Sumber:

Transkripsi

1 Transformasi angun Datar Geometri transformasi adalah teori ang menunjukkan bagaimana bangun-bangun berubah kedudukan dan ukuranna menurut aturan tertentu. Contoh transformasi matematis ang paling umum aitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (pemutaran), dan dilatasi (memperbesar atau memperkecil). Sebuah bangun dapat direfleksikan terhadap sebuah garis. angun dirotasikan dengan diputar pada suatu titik ang berada di luar atau di dalamna. Saat ditranslasi, bangun tersebut bergeser ke arah tertentu, sedangkan bentukna tidak berubah. Suatu bangun didilatasi dengan cara memperbesar atau memperkecil ukuran bangun tanpa mengubah bentuk benda seperti tampak pada gambar botol infus di samping. Penjelasan mengenai transformasi bangun datar akan kita pelajari pada uraian berikut. Sumber: otol infus. Transformasi Uraian Materi 1. Pengertian Transformasi Transformasi adalah aturan secara geometris ang dapat menunjukkan bagaimana suatu bangun dapat berubah kedudukan dan ukuranna berdasarkan rumus tertentu. Secara umum transformasi dibedakan menjadi dua aitu transformasi isometri dan dilatasi. Transformasi isometri adalah transformasi ang tidak mengubah ukuran, misalna pergesaran, pencerminan, dan pemutaran, sedangkan dilatasi adalah transfomasi ang mengubah ukuran benda. Transformasi dapat dipandang sebagai pemetaan dari himpunan titik ke himpunan titik. iasana titik ang dipetakan adalah (, ) dengan titik hasil pemetaan atau baanganna adalah ( ', ' ). 2. Jenis-Jenis Transformasi eberapa jenis transformasi ang akan kita pelajari sebagai berikut. a. Translasi (pergeseran) b. Refleksi (pencerminan) c. Rotasi (perputaran) d. Dilatasi (perkalian). Memahami Jenis-Jenis Transformasi 1. Translasi (pergeseran) Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi ang memindahkan setiap titik dari suatu posisi ke posisi ang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu. rah pemindahan translasi aitu sepanjang ruas garis searah sumbu dan ruas garis searah sumbu. Matematika I SMK/MK 113

2 Translasi T memetakan titik ke titik ' ( ', ' ) dengan aturan ' ( ', ' ) sebagai berikut. titik digeser sejauh a titik digeser sejauh b b ' ( ', ' ) a Diperoleh ' ( + a, + b). 1. Titik (5, 6) ditranslasi oleh T. Tentukan titik hasil translasina! ' (5,6) + (2,3) + T 1 (5 + 2, 6 + 3) (7, 9) Hasil translasi adalah ' (7, 9). 2. Diketahui segitiga C dengan titik sudut (1, 2), (3, 4), dan C (5, 7). Tentukan koordinat segitiga C jika digeser oleh T Jadi, peta segitiga C adalah ' ' C ' dengan titik sudut ' (2, 4), ' (4, 6), C ' (6, 9). Translasi Suatu angun Translasi juga disebut pergeseran. Untuk menggeser bangun diperlukan jarak dan arah pergeseranna! 1. C C ' ΔC digeser menurut garis l sehingga '. Dengan demikian, akan diperoleh Δ ' ' C ', sehingga ' ' l CC '. Jadi, ' ', C ' ' C ' ' ' dan C ' C ' dan diperoleh D D ' bahwa ΔC Δ ' ' C '. 2. Translasikan segi empat C ' C ' CD menurut diagonal C sehingga ' C. ' m Perhatikan dari contoh. Ukur apakah ' ', C ' C ' dan C ' C '! Kemudian dengan menggunakan busur apakah C ' ' C ' ' C ' ' C dan C ' ' C '. Jika semua benar maka segmen garis sebelum dan sesudah digeser sama panjang. Demikian pula sudut sebelum dan sesudah digeser tetap sama besar. 114 Geometri Dimensi Dua

