Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
|
|
- Sucianty Santoso
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut antara keduanya. Disimbolkan sebagai berikut. A B A B cos, 0 Perhatikanlah bahwa A B cos merupakan bilangan biasa (skalar). Oleh karena itu, AB disebut juga sebagai perkalian skalar. Secara grafis, misalnya vektor A dan vektor B digambarkan sebagai berikut. B Untuk mendefinisikan perkalian titik dari vektor A dan B, atau A B maka vektor B diproyeksikan terhadap vektor A. Proyeksi ini adalah komponen dari vektor B yang sejajar dengan vektor A, yang besarnya sama dengan θ B A B cos. θ B cos A Dengan demikian, A B didefinisikan sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen vektor B yang sejajar dengan vektor A. Secara matematis dituliskan sebagai berikut. A B A B cos, 0 Bagaimana jika perkalian titik antara vektor A dan vektor B dibalik menjadi B A? Secara grafis, proyeksi vektor A terhadap vektor B dapat dilihat pada gambar di bawah ini. 1
2 A cos B Dari gambar di atas, perkalian BA didefinisikan sebagai besar vektor B dikalikan dengan komponen vektor A yang sejajar dengan vektor B. Secara matematis dituliskan sebagai berikut. θ A B A B A cos, 0 HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN TITIK 1. AB B A Hukum komutatif untuk hasil kali titik 2. A B C AB A C Hukum distributif 3. A B A B A B A B m m m m, dimana m adalah sebuah skalar 4. ii jj kk 1 ij jk ki 0 5. Jika A A1 i A2 j A3k dan B B1i B2 j B3k, maka A B A B A B A B A A A A A A 2 B B B B B B Jika AB 0 dan A beserta B bukanlah vektor nol, maka A dan B tegak lurus PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN TITIK 1. Akan dibuktikan bahwa AB B A (Hukum Komutatif untuk hasil kali titik). AB A B cos B A cos BA Jadi, AB B A (terbukti). 2
3 2. Akan dibuktikan bahwa Perhatikan gambar berikut. A B C AB B C B C B + C E F G A Misalkan a sebuah vektor satuan dalam arah A, maka proyeksi B C pada A proyeksi B pada A proyeksi C pada A B C a Ba Ca kedua ruas dikalikan dengan A diperoleh B C a A Ba A Ca A A Karena a, maka a A A sehingga diperoleh A B C A BA CA Jadi, A B C AB B C (terbukti). 3. Akan dibuktikan bahwa A B A B A B A B sebuah skalar a. Akan dibuktikan bahwa m A B m m AB m A B cos m A B cos ma B m m m m, dimana m adalah A B b. Akan dibuktikan bahwa m AB A mb m AB m A B cos A m B cos A mb 3
4 c. Akan dibuktikan bahwa m AB A B m AB m A B cos A B cos m AB m Dari poin a, b, c dapat disimpulkan bahwa AB AB A B A B (terbukti). m m m m m 4. Akan dibuktikan bahwa ii jj kk 1 dan ij jk ki 0 Berdasarkan gambar di samping, terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor z yang sama adalah 0, sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang berlainan adalah 90. Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua i k j y vektor, akan dibuktikan bahwa x ii jj kk 1 dan ij jk ki 0 a. Akan dibuktikan bahwa ii jj k k 1 ii i i cos jj j j cos kk k k cos Jadi, ii jj k k 1 (terbukti). b. Akan dibuktikan bahwa ij jk k i 0 ij jk ki i j cos j k cos k i cos Jadi, ij jk k i 0 (terbukti). 4
5 5. Jika A A1 i A2 j A3k dan B B1i B2 j B3k a. Akan dibuktikan bahwa A B A1 B1 A2 B2 A3 B3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 AiB i B j B k A j Bi B j B k A kbi B j B k AB i j k A Bii A B ij A B ik A B ji A B jj A B jk A Bki A B kj A B kk Berdasarkan hukum 4 diketahui bahwa, ii jj kk 1 dan ij jk ki 0 sehingga AB A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B (terbukti). Jadi, b. Akan dibuktikan bahwa A A A A A A 2 1) Akan dibuktikan bahwa A A A A A Dengan menggunakan hasil pada poin a diperoleh A A A A A A AA i j k i j k A A A A A A A A A ) Akan dibuktikan bahwa A A A 2 Dengan menggunakan definisi perkalian vektor diperoleh AA A A cos0 A A A 2 1 Berdasarkan hasil 1) dan 2) jadi A A A A A A 2 (terbukti). c. Akan dibuktikan bahwa B B B B B B ) Akan dibuktikan bahwa B B B B B Dengan menggunakan hasil pada poin a diperoleh 5
