VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK"

Transkripsi

1 HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus yang masing-masingnya saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik (ketiga garis tersebut disebut dengan sumbu-sumbu), dan ditentukan oleh himpunan semua tripel-tripel terurut dari bilangan-bilangan nyata. Z P (x,y,z) Y Bila titik P memiliki koordinat x,y,z, kita dapat menuliskannya dengan P (x,y,z) dimana x disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut Aplikat. X Dengan diterapkannya suatu sistem koordinat tegak lurus, maka ruang akan terbagi menjadi delapan bagian. Masing-masing bagian disebut dengan oktan dan diberi nomor dengan aturan sebagai berikut: z + Oktan I : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z > 0 Oktan II : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z > 0 Oktan III : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z > 0 III II Oktan IV : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z > 0 IV I Oktan V : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z < 0 VII Oktan VI : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z < 0 Oktan VII : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z < 0 VIII Oktan VIII : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z < 0 V VI x + y + Gambarlah koordinat titik-titik berikut: A (3,3,) B (3,-4,) C (3,-4,0) D (3,3,0) E (-,-4,0) F (-,3,0) B G (-,3,) H (-,-4,) C H E A D G F

2 B. Jarak Dua Titik Amatilah gambar paralel epipedum berikut ini T Z U Apakah RQ bidang PQVW? Apakah RQ WQ? X S P W(x y z ) R (x y z ) Y V Q Berdasarkan Teorema Phytagoras WR WQ RQ WQ WP PQ sehingga WR WQ RQ WP PQ RQ WR WP PQ RQ maka WR x x y y z z C. Koordinat yang Membagi Ruas Garis dengan Perbandingan m:n X : : Sehingga Koordinat titik R adalah Z H m P (x y z ) L ; ; R N n Q(x y z ) K M ; ; Y (karena tadi bidang XOY, maka) berdasarkan rumus membagi bidang, sehingga : : Terdapat R yang membagi garis PQ, dimana R (x,y,z) dengan perbandingan m:n. Gambarlah PL,RN, dan QM bidang XOY. Dari gambar tersebut diperoleh LNM adalah perpotongan bidang XOY dengan bidang PRQMNL. Tarik garis HRK sejajar LNM. Sehingga segitiga PRH sebangun dengan segitiga KRQ. Jika R adalah titik tengah ruas garis PQ maka R membagi PQ dengan perbandingan m : n = :. Sehingga dengan mensubstitusikan nilai perbandingan maka didapatkan Secara umum, perbandingan m:n = k, dimana k positif atau negatif tergantung R terletak diantara PQ ataukah perpanjangannya. Jika k > 0 maka R terletak diantara PQ - < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada pihak P) k = - maka menunjukkan suatu titik tak berhingga k < - maka R terletak diperpanjangan PQ (pada pihak Q) sehingga koordinat R menjadi : dimana k : :

3 D. Vektor Notasi suatu vektor dapat dituliskan dengan dua huruf besar serta suatu strip atau tanda panah di atas huruf-huruf tersebut. Huruf pertama menyatakan titik awal dan huruf kedua menyatakan titik ujungnya. Sering pula suatu vektor diberi nama dengan sebuah huruf kecil (yang dicetak tebal), misalnya, atau, atau ataupun. Besar panjang vektor ditulis PQ atau Q a Vektor PQ a P Suatu vektor dimana titik awal dan ujungnya berimpit disebut vektor nol. Vektor-vektor yang terletak pada garis lurus yang sama atau sejajar disebut segaris. vektor-vektor disebut sama jika mereka segaris serta mempunyai panjang dan arah yang sama. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor a tetapi mempunyai panjang yang sama, dinya takan sebagai a. a b a a b Jumlah dari vektor-vektor a dan b adalah sebuah vektor c = a + b, yang diperoleh dengan menempatkan titik awal vektor b berimpit dengan titik ujung vektor a lalu menghubungkan titik awal vektor a dengan titik ujung vektor b. metode ini disebut metode segitiga dari penjumlahan vektor. Metode lain adalah metode jajaran genjang, yaitu dengan menempatkan titik-titik awal vektor-vektor a dan b berimpit, lalu membentuk sebuah jajaran genjang dengan dua buah sisinya a serta b. a + b adalah diagonal jajaran gejang tersebut, yang bertitik awal a dan b tersebut. a a a a a+b a a+b Metode segitiga E. Vektor dan Sistem Koordinat Suatu vektor disebut vektor satuan bila panjangnya satu. Maka bila a vektor dengan panjang a 0 maka a/a adalah vektor satuan yang searah dengan a. pandanglah sistem koordinat cartesian berikut:

4 i z + k j y + i yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu X positif; j yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu Y positif; k yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu Z positif. Kita tulis : I = i + 0j +0k J = 0i +j +0k k = 0 + 0j +k i = [,0,0] j = [0,,0] k = [0,0,] x +. Panjang Vektor Dengan Titik Awal 0 Pandanglah sembarang vektor a yang titik awalnya titik (0,0,0) dan titik ujungnya titik (a, a, a 3 ). Jelas menurut metode segitiga bahwa 3 3. Bilangan-bilangan 3 disebut dengan komponen-komponen dari vektor a dan vektor itu (yang titik awalnya adalah 0) disebut dengan vektor posisi (radius vektor) dari titik ( 3). z + a i i k a j a a a 3 a 3 k a j y + a a a a 3 x +. Panjang Vektor dengan Titik Awal Bukan Titik 0 z + P u 0 p v Q y + Misalkan vektor p dengan titik awalnya adalah P (p p p 3 ), dan titik ujungnya adalah Q (q q q 3 ). Jika ditarik vektor-vektor u dan v, berturut-turut vektor posisi P dan Q maka: u p i p j p 3 k v q i q j q 3 k Sedangkan p v u q p i q p j q 3 p 3 k atau p q p q p q 3 p 3 x + Bila 3 3 dan k suatu skalar, maka 3 3 dan 3 3.