3 2. Refleksi Pencerminan adalah cara menggambarkan baangan cermin suatu bangun. aangan cermin diperoleh dengan cara sebagai berikut. a. Tentukan terlebih dahulu sumbu simetri atau sumbu cerminna. b. Dari tiap-tiap titik ang hendak dicerminkan ditarik garis ang tegak lurus dengan sumbu simetri. c. Perhatikan bahwa jarak titik semula terhadap sumbu simetri harus sama dengan jarak titik baangan terhadap sumbu simetri. ( ', ' ) sumbu simetri sumbu simetri sumbu simetri (a) (b) (c) Pencerminan terhadap garis atau sumbu dibedakan menjadi tiga macam aitu: 1) aangan Titik Titik apabila dicerminkan terhadap ' ( ', ' ) suatu garis l atau sumbu l akan menghasilkan baangan berupa titik ' ( ', ' ). 2) aangan Garis l ( 1, 1 ) ' ( 1 ', 1 ' ) Hasil pencerminan ruas garis terhadap garis l atau sumbu l akan menghasilkan baangan berupa ruas garis. ( 2, 2 ) ' ( 2 ', 2 ' ) 3) aangan angun Pencerminan suatu bangun terhadap garis l atau sumbu l dilakukan dengan mencerminkan titik sudut-titik sudutna terlebih dahulu. Kemudian titik sudut hasil pencerminan dihubungkan menjadi bangun ang merupakan hasil pencerminan. ' ( 1, 1 ) ' ( 1 ', 1 ' ) ( 2, 2 ) ' ( 2 ', 2 ' ) C( 3, 3 ) C ' ( 3 ', 3 ' ) Matematika I SMK/MK 115

4 Sumbu simetri atau sumbu cermin pada refleksi dibedakan menjadi beberapa macam sebagai berikut. a. Pencerminan terhadap Sumbu Jika titik dicerminkan terhadap sumbu dan baanganna adalah ' ( ', ' ) maka diperoleh persamaan: + + ' ( ', ' ) Jadi, matriks M adalah matriks operator pencerminan terhadap sumbu. Tentukan pencerminan titik P (5, 2) terhadap sumbu! Misalna hasil pencerminan adalah, diperoleh: P ' (5, 2) secara grafik diperoleh seperti pada gambar di samping. b. Pencerminan terhadap Sumbu Jika titik dicerminkan terhadap sumbu dan baanganna adalah ' ( ', ' ) maka diperoleh persamaan: + + ' ( ', ' ) P (5, 2) Jadi, matriks M terhadap sumbu. adalah matriks operator pencerminan Tentukan pencerminan titik Q ( 3, 4) terhadap sumbu. Misalna hasil pencerminan adalah, diperoleh seperti pada gambar di atas. Q ( 3, 4) Q (3, 4) secara grafik diperoleh 116 Geometri Dimensi Dua

5 c. Pencerminan terhadap Garis Jika titik dicerminkan terhadap garis dan baanganna adalah ' ( ', ' ) maka diperoleh persamaan: + + garis Jadi, matriks M adalah matriks operator pencerminan terhadap sumbu. ' ' ( ', ' ) ' T ( 2, 3) 3 Tentukan hasil pencerminan titik R ( 2, 3) terhadap garis! Misalna hasil pencerminan adalah, diperoleh secara grafik diperoleh seperti pada gambar di samping. d. Pencerminan terhadap Garis Jika titik dicerminkan terhadap garis dan baanganna adalah ' ( ', ' ) maka diperoleh persamaan: garis 3 T ' (3, 2) ' ( ', ' ) ' Jadi, matriks M adalah matriks operator pencerminan terhadap sumbu. ' ' Tentukan hasil pencerminan titik S (5, 1) terhadap garis! Misalna hasil pencerminan adalah, diperoleh ang secara grafik diperoleh seperti pada gambar di samping. 5 Matematika I SMK/MK 117

