewakili ruas garis berarah OP pada gambar disamping dapat dinyatakan sebagai OP = (3,2) atau OP = 3î + 2ĵ 6. Vektor Satuan Di R 2 Dalam subbab sebelumnya kita telah mengenal vektor-vektor yang searah sumbu X positif dan sumbu Y negatif, yaitu vektor satuan î dan ĵ.
31 Vektor di R 2 î = (1,0) ; ĵ = (0,1) Selanjutnya, kita juga dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor vektor nol. Vektor â = a = 1 (x,y) a x 2 + y 2 a yang bukan satuan yang searah dengan a adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan dan arahnya searah dengan vektor a. jika a =(x, y), vektor satuan dari a, ditulis â, adalah sebagai berikut.
32 Vektor di R 2 CONTOH SOAL Tentukan vektor satuan dari vektor a = (-3,4) Penyelesaian ; Panjang vektor a adalah a = (-3) = 25 = 5 Vektor satuan dari a adalah â = (-3/5, 4/5) Vektor â panjangnya 1 satuan. Hal ini dapat kita tunjukkan dengaan cara berikut ; â = (-3/5) 2 + (4/5) 2 = 1
33 Vektor di R 3 Jika vektor pada bidang dikatakan vektor d R 2, vektor pada ruang dikatakan vektor di R Sistem Koordinat Ruang Vektor-vektor dalam ruang dapat digambarkan dalam sistem koordinat ruang yang terdiri dari sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z yang saling berpotongan di titik pangkal O
34 Vektor di R 3 Sumbu X positif, sumbu Y positif dan sumbu Z positif ditetapkan dengan kaidah tangan kanan. Ketiga sumbu itu membentuk tiga bidang yaitu sumbu X dengan sumbu Y membentuk bidang XY, sumbu X dengan sumbu Z membentuk sumbu XZ, serta sumbu Y dengan sumbu Z membentuk sumbu YZ.
35 Vektor di R 3 2. Penulisan Vektor di R 3 z 3 A x E 2 O H D F B G 4 C y Perhatiikan gambar disamping. Koordinat titik A(3,0,0) vektor posisinya terhadap titik O adalah a = OA = (3,0,0).dengan cara yang sama diperoleh b = OB = (3,4,0); e = OE = (3,0,2); g = OG = (0,4,2).
36 Vektor di R 3 3. Vektor Basis Di R 3 Vektor basis pada sumbu X dinyatakan dengan î, vektor basis pada sumbu Y dinyatakan dengan ĵ, dan vektor basis pada sumbu Z dinyatakan dengan k. dengan demikian, setiap vektor pada ruang dapat dinyatakan dalam bentuk v = v 1 î +v 2 ĵ +v 3 k dengan v 1, v 2, v 3 adalah komponen vektor dari vektor v.
37 Vektor di R 3 z x E 3 A 2 O H D F B G 4 C y Pada gamba disamping, vektor yang mewakili garis berarah OF dapat dinyatakan OF = (3, 4, 2) Atau OF = 3î + 4ĵ + 2k 4. Operasi Aljabar pada Vektor di R3 A. Kesamaan Vektor Jika a = b maka a 1 = b 1, a 2 = b 2 dan a 3 = b 3
38 Vektor di R 3 B. Penjumlahan Vektor a + b = (a 1, a 2, a 3 ) + (b 1, b 2,b 3 ) = (a 1 +b 1, a 2 +b 2, a 3 +b 3 ) Pada penjumlahan terdapat ; 1. Unsur identitas, yaitu vektor O = (0,0,0) 2. Lawan dari vektor a adalah a = (-a 1, -a 2, -a 3 ) C. Pengurangan Vektor a b = (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) = (a 1 -b 1, a 2 -b 2, a 3 -b 3 )
39 Vektor di R 3 D. Perkalian Vektor dengan Skalar Jika c = ka maka c = k (a 1, a 2, a 3 ) = (ka 1, ka 2, ka 3 ) 5. Pembagian Ruas Garis A. Pengertian Perbandingan Ruas Garis Misalkan titik T terletak pada ruas garis AB sehingga membagi ruas garis tersebut dengan perbandingan AT : TB = m : n.
