Perkalian Titik dan Silang

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Perkalian Titik dan Silang"

Deddy Tedja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut didefinisikan perkalian titik pada bidang: Secara geometri: didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor dan cosinus sudut antara keduanya. dan Secara analitik: Misalkan dan adalah dua vektor pada bidang dengan sistem koordinat x dan y, maka didefinisikan: Sedangkan vektor pada bidang dengan sistem koordinat x, y, dan z, dimana dan, maka didefinisikan: Hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar 24

2 Coba Anda perhatikan gambar berikut! Apa yang Anda lihat pada gambar tersebut? Pada gambar tampak seorang anak sedang mendorong meja. Jika meja yang didorongnya bergerak, maka anak tersebut telah melakukan usaha. Namun, bagaimana dengan gambar di samping? Tampak pada gambar tersebut, seseorang sedang mendorong tembok. Apakah temboknya bergeser? Jika kita manusia biasa bukan superman, pastinya tembok tersebut tidak akan bergeser. Karena temboknya tidak bergeser, maka kita tidak melakukan usaha. Jadi, usaha adalah energi yang disalurkan gaya ke sebuah benda sehingga benda tersebut bergerak. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini! s A B Apa yang dapat Anda lihat dari gambar tersebut? Gambar tersebut menunjukkan sebuah objek yang diberi gaya. Objek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke titik B. Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai berikut., : sudut antara gaya dan Dengan menggunakan definsi perkalian titik 2.1, maka diperoleh 25

3 Jadi, usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya dengan perpindahan. Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi 2.1, didapatkan: z y Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi di atas dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini. Tabel 1. Hasil perkalian titik dari vektor-vektor satuan.. x Sifat-sifat Perkalian Titik Vektor Berikut adalah sifat-sifat perkalian titik vektor. 26

4 Sifat-sifat perkalian titik: Misalkan,, dan adalah tiga buah vektor dan adalah bilangan real, maka berlaku: hukum komutatif hukum distributif Jika, dimana dan adalah vektor-vektor tak nol, maka (ketaksamaan Schwarz) Bukti: Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh Karena Sehingga adalah bilangan real, maka,, dan Berdasarkan definisi 2.2, diperoleh 27

5 Berdasarkan definisi 2.2, maka Pembuktian iv, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Buktikan bahwa i i = j j = k k = 1, i j = 0, j k =0, k i = 0. (Gunakan definisi perkalian titik) Perhatikan gambar berikut Dari gambar terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah. Sedangkan vektor yang berbeda membentuk sudut. Berdasarkan definisi vektor, maka 28

6 Contoh 2 Jika A = A1i + A2j + A3k dan B =, maka tunjukkan bahwa Karena dan semua hasil kali titik lainnya nol, maka Contoh 3 Jika, tentukan a. b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B a. b. Berdasarkan definisi A B = A B cos, dengan adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B. Maka LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika dan, carilah: a. b. c. 29

7 d. e. a. b. c. d. maka e. Latihan 2 Diketahui dan, carilah sudut yang dibentuk oleh A dan B Berdasarkan definisi A B = A B cos, dengan adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B. Maka Latihan 3 Tentukan usaha yang dilakukan oleh seorang anak dengan untuk memindahkan benda dari titik P(-1, 2, 3) ke Q(5, 6, 7) 30

8 F s P r dari gambar diperoleh bentuk umum usaha Q maka, Latihan 4 Untuk harga a manakah dan saling tegak lurus? Dua vektor saling tegak lurus jika = 0 Sehinggga = 0 (a +...) ( ) = 0 a =... dan a =... Latihan 5 Carilah proyeksi vektor pada vektor Proyeksi A pada B = GH = EF =, b adalah vektor satuan. Maka 31

9 LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Hitunglah (a), (b), (c) Latihan 2 Carilah sudut antara (a) dan, (b) dan 32

10 Latihan 3 Carilah sudut lancip yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik-titik (1, -3, 2) dan (3, -5, 1) dengan sumbu koordinat Latihan 4 Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor dan. Tentukan sudut-sudut dari segitiga ini. 33

11 Latihan 5 Carilah proyeksi vektor pada garis yang melalui titik-titik (2, 3,-1) dan (-2, -4, 3) 34

12 Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) 0, (b) -6, (c) 1 Latihan 2 : (a), (b) Latihan 3 : Latihan 4 : Latihan 5 : 1 Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 35

