DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
|
|
- Susanti Yuliani Susanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 6 INTEGRAL GARIS Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA BANDUNG 2012 Diktat ini disusun berdasarkan Calculus III oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.
2 Bab 6. Integral Garis Medan Vektor Definisi Suatu medan vector dalam ruang dua (tiga) dimensi adalah suatu fungsi yang memetakan setiap titik (atau ) ke vector dua (atau tiga) dimensi yang dinyatakan sebagai (atau ). Notasi baku fungsi adalah sbb.: Fungsi P, Q, R disebut juga sebagai fungsi scalar. Contoh Buatlah gambar sketsa dari medan vektor berikut ini: (a) (b) (a) Dengan mengambil beberapa nilai titik x, y didapat Bila jumlah titik pada x, y diperbanyak, diperoleh pemetaan dari x,y ke vektor F dan bila di plot kegambar sketsa didapat gambar sketsa medan vektor: Gambar 6.1. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 139
3 Berikut sketsa yang didapat dari plotting menggunakan sistem computer aided graphing (Maple atau Mathematica). Berikut sketsa yang didapat dari software Mathematica. (b) Gambar 6.2. Dengan menggunakan software Mathematica diperoleh sketsa : Gambar 6.3. Bila diketahui suatu fungsi maka gradient vektor di definisikan sebagai, Persamaan diatas adalah medan vektor yang biasa disebut medan vektor gradient. Dalam kasus ini fungsi disebut fungsi skalar, berbeda dan bukan meda vektor. Contoh Dapatkan medan vektor gradient fungsi skalar berikut ini : (a) (b) Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 140
4 (a) (b) Gambar Buat sketsa medan vektor gradient untuk fungsi beberapa sketsa contour dari fungsi tersebut. Solutio Contour suatu fungsi adalah kurva yang didefinisikan oleh, Jadi persamaan contour adalah, yang berupa lingkaran yang berpusat di 0 dengan radius. Medan vektor gradient : Berikut gambar sketsa dari medan vektor gradient. juga Gambar 6.4. Dari gambar diatas, terlihat bahwa setiap vektor dari medan vektor tegak lurus (atau orthogonal) terhadap contour. Nilai k yang digunakan dalam gambar diatas adalah : 1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12, dan Suatu medan vektor disebut medan vektor konservatif bila ada fungsi f sedemikian, sehingga. Bila adalah medan vektor konservatif maka fungsi, f, disebut sebagai fungsi potential bagi. Contoh medan vektor Sebaliknya, karena. sedemikian sehingga. adalah medan vektor konservatif dengan fungsi potensial bukan medan vektor konservatif karena tidak ada fungsi f Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 141
5 6.2. Integral Garis I Pada bagian ini akan dipelajari suatu bentuk integral baru, yaitu integral garis/kurva. Untuk mengerjakan jenis integral ini akan digunakan bentuk parametric dari suatu persamaan. Untuk itu diperlukan pengenalan bentuk parametric dari suatu garis/kurva atau dengan kata lain dibutuhkan ketrampilan dalam menuliskan suatu kurva kedalam persamaan bentuk parametric. Kurva Persamaan Parametrik Counter-Clockwise Clockwise (Ellipse) (Lingkaran) Counter-Clockwise Clockwise Segmen Garis lurus dari to Untuk segmen garis lurus diatas ditulis persamaan bentuk vector dan juga bentuk parametric. Dan untuk ellipse dan lingkaran, persamaan parametric diberikan sesuai dengan arah pergerakan kurva apakah sesuai jarum jam (clock-wise) atau berlawanan arah jarum jam (counter clock wise). Arah pergerakan terkadang mempengaruhi hasil perhitungan. Dalam Kalkulus Dasar dilakukan integrasi, fungsi variabel tunggal, atas interval. Dan nilai yang dipakai adalah setiap nilai x yang terletak dalam interval mulai dari a dan berakhir di b. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 142
6 Dalam integral garis dilakukan integrasi fungsi, suatu fungsi dua variabel dan nilai x dan y yang digunakan untuk integrasi adalah titik-titik,, yang terletak pada kurva C. Jadi berbeda dari konsep integral ganda yang telah dipelajari dimana titik x, y didapat dari daerah pembatas pada bidang xy. Misal suatu kurva C dimana titik-titik x, y akan digunakan. Misal kurva C adalah rata/licin/smooth dan dapat dinyatakan dengan persamaan parametric : Maka bila dituliskan dalam bentuk persamaan fungsi vector maka kurva tersebut dinyatakan sebagai : Definisi : Suatu kurva adalah rata/smooth bila kontinu dan untuk setiap t. Integral Garis / Line integral sepanjang C dinyatakan sebagai, Digunakan notasi ds disini untuk menyatakan bahwa integrasi dilakukan dengan bergerak sepanjang kurva, C, dari pada sumbu- x (dinyatakan oleh dx) atau sumbu-y (dinyatakan oleh dy). Karena dinyatakan dengan ds terkadang disebut integral garis f terhadap panjang lengkungan / line integral of f with respect to arc length. Dalam Kalkulus Dasar, untuk menghitung panjang lengkungan / arc length suatu kurva yang dinyatakan dalam persamaan parametric adalah sbb. : L = a b ds, dimana ds = ds diatas adalah sama baik dalam perhitungan panjang lengkung dan yang digunakan dalam notasi pada integral garis. Sehingga perhitungan integral garis dilakukan dengan merubah semua variabel dan fungsi kedalam persamaan parametric. Pernyataan Integral Garis dalam bentuk parametric menjadi : dx dt 2 + dy dt 2 dt Bila digunakan bentuk vector dalam parameterisasi maka : Dimana adalah panjang atau norm dari. Sehingga notasi Integral garis menjadi: Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 143