40 Vektor di R 3 Tanda positif atau negatif m dan n menentukan letak titik T pada ruas garis AB dengan pedoman ; 1. Jika m dan n bertanda sama (keduanya bertanda positif atau negatif) maka titik T terletak di antara titik A dan B (titik T membagi ruas garis AB). 2. Jika m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau sebaliknya) maka titik T terletak di luar garis AB.
41 Vektor di R A T B A B T T A B (a) (b) (c) Pada gambar diatas, titik T membagi ruas garis AB dengan perbandingan sebagai berikut ; 1. Pada gambar (a), titik T membagi ruas garis AB didalam, dengan perbandingan AT : TB = 1 : 4 2. Pada gambar (b), titik T membagi ruas garis AB di luar, dengan perbandingan AT : TB = 5 : -2
42 Vektor di R 3 3. Pada gambar (c), titik T membagi ruas garis AB di luar, dengan perbandingan AT : TB = -2 : 7 B. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor Misalkan ruas garis AB terletak pada bidang sehingga vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik T terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AT : TB = m : n.
43 Vektor di R 3 Jika t adalah vektor posisi titik T, vektor t dapat ditentukan dengan rumus berikut ; a O A t m T b n B t = na + mb, m + n 0 n + m Rumus ini juga berlaku apabila titik T membagi ruas garis AB di luar sehingga m dan n berlawanan tanda.
44 Vektor di R 3 C. Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat Misalkan titik A (x A, y A, z A ) dan B (x B, y B, z B ). Titik T (x T, y T, z T ) membagi ruas garis AB, dengan perbandingan AT : TB = m : n. Koordinat titik T dapat ditentukan dengan rumus berikut ;
45 Vektor di R 3 6. Panjang Vektor dalam Ruang Misalkan vektor a terletak didalam ruang sehingga a = a 1 î + a 2 ĵ + a 3 k tampak pada gambar disamping. x a 3 z a a 2 a 1 Panjang vektor a dapat ditentukan dengan rumus ; y a = a 12 + a 22 + a 3 2
46 Vektor di R 3 7. Jarak Antara Dua Titik di R 3 Misalkan titik A (x A, y A, z A ) dan B (x B, y B, z B ). AB = b a = (x A, y A, z A )- (x B, y B, z B ) = (x A - x B, y A - y B, z A - z B ) Dengan demikian, panjang vektor AB adalah ; AB = (x A - x B ) 2 + (y A - y B ) 2 + (z A - z B ) 2
47 Vektor di R 3 8. Vektor Satuan di R 3 Vektor satuan dari sembarang vektor a yang bukan vektor nol di R 3, yaitu vektor yang searah dengan vektor dan a besarnya 1 satuan. Jika vektor a=(x,y,z), vektor satuan dari a dapat ditentukan dengan rumus ; â = a = 1 (x,y,z) a x 2 + y 2 + z 2
48 Vektor di R 3 CONTOH SOAL Tentukan vektor Satuan a = (-2, 6, -3) Penyelesaian ; a = (-2) (-3) 2 = 7 â = 1/7 (-2,6,-3) = (-2/7, 6/7, -3/7)
49 Perkalian Skalar Dua Vektor 1. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor Misalkan diberikan sembarang vektor bukan nol yaitu a dan b. hasil kali titik vektor a dan b, ditulis a. b didefinisikan sebaai berikut ; a. b = a b cos θ Jika a =(a 1, a 2, a 3 ) dan b=(b 1, b 2, b 3 ) maka hasil kali titik vektor a dan b adalah a. b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
50 Perkalian Skalar Dua Vektor 2. Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor Jika a, b dan c adalah sembarang vektor dalam ruang, sedangkan k adalah sembarang bilangan real, berlaku sifatsifat ; a. Komutatif, a. b = b. a b. Distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan, a. (b + c) = a. b + a. c a. (b c) = a. b a. c c. k(a. b) = ka. b = a. kb d. a. a = a 2 0