13 Materi pokok pertemuan ke 4: 2. Perkalian silang 3. Perkalian rangkap tiga URAIAN MATERI Perkalian Silang Perkalian silang dua vektor dan dituliskan dengan (dibaca silang ). Coba lihat gambar di samping ini! Coba tebak gambar apakah itu? Ya, kincir air. Tahukah Anda, kecepatan linear dari kincir air tersebut sama dengan kecepatan sudut kali jari-jari kincir tersebut. Gambar. Kecepatan Kincir Air Perhatikan gambar berikut! r s Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan dengan jari-jari r. Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu adalah dengan sudut yang dibentuk adalah (dalam radian). Hubungan dan diberikan oleh. Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar kecepatan linier diberikan oleh Besaran disebut sebagai kecepatan sudut yang arahnya diberikan oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh 36

14 Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari jari-jari lingkaran. Berikut ini didefinisikan perkalian silang. Secara geometri Perkalian silang dari dua vektor dan adalah sebuah vektor (baca silang ), yang besarnya adalah hasil kali antara besarnya dan dan sinus sudut antara keduanya. s Dimana adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari Secara analisis Misalkan dan, maka perkalian silang dari dua vektor dan didefinisikan dengan Dengan menggunakan definisi 2.6, maka diperoleh: z y Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan pada bidang dengan menggunakan definisi dapat disimpulkan dalam bentuk tabel di bawah ini. x 37

15 Tabel 2. Hasil perkalian silang dari vektor-vektor satuan Sifat-sifat Perkalian Silang Vektor Berikut sifat-sifat perkalian silang: Sifat-sifat perkalian silang Misalkan,, dan adalah vektor-vektor dan adalah bilangan real, maka berlaku: a. tidak berlaku hukum komutatif b. hukum distributif c., m skalar d. e. Hasil dari sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi dan f. Jika dan dan bukan vektor nol, maka Bukti: Pertama, kita misalkan,, dan. Maka ii. Dengan menggunakan definisi 2.7, diperoleh 38

16 iv. Berdasarkan definisi perkalian silang 2.7, maka Pembuktian i, iii, v, dan vi dijadikan tugas untuk Anda. Perkalian Rangkap Tiga Perkalian titik dan perkalian silang pada tiga buah vektor dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk-bentuk berikut, yaitu, dan. Berikut sifat-sifat perkalian tripel pada vektor. 39

17 Sifat-sifat perkalian rangkap tiga Misalkan,, dan adalah vektor-vektor, maka berlaku: a. b. Hasil dari merupakan volume sebuah paralelepipidum dengan,, dan sebagai rusuk-rusuknya atau negatif dari volume tersebut. Positif atau negatif dari volume tersebut sesuai dengan apakah,, dan membentuk sistem tangan kanan atau tidak. Jika,, dan, maka c. tidak berlaku hukum asosiatif d. Hasil kali sering disebut hasil kali tripel skalar dan dapat dinyatakan dengan atau. Hasil kali disebut hasil kali tripel vektor CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, buktikan bahwa 40

18 Contoh 2 Jika dan. Tentukan (a) (b) Sudut yang dibentuk oleh a. a (b) s s s s s Jadi sudut antara dan adalah. Contoh 3 Hitunglah luas jajaran genjang yang sisi-sisinya adalah dan Luas jajaran genjang s 41

19 = Jadi luas jajar genjang adalah 35. Contoh 4 Jika a. Buktikanlah bahwa Contoh 5 Jika a. Tentukan = 28 Contoh 6 Tentukanlah volume paralelepipidum dengan rusuk-rusuknya adalah vektorvektor : a. 42

20 volume paralelepipidum= (tinggi )(luas jajaran genjang ) LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika dan. Carilah = Latihan 2 Jika,, dan. Carilah = 43

21 Latihan 3 Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya (3,-1,2), (1,-1,-3), dan (4,-3,1) B A Gambar 12 C AB x AC Luas segitiga ABC = ½ (Luas jajaran genjang) Latihan 4 Carilah volume paralelepipedum yang sis-sisinya dinyatakan oleh,, dan. 44

22 LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Hitunglah masing-masing (a) Latihan 2 Jika,, dan Carilah 45

23 Latihan 3 Carilah luas jajar genjang yang memiliki diagonal-diagonal dan Latihan 4 Sederhanakanlah (A + B) (B + C) x (C + A) 46

24 Latihan 5 Buktikan bahwa (A x B) (C x D) + (B x C) (A x D) + (C x A) (B x D) 47

25 Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) Latihan 2 : Latihan 3 : Latihan 4 : 2A B x C, (b) Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 48

dokumen-dokumen yang mirip

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan