TRANSFORMASI. Kegiatan Belajar Mengajar 6

Transkripsi

1 Kegiatan elajar Mengajar 6 TRNSFORMSI Drs. Zainuddin, M.Pd Tranformasi (perpindahan) ang dipelajari dalam matematika, antara lain translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbanakan). Empat macam transformasi ini akan dipelajari dalam kegiatan belajar mengajar 6 ini. Kegiatan belajar mengajar 6 ini mencakup 2 pokok bahasan, aitu pokok bahasan I tentang translasi dan refleksi, pokok bahsan II tentang rotasi dan dilatasi. Transformasi ang disajikan dalam kegiatan belajar mengajar ini adalah transformasi bidang, aitu ang memetakan tiap titik pada bidang kesuatu titik pada bidang tersebut. Hal ang sangat bermanfaat dalam mempelajari transformasi ini dalam pengembanganna adalah apabila transformasi itu dilakukan pada bidang koordinat artesius. Oleh karena itu, untuk mempelajari materi dalam kegiatan belajar mengajar ini nda harus memahami dengan baik tentang bidang koordinat artesius dan beberapa persamaan garis lurus ang istimewa, misalna persamaan garis =, = -, = 0, dan sebagaina. Indikator ang diharapkan diacapai mahasiswa setelah mempelajari kegiatan belajar mengajar 6 ini adalah mahasiswa dapat; 1. menebutkan ketentuan-ketentuan ang harus dipenuhi pada tiap-tiap jenis transformasi 2. membedakan suatu transformasi dengan transformasi lainna. menentukan baangan suatu bangun tertentu dengan suatu transformasi ang diberikan 4. menerapkan suatu transformasi dalam menelesaikan suatu soal dalam geometri 5. menjelaskan komposisi transformasi ang sejenis. gar mahasiswa dapat menguasai kegiatan belajar mengajar 2 ini, maka baca dan pelajari secermat mungkin, baik pokok bahasan maupun sub-sub pokok bahasan ang disajikan berikut.. Translasi dan Refleksi 1. Translasi (Pergeseran) Translasi adalah perpindahan suatu benda dari suatu tempat ke tempat lain dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain dengan pergeseran, perputaran atau lainna. 8

2 Gambar 6.1 Misalna suatu kubus dari digeser sehingga menempati tempat (Gambar 6.1). Dengan kata lain, perpindahan kubus dari ke dilakukan dengan pergeseran (translasi). Setelah pergeseran, kubus tidak berubah besar maupun bentukna. R P Q Gambar 6.2 Pada Gambar 6.2, titik P digeser (ditranslasi) menjadi titik Q ditulis P Q. Titik P dapat pula digeser menjadi titik R atau duliskan P R. Tampak di sini bahwa translasi P Q berbeda dengan translasi P R. pakah perbedaan dua translasi ini. Perbedaan dua translasi itu terletak pada jarak pergeseran dan arah pergeseranna. Pada translasi P Q, jarak (panjang) pergeseran dinatakan pleh panjang ruas garis PQ dan arah pergeseran dari P ke Q ang dinatakan dengan arah anak panah. Selanjutna, panjang dan arah pergeseran pada translasi P Q dinatakan dengan simbol PQ, PQ menatakan besar (panjang) pergeseran dan anak panahna menatakan arah dari P menuju Q. Selanjutna, PQ disebut vektor translasi. F E D Gambar 6. 84

3 Pada Gambar 6. ditranslasikan dengan vektor D menjadi DEF. Pada translasi ini, D, E, dan F sehingga vektor-vektor translasi D, E dan F mempunai besar (panjang) dan arah ang sama. tau dikatakan D = E = F. DEF disebut baangan (peta translasi) dari oleh translasi dengan vektor D. Perhatikan bahwa hasil translasi, aitu DEF dan segitiga ang ditranslasikan, aitu merupakan dua segitiga ang besar dan bentukna (bangunanna) sama. Duan bangunan ang besar dan bentukna sama dikatakan dua bangun ang kongruen (sama dan sebangun). Pada gambar 6., translasi memetakan titik ke. Translasi memetakan titik ke. Translasi dilanjutkan dengan translasi memetakan titik ke titik. Translasi dilanjutkan dengan translasi di tulis translasi +, sedangkan translasi memetakan titik ke titik. Jadi, translasi = translasi ; = Suatu cara ang sangat berguna untuk menggambarkan suatu translasi adalah dengan suatu pasangan bilangan, aitu apabila kita menggambarkanna pada bidang koordinat artesius. E! 1 E!! D! 0 D Gambar

4 Pada Gambar 6.4 tampak vektor-vektor translasi ang diwakili oleh ruas-ruas garis dengan anak panah ang besar dan arahna sama. Translasi dengan vektor ini menatakan bahwa setiap titik pada bidang ditranslasikan 2 satuan ke kanan dan satuan ke atas ang 2 ditulis. Sehingga vektor translasi itu dituliskan dengan titik (1, ) dipetakan ke titik! (, 6) 2 2. Misalna, pada translasi ini, Titik (2, -2) dipetakan ke ttitik! (4, 1). Dapat pula dikatakan peta (baangan) dari titik D(-4, -4) adalah titik D! (-2, -1) dan baangan titik E(-5, 2) adalah titik E! (-, 5). pakah 2 nda dapat menimpulkan bahwa pada translasi ini, titik P(, ) dipetakan ke titik P! ( + a 1, + )? Sehingga secara umum nda dapat menimpulkan bahwa translasi memetakan b titik Q(, ) ke titik Q! ( + a, + b). Suatu vektor translasi, selain dinatakan dengan dua huruf besar dengan anak panah diatasna, dapat pula dinatakan sebuah huruf kecil ang dibubuhi garis di bawahna, seperti pada Gambar 6.5 di bawah ini. b Q c v P a u e d ontoh 6.1 Gambar 6.5 Misalna, pada Gamnar 6.5, vektor PQ dapat pula dinatakan dengan a sehingga PQ = a. Dapatkah nda menatakan vektor-vektor translasi pada Gambar 6.5 itu dengan pasangan bilangan? 86

5 87 Jawab. PQ = a = 1, b = 1, 4 0, 2, 2 4, 0, 2 danv u e d c Translasi dengan vektor a = 1 biasa disingkat translasi 1. Pada translasi 1 membawa titik (1, 1) ke titik (2, 4). Translasi e = 2 4 membawa titik (2, 4) ke titik (6, 2). Dua translasi tersebut membawa titik (1, 1) ke titik (6, 2) dan dituliskan dengan translasi , ang membawa titik (1, 1) ke titik (6, 2). andingkan dengan translasi 1 5 membawa titik (1, 1) ke titik (6, 2). Dari sini kita dapat menimpulkan bahwa = 1 5 atatan: Misalna, translasi dengan vektor a membawa titik (, 2) ke (5, 8) dapat ditulis dengan Ta :(, 2) (5, 8). 2. Refleksi (Pencerminan) Ketika kita sedang berkaca (bercermin) di belakang cermin tampak baangan kita. aangan itu sama dengan kita baik bentuk maupun besarna, perbedaanna terletak pada arahna, aitu berlawanan karena kita dan baangan kita saling berhadapan. Gambar 6. 6 Perhatikan Gambar 6.6, garis m dipandang sebagai cermin. Oleh cermin m ini, baangan dari adalah EFG. Dalam matematika, kita boleh pula mengatakan bahwa =F E G D m

6 oleh cermin m baangan dari EFG adalah. pabila pencerminan (refleksi) diberi simbol M maka pencerminan oleh garis m ditulis M m Dengan pencerminan oleh garis m, baangan adalah EFG, ditulis dengan notasi M m : = EFG angun (bentuk) dan besar benda dan baanganna selalu sama sehingga benda dan baanganna dikatakan sama dan sebangun (kongruen) ang diberi notasi. Pada pencerminan M m (Gambar I.6), sama dan sebangun dengan EFG (ditulis EFG). aangan titik adalah titik F dan = F. Suatu titik ang baanganna titik itu sendiri disebut titik tetap (invarian). Jadi, titik tersebut adalah suatu titik invarian sehingga nda akan mengerti bahwa semua titik pada cermin merupakan titiktitik invarian. Jika titik dan E dihubungkan, maka garis E tegak lurus pada garis m (cermin). Tentukanlah baangan garis E terhadap cermin m!. aangan D adalah ED dan baangan ED adalah D sehingga baangan garis E adalah garis E. Padahal garis E sam,a dengan garis E maka mbaangan garis E adalah garis itu sendiri. Selanjutna dikatakan bahwa garis E terhadap pencerminan dengan garis m merupakan garis tetap (garis invarian), tetapi tidak titik pertitik. D Gambar 6.7 Pada gambar 6.7 adalah suatu segitiga sama kaki. pabila kertas ang memuat gambar ini dilipat menurut garis D maka D akan tepat menutup D. Demikian pula jika garis D dipandang sebagai cermin maka baangan D adalah D dan sebalikna baangan D adalah D sehingga baang adalah sendiri. Demikian pula jika digunting melalui sisi-sisina dan selanjutna potongan segitiga itu dibalik dengan diletakkanna pada, pada serta tetap pada maka potongan segitiga itu akan tepat menutup segitiga semula. Selanjutna, dikatakan bahwa 88