6 B B B B B B BB i j k i j k B B B B B B B B B ) Akan dibuktikan bahwa B B B 2 Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh BB B B cos0 B B B Berdasarkan hasil 1) dan 2) jadi B B B B B B 2 (terbukti). 6. Akan dibuktikan bahwa Jika AB 0 dan A beserta B bukanlah vektor nol, maka A dan B tegak lurus Dengan menggunakan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh AB 0 A B cos 0 cos 0 ( karena diketahui bahwa A 0 dan B 0) 90 Sudut antara vektor A dan B adalah 90, sehingga A B. Jadi, jika AB 0 dan A beserta B bukanlah vektor nol, maka A dan B tegak lurus (terbukti). CONTOH SOAL 1. Jika A i 2j dan B 2i 3j, tentukan: a. A B b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B Penyelesaian a. AB i 2j 2i 3j 6
7 b. Berdasarkan definisi perkalian titik dua vektor diperoleh AB A B cos A B cos A B Dari poin a diketahui bahwa A B 4. Selanjutnya, A B Sehingga AB cos A B arcsin 0, karena tandanya (negatif) maka ada dikuadran II sehingga 2. Jika A i 3j 2k dan B 4i 2j 4k, tentukan: a. A B b. A c. B d. 3A 2B e. 2A B A 2B Penyelesaian: 7
8 a. AB i 3j 2k 4i 2j 4k A b c. B d. 3A 2B 3i 3j 2k 24i 2j 4k 3i 9j 6k 8i 4j 8k 11i 5j 2k 3A 2B e. 2A B 2i 3j 2k 4i 2j 4k 2i 6j 4k 4i 2j 4k 6i 4j 0k 6i 4j i 3j 2k -8i 4j-8k A - 2B i 3j 2k 2 4i 2j 4k 7i 7j-10k 2A BA 2B 6i 4j 0k-7i 7j-10k
9 B. HASIL KALI SILANG ATAU VEKTOR Hasil kali silang atau vektor dari A dan B adalah sebuah vektor C A B (Dibaca A silang B ). Besarnya A B didefinisikan sebagai hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut antara keduanya. Arah vektor C A B tegak lurus pada bidang yang memuat A dan B sedemikian rupa sehingga A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan-kanan. Disimbolkan sebagai berikut. A B A B sin u, 0 Dimana u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari A B. HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN SILANG 1. AB B A Hukum komutatif tidak berlaku untuk hasil kali silang 2. A B C A B A C Hukum distributif 3. A B A B A B A B m m m m, dimana m adalah sebuah skalar 4. ii j j kk 0 i j k, jk i, ki j 5. Jika A A1 i A2 j A3k dan B B1i B2 j B3k, maka A B A A A B B B A2 A3 A1 A3 A1 A2 i j k B B B B B B Besarnya A B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B 7. Jika AB 0 dan A beserta B bukanlah vektor nol, maka A dan B sejajar. PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN SILANG 1. Akan dibuktikan bahwa AB B A Untuk membuktikan hukum 1 ini, akan ditunjukkan secara grafis sebagai berikut. 9
10 A B = C θ B A θ B B A = D A Gambar (a) Gambar (b) Perhatikan gambar (a) C = A B = A B sin θ Arah vektor C sedemikian rupa sehingga A, B dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan. Perhatikan gambar (b) D = B A = B A sin θ Arah vektor D sedemikian rupa sehingga B, A dan D membentuk sebuah sistem tangan kanan Dari uraian di atas diketahui bahwa D besarnya sama dengan C. Namun demikian, dilihat dari gambar (a) dan (b) D dan C memiliki arah yang berlawanan. Sehingga, C = -D atau A B = - B A Jadi hukum komutatif tak berlaku untuk hasil kali silang. 2. Akan dibuktikan bahwa A (B + C) = A B + A C A (B + C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) + (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) [(B + C )i + (B + C )j + (B + C )k] = A B + C A B + C A B + C A = B + C A A i B + C B + C A A j + B + C B + C A B + C k = [A (B + C ) A (B + C )]i [A (B + C ) A (B + C )]j +[A (B + C ) A (B + C )]k = [A B + A C A B A C ]i [A B + A C A B A C ]j +[A B + A C A B A C ]k = [A B A B ]i [A B A B ]j + +[A B A B ]k +[A C A C ]i [A C A C ]j + [A C A C ]k 10