6 e. Pencerminan terhadap Titik sal Jika titik dicerminkan terhadap titik (, ) dan baanganna adalah ' ( ', ' ) maka diperoleh persamaan: + + Jadi, matriks M O adalah matriks operator pencerminan terhadap titik (, ). Tentukan hasil pencerminan titik T ( 3, 3) terhadap titik asal! Misalna hasil pencerminan ' ' ( ', ' ) T ' ( 3, 3) ' adalah T ' (3, 3)) secara grafik diperoleh seperti pada gambar di samping: Diketahui segitiga C dengan titik sudut (1, 2), (3, 5), dan C (4, 1). Tentukan baangan segitiga C dengan aturan sebagai berikut! a. pencerminan terhadap sumbu, b. pencerminan terhadap sumbu, dan c. pencerminan terhadap titik pusat O (, ). a. Terhadap sumbu c. Terhadap titik pusat O (, ) b. Terhadap sumbu Jadi, titik-titik hasil pencerminanna adalah: a. terhadap sumbu : P ' (1, 2), Q ' (3, 5), dan R ' (4, 1) b. terhadap sumbu : P ' ( 1, 2), Q ' ( 3, 5), dan R ' ( 4, 1) c. terhadap titik pusat (, ): ' ( 1, 2), ' ( 3, 5), dan R ' ( 4, 1) 118 Geometri Dimensi Dua

7 2. Rotasi aangan akibat rotasi ditentukan oleh pusat dan besar sudut rotasi. Rotasi positif atau sudut putar positif (R α ) adalah rotasi ang putaranna berlawanan dengan arah putaran jarum jam dan sebalikna jika putaranna searah putaran jarum jam maka disebut rotasi negatif atau sudut putaranna negatif (R ( α) ). a. Rotasi dengan Pusat O (, ) Rotasi dengan pusat O (, ) dan besar sudut putaran α dituliskan dalam R [, α], dengan matriks rotasi: α α α α α Titik dirotasikan dengan rotasi R [, α], dengan pusat rotasi O (, ) menghasilkan titik baangan ' ( ', ' ). Dengan memerhatikan gambar di samping diperoleh hubungan: ' R α α α α α Dari hubungan di atas didapatkan persamaan: α α α α ' ' ( ', ' ) α ' b. Rotasi dengan Pusat P ( p, p ) Titik dirotasikan dengan rotasi R [P, α] menghasilkan titik baangan ' ( ', ' ), ang berpusat di titik P ( p, p ). Dengan memerhatikan gambar di samping diperoleh hubungan: ' P R α ( P) ' ' ( ', ' ) α α α α Dari hubungan di atas didapatkan persamaan: ' {( p ) cos α ( p ) sin α} p α p P ( p, p ) ' p ' {( p ) sin α + ( p ) cos α} p Diketahui titik (4, 5), tentukan baanganna akibat rotasi 9 dengan titik pusat O dan dengan titik pusat P (1, 1). Rotasi dengan titik pusat Rotasi dengan titik pusat P (1, 1) O (, ) dan α 9. dan α Jadi, baangan titik (4, 5) akibat rotasi 9 dengan titik pusat O (, )adalah ' ( 5, 4), dan baangan titik (4, 5) akibat rotasi 9 dengan titik pusat P (1, 1) adalah ' ( 3, 4). Matematika I SMK/MK 119