51 Perkalian Skalar Dua Vektor 3. Sudut Antara Dua Vektor Misalkan a dan b adalah vektor di R 2 dan θ adalah sudut yang dibentuk oleh a dan b. hasil kali skalar kedua vektor ini adalah a. b = a b cos θ. Dari rumus ini diperoleh rumus sebagai berikut ; Cos θ = a. b a b
52 Perkalian Skalar Dua Vektor Dalam bentuk vektor, rumus diatas sama dengan di R 2. hanya yang berbeda adalah bentuk aljabar. Jika a =(a 1, a 2, a 3 ) dan b = (b 1, b 2, b 3 ) maka berlaku rumus ; Cos θ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a 12 + a 22 + a 32 x b 12 + b 22 + b 2 3
53 Perkalian Skalar Dua Vektor CONTOH SOAL Jika u dan v masing-masing adalah vektor satuan dan sudut yang dibentuk antara 60 o, tentukan nilai berikut ; a. u. v b. u. (u + v) Penyelesaian ; a. u. v = u v cos θ = 1.1 cos 60 o =1/2 b. u. (u + v) = u. u + u. v = 1 + ½ = 3/2
54 Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain Dalam geometri bidang, proyeksi ortogonal suatu ruas garis pada ruas gari lain tampak seperti gambar disamping. A O C Proyeksi titik O dan titik A pada ruas garis OB masing-masing adalah titik O sendiri dan tiitik C. oleh karena itu, proyeksi ortogonal ruas garis OA pada ruas garis OB adalah ruas garis OC. B
55 Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain 1. Panjang Proyeksi Ortogonal A Pada gambar disamping, ruas a garis berarah OA mewakili vektor a, ruas garis berarah OB mewakili vektor b, dan ruas garis berarah OC mewakili vektor c. sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah θ. Proyeksi ortogonal OA pada OB adalah OC. O θ c C b B
56 Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain Dari gambar diatas, tampak bahwa c = a cos θ, sedangkan berdasarkan rumus antara dua vektor, kita ketahui ; Cos θ = a. b a b Oleh karena itu, c = a a. b a b = a. b b Nilai c ini adalah panjang proyeksi dari vektor a pada vektor b. karena a. b mungkin bernilai negatif, sedangkan c tidak boleh bernilai negatif,
57 Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain maka pada ruas kanan rumus panjang proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b di atas diberi tanda mutlak. Oleh karena itu, kita dapat rumuskan sebagai berikut. Jika c adalah panjang proyeksi ortogonal dari vektor a pada vektor b maka berlaku rumus ; c = a. b b
58 Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain 2. Proyeksi Vektor Ortogonal A Perhatikan gambar disamping, a ruas garis berarah OC mewakili vektor c sehingga c merupakan proyeksi vektor a pada b. vektor c dinamakan proyeksi ortogonal dari a pada b. vektor c merupakan hasil kali c dengan vektor satuannya, yaitu vektor yang panjangnya 1 satuan dan searah dengan c. Vektor satuan dari c O θ c C b B
59 Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain dinotasikan ĉ. Karena c searah dengan b, vektorsatuan dari c sama dengan vektor satuan dari b. karena ĉ = b maka diperoleh rumus ; c = c b c = a. b b b b Jadi dapat kita simpulkan sebagai berikut, Jika c adalah vektor proyeksi dari vektor a pada vektor b maka berlaku rumus ; c = a. b b b 2
60 Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain CONTOH SOAL Diketahui a = (2, 3, -1) dan b (3, -4, 5) a. Panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b! b. Proyeksi a pada b! Penyelesaian ; a. u = b.