11 = A A i A A j + A A k + A A i A A j + A A k B B B B B B C C C C C = A A A + A A A B B B C C C = [(A i + A j + A k) + (B i + B j + B k)] + [(A i + A j + A k) + (C i + C j + C k)] = A B + A C (terbukti). C 3. Akan dibuktikan bahwa m(a B) = (m A) B = A (mb) = (A B)m di mana m adalah sebuah skalar a. Akan dibuktikan bahwa m(a B) = (m A) B m(a B) = m A B sin θ = (m A ) B sin θ = (ma) B b. Akan dibuktikan bahwa m(a B) = A (mb) m(a B) = m A B sin θ = A (m B sin θ) = A (mb) c. Akan dibuktikan bahwa m(a B) = (A B)m m(a B) = m A B sin θ = ( A B sin θ) m = (A B)m Dari poin a, b, c diperoleh bahwa m(a B) = (ma) B = A (mb) = (A B)m (terbukti). z i k j y x 11
12 4. Akan dibuktikan bahwa ii j j kk 0, dan i j k, jk i, ki j Berdasarkan gambar di samping, terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang sama adalah 0, sedangkan sudut yang dibentuk oleh dua vektor yang berlainan adalah 90. Dengan menggunakan definisi perkalian silang dua vektor, akan dibuktikan bahwa ii j j kk 0 dan i j k, jk i, ki j a. Akan dibuktikan bahwa ii j j kk 0 ii i i sin j j j j sin kk k k sin Jadi, ii j j kk 0 (terbukti). b. Akan dibuktikan bahwa i j k, jk i, ki j i) i j i j sin Besar i j 1, dan sesuai definisi arah i j tegak lurus dengan bidang yang memuat i dan j, dalam hal ini adalah k Karena besar k sendiri adalah 1 maka i j k ii) jk j k sin Besar jk 1, dan sesuai definisi arah jk tegak lurus dengan bidang yang memuat j dan k, dalam hal ini adalah i Karena besar i sendiri adalah 1 maka jk i iii) ki k i sin Besar k i 1, dan sesuai definisi arah ki tegak lurus dengan bidang yang memuat k dan i, dalam hal ini adalah j Karena besar j sendiri adalah 1 maka ki j Dari i), ii), dan iii) diperoleh i j k, jk i, ki j (terbukti). 5. Diketahui A = A i + A j + A k dan B = B i + B j + B k Akan dibuktikan bahwa A B = A A A = A A i A A j + A A k. B B B B B B B B B A B = (A i + A j + A k) (B i + B j + B k) = A i (B i + B j + B k) + A j (B i + B j + B k) + A k (B i + B j + B k) 12
13 = A B i i + A B i j + A B i k + A B j i + A B j j + A B j k +A B k i + A B k j + A B k k Berdasarkan hukum 4 diketahui bahwa ii j j kk 0 dan i j k, jk i, ki j, juga menurut hukum 1 diperoleh ji k, k j i, ik j sehingga A B = A B (0) + A B (k) + A B ( j) + A B ( k) + A B (0) + A B (i) +A B (j) + A B ( i) + A B (0) = A B k + A B ( j) + A B ( k) + A B i + A B j + A B ( i) = A B i + A B ( i) + A B j + A B ( j) + A B k + A B ( k) = A B i A B i + A B j A B j + A B k A B k = (A B A B )i + (A B A B )j + (A B A B )k = A A i + A A j + A A k B B B B B B = A A i A A j + A A k B B B B B = A A A (terbukti). B B B B 6. Akan dibuktikan bahwa besarnya A B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B Berdasarkan gambar jajaran genjang di samping Luas jajaran genjang = h B A h = ( A sin θ ) B θ = A B sin θ B = A B Jadi besarnya A B sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi A dan B. 7. Akan dibuktikan bahwa jika A B = 0 dan A beserta B bukanlah vektor-vektor nol, maka A dan B sejajar A B = 0 A B sin θ u = 0 (dengan 0 θ 180 ) sin θ = 0 (karena diketahui A 0, B 0, dan u = 1) 13