5 F. Dot Product Bila a dan b vektor-vektor, adalah sudut antara a dan b (0, maka: Dot product: Jika a dan b adalah vektor-vektor, dan m merupakan skalar maka berlaku:. a.b = b.a. a.(b+c) = ab +ac 3. m(a.b) = (ma).b = a.(mb) = (a.b)m 4. bila a = 3, b = 3 maka a.b = a.a = 3 6. a.b = 0 (a 0, b 0) maka a tegak lurus b (ortogonal) contoh: a = 3i +4j + 5k dan b = i+6j, tentukan cos! jawab : a.b = = 30 a = 0 dan 0 0 Maka cos = G. Cross Product Bila a dan b vektor-vektor, = sudut antara a dan b (0, maka: Cross Product: { } 3 Arah dari a x b ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan. 3 5 axb a b a bxa b Jika a dan b adalah vektor-vektor, dan m merupakan skalar maka berlaku:. a x b = -b x a. a x (b +c) = (a x b) + (a x c) 3. m(axb) = ma x b = a x mb =(a x b)m 4. i x i = j x j = k x k = 0. i x j = k, j x k = i, k x i = j j x i = -k, k x j =-i, i x k = -j 5. bila a = 3 = 3 bila b = 3 = 3

6 maka a x b = [ ] = panjang dari a x b yaitu a x b = absin menyatakan luas jajaran genjang yang dua buah sisinya a dan b. 7. jika a x b = 0 dan a 0, b 0 maka a sejajar dengan b. contoh: a = [,,], b = [-3,6,7], maka a x b adalah jawab: a x b = [ H. Arti Suatu Persamaan ] = [, -7, 5] Pada sistem koordinat cartesius XYZ suatu bidang dinyatakan sebagai sebuah persamaan yang terdiri dari 3 variabel x,y,z. Bidang nyata misalnya mempunyai mempunyai persamaan derajat pertama f(x,y,z) = Ax + By + Cz + D = 0. Suatu titik (x 0, y 0, z 0, ) terletak pada suatu bidang F(x,y,z) = 0 apabila terpenuhi F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 Persamaan yang bebas dari suatu peubah : - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan semua garis pelukisnya sejajar sumbu Z - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan garis pelukisnya sejajar sumbu Y - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan garis pelukisnya sejajar sumbu X Contoh : a. Persamaan x + 3y + 5z = 30 menyatakan permukaan, yang merupakan sebuah bidang rata b. Persamaan y + z = 9 menyatakan suatu permukaan, yang merupakan sebuah silinder sejajar sumbu X. Z 6 0 Y X 5 x + 3y + 5z = 30

7 Persamaan hanya mengandung satu peubah : - Persamaan f(x) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang YOZ - Persamaan f(y) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang XOZ - Persamaan f(z) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang XOY Contoh: a. Persamaan x = menyatakan sebuah bidang rata, yang sejajar bidang YOZ dengan jarak (ke arah sumbu positif). b. Persamaan z 4 = 0 menyatakan dua buah bidang rata z = dan z = -, yang sejajar bidang XOY berjarak z c. Persamaan y 3 y y = 0 menyatakan tiga buah bidang rata y = 0, y = 4, y = - yang sejajar bidang XOZ Z Z Y Y X Z X Y X

8 I. Proyeksi Garis Lengkung Pada Bidang Koordinat Pada garis lengkung c : f(x,y,z) = 0, g(x,y,z) = 0 jika salah satu peubah (misalnya z) dieleminasi, terdapat suatu persamaan baru F(x,y) = 0, merupakan silinder yang garis pelukisnya // sumbu Z serta melalui c, berarti merupakan silinder proyektor dari garis lengkung c di atas, ke bidang XOY. Jadi proyeksinya mempunyai F(x,y) = 0, z = 0, untuk proyeksi ke bidang YOZ maupun XOZ Kita dapat melakukan hal yang sama pada proyeksi ke bidang XOY. Dimana : - Jika kita mengeliminasi x, maka kita akan mendapatkan proyeksi pada bidany YOZ. - Jika kita mengeliminasi y, maka kita akan mendapatkan proyeksi pada bidany XOZ. f(x,y) = 0 z =0 Contoh: Tentukan proyeksi garis lengkung (lingkaran) perpotongan bola-bola x + y + z = dan x + (y -) + (z ) = ke bidang XOY. Jawab : Menentukan silinder proyektor dengan mengeliminasi z dari persamaan () dan (). x + y + z =.. () x + (y - ) + (z - ) = () - x + y + z = - x + (y - ) + (z - ) = x + (y y + ) + (z z + ) = x + y y + z z = - - x + y + z = x + y y + z z = - y + z = z = y z = y (3)