8 Rotasi pada angun ' ' O a ΔO dirotasikan sebesar a, dengan pusat O. Posisina akan menjadi ' O ' ' dengan putaran berlawanan jarum jam. Untuk merotasikan O menjadi ' O ' ', dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Putar O sejauh a dengan pusat O. Putar O sejauh a dengan pusat O. Maka O menjadi O ' ' Diperoleh O ' O ' a dan ' ' O a ' agaimana atau di mana letak Δ ' O ' bila ΔO diputar dengan sudut putaran a dan pusat O, sedangkan arah putaran searah dengan putaran jarum jam? Putar O sejauh a dengan pusat O sehingga menempati O '. Putar O sejauh a dengan pusat O sehingga menjadi O '. Jadi, menjadi ' '. Dari rotasi ang dilakukan daerah O menjadi O ' ' maka ' '. Rotasikan ΔC dengan sudut putar 6, dengan pusat di titik O di luar daerah ΔC dan arah putaran berlawanan dengan putaran jarum jam. Dalam merotasikan ΔC, O dirotasikan 6 dengan pusat O menjadi O '. Sisi O dirotasikan 6 dengan pusat O menjadi O ' dan demikian pula OC dirotasikan 6 dengan pusat OC '. Jadi, O O ', O O ', dan OC OC ', besar O ' O ' COC ' 6, dan ' ', C ' C ' dan C ' C '. C ' O 6 ' ' C Tugas Mandiri Salah satu aplikasi dilatasi adalah perancangan mobil. Di bidang ini dilatasi disebut skala. ukalah internet. Coba carilah informasi serta gambar mengenai replika mobil. Cari pula informasi gambar mobil ang telah jadi. andingkan data ukuran replika dan mobil tersebut. Tentukan di mana letak penggunaan dilatasi pada perancangan tersebut. 3. Dilatasi (Perkalian) a. Dilatasi dengan Pusat O (,) aangan akibat dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala (faktor perkalian). Dilatasi dengan pusat O (, ) dan faktor skala k, dirumuskan dengan [O, k]. Segitiga C didilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala k menghasilkan ' ' C '. Diperoleh hubungan: ' ' k k Dalam hitungan matriks dirumuskan: C ' C ' ' 12 Geometri Dimensi Dua

9 b. Dilatasi dengan Pusat P ( p, p ) Jika titik didilatasikan dengan titik pusat P ( p, p ) dan faktor skala k menghasilkan titik ' ( ', ' ) maka diperoleh hubungan: + + Diketahui titik (5, 9), tentukan hasil baanganna karena dilatasi [O, 2] dan karena dilatasi [P, 3] dengan titik pusat P [2, 1]! Dilatasi [O, 2] Dilatasi [P, 3] p C ' C ' P ( p, p ) p ' + + Jadi, titik baangan hasil dilatasi adalah: ' (1, 18) dan ' (11, 25). Dilatasi Suatu angun Dilatasikan bangun ΔC dengan pusat O dengan faktor dilatasi C C ' O ' ' Δ ' ' C ' hasil dilatasi ΔC dengan (O, sebagai berikut. O ' ' ' O, O ', ' C ' O, dan OC ' C, dan ' C ' // ' ', C // ' C ', dan C // ' C ', ', ', dan C C'. Jadi, Δ ' ' C ' ΔC. O, C, ) diperoleh hasil Matematika I SMK/MK 121

10 Latihan 3 Kerjakan soal-soal berikut! 1. Diketahui segitiga C dengan titik-titik (1, 1), (3, 5), dan C (5, 2). Tentukanlah baangan segitiga tersebut setelah digeser oleh T 2. Diketahui segi empat C dengan titik-titik sudut (1, 2), (1, 5), C (3, 4), dan D (5, 1). Tentukanlah baangan segi empat CD tersebut akibat pencerminan terhadap sumbu! 3. Diketahui segitiga C dengan titik-titik sudut (, 1), (3, ), dan C (5, 4). Tentukanlah baangan segitiga tersebut akibat pencerminan terhadap titik asal! 4. Tentukanlah baangan titik (6, 3) akibat diputar dengan aturan sebagai berikut! a. 9 dengan pusat O (, ) b. 18 dengan pusat O (, ) c. 9 dengan pusat P (1, 2) d. 9 dengan pusat P (1, 2) 5. Dengan menggunakan matriks operator, tentukan baangan segitiga PQR dengan titik sudut P (2, 3), Q ( 1, 5), dan R (2, 2) akibat pencerminan! a. Terhadap sumbu. d. Terhadap garis. b. Terhadap sumbu. e. Terhadap titik asal. c. Terhadap garis. 6. Diberikan segitiga sama kaki C dengan 6 cm dan C 5 cm. Titik O di tengah C. Tentukan hasil dilatasi ΔC dengan pusat O dan faktor dilatasi 2! 7. Diberikan persegi CD dengan sisi 1 cm. Titik O perpotongan C dan D. Tentukan hasil dilatasi persegi CD dengan pusat O dan faktor dilatasi 8. Segitiga C siku-siku di, 6 cm dan C 8 cm. Titik O di tengah C. Gambarkan hasil dilatasi ΔC dengan pusat O dan faktor dilatasi 3! 9. Jajaran genjang CD dengan 8 cm dan D 6 cm. Gambarkan hasil dilatasi jajaran genjang tersebut apabila memunai pusat dan faktor dilatasi 2! 1. Laang-laang PQRS dengan diagonal PR dan QS berpotongan di O sehingga OP OR 2 cm, OQ 4 cm, dan OS 2 cm. Tentukan hasil dilatasi laanglaang PQRS dengan pusat O dan faktor dilatasi 2! Rangkuman 1. Sudut a. Sudut adalah bangun ang dibentuk oleh dua sinar garis ang bersekutu pada titik pangkal. b. Menurut besarna sudut dibedakan sudut lancip besarna kurang dari 9, sudut siku-siku besarna tepat 9 dan sudut tumpul sudut ang besarna lebih dari 9. c. ila ada sudut ang besarna tertentu maka kita memperoleh: 1) peniku sudut 9 2) pelurus sudut 18 3) pemutar sudut Geometri Dimensi Dua

11 d. Satuan sudut 1) Satuan sudut 1 (satu derajat) adalah satuan sudut pusat lingkaran ang menghadap busur sepanjang keliling lingkaran. 1 6' (menit) : 1' 6'' (detik). 2) Satuan sudut 1 radial 1 radian adalah besar sudut pusat lingkaran ang menghadap busur sepanjang jari-jari lingkaran. π radian π rad rad; 1 rad 57, 324 atau 1 rad 57 19'26''. 3) Satuan sudut 1 Gon,9. e. Macam-macam bangun 1) Segi banak adalah kurva tertutup bersisi n. 2) Segi banak beraturan adalah segi banak ang semua sisina sama panjang dan besar setiap sudut dalam tidak sama besar. 3) Segi banak tak beraturan adalah segi banak semua sisi tidak sama panjang begitu pula besar sudut dalam tidak sama besar. 4) Macam-macam segitiga a) Segitiga lancip sembarang. b) Segitiga siku-siku sembarang. c) Segitiga tumpul sembarang. d) Segitiga lancip sama kaki. e) Segitiga siku-siku sama kaki. f) Segitiga tumpul sama kaki. g) Segitiga sama sisi. f. Macam-macam segi empat 1) Segi empat sembarang 2) Trapesium sembarang, trapesium siku-siku, dan trapesium sama kaki. 3) Laang-laang 4) Jajar genjang, persegi, persegi panjang, belah ketupat. 5) Luas daerah bangun ang dimaksud adalah luas daerah di dalam bangunan tersebut dengan formula atau rumus sebagai berikut. No. Nama angun Luas Daerah Keliling π 1. Segitiga L alas tinggi K S 1 + S 2 + S 3 2. Persegi panjang L panjang lebar K 2(p + ) 3. Persegi L sisi sisi K 4s 4. Jajar genjang L alas tinggi K 2S 1 + 2S 2 5. elah ketupat L diagonal diagonal K 2S 1 + 2S 2 6. Laang-laang L diagonal diagonal K 2S 1 + 2S 2 7. Trapesium L ( + CD) t K 2 ( + CD) + t 8. Lingkaran L πr 2 K 2πR 2. Transformasi angun Suatu bangun dapat berubah tempat atau besarna dengan cara: a. Pencerminan: bangun diceminkan terhadap garis tertentu. esar bangun tetap, letakna simetri terhadap cermin. b. Translasi : bangun digeser dengan arah dan jarak tertentu. angun tetap, jarak menurut jauh penggeseran. c. Dilatasi : bangun diperbesar atau diperkecil dari pusat titik dilatasi. esar bangun berubah, ukuran sisisisina berubah sesuai dengan faktor dilatasi. d. Rotasi : bangun berpindah tempat sesuai dengan pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi. Matematika I SMK/MK 123