7 Contoh Hitung dimana C adalah sisi kanan dari setengah lingkaran,, yang berputar dalam arah berlawanan arah jarum jam. Parameterisasi dari lingkaran adalah sbb. : Disini kita perlu menentukan jangkauan / range dari t yang akan menghasilkan setengah lingkaran kanan, dan range t adalah : Turunan dari persamaan parametric dan perhitungan ds adalah sbb. : Sehingga perhitungan integral garis menghasilkan, Berikut pembahasan Integral garis sepanjang sambungan potongan kurva rata / piecewise smooth curves. Sambungan potongan kurva rata adalah suatu gabungan potongan kurva-kurva rata,,, dimana titik akhir adalah titik awal. Dibawah ini gambar sketsa dari sambungan potongan kurva rata : Gambar 6.5. Perhitungan Integral Garis sepanjang sambungan potongan kurva rata dilakukan dengan menjumlahkan perhitungan Integral Garis sepanjang masing-masing potongan kurva rata. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 144
8 Contoh Hitung dimana C adalah kurva sbb. : Parameterisasi dari setiap kurva adalah : Gambar 6.6. Integral Garis sepanjang masing-masing potongan kurva rata adalah : Sehingga, Integral Garis yang diminta adalah : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 145
9 Contoh Hitung dari ke. dimana C adalah segmen garis lurus yang menghubungi titik Bentuk persamaan vector garis lurus yang menghubungi titik awal adalah sbb. : dan titik akhir Untuk. Bentuk persamaan parametric adalah sbb. : Sehingga integral garis sepanjang garis diatas adalah : Contoh Hitung dimana C adalah segmen garis lurus dari titik ke. Parameterisasi kurva kedalam bentuk persamaan vector. untuk. Sehingga, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 146
10 Contoh Hitung sepanjang kurva berikut ini : (a) (b) : The line segment from to. (c) : The line segment from to. Berikut gambar sketsa kurva C 1, C 2, C 3 : Gambar 6.7. (a) Parameterisasi kurva : Sehingga, (b) : Segment garis lurus dari ke. Parameterisasi kurva : untuk. Atau bisa juga alternative parameterisasi ke 2 berbentuk : (c) : The line segment from to. Parameterisasi : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 147
11 untuk. Untuk kurva C dalam tiga dimensi, maka parameterisasi adalah : Maka Integral Garis adalah sbb. : Catatan : Bekerja dalam ruang tiga dimesi, seringkali parameterisasi dalam bentukk fungsi vector. Didapat : Sehingga : Contoh Hitung dimana C adalah helix,,. Berikut gambar sketsa helix yg dimaksud. Gambar 6.8. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 148
12 Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 149
13 6.3. Integral Garis II Pada sub-bab 6.2. dibahas Integral Garis terhadap panjang lengkungan / arc length. Bagian ini membahas Integral Garis terhadap x dan/atau y. Misal kurva C dalam dua dimensi, maka parameterisasi sbb. : Integral garis f terhadap x adalah, Integral garis f terhadap y adalah, Perbedaan dengan integral garis terhadap panjang lengkung / arc length dengan integral garis ini adalah pada differential nya. Disini digunakan dx atau dy sedangkan integral garis sebelumnya digunakan ds. Contoh Hitung dimana C adalah segment garis dari ke. Parameterisasi kurva : Integral garis, Contoh Hitung dimana C adalah segment garis dari ke. Parameterisasi kurva : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 150
14 Untuk kurva dalam ruang 3 dimensi, maka bentuk integral adalah : Dimana parameterisasi kurva C Bentuk kombinasi sebagai : Contoh Hitung dimana C dinyatakan dalam,,,. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 151
15 6.4. Teorema Dasar Integral Garis Dalam Kalkulus Dasar dikenal Teorema Dasar Kalkulus / Fundamental Theorem of Calculus, yang menyatakan : Dalam bentuk Integral Garis, serupa dengan hal diatas dikenal Teorema Dasar Integral Garis untuk bentuk tertentu fungsi vector / medan vector. Teorema Misal C adalah kurva rata/smooth yang dinyatakan oleh,. Misalkan juga bahwa f adalah suatu fungsi dimana vector gradient,, adalah kontinu pada C. Maka, Catatan adalah titik awal C dan adalah titik akhir C. Bukti Dengan menggunakan Aturan Rantai, didapat bentuk : Sehingga menggunakan the Fundamental Theorem of Calculus utk integral tunggal. Contoh Hitung dimana dan C adalah lintasan yang mulai dari titik dan berakhir dititik. Dalam hal ini lintasan macam apa tidak dispesifikasikan dan teorema diatas menyatakan bahwa hasil integral ditentukan hanya oleh titik awal dan akhir apapun macam lintasannya. Jadi, untuk, adalah sembarang lintasan yang mulai dari dan berakhitr pada. Maka, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 152