9 Subtitusikan z ke dalam persamaan () x + y + z = x + y + ( y) = x + y + (y y + ) = x + y + y y = 0 x + y y = 0, merupakan persamaan silinder proyektor. Jadi proyeksi : x + y y = 0 z = 0 yang dapat dijabarkan menjadi : x + y y = 0 x + (y y) = 0 x + {(y ) - } = 0 x + {(y ) - } = 0 x + {(y ) = x + 4{(y ) = Suatu elips dengan pusat (0,,0) Latihan Soal. Buktikan bahwa segi empat yang titik-titik sudutnya adalah tengah-tengah sisi-sisi suatu segi empat sebarang, merupakan suatu jajaran genjang!. Buktikan bahwa bila a = [a,a,a 3 ], b = [b,b,b 3 ], maka Buktikan bahwa segitiga dengan satu sisinya garis tengah lingkaran dan titik yang ketiga sebarang pada busur lingkaran adalah segitiga siku-siku! 4. Gambarkan grafik dari 3x + 4y + z = 5. Gambarlah grafik persamaan linear x + 3y = 6 dalam ruang dimensi 3

10 6. Berikan analisis persamaan dan buatlah sketsa grafiknya 7. Tentukan proyeksi garis lengkung x + y = 3z dan x y + z = 0 J. Persamaan Vektoris Bidang Rata Jika di dalam suatu bidang rata tertentu terdapat tiga buah titik (yang tidak segaris), misalkan diketahui tiga titik pada bidang rata V: Z P R Q X Titik P (x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x 3,y 3,z 3 ) PQ = [x -x, y -y, z -z ] PR = [x 3 -x, y 3 -y, z 3 -z ] O Y X Untuk setiap titik sebarang X (x,y,z) pada bidang rata V berlaku: PX = PQ + PR ( ). Terlihat jelas pada gambar di atas bahwa OX = OP + PX Atau [x,y,z] = [x,y,z ]+ [x -x, y -y, z -z ]+ [x 3 -x, y 3 -y, z 3 -z ].() Persamaan tersebut merupakan persamaan vektoris bidang rata melalui tiga buah titik. Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor-vektor arah bidang (setiap dua vektor, yang tidak segaris, pada bidang merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Sehingga persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P (x,y,z ) dan diketahui kedua vektor arahnya a = [x a,y a,z a ] dan b = [x b,y b,z b ] adalah: [x,y,z] =[x,y,z ] + [x a,y a,z a ]+ [x b,y b,z b ] () Dan persamaan () dapat ditulis menjado tiga persamaan: x = x + x a + x b.. (3) y = y + y a + y b.. (4) z = z + z a + z b.. (5) Disebut dengan persamaan parameter bidang rata

11 Contoh: Tentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter bidang rata yang melalui titik (,,), (,3,5), dan (,3,7)! Penyelesaian: Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x,y,z ]+ [x -x, y -y, z -z ]+ [x 3 -x, y 3 -y, z 3 -z ], sehingga [x,y,z] = [,,]+ [-,3-,5-]+ [-,3-,7-] [x,y,z] = [,,]+ [,,3]+ [0,,5] Persamaan parameter : x = + y = + + z = K. Persamaan Linier Bidang Rata Jika dan kita eliminasikan dari persamaan (3) dan (4) di atas, maka diperoleh: ; ; ; dan ; ; ; Dimana C = dimana c 0. (6) Kemudian, jika dan diatas kita substitusikan ke persamaan (5), maka akan diperoleh: { } { } 0 atau 0.(7.) 0..(7.) Dimana: dan Dan Sehingga persamaan (7) menjadi Ax +By +Cz + D = 0...(8) Persamaan (8) tersebut merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang rata.

12 L. Vektor Normal dari Bidang Rata V = Ax + By + Cz + D = 0 Terlihat bahwa vektor Vektor di atas merupaka vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh a dan b, dalam hal ini bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0. Dimana n = [A,B,C] disebut dengan vektor normal dari bidang rata V = 0 tersebut. Dimana vektor normal tersebut akan memegang peranan penting di dalam pembahasan suatu bidang rata. Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang diketahui melalui satu titik (x,y,z ) denganvektor normalnya [A,B,C] berbentuk: A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0.(9) Catatan : Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0 adalah:. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal, persamaannya akan mempunyai harga D = 0.. Apabila D 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi dan sebut berturut-turut dengan, maka didapatkan persamaan yang mana memotong sumbu X di (p,0,0), sumbu Y di (0,q,0), dan sumbu z di (0,0,r). 3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X Bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y Bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z 4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY Bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ Bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang YOZ Catatan :. Jika persamaan (7.) 0 kita tulis dalam bentuk dot product, maka akan menjadi:

13 [ ( ) ] [ ) 0 (0) Atau (r r ).n = 0, dimana r = vektor posisi sebarang titik pada bidang, r vektor posisi suatu titik tertentu pada bidang, dan n = vektor normal bidang.. Tetapi n = a x b, dimana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (0) dapat ditulis sebagai (r r ).(a x b) = 0 atau: 0..() Adalah persamaan bidang melalui titik P (x,y,z ) dengan vektor arah a = [x a,y a,z a ] dan b = [x b,y b,z b ]. 3. Jika a bertitik awal di P (x,y,z ) dan titik ujungnya adalah Q (x,y,z ), serta b titik awalnya di P (x,y,z ) dan titik ujungnya R (x 3,y 3,z 3 ), maka bentuk () menjadi: 0..() Adalah persamaan bidang rata dengan diketahui tiga titik P (x,y,z ), Q (x,y,z ), dan R (x 3,y 3,z 3 ) yang ditulis dalam bentuk determinan. 4. Sehingga, empat buah titik (x,y,z ), (x,y,z ), (x 3,y 3,z 3 ), dan (x 4,y 4,z 4 ) akan sebidang jika dan hanya jika: Contoh : 0..(3) Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik (,,), (,3,5), dan (,3,7)! Penyelesaian: Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x,y,z ]+ [x -x, y -y, z -z ]+ [x 3 -x, y 3 -y, z 3 -z ], sehingga [x,y,z] = [,,]+ [-,3-,5-]+ [-,3-,7-] [x,y,z] = [,,]+ [,,3]+ [0,,5] Untuk mengubah persamaan vektoris ke persamaan linier dapat dilakukan dengan cara mencari vektor normal sebagai hasil cross product [,,3] x [0,,5] = [4,-5,]

14 Sehingga: A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0. (9) 4(x ) + (-5)(y ) + (z ) = 0 4x 5y + z - 3 = 0 Contoh : Tentukan titik potong sumbu-sumbu dari persamaan bidang x + 3y + 4z = - Penyelesaian : Berdasarkan catatan no. didapatkan dan, sehingga:, akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0), dan (0,0,3) Z 3 4 Y X 6 Contoh 3: Tentukan persamaan bidang rata melalui tiga titik (,-,), (3,,-), dan (-,3,) Penyelesaian: Latihan: 0 atau 0 0. Tentukan persamaan vektoris, persamaan parameter, dan persamaan linier bidang rata melalui tiga titik: a. (3,4,), (-,-,5), (,7,) b. (3,,4), (,,6), (3,,4) c. (3,,), (,3,), (,-,3)

15 Misalkan n = [A,B,C] adalah vektor normal bidang V = Ax + By + Cz + D = 0,. Apakah empat titik berikut sebidang? Jika sebidang, tentukan persamaan liniernya a. (,,3), (4,,), (-,-,4), (0,0,5) b. (4,,), (-,-,), (0,4,-5), ( 0) c. (3,,), (4,-,-),(,,4), (,,) 3. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik P(,3,-), Q(3,,) dan R(-,,3) 4. Tentukan titik potong sumbu-sumbu dari persamaan bidang y + z = 4 M. Persamaan Normal Bidang Rata berturutturut adalah sudut antara n dengan sumbu-sumbu koordinat ( yang arahnya ditentukan oleh vektor i, j, dan k). Z n cosá n i n i A n k ã cosâ n j n j B n (4) á â j Y cosã n k n k C n i X Atau: [cos, cos, cos ] = [A, B, C]/n = n/n.(5), yaitu vektor satuan yang searah dengan n, juga berarti bahwa cos + cos + cos =. = [cos, cos, cos ] disebut vektor cosinus dari bidang V, atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan p = jarak titik (0,0,0) ke bidang V = 0, dimana p 0 dan X(x,y,z) titik sebarang pada bidang, maka p adalah proyeksi OX = [x,y,z] pada yaitu: p = OX. = [x,y,z]. [cos, cos, cos ] atau xcos + ycos + zcos = p..(6)merupaka persamaan normal (HESSE) dari bidang V = 0. Untuk mengubah bentuk V = Ax + By + Cz + D = 0 ke bentuk normal maka (dari persamaan (4) diperoleh: n(xcos + ycos + zcos ) = -D..(7). Kita selalu menghendaki bahwa D/n= p positif. Jadi, jika D negatif, maka

16 masing-masing ruas persamaan (7) kita bagi +n = + dan kalau D positif, masing-masing ruas kita bagi -n. Contoh: Carilah bentuk normal dari 3x +6y z +6 = 0 Jawab: D = 6 adalah positif, sedangkan n = =. Jadi persamaan normalnya adalah N. Sudut Antara Dua Bidang Rata 6 7 Sudut antara vektor V = A x + B y + C z + D = 0 dan V = A x + B y + C z + D = 0 adalah sudut antara normal-normal n = [A, B, C ] dan n = [A, B, C ] yaitu: : : : : : : Contoh : Sudut antara x + y + z + 3 = 0 dan x + y + z = 0 adalah.. Jawab: 5 : : : : 3 3 Atau cos =arccos Catatan: - Kedudukan sejajar: bila V dan V sejajar, maka n dan n sama (atau berkelipatan), yang berarti bahwa: [A, B, C ] = [A, B, C ], adalah syarat bidang V dan V sejajar, ( sebarang 0). - Kedudukan tegak lurus: bila V tegak lurus V maka vektor normalnya akan saling tegak lurus, n n, atau n.n = 0 A A + B B + C C = 0. Contoh:. Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui (0,,) dan sejajar bidang rata V = x + y +5z = 9!

17 Jawab: V = x + y +5z = 9 memiliki normal [,,5], akan berbentuk x + y + z + D = 0 V melalui (0,,) maka terpenuhi D = D = 0 D = -7 Sehingga persamaan bidang rata V adalah x + y + 5z -7 = 0. Tentukan persamaan bidang rata V yang tegak lurus bidang rata V = x + y + z = serta melalui titik- titik (0,0,0) dan (,,0)! Jawab: Misalkan V = A x + B y + C z + D = 0 V berarti: A A + B B + C C = 0.A +.B +.C = 0 A + B + C = 0 C = -A B.(*) Karena V melewati (0,0,0), maka D = 0, dan melewati (,,0) berarti: A + B = 0 atau A = -B (**) Dari (*) dan (**) C = -A B C = -(-B ) B C = 0 Jadi persamaan V : A + B + C + D = 0 V = -B x + B y + 0z + 0 = 0 atau x +y = 0 O. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar Pandang bidang. Kita akan menentukan jarak antara titik R (x,y,z ) ke bidang V. Selanjutnya kita buat V yang melalui R sejajar dengan V. Jadi vektor normal V dan V sama. Sedangkan jarak dari titik asal 0 ke V adalah p d (tergantung letak V dan V terhadap titik 0). V xcosá ycosâ zcosã p d dan karena R (x,y,z ) pada V, sehingga: x cosá y cosâ z cosã p d atau d x cosá y cosâ z cosã p, adalah jarak titik R (x,y,z ) ke bidang V xcosá ycosâ zcosã p. Jika V berbentuk Ax +By +Cz + D = 0, maka: d Ax By Cz D A B C

18 Contoh:. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang x +6y -3z -3 = 0 Jawab: : : : : : 4:6 7: ;3 3;3 :6 : ;3 = 8:4;9;3 8 4:36: Diketahui V = x + y + z - = 0 dan V = x + y + z 5 = 0, jika R pada V, hitunglah jarak tersebut ke V! Jawab: Ambil sebarang titik R pada V, x = 0, y = 0, z = 5, sehingga R (0,0,5), maka jarak R ke V : : : : : : : : 5; 3 : : 3 P. Berkas Bidang Rata Bidang-bidang V = A x + B y + C z + D = 0 dan V = A x + B y + C z + D = 0 berpotongan menurut sebuah garis lurus. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi persamaan V + V = 0, (dimana dan parameter). Persamaan di atas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong V dan V. Bila 0 kita dapat menulis menjadi V + ( / )V = 0 atau V + V = 0 adalah persamaan berkas bidang melalui garis potong bidang-bidang V = 0 dan V = 0. Jika V dan V sejajar berkas bidang V + V = 0 merupakan himpunan bidang-bidang yang sejajar V = 0 dan V = 0, dapat kita tulis menjadi: A x + B y +C z = k, dimana k = parameter. Contoh: Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0,0,0) serta melalui garis potong bidang-bidang V = x +3y +4 = 0 dan V = x y +z =

19 Jawab: V dapat dimisalkan berbentuk : V + V = 0 : x + 3y (x y + z ) = 0 (*) Karena V melalui (0,0,0), maka terpenuhi: ( ) = = 0 =, kemudian substitusikan = ke (*), maka akan diperoleh: x + 3y (x y + z ) = 0 x + 3y x y + 4z 4 = 0 4x + y + 4z = 0, bidang yang diminta. Q. Jaringan Bidang Rata Pandang bidang-bidang rata V = 0, V = 0, dan V 3 = 0 yang tidak terletak dalam sebuah berkas yang sama (tidak berpotongan pada satu garis ataupun sejajar satu sama lain). Persamaan V + λv + ìv 3 = 0 merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang disamping (pada gambar melalui titik T), dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang. Contoh: Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y + z = serta melalui titik potong bidang-bidang V = x 3 = 0, V = y 4 = 0, V 3 = z = 0 Jawab: Bidang rata V berbentuk V + V + V 3 = 0 x 3 + (y 4) + (z) = 0 x 3 + y z = 0 x + y + z 3-4 = 0 (*) karena sejajar dengan U, maka [,,] adalah normal dari V, atau [,, ] kelipatan dari [,,] sehingga = = substitusikan = = ke (*) sehingga menghasilkan V = x + y + z -7 = 0, yang diminta. Latihan Soal:. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui (-,,4) dan sejajar bidang rata x - 3y-5z +6 = 0

20 . Tentukan persamaan linier bidang rata yang sejajar bidang rata 3x 6y z 4 = 0 dan berjarak 3 dari titik asal (0,0,0). 3. Tentukan persamaan bidang rata melalui (3,-,4) dan tegak lurus bidang-bidang rata 7x 3y + z 5 = 0 dan 4x y z + 9 = 0 4. Tentukan persamaan bidang rata melalui P(,,) dan Q(9,3,6) serta tegak lurus bidang V = x + 6y +6z = 9 R. Persamaan Vektoris Garis Lurus P = (x, y, z ), Q = (x, y, z ), X = (x, y, z) OP = [x 0, y 0, z 0] = [x, y, z ] OQ = [x 0, y 0, z 0] = [x, y, z ] = [x q x p, y q y p, z q z p ] = [x x, y y, z z ] titik sebarang X (x, y, z) pada g berlaku PX = PQ, ( ) OX = OP + PX = OP + PQ OX = [x, y, z ] + [x x, y y, z z ] Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui dua titik P dan Q. PQ 0 yang terletak di g, disebut vektor arah garis lurus. Misalkan sebuah garis lurus melalui satu titik P = (x, y, z ), dan mempunyai vektor arah a = [a,b, c], maka persamaannya menjadi: [x, y, z] = [x, y, z ]+ [a,b,c] x = x + a y = y + b Persamaan Parameter Garis Lurus z = z + c a = x x b = y y c = z z = ; () ; = () ; = (3) dari pers. (), (), dan (3): ; ; ; persamaan linear garis lurus melalui titik P dengan vektor arah a ; ; ; ; ; ; Merupakan persamaan linear garis lurus melalui titik P dan Q Contoh : Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier garis lurus melalui titik (,, ) dan (-, 3, )!

21 Jawab : [x,y,z] = [x, y, z ] + [x x, y y, z z ] [x,y,z] = [,, ] + [--, 3-, -] = [,, ] + [-3,, ] ; ; ; ; ; ;; ; ;3 ; ; 3; ; ; ; ; ; S. Garis Lurus Sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata Persamaan { adalah persamaan persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-bidang dan. Tentukan persamaan garis lurus dari perpotongan bidang-bidang tersebut! Jawab : a = n x n [a,b,c] = [A,B,C ] x [A,B,C ] 0 Titik potong kedua bidang Misalnya XOY, maka z = 0 sehingga x x - Sehingga titik potongnya adalah (,-3,0) Maka persamaan garis tersebut adalah : [x,y,z] = [, -3,0] + [-9,-, 5] T. Kedudukan Dua garis Lurus Jika g = [x,y,z] = [x, y, z ] + [a, b, c ] g = [x,y,z] = [x, y, z ] + [a, b, c ] kasus : g //g (sejajar) maka [a, b, c ] = [a, b, c ]

22 kasus : g berimpit g maka [a, b, c ] = [a, b, c ] dan [x x, y y, z z ] = [a, b, c ] kasus 3 : g berpotongan dengan g 0 Contoh: Tunjukkan bahwa Sedangkan bidang yang memuat g dan g 0 berpotongan dengan Tentukan titik potong serta bidang yang memuat g dan g Jawab : g = [x,y,z] = [x, y, z ] + [a, b, c ] = [x,y,z] = [4, -3, -] + [, -4, 7] g = [x,y,z] = [x, y, z ] + [a, b, c ] = [x,y,z] = [, -, -0] + [, -3, 8] >> Akan dibuktikan apakah g berpotongan dengan g : (kasus 3) Maka terbukti bahwa g dan g berpotongan. 0 >> Akan dicari bidang yang memuat g dan g (bidang yang memuat g dan g ) >> untuk mencari titik potong lihat g dan g, maka:

23 () () (3) Eliminasi () dan () x Substitisikan ke persamaan () Jadi, [x,y,z] = [4, -3, -] + [, -4, 7] = [4, -3, -] + [, -4, 7] = [5, -7, 6], titik potongnya adalah [5,-7,6] U. Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Rata g sejajar bidang V g tegak lurus bidang V g terletak pada bidang V. g sejajar dengan bidang V jika dan hanya jika vektor arah g tegak lurus dengan normal bidang, atau a.n = 0 [a,b,c][a,b,c] = 0 aa + bb + cc = 0. g tegak lurus bidang V jika dan hanya jika vektor arah g = vektor normal bidang rata (atau kelipatannya). a/a = b/b = c/c atau a. a >> [A,B,C] = [a,b,c] 3. g terletak seluruhnya pada bidang V jika terpenuhi a.n = 0 contoh : Buktikan bahwa g : sejajar bidang rata V = x + y + z + 7 = 0 Jawab : g // V jika dan hanya jika a.n = 0 [,-3,].[,,] = [ 3 + ] = 0, maka terbukti bahwa g sejajar V.

24 V. Jarak Antara Dua Garis Lurus g dan g ; ; Tentukan jarak garis lurus g : dan g ;4 : 3 3 Jawab : g : [x,y,z] = [,0,] + [,3,] g : [x,y,z] = [0,4,8] + [,3,] g //g karena [a,b,c ] = [a,b,c ]. Pilih titik yang ada di g, titik P (,0,). Buat bidang yang melalui (,0,) tegak lurus g ;8 a(x x ) +b(y y ) + c(z z ) =0 (x ) + 3(y 0) + (z ) = 0 x 4 + 3y 0 + z = 0 x + 3y + z 6 = 0 3. Mencari titik Q, yaitu titi tembus g pada W g dapat ditulis dalam persamaan parameter x = y = 4 +3 z = 8 + substitusikan persamaan parameter tersebut ke persamaan x + 3y + z 6 = 0, maka ( ) + 3(4+3 ) + (8+ ) 6 = = = 0 4 = -4 = - Substitusi kembali = - ke persamaan parameter x = maka x = (-) = - y = 4 +3 maka y = 4 + 3(-) = z = 8 + maka z = 8 - = 7 sehingga Q (-,,7) 4. Panjang PQ adalah jarak g ke g PQ = PQ = 0

25 PQ = PQ = W. Perpotongan Tiga Bidang Rata Pandang tiga bidang rata V : A x + B y + C z + D = 0 V : A x + B y + C z + D = 0 V 3 : A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 Ketentuan : 0.() 0..() Terdapat tiga kemungkinan kedudukan. Hanya mempunyai satu titik persekutuan (membentuk jaringan bidang), jika tidak memenuhi () dan ().. Mempunyai satu garis lurus (membentuk berkas bidang), jika memenuhi () dan (). 3. Membentik prisma sisi tiga, jika memenuhi () dan persamaan () tidak terpenuhi. Contoh : Tunjukkan bahwa bidang bidang x + y + z + 3 = 0, 3x + y z + = 0, dan x + 4y + 7z -7 = 0 membentuk prisma sisi tiga! Jawab : Persamaan () 0 0

26 0 0 0.(persamaan terpenuhi) Persamaan () (persamaan tidak terpenuhi) Maka ketiga persamaan bbidang tersebut membentuk prisma sisi tiga. Latihan:. Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0,0,0) serta melalui garis potong bidang : V = 3x + y + = 0 dan V = x + y - 3z = 0. Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y + z =serta melalui titik potong bidang-bidang V = x + 3 = 0, V = y = 0, V 3 = z = 0 3. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus berikut berpotongan! Tentukan bidang yang memuat kedua garis berikut, serta titik potong kedua garis berikut! 0 dan 4. Tunjukkan bahwa kedua garis ini sejajar, dan hitunglah jaraknya! dan 5. Tentukanpersamaan vektoris dan persamaan linear garis lurus melalui (,-3,) dan (4,,0) X. Persamaan Bola Persamaan umum bola : 0 Secara simbolis ditulis dengan S = 0 Pusat bola : ( Jari-jari bola : 4 4 ) 4 Catatan : Pada persamaan 0 terdapat tiga kemungkinan terhadap antara lain yaitu: Bila > 0 : bola disebut bola sejati. Bila = 0 : bola berjari-jari nol (titik) 3. Bila < 0 : bola merupakan bola khayal.

27 Contoh:. Tentukan jari-jari dan pusat bola dari 0 0. Tentukan jari-jari dan pusat bola dari 0 0 Jawab:. A = 8, B = -0, C = -6, D = Pusat = ( Jari jari = 4 4 )= ( 4 = 4 0. A =, B =, C = 4, D = 0 Pusat = ( )= ( 4 0 )) = (-4, 5, 3) )= (-, -, -) 4 = = 7 Jari jari = = = = khayal Y. Bola dan Bidang Rata Bola S = 0 berjari-jari r, dengan pusat M. Bidang V = 0, dengan d = jarak pusat M ke bidang.. V memotong bola, jika d < r, perpotongannya sebuah lingkaran.. V menyinggung bola, jika d = r, perpotongannya sebuah titik (bidang menyinggung bola). Bidang singgung di N (x, y, z ) pada bola S = 0 Pusat M ( ) Titik singgung N (x, y, z ) - Jika bola (x a) + (y b) + (z c) = r, maka bidang singgungnya adalah (x a)(x a) + (y b)(y b) + (z c)(z c) = r - Jika bola x + y + z = r, maka bidang singgungnya adalah x x +y y + z z = r 3. V tidak memotong bola, jika d > r Contoh: Bagaimana kedudukan bola S = 0 dan bidang 0. Bila berpotongan, tentukan jari-jari lingkaran perpotongannya! Jawab: Pusat Bola : ( )= ( )) = (-, -, -) Jari jari bola : 4 d = jarak M ke bidang V = 0 yaitu: d = ; : ; : ; : : 4 4 = = = 5

28 ternyata d < r, maka bidang memotong bola, dan perpotongannya sebuah lingkaran. S = 0 NP = (phytagoras) M 3 N 5 P V = 0 Garis g

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor

Lebih terperinci

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat] 1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3

Lebih terperinci

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA

PERSAMAAN BIDANG RATA 1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan

Lebih terperinci

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan

Lebih terperinci

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu

Lebih terperinci

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui

Lebih terperinci

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK 1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu

Lebih terperinci

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,

Lebih terperinci

JARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2

JARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2 1 KEGIATAN BELAJAR 2 JARAK DUA TITIK Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menghitung jarak dua titik di bidang, 2. menghitung jarak dua titik di ruang, 3. menentukan

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUS

MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUS MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUS Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang Dosen Pengampu : NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd Disusun Oleh Yani Novita Murni

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA 1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.

Lebih terperinci

IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd

IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian

Lebih terperinci

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :

Lebih terperinci

SISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang.

SISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang. 1 KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan Berikut ini kita akan

Lebih terperinci

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang

Lebih terperinci

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R . Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -), maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + )b

Lebih terperinci

Geometri dalam Ruang, Vektor

Geometri dalam Ruang, Vektor Prodi Matematika FMIPA Unsyiah July 11, 2011 Koordinat Cartesius: Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu x, sumbu y dan sumbvu z); Titik nol ketiga garis berada pada titik O yang sama yang

Lebih terperinci

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis

Lebih terperinci

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,

Lebih terperinci

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang

Lebih terperinci

VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran

VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang

Lebih terperinci

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang

Lebih terperinci

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada

Lebih terperinci

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah

Lebih terperinci

BAB II BESARAN VEKTOR

BAB II BESARAN VEKTOR BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan

Lebih terperinci

Persamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r.

Persamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r. PERSAMAAN LINGKARAN Pusat Lingkaran (0, 0) Melalui titik (x, y ) pada lingkaran Jika diketahui gradient m xx y mx r yy r m x y r Persamaan Garis singgung Melalui titik (x, y ) diluar lingkaran Jari Jari

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara

kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara Sistem Koordinat Cartesius.. Geometri Analitik Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan

Lebih terperinci

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik

Lebih terperinci

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.

Lebih terperinci

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =

Lebih terperinci

KEGIATAN BELAJAR SISWA

KEGIATAN BELAJAR SISWA KEGIATAN BELAJAR SISWA Bidang studi : Matematika Satuan Pendidikan: SLTP Kelas: 3 (tiga) Caturwulan: 1 (satu) Pokok Bahasan: Transformasi Subpokok Bahasan: Refleksi Waktu: 150 Menit Endang Mulyana 2003

Lebih terperinci

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA 1 KEGIATAN BELAJAR 6 SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah

Lebih terperinci

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,

Lebih terperinci

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : 1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan

Lebih terperinci

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian : 1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah

Lebih terperinci

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E. 1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = = VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi

Lebih terperinci

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar.

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

Bab 1 : Skalar dan Vektor

Bab 1 : Skalar dan Vektor Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

Perkalian Titik dan Silang

Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut

Lebih terperinci

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,

Lebih terperinci

MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6

Lebih terperinci

SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd

SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1 Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Yogyakarta 2010 Letak Suatu Titik pada Garis Lurus O g

Lebih terperinci

KESEIMBANGAN BENDA TEGAR

KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Pendahuluan. Dalam cabang ilmu fisika kita mengenal ME KANIKA. Mekanika ini dibagi dalam 3 cabang ilmu yaitu : a. KINE MATI KA = Ilmu

Lebih terperinci

IRISAN DUA LINGKARAN. Tujuan Pembelajaran. ). Segmen garis dari P ke Q disebut sebagai tali busur. Tali busur ini memotong tegak lurus garis C 1

IRISAN DUA LINGKARAN. Tujuan Pembelajaran. ). Segmen garis dari P ke Q disebut sebagai tali busur. Tali busur ini memotong tegak lurus garis C 1 K- matematika K e l a s I IRISAN DUA LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan persamaan dan panjang tali busur dua lingkaran

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009 Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada

Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada Parabola 6.1. Persamaan Parabola Bentuk Baku Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada bidang sedemikian hingga titik itu berjarak sama dari suatu titik tertentu yang disebut

Lebih terperinci

GESERAN atau TRANSLASI

GESERAN atau TRANSLASI GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.

Lebih terperinci

. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI

. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI Suatu titik menyatakan letak atau posisi dari sesuatu yang tidak mempunyai ukuran, maka titik tidak mempunyai ukuran. Dikatakan bahwa titik berdimensi nol (tak

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Titik, Garis, dan Bidang Pada geometri, tepatnya pada sistem aksioma, terdapat istilah tak terdefinisi. Istilah tak terdefinisi adalah istilah dasar yang digunakan dalam membangun

Lebih terperinci

PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN Bab III : Lingkaran 30 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak ang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran 3..

Lebih terperinci

Bab 1. Irisan Kerucut

Bab 1. Irisan Kerucut Tahun Ajaran 01 01-013/Genap Bab 1. Irisan Kerucut e=0 e 1 A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c =

Lebih terperinci

dengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya

dengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya 1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA VEKTOR

MODUL MATEMATIKA VEKTOR MODUL MATEMATIKA VEKTOR Kementerian Pendidikan Nasional Universitas Negeri Manado Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika 007 Kata Pengantar Modul pembelajaran ini dirancang

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait

Lebih terperinci

BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.

BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat. .. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya

Lebih terperinci

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II DIKTAT MATEMATIKA II (PERSAMAA GARIS DA PERSAMAA BIDAG DATAR) Drs. A. ABABA PURAWA, M.T JURUSA PEDIDIKA TEKIK MESI FAKULTAS PEDIDIKA TEKOLOGI DA KEJURUA UIVERSITAS PEDIDIKA IDOESIA 004 PERSAMAA GARIS DA

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal

Lebih terperinci

Vektor Ruang 2D dan 3D

Vektor Ruang 2D dan 3D Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 TINGKAT PROVINSI

SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 TINGKAT PROVINSI SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2005 TINGKAT PROVINSI Bidang Matematika Bagian Pertama Waktu : 90 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT

Lebih terperinci

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52 FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. BAB II V E K T O R Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat

Lebih terperinci

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung rusuk kubus = a volume = a³ panjang diagonal bidang = a 2 luas = 6a² panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume = π r² t luas = 2πrt Prisma

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana

Lebih terperinci

Persamaan Bidang Datar Q P

Persamaan Bidang Datar Q P Bab II Bidang Datar Perhatikan Persamaan Bidang Datar X C O Z Q P Misalkan P adalah sebarang titik pada bidang v Q adalah proyeksi O pada bid v shg OQ tegaklurus v Misal P(x,y,z) berarti absis x, ordinat

Lebih terperinci

Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier

Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Materi W4a Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Kelas X, Semester 1 A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel www.yudarwi.com A. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel Bentuk umum : ax

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat, VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus

Lebih terperinci

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979 Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

GEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd

GEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd GEOMETRI ANALITIK RUANG Dr. Susanto, MPd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 2012 KATA PENGANTAR Puji

Lebih terperinci

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR. a. Unsur-Unsur Vektor. b. Notasi Vektor

MATEMATIKA. Sesi VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR. a. Unsur-Unsur Vektor. b. Notasi Vektor MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR Vektor adalah ruas garis yang memiliki nilai dari arah. Nilai vektor disini adalah panjang vektor. Vektor adalah notasi

Lebih terperinci

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan

Lebih terperinci

PENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm

PENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm PENGUKURAN BESARAN A. Pengertian Mengukur Mengukur adalahmembandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang dijadikan standar satuan. Misalnya kita mengukur panjang benda, dan ternyata panjang benda

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).

Lebih terperinci

4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) }

4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) } 1. Diketahui himpunan P = ( bilangan prima kurang dari 13 ) Banyak himpunan bagian dari P adalah... 5 25 10 32 P = {Bilangan prima kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11} n(p) = 5 2. Dari diagram Venn di bawah,

Lebih terperinci

Geometri Ruang (Dimensi 3)

Geometri Ruang (Dimensi 3) Geometri Ruang (Dimensi 3) Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung volume = a³ luas = 6a² rusuk kubus = a panjang diagonal = a 2 panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume =

Lebih terperinci

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)

Lebih terperinci

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan BB TRIGONOMETRI RINGKSN MTERI. Perbandingan C a B c b a proyektor b proyektum c proyeksi b a + c sin b a cos b c tan sin a cos c. Sifat-sifat Kwadran csc sec cot b sin a b cos c c tan a sin + cos tan +

Lebih terperinci