7 bangun sama kaki tersebut mempunai simetri sumbu atau simetri cermin atau simetri balik atau simetri lipat, sedangkan garis ang dipandang sebagai cermin itu disebut garis simetri atau sumbu simetri. D \ / / \ Gambar 6.8 Pada gambar 6.8, segi empat D adalah suatu belah ketupat. nda dapat melipat atau membalik bangun tersebut menurut diagonalna dan menunjukkan bahwa belah ketupat mempunai simetri cermin. Tepatna dikatakan bahwa suatu belah ketupat mempunai dua sumbu simetri. m Gambar 6.9 Perhatikan gambar 6.9, pada pencerminan terhadap garis m, baangan adalah dan baangan adalah, atau ditulis M m :. Selanjutna, dapat dimengerti bahwa panjang D = D dan garis tegak lurus pada garis m. ontoh 6.2 Titik-titik dan terletak pada pihak ang sama terhadap garis m sedemikian hingga perpanjangan memotong garis m dititik T dan sudut ang dibentuk oleh garis dan garis m besarna 5 0. adalah baangan dari oleh pencerminan terhadap garis m. 1. Jika = 7 cm dan T = cm, berapakah panjang T dan besar T? 89

8 2. Jika garis ang menghubungkan dan memotong garis m dititik P, mengapa garis hubung dititik- titik dan memotong garis m dititik P pula! Jelaskan. Jawab: T P D Gambar M m : maka = sehingga = 7 cm. M m : T T maka T = T sehingga T = cm. Jadi, T = + T = 7 cm + cm T = 10 cm. M m : T T maka TD = TD = 5 0. Jadi, T = TD + TD = = memotong garis m dititik P. M m : P P M m : P P M m =. Karena adalah baangan dari maka dan berpotongan pada suatu titik ang terletak pada cermin (garis m), aitu titik P. 0 Gambar

9 Dalam bidang koordinat artesius, pencerminan terhadap sumbu ditulis M, pencerminan terhadap sumbu ditulis: M. Perhatikan Gambar 6.11 M : (-2,) (-2,-) M : (4,2) (4,-2) M : (1,1) (1,-1) M : Dari contoh ini kita dapat menarik simpulan bahwa M : P (a,b) P (a,-b) jadi, pada pencerminan terhadap sumbu, baangan titik P(a,b) adalah P (a,-b) D D 0 Gambar Pada gambar 6.12 baangan jajar genjang D oleh pencerminan terhadap sumbu adalah jajar genjang D atau ditulis: M : D D aangan titik-titik sudutna adalah sebagai berikut: M : (-4,-) (4,-) (-1,-2) (1,-2) (-2,2) (2,2) D(-5,1) D (5,1) Memperhatikan koordinat suatu titik dan koordinat baanganna, kita dapat menarik suatu simpulan bahwa: M : P(a, b) p (-a, b) Jadi, pada pencerminan terhadap sumbu, baangan titik P(a, b) adalah P (-a, b). 91

10 0 =4 Gambar 6.1 Pada Gambar 6.1, garis = 4 sebagai cermin maka baanganna, M =4 : Δ Δ kan kita tentukan hubungan koordinat suatu titik dengan koordinat baanganna. M =4 : Δ Δ (2, 2) (6, 2) (-1, ) (9, ) P(a, b) P (..., b) Dapatkah nda melengkapi koordinat titik P dengan memperhatikan contoh-contoh di atasna? T(a,b) M T (p,q) 0 h =h Gambar 6.14 Perhatikan Gambar Garis lurus = h sebagai cermin dan baangan ttitik T(a,b) adalah T (p,q). Kita akan menentukan hubungan koordinat titik T dengan koordinat titik T, aitu menatakan p dan q dengan a, b dan h. p = a + TT = a + 2 TM = a + 2(h a) = a + 2h 2a 92