16 Maka, Perhatikan disini bahkan tidak perlu dihitung vector gradient. Bila dihitung maka : Yang terpenting dalam contoh ini adalah bukan untuk menunjukkan bagaimana melakukan perhitungan, karena perhitungan integral cukup sederhana, tinggal memasukkan saja titik awal dan akhir dan melakukan operasi pengurangan. Idee penting yang ingin ditunjukkan dalam contoh ini adalah, untuk integral garis jenis ini, kita tidak perlu tahu lintasan apa yang ditempuh, boleh berbentuk apapun, yang terpenting adalah titik awal dan akhirnya, dengan kata lain kita dapat menggunakan lintasan apapun bila titik awal dan titik akhirnya sama, maka hasil yang didapat akan sama. Berikut ini bentuk formal dari ide diatas : Definisi Misalkan adalah medan vector kontinu dalam domain D. 1. adalah medan vector conservative bila ada fungsi f sedemikian sehingga. Fungsi f disebut fungsi potential dari medan vektor. 2. adalah bebas dari lintasan yang ditempuh / independent of path bila untuk dua lintasan sembarang d an dalam D dengan titik awal dan akhir yang sama. 3. Suatu lintasan C disebut tertutup / closed bila titik awal dan titik akhirnya adalah titik yang sama. Contoh suatu lingkaran adalah lintasan tertutup. 4. Suatu lintasan C adalah sederhana / simple bila tidak bersilangan dalam dirinya. Contoh lingkaran adalah lintasan sederhana, sedangkan bentuk angka 8 adalah kurva yang tidak sederhana. 5. Suatu daerah D adalah terbuka / open bila tidak memuat dalam dirinya titik-titik batas nya. 6. Suatu daerah D adalah terhubung / connected bila kita dapat menghubungkan dua titik sembarang di daerah tersebut dengan suatu lintasan yang berada seluruhnya di D. 7. Suatu daerah D adalah terhubung sederhana / simply-connected bila D terhubung dan tidak mengandung lubang. Dengan definisi diatas maka berikut beberapa fakta : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 153
17 Fakta 1. adalah bebas lintasan. Teorema diatas menyatakan bahwa yang menentukan perhitungan integral diatas adalah titik awal dan akhir, sehingga menurut definisi integral garis diatas adalah bebas lintasan. 2. Bila adalah medan vector conservative maka adalah bebas lintasan. Bila adalah conservative maka ia mempunyai fungsi potensial, f, dan juga bentuk integral garis menjadi. Sehingga menggunakan fakta 1 diatas maka integral garis diatas haruslah bebas lintasan. 3. Bila adalah medan vector kontinu pada daerah terbuka dan terhubung D dan bila adalah bebas lintasan (untuk setiap lintasan di D) maka adalah medan vector conservative pada D. 4. Bila adalah bebas lintasan, maka untuk setiap lintasan tertutup C. 5. Bila untuk setiap lintasan tertutup C maka adalah bebas lintasan. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 154
18 6.5. Medan Vektor Konservatif Telah dibahas bahwa bila medan vector adalah konservatif, maka adalah bebas lintasan, artinya hasil perhitungan akan sama untuk titik awal dan titik akhir yang sama, walaupun lintasan yang ditempuh berbeda. Ini juga berarti bahwa integral akan lebih mudah dihitung bila fungsi potential dapat ditemukan. Dalam bab ini akan dibahas, pertama, bila suatu medan vector diketahui, bagaimana caranya menentukan apakah medan vector tersebut adalah medan vector konservatif. Kedua, apabila medan vector diketahui sebagai medan vector konservatif, bagaimana mencari fungsi potensial dari medan vector tersebut. Untuk medan vector dalam ruang dua dimensi, berlaku : Teorema Bila adalah medan vector pada daerah D yang terbuka /open dan terhubung sederhana / simply connected. Bila P dan Q memiliki turunan parsial pertama yang kontinu dalam D dan Maka medan vektor adalah konservatif. Contoh Tentukan apakah medan vector berikut ini konservatif atau tidak. (a) (b) (a) Jadi, karena kedua turunan parsial diatas tidak sama, maka medan vector TIDAK konservatif. (b) Jadi, karena kedua turunan parsial diatas sama, maka medan vector adalah konservatif. Dibawah ini pembahasan untuk menjawab pertanyaan kedua, yaitu bila medan vektor dalam ruang dua dimensi diketahui konservatif, bagaimana menemukan fungsi postensial dari medan vector tersebut? Bila suatu medan vector adalah konservatif, berarti fungsi potensial, ada. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 155
19 Sehingga : Sehingga : f = P x dan f = Q y Bila dilakukan proses integrasi didapat : f x, y = P x, y dx atau f x, y = Q x, y dy Contoh Tentukan apakah medan vector berikut ini konservatif atau bukan, dan cari fungsi potensial nya bila medan vector tersebut konservatif. (a) (b) Jawab (a) Jadi medan vector diatas konservatif. Langkah berikut mencari fungsi potensial medan vektor F, Sehingga : f x, y = 2x 3 y 4 + x dx atau f x, y = 2x 4 y 3 + y dy Dari dua alternatif integral diatas, perlu diperhatikan konstanta Integral. Bila dipilih integrasi yang pertama, yaitu terhadap x, maka konstanta integral adalah fungsi y. Berikut ini integrasi pilihan pertama (terhadap x), dimana adalah konstanta integral. Bagaimana menentukan. Caranya, dengan men-differensiasi f (termasuk ) terhadap y dan hasil differensiasi tersebut adalah sama dengan Q, yaitu f y = Q Sehingga dapat disimpulkan, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 156