14 θ = 0 atau 180 Karena θ = 0 atau 180 maka A dan B sejajar (terbukti). CONTOH SOAL 1. Jika A = 2i 2j + k dan B = 3i + j + 2k, tentukan: a. A B b. Sudut yang dibentuk oleh A dan B Penyelesaian : a. A B = (2i 2j + k ) (3i + j + 2k) = = i 2 j + 2 k = ( 4 1)i (4 3)j + 2 ( 6)k = ( 4 1)i (4 3)j + (2 + 6)k = 5i j + 8k c. Akan dicari sudut yang dibentuk oleh A dan B Berdasarkan definisi A B = A B sin θ u sin θ = sin θ = A B A B u A B A B Dari soal diketahui bahwa A = 2i 2j + k dan B = 3i + j + 2k, sehingga A = (2) + ( 2) + (1) B = (3) + (1) + (2) = = = 9 = 14 = 3 Dari poin a diperoleh A B = 5i j + 8k, sehingga A B = ( 5) + ( 1) + (8) =
15 = 90 = 3 10 Maka, sin θ = A B A B = = = 3,162 3,742 = 0,845 sehingga θ = arc sin 0,845 57, Jika A = 2i 3j k dan B = i + 4j 2k, carilah : a. A B b. B A c. (A + B) (A B) Penyelesaian : a. A B = (2i 3j k) (i + 4j 2k) = = i 2 j + 2 k = (6 ( 4))i ( 4 ( 1))j + (8 ( 3))k = (6 + 4)i ( 4 + 1)j + (8 + 3)k = 10i + 3j + 11k b. B A = (i + 4j 2k) (2i 3j k) = = i 1 j + 1 k = ( 4 6)i ( 1 ( 4))j + ( 3 8)k 15
16 = ( 4 6)i ( 1 + 4)j + ( 3 8)k = 10i 3j 11k c. (A + B) (A B) = [(2i 3j k) + (i + 4j 2k)] [(2i 3j k) (i + 4j 2k)] = (3i + j 3k) (i 7j + k) = = i 3 j + 3 k = (1 21)i (3 ( 3))j + ( 21 1)k = (1 21)i (3 + 3)j + ( 21 1)k = 20i 6j 22k 3. Jika A = 3i 2j + 2k, B = 2i + j k dan C = i 2j + 2k,carilah : a. (A B) C b. A (B C) Penyelesaian : a. (A B) C = [(3i 2j + 2k) (2i + j k)] (i 2j + 2k) = (i 2j + 2k) = i 3 j + 3 k (i 2j + 2k) = [(2 2)i ( 3 4)j + (3 ( 4))k] (i 2j + 2k) = [(2 2)i ( 3 4)j + (3 + 4)k] (i 2j + 2k) = (0i + 7j + 7k) (i 2j + 2k) = = i 0 j + 0 k = (14 ( 14))i (0 7)j + (0 7)k = ( )i (0 7)j + (0 7)k = 28i + 7j 7k 16
17 b. A (B C) = (3i 2j + 2k) [(2i + j k) (i 2j + 2k)] = (3i 2j + 2k) = (3i 2j + 2k) i 2 j + 2 k = (3i 2j + 2k) [(2 2)i (4 ( 1))j + ( 4 1)k] = (3i 2j + 2k) [(2 2)i (4 + 1)j + ( 4 1)k] = (3i 2j + 2k) (0i 5j 5k) = = i 3 j + 3 k = (10 ( 10))i ( 15 0)j + ( 15 0)k = ( )i ( 15 0)j + ( 15 0)k = 20i + 15j 15k 4. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus bidang dari A = 2i 6j 3k dan B = 4i + 3j k, A B adalah sebuah vektor yang tegak lurus dari A dan B. Penyelesaian : A B = (2i 6j 3k) (4i + 3j k) = = i 2 j + 2 k = (6 ( 9))i ( 2 ( 12))j + (6 ( 24))k = (6 + 9)i ( )j + (6 + 24)k = 15i 10j + 30k A B = (15) + ( 10) + (30) =
18 = 1225 = 35 Misal c adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan A B, maka c tegak lurus dengan bidang A dan B. c = = A B A B 15i 10j + 30k 35 = i j k = 3 7 i 2 7 j k c = = = = 1 = 1 Karena c = 1 maka c merupakan vektor satuan Jadi vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang A dan B adalah i j + k. 18
19 C. HASIL KALI TRIPEL Hasil kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B, dan C dapat menghasilkan hasil kali yang mempunyai arti dalam bentuk-bentuk berikut (A B)C, A (B C), dan A (B C). HUKUM-HUKUM YANG BERLAKU DALAM PERKALIAN TRIPEL 1. ABC A B C 2. A B C B C A C A B = volum sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C atau negatif dari volum ini, sesuai dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak. Jika A A1 i A2 j A3k, B B1i B2 j B3k, dan C C1i C2j C3k, maka A BC A A A B B B C C C 3. A B C A B C (Hukum asosiatif tidak berlaku untuk Hasil Kali Tripel) 4. A B C A C B A B C A B C A C B B C A Hasil kali A B C seringkali disebut hasil-kali tripel skalar atau hasil-kali kotak dan dapat dinyatakan dengan tripel vektor. Dalam AB C sebagai A BC ABC. Hasil kali A B C disebut hasil-kali seringkali dihilangkan tanda kurungnya dan dituliskan saja, tetapi tanda kurung harus dipergunakan dalam A B C. PEMBUKTIAN HUKUM-HUKUM PERKALIAN TRIPEL 1. Akan dibuktikan bahwa (A B)C A(B C) (A B)C = [(A i + A j + A k) (B i + B j + B k)](c i + C j + C k) 19