11 p = 2h a Selanjutna, tampak jelas bahwa q = b Maka, baangan titik (a, b) pada pencerminan terhadap garis = h adalah T (2h-a, b). M =h : T(a, b) T (2h-a, b) Dengan cara ang mirip dengan cara tersebut, nda dapat menentukan baangan titik P(a, b) pada pencerminan terhadap garis = k M =k : P(a, b) P (a, 2k-b) aangan titik P(a, b) pada pencerminan terhadap garis = k adalah P (a, 2k-b) = 0 Gambar 6.15 Pada Gambar 6.15, garis lurus = sebagai cermin. Pada pencerminan ini, baangan (peta) dari Δ adalah Δ M = : Δ Δ aangan titik-tik sudutna ang menertakan koordinatna sebagai berikut. M = : (2, -) (-, 2) (5, -2) (-2, 5) (, 1) (1, ) Memperhatikan kooedinat suatu titik dan koordinat titik baanganna, kita dapat menarik simpulan sebagai berikut. M = : P(a, b) P (b, a) Pada pencerminan terhadap garis =, baangan dari titik P(a, b) adalah P (b, a) Pada Gamar 6.16, garis lurus = - sebagai cermin M = - : Δ Δ (2, 1) (-1, -2) 9

12 (4, ) (-, -4) (-2, 4) (-4, 2) Dari contoh ini, kita dapat menarik simpulan sebagai berikut. M = - : P(a, b) P (b, a) = Gambar 6.16 Pada Gambar 6.17, terdapat dua cermin, aitu = 2 dan garis = 7 ang sejajar. Pada pencerminan terhadap garis = 2, baangan (peta) dari Δ adalah Δ. Selanjutna, pada pencerminan terhadap garis = 7, peta (baangan) dari Δ adalah Δ. Dua pencerminan berurutan ini disebut komposisi pencerminan. M = 7 :om = 2 dibaca pencerminan terhadap garis = 2 diteruskan dengan pencerminan terhadap = 7 (Pembacaanna dibalik) =2 =7 0 Gambar

13 Komposisi pencerminan pada Gambar 6.17 dapat dituliskan; M =7 om =2 : Δ Δ. Komposisi pencerminan M =2 dan M =7 memetakan Δ ke Δ. Perhatikan Gambar M =2 : (-2, ) (6,) M =7 : (6, ) (8,) (1,2) (,1) (, 1) (11, 1) (0, 5) (4, 5) (4,5) (10, 5) M =7 : (-2, ) (8, ) (1, 1) (11, 1) (0, 5) (10, 5) pabila kita perhatikan lagi Gambar 6.17 maka Δ diperoleh dari Δ dengan cara melakukan translasi (pergeseran) dengan; Vector u = 10 aitu Tu 0 Tu = (-2, ) (-2+ 10, + 0) = (8, ) (1, 1) (1 + 10, 1 +0) = (11, 1) (0, 5) (0 + 10, 5 + 0) = (10, 5) m n \\ \\ p K p h p Gambar 6.18 Selanjutna kita mencari vector translasi pada pencerminan denganh dua cermin ang sejajar. Pada Gambar 6.18 garis-garis m dan n sebagai cermin. M m : P P dan M n : P P, M 0 : P P Misalkan, jarak cermin m dan n adalah h. Telah diketahui bahwa M n om m sama dengan suatu translasi u ang arahna tegak lurus pada cermin. Translasi u = PP (lihat Gambar 6.18) 95

14 PP = PP + P P = 2 TP + 2 P K = 2 (TP + P K) PP = 2 h Jadi, panjang vector translasi u sama dengan dua kali jarak kedua cermin. Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika dua cermin sejajar m dan n ang jarakna h maka pencerminan terhadap garis m dilanjutkan dengan perncerminan terhadap garis n sama dengan melakukan pergeseran (translasi) dengan vector u ang panjangna 2 h dan arahna tegak lurus pada cermin. ontoh 6. Diketahui (, -2), (11, 5), dan (-5, 2). Titik-titik ini dicerminkan terhadap garis = -1, dan hasil pencerminan ini dicerminkan lagi terhadap garis = 5. Tentukan baangan terakhir dari titik-titik,, dan tersebut!. Jawabh 12 M =5 om =-1 = translasi karena jarak cermin = 5 dan = -1 adalah 6, sehingga; 0 M =5 M =-1 : (, 2) ( + 12, -2) = (15, -2) (1, 5) (1 + 12, 5) = (1, 5) (-5, 2) ( , 2) = (7, 2). 96