20 Dapat dilihat bahwa adalah fungsi terhadap y saja, apabila terdapat unsure x dalam persamaan berarti terjadi kesalahan dalam perhitungan (tidak boleh ada x). Untuk mencari, Sehingga didapat fungsi potensial dari medan vector F adalah : Kita dapat melakukan verifikasi dengan. ] (b) Dari contoh 1b telah ditunjukkan bahwa medan vector diatas adalah konservatif, sehingga kita bisa langsung mencari fungsi potensialnya. Sehingga, f x, y = 2x e xy + x 2 ye xy dx atau f x, y = x 3 e xy + 2y dy Dari kedua pilihan perhitungan integrasi diatas, pilihan kedua perhitungannya akan lebih mudah, sehingga untuk mencari f x, y dipilih alternatif kedua. Hasil integrasi pilihan kedua, didapat : Untuk kasus ini, konstanta integrasi berupa fungsi x. Bila dilakukan differensiasi terhadap o x yang adalah sama dengan P didapat, Sehingga, Jadi, dalam kasus ini konstanta integrasi murni suatu konstanta (bukan fungsi x). Sehingga didapat fungsi potensial dari medan vector sebagai : Dalam bab ini, belum dibahas bagaimana menentukan apakah suatu medan vector dalam 3 dimensi adalah medan vector konservatif atau bukan. Berikut ini dibahas bagaimana mencari fungsi potensial dari medan vector yang diketahui konservatif. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 157
21 Contoh Cari fungsi potensial dari medan vector yang diketahui konservatif, Jawab: Langkah pertama, dilakukan integrasi terhadap x, kedua terhadap y dan ketiga terhadap z. Konstanta integrasi merupakan fungsi y dan z, yang jika didifferensiasi terhadap x akan menghasilkan nilai 0. Dengan melakukan differensiasi f(x,y,z) terhadap y didapat persamaan : Untuk konstanta integrasi g(y,z) tentunya turunan yang dilakukan adalah turunan parsial, karena konstanta ini fungsi 2 variabel. Sehingga didapat hasil, Karena differensiasi terhadap y menghasilkan nilai nol, maka hanya mungkin merupakan fungsi dari z saja atau murni konstanta. could at most be a function of z. Sehingga bentuk fungsi potensial adalah sebagai, Dengan melakukan differensiasi f(x,y,z) diatas terhadap z didapat persamaan : Sehingga, Fungsi potensial medan vector adalah, Contoh Cari fungsi potensial dari medan vektor, Dipilih integrasi persamaan ke 3 diatas terhadap z, Konstanta integral yang didapat dari integrasi ini adalah bentuk fungsi x dan y. Hasil yang didapat diintegrasikan terhadap z yang adalah sama dengan P. Sehingga didapat, Sehingga didapat, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 158
22 Fungsi potensial menjadi, Selanjutnya dilakukan diferensiasi terhadap y yang adalah sama dengan Q. Sehingga, Sehingga fungsi potensial akhir dari medan vector adalah, Berikut adalah contoh, dimana perhitungan integrasi garis untuk suatu medan vector yang diketahui konservatif menjadi lebih sederhana dengan menggunakan teorema dasar integral garis (yang telah dibahas dibab lalu). Contoh Hitung dimana dan C adalah,,. Masalah diatas dapat dijawab dengan melakukan prosedur perhitungan integral garis seperti yang telah dibahas, namun dari contoh 2a telah dibuktikan bahwa medan vector F adalah konservatif dan fungsi potensialnya adalah, Dan dari teorema dasar integral garis yang telah dibahas diketahui bahwa integral ini bebas dari lintasan yang ditempuh dan hasilnya adalah, dimana, Sehingga, hasil integrasi adalah, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 159
23 6.6. Teorema Green Pada bab ini akan dibahas hubungan antara integral garis (lintasan tertutup) dengan integral lipat dua. Misal suatu kurva C tertutup dan D adalah suatu daerah yang dikelilingi oleh C. Gambar sketsa sbb. : Gambar 6.9 Karena kurva diatas sederhana dan tertutup, maka tidak ada lubang dalam daerah D. Dan akan digunakan konvensi/ aturan untuk kurva C, yaitu aturan orientasi positif, yaitu arah berlawanan jarum jam. Yaitu seperti putaran sekrup, bila berlawanan jarum jam, maka arah keatas (positif). Juga orientasi positif berarti, bila seseorang berjalan mengikuti kurva C, maka daerah D berada disebelah kiri. Dengan kurva dan daerah yang dikelilingi kurva yang didefinisikan diatas, berlaku: Teorema Green Bila diketahui kurva C berorientasi positif, potongan tersambungnya rata (piecewise smooth), sederhana, tertutup dan bila D adalah daerah yang dikelilingi oleh kurva C. Dan bila P dan Q memiliki turunan parsial orde pertama di D, maka : Untuk konvensi notasi, untuk integral garis dimana garis merupakan kurva lintasan tertutup digunakan notasi integral yang berarti juga lintasan berlawanan jarum jam, Dalam teorema Green, kurva C adalah boundary (pembatas) dari daerah D, sehingga dapat juga dilihat bahwa C adalah sebagai. Contoh Dengan menggunakan Teorema Green hitunglah dimana C adalah segi tiga dengan titik ujung,, dan memiliki orientasi positif. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 160