20 = (A B + A B + A B )(C i + C j + C k) = (A B C + A B C + A B C )i + (A B C + A B C + A B C )j +((A B C + A B C + A B C )k Sedangkan A(B C) = (A i + A j + A k)[(b i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k)(b C + B C + B C ) = (A B C + A B C + A B C )i + (A B C + A B C + A B C )j +(A B C + A B C + A B C )k Daari uraian di atas terlihat bahwa (A B)C A(B C) (terbukti). 2. Pada hukum kedua ini terdapat 3 hal yang harus dibuktikan, yaitu: a. A (B C) = B (C A) = C (A B) b. A (B C) = volum sebuah jajaran genjang ruang yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C atau negatif dari volum ini, sesuai dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak. c. Jika A A1 i A2 j A3k, B B1i B2 j B3k, dan C C1i C2j C3k, maka A BC A A A B B B C C C Berikut akan dibuktikan satu-persatu a. Akan dibuktikan bahwa A (B C) = B (C A) = C (A B) 1) Akan dibuktikan bahwa A (B C) = B (C A) A (B C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) B C B C B C = (A i + A j + A k) B B i B B j + B B k C C C C C = (A i + A j + A k) [(B C B C )i (B C B C )j + (B C B C )k] = (A B C A B C ) (A B C A B C ) + (A B C A B C ) = A B C A B C A B C + A B C + A B C A B C = A B C A B C + A B C A B C + A B C A B C = B (A C A C ) + B (A C A C ) + B (A C A C ) C 20
21 = B (A C A C ) B (A C A C ) + B (A C A C ) = (B i + B j + B k) [(A C A C )i (A C A C )j + (A C A C )k] = (B i + B j + B k) C C i C C j + C C k A A A A A = (B i + B j + B k) C A C A C A = (B i + B j + B k) [(C i + C j + C k) (A i + A j + A k)] = B (C A) A 2) Akan dibuktikan bahwa B (C A) = C (A B) B (C A) = (B i + B j + B k) [(C i + C j + C k) (A i + A j + A k)] = (B i + B j + B k) C C C A A A = (B i + B j + B k) C C i C C j + C C k A A A A A = (B i + B j + B k) [(A C A C )i (A C A C )j + (A C A C )k] = B (A C A C ) B (A C A C ) + B (A C A C ) = B A C B A C B A C + B A C + B A C B A C = B A C B A C + B A C B A C + B A C B A C = C (B A B A ) + C (B A B A ) + C (B A B A ) = C (B A B A ) C (B A B A ) + C (B A B A ) = (C i + C j + C k) [(B A B A )i (B A B A )j + (B A B A )k] = (C i + C j + C k) A A i A A j + A A k B B B B B = (C i + C j + C k) A A A B B B = (C i + C j + C k) [(A i + A j + A k) (B i + B j + B k)] = C (A B) Dari 1) dan 2) diperoleh A (B C) = B (C A) = C (A B) (terbukti). A B b. Akan dibuktikan bahwa harga mutlak A (B C) = volum sebuah jajaran genjang ruang (paralel-epipedum) yang memiliki sisi-sisi A, B, dan C, sesuai 21
22 dengan apakah A, B, dan C membentuk sebuah sistem tangan kanan ataukah tidak. Perhatikan gambar berikut. Misalkan n adalah normal-satuan terhadap jajar genjang I, yang searah dengan B C A dan misalkan h adalah tinggi dari titik h terminal A di atas jajaran genjang I. C n B Volum paralel-epipedum = (tinggi h) (luas jajaran genjang I) = (A n)( B C ) = A { B C n } = A (B C) Jika A, B dan C tidak membentuk sebuah sistem tangan kanan maka A n < 0 dan volumnya = A (B C). d. Akan dibuktikan bahwa jika A A1 i A2 j A3k, B B1i B2 j B3k, dan A A A C C1i C2j C3k, maka A (B C) = B C B C B C A (B C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) B C B C B C = (A i + A j + A k) B B i B B j + B B k C C C C C = (A i + A j + A k) [(B C B C )i (B C B C )j + (B C B C )k] = (A B C A B C ) (A B C A B C ) + (A B C A B C ) = A B C A B C A B C + A B C + A B C A B C = A B C A B C + A B C A B C + A B C A B C Dengan menggunakan aturan sarrus untuk menghitung determinan maka diperoleh C 22
23 A A A A (B C) = B C B C B (terbukti). C 3. Akan ditunjukkan bahwa A (B C) (A B) C A (B C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) B C B C B C = (A i + A j + A k) B B i B B j + B B k C C C C C = (A i + A j + A k) [(B C B C )i (B C B C )j + (B C B C )k] = A B C B C A B C B C A B C B C C A = B C B C A A i B C B C B C B C A B C B C j A + B C B C A B C B C k = [A (B C B C ) A (B C B C )]i [A (B C B C ) A (B C B C )]j +[A (B C B C ) A (B C B C )]k = [A B C A B C A B C + A B C ]i [A B C A B C A B C + A B C ]j +[A B C A B C A B C + A B C ]k (A B) C = [(A i + A j + A k) (B i + B j + B k)] (C i + C j + C k) = A A A (C i + C j + C k) B B B = A A i A A j + A A k (C B B B B B i + C j + C k) B = [(A B A B )i (A B A B )j + (A B A B )k] (C i + C j + C k) = A B A B A B A B A B A B C C C = A B A B A B A B C C i A B A B A B A B C C j 23
24 + A B A B A B A B C C k = [C (A B A B ) C (A B A B )]i [C (A B A B ) C (A B A B )]j +[C (A B A B ) C (A B A B )]k = [A B C A B C A B C + A B C ]i [A B C A B C A B C + A B C ]j +[A B C A B C A B C + A B C ]k Dari hasil di atas terlihat bahwa A (B C) (A B) C (tertunjuk). Hal ini berarti hukum asosiatif untuk hasil kali tripel vektor tidak berlaku. 4. Pada hukum 4 ini adakan dibuktikan 2 hal, yaitu: a. A (B C) = (A C)B (A B)C b. (A B) C = (A C)B (B C)A Berikut dilakukan pembuktian satu-persatu a. Akan dibuktikan bahwa A (B C) = (A C)B (A B)C A (B C) = (A i + A j + A k) [(B i + B j + B k) (C i + C j + C k)] = (A i + A j + A k) B C B C B C = (A i + A j + A k) B B i B B j + B B k C C C C C = (A i + A j + A k) [(B C B C )i (B C B C )j + (B C B C )k] = (A i + A j + A k) [(B C B C )i + (B C B C )j + (B C B C )k] = A A A B C B C B C B C B C B C C A = B C B C A A i B C B C B C B C A B C B C j A + B C B C A B C B C k = [A (B C B C ) A (B C B C )]i [A (B C B C ) A (B C B C )]j +[A (B C B C ) A (B C B C )]k = [A B C A B C A B C + A B C ]i [A B C A B C A B C + A B C ]j 24
25 +[A B C A B C A B C + A B C ]k = A B C i A B C i A B C i + A B C i A B C j + A B C j +A B C j A B C j + A B C k A B C k A B C k + A B C k = A B C i + A B C i + A B C i + A B C j + A B C j + A B C j +A B C k + A B C k + A B C k A B C i A B C i A B C i A B C j A B C j A B C j A B C k A B C k A B C k = [A B C i + A B C i + A B C i + A B C j + A B C j + A B C j +A B C k + A B C k + A B C k] [A B C i + A B C i + A B C i +A B C j + A B C j + A B C j + A B C k + A B C k + A B C k] = [(A C + A C + A C )B i + (A C + A C + A C )B j +(A C + A C + A C )B k] [(A B + A B + A B )C i +(A B + A B + A B )C j + (A B + A B + A B )C k] = [(A C + A C + A C )(B i + B j + B k)] [(A B + A B + A B )(C i + C j + C k)] = [{(A i + A j + A k) (C i + C j + C k)}(b i + B j + B k)] [{(A i + A j + A k) (B i + B j + B k)}(c i + C j + C k)] = (A C)B (A B)C b. Akan dibuktikan bahwa (A B) C = (A C)B (B C)A Dari poin a diperoleh A (B C) = (A C)B (A B)C dan menurut hukum 1 A B = B A, sehingga (A B) C = C (A B) = {(C B)A (C A)B} = (C B)A + (C A)B = (C A)B (C B)A Berdasarkan hukum 1 perkalian titik bahwa A B = B A maka (A B) C = (A C)B (B C)A (terbukti). 25
26 CONTOH SOAL 1. Hitung (2i 3j) [(i + j k) (3i k)] Penyelesaian : (2i 3j) [(i + j k) (3i k)] = (2i 3j) = (2i 3j) i 1 j + 1 k = (2i 3j) [( 1 0)i ( 1 ( 3))j + (0 3)k] = (2i 3j) [( 1 0)i ( 1 + 3)j + (0 3)k] = (2i 3j) ( i 2j 3k) = (2)( 1) + ( 3)( 2) + (0)( 3) = = 4 2. Jika A = i 2j 3k, B = 2i + j + k, C = i + 3j 2k, tentukan: a. (A B) C b. A (B C) c. A (B C) d. (A B) C e. (A + B) (B C) f. (A B) (B C) Penyelesaian : a. (A B) C = (i 2j 3k) (2i + j + k) (i + 3j 2k ) = (i + 3j 2k) = i 1 j + 1 k (i + 3j 2k) = [( 2 ( 3))i (1 ( 6))j + (1 ( 4))k] (i + 3j 2k) = [( 2 + 3)i (1 + 6)j + (1 + 4)k] (i + 3j 2k) = (i 7j + 5k) (i + 3j 2k) 26