61 Soal-Soal Soal 1 Soal 2 Soal 3 Soal 4 Soal 5 Soal 6 Soal 7 Soal 8 Soal 9 Soal 10
62 Soal-Soal 1. Diketahui A(3,5,2) dan B(1,-2,6). Vektor posisi AB adalah? a. (2, 7, 4) d. (2, -7, -4) b. (-2, -7, 4) e. (2, 7, -4) c. (-2, -4, -7) 2. Jika v = 2î + 4ĵ - 5k, panjang vektor tersebut adalah? a. 5 c. 7 e. 4 b. 6 d. 4 5
63 Soal-Soal 3. Agar vektor v = pî - 2ĵ + k dan u = 2pî + pĵ 4k saling tegak lurus, nilai p adalah? a. p= 1 atau p= 2 d. p= -1 atau p= -2 b. p=-2 atau p= 1 e. p= -1 atau p= 2 c. p= 1 atau p= Jika P(3, -1, 2), Q(2, 4, 0) dan R(1, 3, -2) maka nilai PQ. QR = a. 12 c. 14 e. 0 b.13 d. 16
64 Soal-Soal 5. Diketahi titik A(1, 0, 2) dan B(4, 2, -3). Titik P terletak pada AB sedemikian rupa sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika p vektor posisi titik P maka p = a. (9/5, 4/5, -12/5) d. (11/3, 4/3, -4) b. (11/5, 4/5, -12/5 ) e. (2, -6, 11/2) c. (11/7, 4/7, -12/7)
65 Soal-Soal 6. Panjang dari proyeksi vektor u=- 3 î + 3ĵ +k pada vektor v= 3 î + pĵ +3k adalah 3/2. nilai p =.. a. 2 atau -2 c. -1 atau 1 e. 2 atau 3 b. 2 atau -1 d. 2 atau 1 7. Titik A(3, 2, -1), B(1, -2, 1) dan C(7, p-1, -5) segaris untuk nilai p = a. 13 c. 5 e. -13 b. 11 d. -11
66 Soal-Soal 8. Diketahui vektor a =(3, -2, 4) dan b=(-5, 4, -1). Vektor c untuk c = 2(3a-b) adalah. a. (-22, 20, 16) c. (-22, 10, 18) e. (28, -20, 26) b. (-11, 20, 8) d. (22, -10, -16) 9. Vektor PQ = (2, 0, 1) dan vektor PR=(1, 1, 2). Jika PS=1/2PQ maka vektor RS= a. (0, -1, -3/2) c. (3/2, 1, 0) e.(1, -1, 1) b. (-1, 0, -3/2) d. (1/2, 0, 1)
67 Soal-Soal 10.Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60 o, a =4, b = 3 maka a. (a b)=. a. 2 d. 8 b. 4 e. 10 c. 6
68 SELAMAT BELAJAR
69 SOAL-SOAL
70 SOAL-SOAL
VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinci19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciVEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector
VEKTOR Bab a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari x y + y = 8 Jawab : x + 8 + y =
Lebih terperinci18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR. a. Unsur-Unsur Vektor. b. Notasi Vektor
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR Vektor adalah ruas garis yang memiliki nilai dari arah. Nilai vektor disini adalah panjang vektor. Vektor adalah notasi
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciA. Menentukan Letak Titik
Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA VEKTOR
MODUL MATEMATIKA VEKTOR Kementerian Pendidikan Nasional Universitas Negeri Manado Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika 007 Kata Pengantar Modul pembelajaran ini dirancang
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciGESERAN atau TRANSLASI
GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinci2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R
. Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -), maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + )b
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab
Lebih terperinciVektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal
Lebih terperinciMAKALAH VEKTOR. Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L
MAKALAH VEKTOR Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR SMAN 1 PAMIJAHAN 017 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciHasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciVektor dan Operasi Dasarnya
Modul 1 Vektor dan Operasi Dasarnya Drs. Sukirman, M.Pd. D PENDAHULUAN alam modul ini disajikan pengertian vektor, aljabar vektor dan aplikasinya dalam geometri. Aljabar vektor membicarakan penjumlahan
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciDAFTAR ISI. C. Operasi Aljabar pada Vektor di R 3 1. Penjumlahan Vektor Pengurangan vektor Perkalian skalar dengan vektor...
PRAKATA Puji sukur kehadirat Allah SWT. Tanpa karunia-na kami tidak akan bisa menelesaikan buku ini terselesaikan tepat pada waktuna. Sholawat serta salam kita panjatkan kepada Nabi besar kita, Muhammad
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar.
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar Vektor-1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar Vektor-1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Kuantitas Skalar dan Vektor Kuantitas Fisis dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Kuantitas skalar:
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciPesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat
Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi
Lebih terperincib = dan a b= 22. Jika sudut antara a dan b adalah a, maka
1. Jika vektor p = i + 4j + 9k, q = 2i + 5 j 3k, p = 3i + j 2k dan, a = p 2q + 3r maka panjang vektor a =... 2. Diketahui vektor a 4i 5 j 3k = + dan titik ( 2, 1,3) P. Jika panjang PQ sama dengan panjang
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG. sofyan mahfudy-iain Mataram
GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG PERKENALAN Nama : Sofyan Mahfudy Tempat tgl lahir : Pacitan, 29 Maret 1985 Status : Menikah Pendidikan : Universitas Muhammadiyah Surakarta dan Universitas Sebelas Maret
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciHand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan
Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =
Lebih terperinciMODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciMODUL PERTEMUAN KE 2. MATA KULIAH : FISIKA TERAPAN (2 sks) Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor.
Jurusan Teknik Sipil 15 MODUL PERTEMUN KE MT KULIH : FISIK TERPN ( sks) MTERI KULIH: Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor. POKOK BHSN: VEKTOR -1 DEFINISI VEKTOR Skalar
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciMODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciB.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis
BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use. Vektor
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Vektor Vektor adalah sebuah besaran ang mempunai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasana digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping)
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI. 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR
STANDAR KOMPETENSI 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR 5.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciKONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA
Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto
Lebih terperinciBAB XIV V E K T O R Pengertian Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri sebuah vektor dilukiskan sebagai panah.
XIV V E K T O R 4. engertian adalah esaran yang mempunyai arah. Tafsiran geometri seuah vektor dilukiskan seagai panah. dengan titik pangkal (a x, a y, a z ) dan titik ujung ( x, y, z ) dinotasikan dengan.
Lebih terperinciPRAKATA. Tujuan buku ini disusun agar sebagai berikut.
PRAKATA Assalamu alaikum wr.wb. Segala puji bagi Allah yang telah memberika kami kemudahan sehingga dapat menyelesaikan buku ajar ini. Tanpa pertolongan-nya mungkin penyusun tidak akan sanggup menyelesaikan
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinciUKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI
UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciKajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas : 3A3 Tanggal Pengumpulan : 14 Desember 2015
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA TAHUN 2015 Mata Kuliah Dosen Pengampu : : Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2012 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) massa, waktu, suhu, panjang, luas, volum Vektor memiliki besar
Lebih terperinciINDIKATOR 10 : Menyelesaikan masalah program linear 1. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y
INDIKATOR : Menyelesaikan masalah program linear. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y 8 8 X x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinciINFORMASI PENTING. No 1 Bilangan Bulat. 2 Pecahan Bentuk pecahan campuran p dapat diubah menjadi pecahan biasa Invers perkalian pecahan adalah
No RUMUS 1 Bilangan Bulat Sifat penjumlahan bilangan bulat a. Sifat tertutup a + b = c; c juga bilangan bulat b. Sifat komutatif a + b = b + a c. Sifat asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) d. Mempunyai
Lebih terperincif(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}
1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1
Lebih terperinci