24 Dalam menyelesaikan soal ini, pertama digambarkan sketsa dari C dan D dan diyakinkan agar kondisi dari Teorema Green dipenuhi untuk C dan dibuat sketsa D untuk menghitung integral lipat dua (double integral). Gambar Gambar sketsa diatas telah memenuhi syarat dari teorema Green (orientasi positif dan daerah yang dikelilingi) dan daerah tersebut dibatasi oleh garis yang diwakili oleh ketidaksamaan, P dan Q dapat diidentifikasi dari integral garis, Sehingga dengan menggunakan Teorema Green diperoleh, Contoh Hitung dimana C adalah lingkaran dengan orientasi positif dan berpusat dititik nul dan mempunyai radius = 2. Suatu lingkaran akan memenuhi kriteria teorema Green, karena lingkaran adalah tertutup dan sederhana, dan P dan Q dari integral garis didapat, Menggunakan Teorema Green didapat, Dimana D adalah suatu cakram dengan radius 2 dan berpusat dititik nul. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 161
25 Dan karena D adalah suatu cakram maka sebaiknya digunakan koordinat polar. Sehingga perhitungan dari integral adalah, Teorema Green mempunyai persyaratan bahwa daerah D tidak mempunyai lubang, bagaimana menghitung daerah D yang mempunyai lubang??? Misal ada daerah D 1 yang dikelilingi oleh kurva C 1 dan C 3 dan D 2 yang dikelilingi oleh kurva C 21 dan C 3 seperti yang ditunjukkan oleh gambar sketsa dibawah ini. Gambar Daerah D adalah dimana simbol adalah union yang berarti D terdiri dari D 1 dan D 2. Garis batas (boundary) D 1 adalah dan garis batas D 2 adalah dan setiap garis batas yang membatasi daerah tersebut adalah berorientasi positif. Dari sketsa diatas dapat dilihat bahwa seluruh garis batas, C, adalah, Dimana dan akan saling membatalkan/menghilangkan. Sehingga bila dinyatakan dengan ekspressi matematis integral lipat dua berupa, Dan penerapan Teorema pada setiap integrasi diatas didapat, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 162
26 Dan karena, Didapat, Sehingga, Proses diatas dapat diterapkan untuk daerah yang berlubang seperti yang ditunjukkan dibawah ini, Gambar Daerah D dibatas oleh C 1 dan C 2 dan bila berjalan mengikuti lintasan tersebut maka daerah D berada disisi kiri, untuk kriteria ini kedua kurva C 1 dan C 2 berorientasi positif, namun dari kriteria arah berlawanan jarum jam kurva C 2 berorientasi negative. Hal ini terjadi karena daerah tersebut memiliki lubang. Sehingga pertanyaannya, bagaimana menerapkan teorema Green,integral garis dengan kurva. Bila cakram diatas dipotong/diiris menjadi dua, maka diperoleh gambar sketsa berikut ini, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 163
27 Gambar Kurva pembatas (boundary) untuk potongan cakram atas (D 1) adalah kurva pembatas untuk potongan cakram bawah (D 2) adalah. Dan k masing-masing potongan dapat dilihat sebagai bagian yang utuh, yang tidak memiliki lubang, sehingga Teorema Green dapat diterapkan. Sehingga, dan Dan dengan mem proses integral garis dimana kurva pembatas yang mempunyai arah berlawanan akan saling meniadakan/membatalkan, maka diperoleh, Sehingga hasil akhir, Teorema Green dapat digunakan dalam kasus diatas dimana seolah terdapat lubang dalam daerah tersebut. Contoh Hitung dimana C adalah dua lingkaran dengan radius 2 dan radius 1 yang berpusat dititik nul dan memiliki orientasi positif terhadap daerah D yang dibatasi kedua kurva ini. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 164
28 Salah satu penerapan Teorema Green adalah dalam menghitung luas suatu daerah D dengan integral ganda. Dengan Teorema Green, berarti Dan ada banyak fungsi P dan Q yang memenuhi syarat diatas, misalnya : Maka dengan menggunakan Teorema Green dapat dihitung luas dari daerah D dengan menghitung integral garis berikut ini, Dimana C adalah kurva pembatas (boundary) dari daerah D. Contoh Gunakan Teorema Green untuk menghitung luas cakram dengan radius = a. Dapat digunakan ketiga bentuk integrasi garis diatas, missal digunakan integral garis yang ketiga, yaitu dimana C adalah lingkaran dengan radius a. Dengan parameterisasi C. Luas didapat adalah, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 165
29 Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 166
30 6.7. Curl dan Divergence Curl Bila diketahui medan vector maka curl didefinisikan sebagai, Definisi curl yang lebih mudah diingat adalah dengan menggunakan operator di definisikan sebagai, operator. Dimana, Pernyataan diatas adalah pernyataan the gradient vector. Dengan menggunakan, curl suatu medan vector dapat didefinisikan sebagai cross product, Teorema 1. Bila mempunyai turunan parsial kedua, maka. 2. Bila adalah medan vector konservatif maka. 3. Bila didefinisikan pada dimana setiap komponennya mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dan maka adalah medan vector konservatif. Contoh Tentukan apakah? adalah medan vector konservatif Jadi, karena curl tidak nol, maka medan vector tidak/bukan konservatif. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 167
31 Interpretasi fisik dari curl. Misal adalah medan vector kecepatan dari aliran fluida. Maka merepresentasikan sebagai kecenderungan dari partikel-partikel pada titik untuk berputar mengelilingi suatu sumbu yang dalam arah. Bila maka fluida tidak berputar (irrotational). Divergence. Bila diketahui medan vector, maka divergence didefinisikan sebagai, Definisi divergence dalam notasi operator adalah sebagai perkalian titik (dot product). Contoh Hitung untuk Hubungan antara divergence dan curl adalah sbb. : Contoh Verifikasi pernyataan diatas berlaku untuk medan vektor. Interpretasi fisik dari divergence. Misal adalah medan vector kecepatan dari aliran fluida. Maka div F merepresentasikan laju perubahan netto massa fluida yang mengalir dari titik per unit volume. Bila maka adalah incompressible. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 168
32 Laplace operator. The Laplace operator didefinisikan sebagai, Berikut adalah dua pernyataan Teorema Green dalam bentuk vector. Pernyataan pertama,menggunakan curl medan vector, dimana adalah standard unit vektor dalam arah z positif. Pernyataan kedua menggunakan divergence. Bila kurva C dalam diparameterisasi dalam bentuk vector, Maka vector unit normal yang mengarah keluar adalah, Gambar vector unit normal yang mengarah keluar untuk suatu kurva C pada beberapa titik adalah sbb. : Gambar Bentuk vector Teorema Green yang menggunakan divergence adalah, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 169
DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 7 INTEGRAL PERMUKAAN Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 3 TURUNAN PARSIAL Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 5 INTEGRAL LIPAT Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 1. PENDAHULUAN Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral (Stokes Theorem) Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Stokes Theorem Review : Pada pembahasan sebelumnya, kepadatan sirkulasi atau curl pada bidang dua dimensi
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 2 RUANG 3 DIMENSI Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 4 PENERAPAN TURUNAN PARSIAL Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak
BAB II DASAR TEORI Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral (Green s Theorem) Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Kurva Tertutup Sederhana, Daerah Terhubung sederhana dan Berganda Suatu kurva tertutup sederhana adalah
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik
Lebih terperinciProgram Studi Teknik Mesin S1
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMATIKA TEKNIK 2 KODE/SKS : IT042227 / 2 SKS Pertemuan Pokok Bahasan dan TIU 1 Pendahuluan Mahasiswa mengerti tentang mata kuliah Matematika Teknik 2 : bahan ajar,
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciTeorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciIntegral Kompleks. prepared by jimmy 752A4C6B. wp.me/p4scve-e. jimlecturer
Integral Kompleks prepared by jimmy hasugian 752A4C6B @jimlecturer jimlecturer wp.me/p4scve-e Review Analisis Kompleks Sebuah Fungsi Kompleks disebut Analitik dalam domain tertentu, jika fungsi tersebut
Lebih terperinciCatatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA
Khairul Basar atatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA Semester I 2015-2016 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung Bab 6 Analisa Vektor 6.1 Perkalian Vektor Pada bagian
Lebih terperinciSuryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Bab 4 Integral Garis dan Teorema Green 4. Integral Garis Definisi : Misal suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan adalah medan vektor
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciBab 5 Potensial Skalar. A. Pendahuluan
Bab 5 Potensial Skalar A. Pendahuluan Pada pokok bahasan terdahulu medan listrik merupakan besaran vektor yang memberikan informasi lengkap tentang efek-efek elektrostatik. Secara substansial informasi
Lebih terperinciTEOREMA FUNDAMENTAL PADA KALKULUS VEKTOR
TEOREMA FUNDAMENTAL PADA KALKULUS VEKTOR Interpretasi Geometri dari Derivatif Vektor Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k maka:. Derivatif dari kurva
Lebih terperinciBAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA
BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA 3.1 Deskripsi Masalah Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida yang mengalir keluar melalui sebuah celah
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
INTEGRASI VEKTOR Materi pokok pertemuan ke 11: 1. Integral Biasa 2. Integral Garis URAIAN MATERI Sebelum masuk ke integral garis, Anda pelajari dulu mengenai integral biasa dari vektor. Integral Biasa
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6
Lebih terperinciAljabar Vektor. Sesi XI Vektor 12/4/2015
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI Vektor e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 Aljabar Vektor Vektor juga memiliki
Lebih terperinciProgram Studi Teknik Mesin S1
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS 3 KODE / SKS : IT042219 / 2 SKS Pertemuan Pokok Bahasan dan TIU Geometri pada bidang, vektor vektor pada bidang : pendekatan secara geometrik dan secara
Lebih terperinciPertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1.
Lebih terperinciBUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciG. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel.
G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. Definisi. (i) Suatu fungsi f(x, y) memiliki minimum lokal pada titik
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. A. Tinjauan Pustaka. 1. Vektor
BAB II LANDASAN TEORI A. Tinjauan Pustaka 1. Vektor Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak
Lebih terperinciIntegral Vektor. (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TK 47 Matematika III Integral Vektor (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik ipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Teorema Gauss Definisi : Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciPertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : 1. Memahami Integral Kalkulus dari Vektor. 2. Memahami Integral Garis,
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciGERAKAN KURVA PARAMETERISASI PADA RUANG EUCLIDEAN 1. PENDAHULUAN
GERAKAN KURVA PARAMETERISASI PADA RUANG EUCLIDEAN Iis Herisman dan Komar Baihaqi Jurusan Matematika,Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya iis@matematika.its.ac.id, komar@matematika.its.ac.id ABSTRAK.
Lebih terperinciAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciSEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA & KOMPUTER JAKARTA STI&K SATUAN ACARA PERKULIAHAN
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMAA & KOMPUTER JAKARTA STI&K SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata : Kalkulus 3 Kode Mata : DK - 1309 Jurusan / Jenjang : S1 SISTEM KOMPUTER Tujuan Instruksional Umum : Agar mahasiswa
Lebih terperinci1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih
] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah
Lebih terperinciFisika Dasar I (FI-321)
Fisika Dasar I (FI-321) Topik hari ini (minggu 2) Gerak dalam Satu Dimensi (Kinematika) Kerangka Acuan & Sistem Koordinat Posisi dan Perpindahan Kecepatan Percepatan GLB dan GLBB Gerak Jatuh Bebas Mekanika
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU IX
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU IX KALKULUS DIFERENSIAL Prepared By : W. Rofianto ROFI 010 TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciKalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi
Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinciPertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes
Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes Standar Kompetensi : 1. Memahami Teorema Green Kompetensi Dasar : 1. Menyebutkan kembali pengertian
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR MAT MMM sks
Syllabus : NLISIS VEKTOR MT MMM2105 2 sks Vector lgebra:vector addition and scalar multiplication, Scalar and vector products. Vector Differentiation: Differentiation of vector valued functions with respect
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciIntegral yang berhubungan dengan kepentingan fisika
Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai
Lebih terperinciGradien, Divergensi, dan Curl
GRADIEN, DIVERGENSI, DAN CURL Materi pokok pertemuan ke 8 : 1. Operator Del 2. Gradien 3. Turunan berarah URAIAN MATERI Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT
TUGAS KALKULUS LANJUT SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT Oleh: KAMELIANI 46 JUUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA AN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVESITAS NEGEI MAKASSA 4 SIFAT-SIFAT INTEGAL LIPAT A. SIFAT-SIFAT INTEGAL
Lebih terperinciIntegral Garis. Sesi XIII INTEGRAL 12/7/2015
2//25 Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TK 85 Pengampu : Achfas Zacoeb esi XIII INTEGRAL e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 823398339 Integral Garis Dari Gambar.,
Lebih terperinciFisika Dasar I (FI-321)
Fisika Dasar I (FI-321) Topik hari ini (minggu 2) Gerak dalam Satu Dimensi (Kinematika) Kerangka Acuan & Sistem Koordinat Posisi dan Perpindahan Kecepatan Percepatan GLB dan GLBB Gerak Jatuh Bebas Mekanika
Lebih terperinciDalam koordinat Euclid
Curve Diberikan adalah sebuah kurva. Pada Bab 1, bagian 4, telah didefinisikan vektor kelajuan dari saat t. Sekarang kita definisikan kecepatan dari saat t yaitu panjang dari vektor kelajuan. Dengan demikian,
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciENERGI POTENSIAL. dapat dimunculkan dan diubah sepenuhnya menjadi tenaga kinetik. Tenaga
ENERGI POTENSIAL 1. Pendahuluan Energi potensial merupakan suatu bentuk energi yang tersimpan, yang dapat dimunculkan dan diubah sepenuhnya menjadi tenaga kinetik. Tenaga potensial tidak dapat dikaitkan
Lebih terperinciINTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta
INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinciBagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciintegral = 2 . Setiap fungsi ini memiliki turunan ( ) = adalah ( ) = 6 2.
integral 13.1 PENGERTIAN INTEGRAL Untuk itu, coba tentukan turunan fungsi berikut. Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bentuk umum 6 2. Jadi, turunan fungsi = 2 =2 3. Setiap fungsi ini memiliki turunan
Lebih terperinci: D C adalah fungsi kompleks dengan domain riil
BAB 4. INTEGRAL OMPLES 4. Integral Garis ompleks Misalkan ( : D adalah fungsi kompleks dengan domain riil b D [ a, b], maka integral (, dimana ( x( + iy( dapat dengan mudah a b dihitung, yaitu a i contoh
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciPEMBAHASAN KISI-KISI SOAL UAS KALKULUS PEUBAH BANYAK (TA 2015/2016)
PEMBAHAAN KII-KII OAL UA KALKULU PEUBAH BANYAK (TA 5/6) Arini oesatyo Putri DEEMBER 3, 5 UNIVERITA ILAM NEGERI UNAN GUNUNG DJATI BANDUNG Pembahasan oal Kisi-Kisi UA Kalkulus Peubah Banyak Tahun Ajaran
Lebih terperinciPENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA
PENGGUNAAN GEOGEBRA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA Tugas Mata Kuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika berbasis ICT Dosen Pengampu Dr. Dwijanto, M.S. Oleh: Purwanti Wahyuningsih (0401514014) Franky Martion
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
Lebih terperinciKalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Lebih terperinciBab IV Persamaan Integral Batas
Bab IV Persamaan Integral Batas IV.1 Konvensi simbol ebelum memulai pembahasan, kita akan memperkenalkan sejumlah konvensi simbol yang akan digunakan pada tesis ini. imbol x, y, x 0 akan digunakan untuk
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciHendra Gunawan. 8 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 013/014 8 November 013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 4 1. Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva. Jumlah Riemann dan Integral Tentu 3. Teorema
Lebih terperincia. Hubungan Gerak Melingkar dan Gerak Lurus Kedudukan benda ditentukan berdasarkan sudut θ dan jari jari r lintasannya Gambar 1
. Pengantar a. Hubungan Gerak Melingkar dan Gerak Lurus Gerak melingkar adalah gerak benda yang lintasannya berbentuk lingkaran dengan jari jari r Kedudukan benda ditentukan berdasarkan sudut θ dan jari
Lebih terperinciGelombang sferis (bola) dan Radiasi suara
Chapter 5 Gelombang sferis (bola) dan Radiasi suara Gelombang dasar lain datang jika jarak dari beberapa titik dari titik tertentu dianggap sebagai koordinat relevan yang bergantung pada variabel akustik.
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth,
Lebih terperinciTINJAUAN TERHADAP SIKLOID TERBALIK TERKAIT MASALAH BRACHISTOCHRONE
TINJAUAN TERHADAP SIKLOID TERBALIK TERKAIT MASALAH BRACHISTOCHRONE Mohammad Lutfi Sekolah Tinggi Teknologi Minyak dan Gas Bumi Balikpapan Email: lutfi_plhld@yahoo.co.id Abstrak: Penelitian ini merupakan
Lebih terperinciPUSAT MASSA DAN TITIK BERAT
PUSAT MASSA DAN TITIK BERAT Pusat massa dan titik berat suatu benda memiliki pengertian yang sama, yaitu suatu titik tempat berpusatnya massa/berat dari benda tersebut. Perbedaannya adalah letak pusat
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciNughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Lecture 3. Function (A) A. Definition of Function Definisi. f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis dengan f: A B, yaitu merupakan suatu aturan yang memetakan (mengawankan) setiap xεa
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciPENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciPerkuliahan Fisika Dasar II FI-331. Oleh Endi Suhendi 1
Perkuliahan Fisika Dasar II FI-331 Oleh Endi Suhendi 1 Menu hari ini (2 minggu): Medan dan Gaya Magnet Oleh Endi Suhendi 2 Medan Gravitasi Listrik Massa m Muatan q (±) Menghasilkan: Merasakan: Tinjau juga
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciApabila lintasan itu dinyatakan dengan satuan s, maka persamaan di atas dapat juga ditulis menjadi :
Gerak pada ruang Bila suatu titk zat bergerak, maka titik zat akan membuat lintasan dalam ruang geometri. Lintasan ini merupakan garis atau umumnya merupakan perpotongan dua bidang dalam ruang. Pada koordinat.
Lebih terperinciSP FISDAS I. acuan ) , skalar, arah ( ) searah dengan
SP FISDAS I Perihal : Matriks, pengulturan, dimensi, dan sebagainya. Bisa baca sendiri di tippler..!! KINEMATIKA : Gerak benda tanpa diketahui penyebabnya ( cabang dari ilmu mekanika ) DINAMIKA : Pengaruh
Lebih terperinciIII HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciBab III. Integral Fungsi Kompleks
Bab III Integral Fungsi ompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f() = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat
Lebih terperinci