27 atau = = 7 5 i j + 1 k = (14 15)i ( 2 5)j + (3 ( 7))k = (14 15)i ( 2 5)j + (3 + 7)k = i + 7j + 10k (A B) C = B(A C) A(B C) Selanjutnya, = (2i + j + k){(i 2j 3k) (i + 3j 2k )} (i 2j 3k){(2i + j + k) (i + 3j 2k )} = (2i + j + k)[(1)(1) + ( 2)(3) + ( 3)( 2)] (i 2j 3k )[(2)(1) + (1)(3) + (1)( 2)] = (2i + j + k)[ ] (i 2j 3k )[ ] = (2i + j + k)(1) (i 2j 3k)(3) = (2i + j + k) (3i 6j 9k) = ( i + 7j + 10k) (A B) C = ( 1) + (7) + (10) = = 150 = 5 6 b. A (B C) = (i 2j 3k) (2i + j + k) (i + 3j 2k ) = (i 2j 3k) = (i 2j 3k) i 2 j + 2 k = (i 2j 3k) [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = (i 2j 3k) ( 5i + 5j + 5k) =
28 = i j + k = ( 10 ( 15))i (5 15)j + (5 10)k = ( )i (5 15)j + (5 10)k = 5i + 10j 5k Atau A (B C) = B(A C) C(A B) = (2i + j + k){(i 2j 3k) (i + 3j 2k )} (i + 3j 2k ){(i 2j 3k) (2i + j + k)} = (2i + j + k)[(1)(1) + ( 2)(3) + ( 3)( 2)] (i + 3j 2k )[(1)(2) + ( 2)(1) + ( 3)(1)] = (2i + j + k)[ ] (i + 3j 2k )[2 2 3] = (2i + j + k)(1) (i + 3j 2k )( 3) = (2i + j + k) ( 3i 9j + 6k) = 5i + 10j 5k Selanjutnya, A (B C) = (5) + (10) + ( 5) = = 150 = 5 6 c. A (B C) = (i 2j 3k) [(2i + j + k) (i + 3j 2k)] = (i 2j 3k) = (i 2j 3k) i 2 j + 2 k = (i 2j 3k) [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = (i 2j 3k) ( 5i + 5j + 5k) = (1)( 5) + ( 2)(5) + ( 3)(5) = = 30 28
29 d. (A B) C = [(i 2j 3k) (2i + j + k)] (i + 3j 2k) = (i + 3j 2k) = i 1 j + 1 k (i + 3j 2k) = 2 ( 3)i (1 ( 6))j + (1 ( 4))k (i + 3j 2k) = [( 2 + 3)i (1 + 6)j + (1 + 4)k] (i + 3j 2k) = (i 7j + 5k) (i + 3j 2k) = (1)(1) + ( 7)(3) + (5)( 2) = = 30 e. (A + B) (B C) = [(i 2j 3k) + (2i + j + k)] [(2i + j + k) (i + 3j 2k)] = (3i j 2k) [(2i + j + k) (i + 3j 2k)] = (3i j 2k) = (3i j 2k) i 2 j + 2 k = (3i j 2k) [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = (3i j 2k) ( 5i + 5j + 5k) = = i j + k = 5 ( 10)i (15 10)j + (15 5)k = ( )i (15 10)j + (15 5)k = 5i 5j + 10k f. (A B) (B C) = [(i 2j 3k) (2i + j + k)] [(2i + j + k) (i + 3j 2k)] = = i 1 j + 1 k 1 i 2 j + 2 k
30 = [( 2 ( 3))i (1 ( 6))j + (1 ( 4))k] [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = [( 2 + 3)i (1 + 6)j + (1 + 4)k] [( 2 3)i ( 4 1)j + (6 1)k] = (i 7j + 5k) ( 5i + 5j + 5k) = (1)( 5) + ( 7)(5) + (5)(5) = = 15 30
BAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar.
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 4 Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan Ruang Sub Pokok Bahasan Notasi dan Operasi Vektor Perkalian titik Perkalian silang Beberapa Aplikasi Proses
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciBAB 2 ANALISIS VEKTOR
BAB ANALISIS VEKTOR A. Tujuan Umum Mahasiswa memahami pengertian vektor, operasi vektor, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kaedah aljabar vektor. B. Tujuan Khusus Mahasiswa dapat memahami konsep
Lebih terperinciANALISA VEKTOR. Skalar dan Vektor
ANALISA VEKTOR Skalar dan Vektor Skalar merupakan besaran ang dapat dinatakan dengan sebuah bilangan nata. Contoh dari besaran skalar antara lain massa, kerapatan, tekanan, dan volume. Sedangkan besaran
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciPengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciCatatan Kuliah Aljabar Linier
Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciPengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciVEKTOR. Matematika Industri I
VEKTOR Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali vektor
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinci19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciVEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector
VEKTOR Bab a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari x y + y = 8 Jawab : x + 8 + y =
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciVEKTOR Matematika Industri I
VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Besaran dibagi dalam dua kategori, pertama, besaran skalar yaitu besaran yang hanya mempunyai nilai/besar saja.
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Besaran dibagi dalam dua kategori, pertama, besaran skalar yaitu besaran yang hanya mempunyai nilai/besar saja. Kedua, adalah besaran vektor, yaitu besaran Fisika yang
Lebih terperinciBAB I BESARAN DAN SATUAN
BAB I BESARAN DAN SATUAN A. STANDAR KOMPETENSI :. Menerapkan konsep besaran fisika, menuliskan dan menyatakannya dalam satuan dengan baik dan benar (meliputi lambang, nilai dan satuan). B. Kompetensi Dasar
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciMIMIN RIHOTIMAWATI TRIGONOMETRI
MIMIN RIHOTIMAWATI TRIGONOMETRI Fungsi Trigonometri Sin α = Sisi. didepan. sudut Hipotenusa a c Cos α = Sisi. terdekat. sudut Hipotenusa b c Tan α = Sisi. didepan. sudut Sisi. yang. berdeka tan a b Sinus
Lebih terperinci2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R
. Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -), maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + )b
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciVEKTOR Matematika Industri I
VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata
Lebih terperinci18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a
Lebih terperinciB.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis
BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2012 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) massa, waktu, suhu, panjang, luas, volum Vektor memiliki besar
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
Lebih terperinciujung vektor A bertemu dengan pangkal vektor B
. Pengertian Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (nilai) saja. Beberapa besaran skalar di antaranya : semua besaran pokok, jarak, laju, usaha atau energi, daya, massa
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciPERKALIAN DUA VEKTOR & PROYEKSI VEKTOR
PERKALIAN DUA VEKTOR & PROYEKSI VEKTOR. Identitas Mata Pelajaran : Matematika X (Peminatan). Semester : c. Kompetensi Dasar : Kompetensi Dasar. Kompetensi Dasar 4. Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Drs. R. J. Pamuntjak, M.Sc. S PENDAHULUAN istem persamaan linear yang muncul hampir dalam semua penerapan aljabar linear, juga sangat diperlukan sebagai landasan dalam pembahasan bagian lain
Lebih terperinciBAB I ANALISIS VEKTOR
BAB I ANALISIS VEKTOR A. Deskripsi Materi ini akan membahas tentang pengertian, sifat, operasi dan manipulasi besaran fisik scalar dan vector. Pada pembahasan materi medan elektromagnetik berikutna akan
Lebih terperinciHasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb)
oki neswan (fmipa-itb) Da Operasi Vektor Hasil Kali Titik Misalkan OAB adalah sebah segitiga, O (0; 0) ; A (a 1 ; a ) ; dan B (b 1 ; b ) : Maka panjang sisi OA; OB; dan AB maing-masing adalah q joaj =
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf
Lebih terperinciA + ( B + C ) = ( A + B ) + C
VEKTOR ANALISIS 1.1. Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada sebuah jumlah yang nilai dapat diwakili oleh satu ( positif atau negatif ) nomor asli. x, y, dan z yang kami gunakan dalam dasar aljabar
Lebih terperinciQUATERNION DAN APLIKASINYA. Sangadji *
QUATERNION DAN APLIKASINYA Sangadji * ABSTRAK QUATERNION DAN APLIKASINYA.Dalam matematika, quaternion merupakan perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika
Lebih terperinciB. Pengertian skalar dan vektor Dalam mempelajari dasar-dasar fisika, terdapat beberapa macam kuantitas kelompok besaran yaitu Vektor dan Skalar.
ANALISIS VEKTOR A. Deskripsi Materi ini akan membahas tentang pengertian, sifat, operasi dan manipulasi besaran fisik scalar dan vector. Pada pembahasan materi medan elektromagnetik berikutna akan melibatkan
Lebih terperinciVEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor
VEKTOR GAYA Perkalian dan Pembagian vektor dengan scalar Jika vektor dikalikan dengan nilai positif maka besarnya meningkat sesuai jumlah pengalinya. Perkalian dengan bilangan negatif akan mengubah besar
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciPengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciD. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27
1. Nilai dari untuk x = 4 dan y = 27 adalah... A. (1 + 2 ) 9 B. (1 + 2 ) 9 C. (1 + 2 ) 18 D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 2. Persamaan 2x² + qx + (q - 1) = 0, mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Jika x 1 2
Lebih terperinciPesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat
Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinci