Catatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA
|
|
- Liani Budiaman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Khairul Basar atatan Kuliah FI2101 Fisika Matematik IA Semester I Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung
2
3 Bab 6 Analisa Vektor 6.1 Perkalian Vektor Pada bagian terdahulu telah dibahas tentang perkalian vektor (mencakup: perkalian vektor dengan bilangan, perkalian dua vektor (dot product dan cross product dan juga perkalian yang melibatkan tiga vektor (triple product. Dot product ontoh yang penting misalnya adalah dalam persoalan dinamika benda yaitu menghitung usaha (kerja. Usaha (kerja yang dilakukan oleh gaya F sehingga terjadi perubahan posisi yang dinyatakan dengan dr adalah W = dw = F dr yang merupakan integral lintasan. Penyelesaian integral lintasan tersebut akan dibahas kemudian. ross product Dalam persoalan dinamika benda, besaran yang melibatkan representasi cross product misalnya adalah momen gaya (τ, momentum sudut (L dan kecepatan angular (ω. τ = r F L = r p = m (r v v = ω r 131
4 132 Analisa Vektor ontoh Suatu gaya yang dinyatakan dengan F = 2î 3ĵ + ˆk bekerja di titik (1, 5, 2. Tentukan momen gaya terhadap titik pusat koordinat. Titik kerja gaya (titik tangkap F adalah di (1, 5, 2 sehingga vektor posisi titik tangkap ini dari pusat koordinat adalah r F = î + 5ĵ + 2ˆk Dengan demikian momen gaya terhadap titik pusat koordinat adalah ( τ = r F F = (î + 5ĵ + 2ˆk 2î 3ĵ + ˆk = (5 + 6î + ( 1 + 4ĵ + ( 3 10ˆk = 11î + 3ĵ 13ˆk Triple product Triple scalar product yang menghasilkan skalar (bilangan telah diuraikan contoh penggunaannya yaitu dalam persoalan kristalografi. Sedangkan triple vector product adalah operasi yang melibatkan tiga buah vektor dan menghasilkan vektor, yaitu A (B. Sebagaimana telah dipahami bahwa B menghasilkan vektor yang tegak lurus bidang yang dibentuk vektor B dan. Jika kemudian vektor hasil cross product tersebut dicrosskan lagi dengan suatu vektor A maka dapat dipahami bahwa hasilnya adalah vektor yang terletak pada bidang yang dibentuk vektor B dan vektor sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 6.1. B B Gambar 6.1 ross product dua buah vektor.
5 6.2 Diferensial Vektor 133 Karena vektor A (B terletak pada bidang yang dibentuk oleh vektor B dan vektor, maka dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari B dan, misalnya αb + β. Triple cross product antara tiga buah vektor memenuhi persamaan berikut A (B = (A B (A B (A B = (A B (A B ( Diferensial Vektor Tinjau suatu vektor dalam ruang tiga dimensi yang dinyatakan dengan A = A x î + A y ĵ + A zˆk yang direpresentasikan menggunakan sistem kordinat kartesian. Vektor-vektor satuan î, ĵ, ˆk adalah vektor-vektor yang tetap (besar dan arahnya. Sedangkan jika A x, A y dan A z merupakan fungsi yang bergantung waktu, maka akan dapat diperoleh turunan (diferensial terhadap waktu dari vektor A tersebut, yaitu d 2 A 2 da = d (îax + ĵa y + ˆkA z = î da x + ĵ da y + ˆk da z = d2 (îax 2 + ĵa y + ˆkA z = î d2 A x 2 + ĵ d2 A y 2 + ˆk d2 A z 2 (6.2 Turunan orde lebih tinggi dapat diperoleh dengan cara yang serupa. Diferensial terhadap waktu dari operasi aljabar yang melibatkan dua atau lebih vektor (misalnya dot product ataupun cross product adalah sebagai berikut d db (A B = A + da B d db (A B = A + da B (6.3 ontoh Benda titik bergerak dalam ruang dengan posisi tiap saat yang dinyatakan sebagai r = t 2 î 2tĵ + (t 2 + 2tˆk. Tentukan kecepatan, percepatan gerak, energi kinetik serta momentum sudut terhadap titik pusat kordinat untuk benda tersebut.
6 134 Analisa Vektor Kecepatan benda diperoleh dari turunan fungsi posisi, sehingga v = dr = d ( t 2 î 2tĵ + (t 2 + 2tˆk = 2tî ĵ + (2t + 2ˆk sedangkan percepatan gerak benda diperoleh dari turunan fungsi kecepatan a = dv = d ( 2tî ĵ + (2t + 2ˆk = 2î + 2ˆk Energi kinetik diperoleh dari K = 1 2 mv2 = 1 2 mv v = m ( 2tî ĵ + (2t + 2ˆk 2 = m ( 4t (2t = m ( 8t 2 + 4t ( 2tî ĵ + (2t + 2ˆk Sedangkan momentum sudut terhadap titik pusat kordinat dapat diperoleh sebagai berikut L = r p = r (mv = mr v ( ( = m t 2 î 2tĵ + (t 2 + 2tˆk 2tî ĵ + (2t + 2ˆk ( = m ( 3t 2 2tî + 2t 2 ĵ + 3t 2ˆk Jika menggunakan sistem kordinat lain, dimungkinkan dijumpai vektor satuan yang tidak konstan (arahnya tidak tetap. Misalnya jika menggunakan sistem kordinat polar atau silinder atau bola. Maka perubahan arah vektor satuan ini juga akan berpengaruh pada turunan terhadap waktu suatu besaran. Misalnya suatu vektor yang dinyatakan dengan V = V r û r + V θ û θ dengan V r, V θ, û r dan û θ bergantung pada t, maka dv = dv r dû r ûr + V r + dv θ + V dû θ θ (6.4 ontoh Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat polar dinyatakan dengan û r dan û θ yang bila dinyatakan dalam vektor-vektor satuan kartesian adalah û r = cos θî + sin θĵ dan û θ = sin θî + cos θĵ. Su
7 6.2 Diferensial Vektor 135 atu vektor dinyatakan dalam sistem koordinat polar sebagai A = A r û r + A θ û θ, tentukanlah da da = d (A rû r + A θ û θ = û r da r dû r + A r + û da θ dû θ θ + A θ Karena û r = cos θî + sin θĵ dan û θ = sin θî + cos θĵ, maka dû r dû θ = d ( cos θî + sin θĵ = sin θ dθ ( = sin θî + cos θĵ dθ dθ = û θ = d ( sin θî + cos θĵ ( = cos θî + sin θĵ = û r dθ Dengan demikian dθ î + cos θ dθ ĵ = cos θ dθ dθ î sin θ ĵ da = û da r dû r r + A r + û da θ dû θ θ + A θ da r dθ = û r + û θ A r + û da θ dθ θ û r A θ ( ( dar dθ daθ dθ = A θ û r + + A r û θ Suatu fungsi vektor dapat juga merupakan fungsi dari kordinat posisi (x, y, misalnya dalam bentuk F = x exp(yî xyĵ + yˆk, dan disebut sebagai medan vektor. Turunan fungsi tersebut terhadap variabel-variabelnya dapat diperoleh menggunakan turunan parsial dan hasilnya adalah berupa besaran vektor. Misalnya F y F x = exp(yî yĵ = x exp(yî xĵ + ˆk
8 136 Analisa Vektor 6.3 Medan Skalar dan Medan Vektor Besaran skalar atau vektor yang didefinisikan tidak hanya pada satu titik dalam ruang melainkan dalam setiap bagian titik dalam ruang dikenal sebagai medan (field. Jika besaran medan ini dapat berupa medan skalar ataupun medan vektor. Suatu fungsi dua variabel φ(x, y adalah contoh medan skalar, sedangkan misalnya F(x, y merepresentasikan suatu medan vektor. Temperatur, tekanan dalam ruang merupakan contoh medan skalar sedangkan medan listrik, percepatan gravitasi merupakan contoh medan vektor. Karena besaran medan mempunyai variabel ruang, maka perubahan pada variabel ruang akan membuat perubahan pada fungsi medan. Turunan terhadap variabel ruang menjadi hal yang sangat penting untuk dibahas sebagaimana perubahan terhadap waktu (dinamika yang telah dibahas sebelumnya. 6.4 Gradien Untuk fungsi yang terdiri dari satu variabel, turunan menyatakan kemiringan kurva di titik tertentu. Fungsi dua variabel dapat digambarkan sebagai permukaan pada sistem kordinat tiga dimensi. Turunan fungsi di suatu titik tertentu dapat diperoleh dari turunan parsialnya. Tinjau suatu fungsi dua variabel yang dinyatakan dengan φ(x, y. Jika permukaan φ(x, y dipotong oleh permukaan datar yang sejajar bidang xz (yang berarti bidang y konstan maka kurva perpotongannya akan mempunyai turunan yang dapat dinyatakan ( φ dengan. Turunan ini akan memberikan gambaran bagaimana fungsi x y φ(x, y berubah terhadap x untuk suatu nilai y tertentu yang konstan (lihat gambar 6.2. Oleh karenanya dapat dipahami bahwa turunan di suatu titik bergantung pada arah mana perubahan terjadi (dengan kata lain turunan di suatu titik pada permukaan φ bergantung pada arah bidang datar yang memotongnya. Hal ini disebut sebagai turunan berarah (directional derivative. Misalkan arah yang dimaksud dinyatakan dengan suatu vektor v, maka turunan fungsi φ di titik (x, y dalam arah vektor v dituliskan sebagai v φ(x, y atau ringkasnya sebagai v φ. Dengan adalah operator diferensial parsial terhadap variabel ruang yang disebut nabla. Dikaitkan dengan pengertian tersebut di atas, maka gradien (gradient dari suatu fungsi skalar φ(x, y, z didefinisikan sebagai berikut (dalam sistem koordinat kartesian: φ = grad φ = φ x î + φ y ĵ + φ z ˆk (6.5
9 6.4 Gradien 137 φ(x, y φ(x, y permukaan φ permukaan φ x bidang y konstan kurva perpotongan y x bidang x konstan kurva perpotongan y Gambar 6.2 Ilustrasi perpotongan permukaan φ(x, y dengan bidang y konstan atau x konstan. Dengan demikian turunan berarah fungsi φ dalam arah suatu vektor satuan tertentu û adalah dφ = φ û (turunan berarah (6.6 ds Misalnya turunan berarah φ dalam arah î (yaitu searah sumbu x adalah ( φ φ î = x î + φ y ĵ + φ z ˆk î = φ x ontoh Tentukanlah turunan berarah suatu medan skalar φ = x 2 y + xz di titik (1, 2, 1 dalam arah vektor A = 2î 2ĵ + ˆk Vektor satuan dalam arah A adalah û = A A = 1 (2î 2ĵ + ˆk 3 Selanjutnya gradien di titik (1, 2, 1 adalah φ = φ x î + φ x ĵ + φ x ˆk = (2xy + zî + x 2 ĵ + xˆk φ = 3î + ĵ + ˆk (1,2, 1
10 138 Analisa Vektor maka turunan berarah yang dimaksud adalah φ û = 5 3 Dalam sistem kordinat silinder (r, θ, z bentuk gradien dari suatu fungsi skalar adalah sebagai berikut φ = φ r êr + 1 φ r θ êθ + φ z êz (6.7 dengan ê r, ê θ dan ê z masing-masing menyatakan vektor-vektor satuan dalam sistem kordinat silinder. Sedangkan bentuk gradien dalam sistem kordinat bola (r, θ, ψ adalah φ = φ r êr + 1 φ r θ êθ + 1 φ r sin ψ ψ eˆ ψ (6.8 Bila dikaitkan dengan bidang singgung dan vektor normal bidang singgung suatu permukaan φ(x, y, z = konstan di titik tertentu, maka gradien φ(x, y, z menyatakan vektor yang tegak lurus permukaan bidang singgung (vektor normal di titik singgung tersebut 1, sekaligus vektor tersebut menyatakan arah perubahan paling besar fungsi φ(x, y, z. ontoh 1 Tentukanlah gradien fungsi φ(x, y, z = x 2 y 3 z di titik (1, 2, 1. Dengan menggunakan persamaan 6.5, maka dapat diperoleh φ = φ x î + φ y ĵ + φ z ˆk = 2xy 3 zî + 3x 2 y 2 zĵ + x 2 y 3ˆk sehingga gradien di titik (1, 2, 1 adalah ( φ (1,2, 1 = 16î 12ĵ + 8ˆk 1 Lihat kembali pembahasan tentang bidang singgung dan integral permukaan, tersedia di
11 6.4 Gradien 139 ontoh 2 Pada suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan φ = x 2 y 2 + 2xy, tentukanlah arah yang memberikan penurunan nilai yang paling besar di titik (1, 1. Arah penurunan nilai yang paling besar dinyatakan dengan φ, dengan demikian untuk permukaan yang dinyatakan dengan φ = x 2 y 2 + 2xy maka arah penurunan nilai yang paling besar di titik (1, 1 adalah ( φ φ = (1,1 = x î + φ y ĵ (1,1 ( (2x + 2yî + ( 2y + 2xĵ (1,1 ( = 4î + 0ĵ = 4î ontoh 3 Tentukanlah persamaan bidang singgung (tangent plane permukaan x 2 + y 2 z = 0 di titik (3, 4, 25. Vektor normal permukaan bidang singgung diperoleh dari gradien φ(x, y, z. Dengan demikian untuk φ(x, y, z = x 2 + y 2 z akan diperoleh φ = î φ x + ĵ φ φ + ˆk y z = 2xî + 2yĵ ˆk Di titik (3, 4, 25 akan diperoleh nilai φ = 6î + 8ĵ ˆk (3,4,25 Selanjutnya persamaan bidang singgung yang dimaksud adalah 6(x 3 + 8(y 4 (z 25 = 0 = 6x + 8y z = 25
12 140 Analisa Vektor 6.5 Operator Diferensial Vektor Gradien suatu fungsi φ(x, y, z yang dinyatakan sebagai φ = φ x î + φ y ĵ + φ z ˆk dapat pula dituliskan dalam bentuk lain φ x î + φ y ĵ + φ z ˆk = ( xî + y ĵ + z ˆk φ (6.9 yang berarti adanya suatu operator diferensial vektor yang bekerja pada suatu fungsi skalar φ. Operator diferensial vektor tersebut dituliskan kembali dalam bentuk = xî + y ĵ + z ˆk (6.10 Operator diferensial vektor juga dapat beroperasi pada fungsi medan vektor, misalnya untuk suatu medan vektor V(x, y, z = V x (x, y, zî + V y (x, y, zĵ + V z (x, y, zˆk maka dot product antara dengan V dinamakan divergensi (divergence dari V atau disingkat divv, yaitu ( V = divv = xî + y ĵ + z ˆk = V x x + V y y + V z z ( V x î + V y ĵ + V zˆk (6.11 ross product antara operator diferensial vektor dengan medan vektor V(x, y, z dinamakan rotasi (curl yang diperoleh sebagai berikut V = curlv ( = xî + y ĵ + z ˆk ( V x î + V y ĵ + V zˆk ( Vz = y V ( y Vx î + z z V z ĵ + x ( Vy x V x y ˆk (6.12 Satu lagi bentuk operator diferensial parsial yang sering dijumpai dalam persoalan fisis adalah yang menyatakan divergensi dari suatu gradien yang dikenal sebagai laplacian. Untuk suatu fungsi skalar φ(x, y, z, laplacian dari medan skalar φ(x, y, z adalah
13 6.5 Operator Diferensial Vektor φ = φ = div grad φ ( = xî + y ĵ + z ˆk = 2 φ x φ y φ z 2 ( φ x î + φ y ĵ + φ z ˆk (6.13 ontoh 1 Untuk medan vektor V = x 2 î + y 2 ĵ + z 2ˆk, tentukanlah divergensi (divergence dan rotasi (curl medan vektor tersebut. Divergensi medan vektor tersebut adalah ( V = xî + y ĵ + z ˆk ( x 2 î + y 2 ĵ + z 2ˆk = 2x + 2y + 2z sedangkan rotasi (curl medan vektor tersebut adalah ( V = xî + y ĵ + z ˆk ( x 2 î + y 2 ĵ + z 2ˆk ( ( ( z 2 = y y2 x 2 î + z z z2 y 2 ĵ + x x x2 ˆk y ontoh 2 = 0 Tentukanlah laplacian dari medan skalar φ = x 3 3xy 2 + y 3. 2 φ = 2 φ x φ y φ z 2 = 6x 6x + 6y = 6y
14 142 Analisa Vektor 6.6 Integral Garis Ini sangat sering dijumpai dalam persoalan mekanika (misalnya ketika menghitung usaha. Integral garis biasanya dihitung berdasarkan lintasan (garis tertentu dan misalnya dilambangkan dengan. ontoh 1 Gaya yang dinyatakan dengan F = xyî y 2 ĵ bekerja pada suatu benda dan benda tersebut bergerak sepanjang lintasan yang menghubungkan titik (0,0 dan (2,1 pada bidang kartesian. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F tersebut jika lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut berupa parabola dengan persamaan y = 1 4 x2. Usaha yang dilakukan oleh gaya F adalah W = dw = F dr Karena F = xyî y 2 ĵ dan dr = dxî + dxĵ + dzˆk jadi diperoleh F dr = xydx y 2 dy Dengan demikian W = F dr = xydx y 2 dy Pada lintasan yang dimaksud (yaitu parabola terdapat hubungan antara variabel y dengan x sesuai dengan persamaan parabola yaitu y = 1 4 x2, dan dapat diperoleh bahwa dy = 1 2xdx dengan demikian dapat dinyatakan W = xydx y 2 dy = = parabola x( 1 4 x2 dx ( 1 4 x2 2 ( 1 2 xdx ( 1 4 x x5 dx = 2 3
15 6.6 Integral Garis 143 ontoh 2 Sebagaimana ontoh 1 namun lintasan yang digunakan adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0 dengan (2,1. Pada lintasan ini hubungan antara variabel x dan y dinyatakan dengan persamaan garis yang menghubungkan kedua titik yaitu y = 1 2 x. Karena y = 1 2 x, berarti dy = 1 2dx. Dengan demikian dapat dinyatakan W = xydx y 2 dy = garis lurus 2 0 x( 1 2 xdx (1 2 x2 ( dx = 0 ( 1 4 x2 1 8 x2 dx = 1 ontoh 3 Sebagaimana ontoh 1 dan ontoh 2 namun lintasan yang digunakan adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0 ke (0,1 kemudian dari (0,1 ke (2,1. Untuk lintasan yang dimaksud terdapat dua segmen garis. Yang pertama adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0 dengan titik (0,1. Pada garis ini berlaku hubungan x = 0, dengan demikian dx = 0. Batas integrasinya adalah dari y = 0 hingga y = 1. Sedangkan segmen garis kedua adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,1 dengan titik (2,1. Pada garis ini berlaku y = 0, dengan demikian dy = 0. Batas integrasi adalah dari x = 0 hingga x = 2. Integral lintasan tersebut dapat dituliskan menjadi dua bagian sesuai segmen garis yang digunakan yaitu W = xydx y 2 dy = lintasan yang dimaksud segmen 1 xydx y 2 dy + segmen 2 xydx y 2 dy Dengan demikian diperoleh
16 144 Analisa Vektor 1 2 W = ( y 2 dy + (xdx = = 5 3 y=0 x=0 Dari ketiga contoh tersebut terlihat bahwa hasil integral yang diperoleh tergantung pada lintasan yang digunakan. Terdapat bentuk fungsi F tertentu sedemikian sehingga nilai integral lintasan yang menghubungkan dua buah titik dalam ruang sama dan tidak bergantung pada lintasan yang digunakan. Dalam pembahasan mekanika, fungsi F yang seperti ini dinamakan fungsi (medan yang bersifat konservatif. 6.7 Teorema Green Teorema dasar dalam Kalkulus memberikan ungkapan tentang hubungan antara diferensial dan integral dari suatu fungsi, yaitu dinyatakan dalam bentuk b a d f(t = f(b f(a (6.14 Misalkan terdapat fungsi multivariabel yaitu P (x, y dan Q(x, y yang turunan keduanya merupakan fungsi yang kontinu. Misalkan suatu luasan A adalah bentuk sembarang dengan batas-batas absisnya (batas paling kiri dan batas paling kanan adalah x = a dan x = b sedangkan batas-batas ordinatnya (batas paling bawah dan batas paling atas adalah y = c dan y = d sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 6.7. Bila dicari integral lipat dua dari turunan parsial P (x, y terhadap y, maka dapat dinyatakan A P (x, y dydx = y b = a b dx a b = y u y l P (x, y dy y [P (x, y u P (x, y l ] dx a P (x, y l dx a b P (x, y u dx
17 6.7 Teorema Green 145 y y u (x y x r (y d A A y l (x c x l (y a b x x (a (b Gambar 6.3 Daerah berbentuk sembarang untuk membuktikan teorema Green. Terlihat bahwa b a P (x, y l dx merupakan integral garis dengan lintasan berupa bagian bawah dari kurva dari titik 1 (titik yang absisnya a ke titik 2 (titik yang absisnya b. Demikian juga bahwa integral a b P (x, y u dx merupakan integral garis dengan lintasan berupa bagian atas dari kurva dari titik 2 ke titik 1. Artinya integral tersebut di atas dapat diganti menjadi integral garis dengan lintasan berupa kurva tertutup (dari titik 1 kembali ke titik 1 dengan arah berlawanan arah jarum jam. Dengan demikian dapat dituliskan kembali sebagai P (x, y P dx = dydx (6.15 y A Dengan cara yang sama (tapi dengan mengintegralkan terhadap x terlebih dahulu dapat pula diperoleh untuk fungsi yang lain yaitu fungsi Q(x, y A Q x dxdy = d c dy x r x l = Qdy Q x dx = d c [Q(x r, y Q(x l, y] dy Artinya diperoleh
18 146 Analisa Vektor A Q x dxdy = Qdy (6.16 Kemudian dengan menambahkan persamaan 6.15 dengan persamaan 6.16 maka akan didapat A ( Q x P dx dy = y (P dx + Qdy (6.17 dengan menyatakan kurva tertutup yang membatasi permukaan A. Integral lintasan yang dihitung arahnya adalah berlawanan arah jarum jam. Ungkapan persamaan 6.17 dikenal sebagai teorema Green dan teorema ini menyatakan bahwa integral permukaan dapat dinyatakan dalam bentuk integral garis. Atau sebaliknya integral garis pada suatu lintasan tertutup dapat diubah menjadi integral permukaan (lipat dua pada luasan yang dibentuk oleh lintasan tertutup tersebut. ontoh Dengan menggunakan teorema Green, hitunglah integral lintasan (xydx y 2 dy pada lintasan tertutup yang merupakan garis lurus dari titik (2,1 ke (0,1 kemudian garis lurus dari titik (0,1 ke titik (0,0 dan dilanjutkan dengan lengkungan y = 1 4 x2 yang menghubungkan titik (0,0 ke titik (2,1. Dengan menggunakan teorema Green, integral lintasan tertutup tersebut dapat diubah menjadi integral permukaan (integral lipat dua dengan daerah yang dibatasi oleh kurva lintasan tertutup tersebut. Bila digunakan persamaan 6.17 maka dapat dinyatakan bahwa P (x, y = xy dan Q(x, y = y 2 dengan demikian Maka diperoleh Q x = 0 dan P y = x
19 6.8 Teorema Divergensi 147 (xydx y 2 dy = A = 1 ( Q x P dx dy = y A 2 y y=0 x=0 x dx dy = 1 x dx dy 6.8 Teorema Divergensi Misalkan suatu vektor V = V x î + V y ĵ, dengan V x = Q(x, y dan V y = P (x, y adalah berupa fungsi multivariabel dalam x dan y. Karena vektor V tidak mempunyai komponen dalam arah sumbu z berarti dapat dinyatakan Q x P y = V x x + V y y = div V = V (6.18 Kemudian tinjau kurva tertutup yang melingkupi suatu daerah luasan A sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 6.4. A dx dr dy nds Gambar 6.4 Luasan A yang dilingkupi oleh kurva tertutup. Sepanjang kurva tersebut vektor dr merupakan vektor yang menyinggung kurva, dalam hal ini vektor dr dapat dinyatakan sebagai dr = dxî + dyĵ Sedangkan vektor normal yang bersangkutan adalah nds = dyî dxĵ (6.19 dengan n menyatakan vektor satuan normal (berarah ke luar dari luasan A dan ds = dx 2 + dy 2. Dengan demikian dapat dinyatakan
20 148 Analisa Vektor P dx + Qdy = V y dx + V x dy = (V x î + V y ĵ (dyî dxĵ = V n ds (6.20 Kemudian bila persamaan 6.18 dan persamaan 6.20 disubstitusikan ke persamaan 6.17 akan diperoleh A ( V dx dy = (V n ds (6.21 Persamaan tersebut dikenal sebagai teorema divergensi dalam dua dimensi. Dalam kasus 3 dimensi, teorema divergensi dapat dinyatakan dalam bentuk Vdτ = V ndσ (6.22 volume permukaan dengan τ menyatakan volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup. Terlihat bahwa teorema divergensi mengaitkan antara integral lipat tiga (integral volume dengan integral lipat dua (integral permukaan. ontoh Untuk suatu medan vektor berbentuk V = x 2 î + y 2 ĵ + z 2ˆk, hitunglah V n dσ pada permukaan kubus yang bersisi satu satuan dan permukaan titik-titik sudutnya adalah pada (0,0,0, (0,0,1, (0,1,0, (1,0,0. Integral tersebut dapat diselesaikan langsung maupun dengan menggunakan teorema divergensi. Permukaan kubus tersebut ada 6 buah masing-masing dengan vektor normal î, î,ĵ, ĵ,ˆk dan ˆk. Bila dihitung integralnya secara langsung maka berarti V n dσ = V î dy dz + V î dy dz permukaan kubus perm perm. 3 perm. 5 V ĵ dx dz + V ˆk dx dy + perm. 2 perm. 4 perm. 6 V ĵ dx dz V ˆk dx dy
21 6.9 Teorema Stoke 149 Bila dihitung akan menghasilkan V n dσ = dy dz dy dz permukaan kubus y=0 z=0 y=0 z= dy dz dx dz x=0 z=0 y=0 z= dx dy dx dy = 3 x=0 y=0 y=0 z=0 Bila menggunakan teorema divergensi, integral tersebut dapat dihitung sebagai berikut ( V = xî + y ĵ + z ˆk ( x 2 î + y 2 ĵ + z 2ˆk kemudian = 2x + 2y + 2z V dτ = 6.9 Teorema Stoke z=0 y=0 x=0 (2x + 2y + 2z dx dy dz = 3 Sekarang misalkan Q = V y dan P = V x sedangkan suatu vektor V dinyatakan dengan V = V x î + V y ĵ. Kemudian akan dapat dinyatakan Q x P y = V y x V x y = ( V ˆk (6.23 Dengan menggunakan notasi-notasi dalam Gambar 6.4, maka diperoleh P dx + Qdy = (V x î + V y ĵ (dxî + dyĵ = V dr (6.24 Dengan mensubstitusi persamaan 6.23 dan persamaan 6.24 ke persamaan 6.17 akan diperoleh
22 150 Analisa Vektor ( V ˆkdx dy = V dr (6.25 A Persamaan tersebut dinamakan teorema Stoke dalam dua dimensi. Bentuk teorema Stoke dalam kasus tiga dimensi adalah kurva V dr = ( V ndσ (6.26 permukaan σ Untuk memahami notasi yang digunakan dalam teorema Stoke, perhatikan Gambar 6.5 permukaan σ dσ n Gambar 6.5 Suatu permukaan σ yang tepinya dinyatakan oleh kurva tertutup. Teorema Stoke menghubungkan integral lipat dua dengan integral lintasan. Hal ini mirip dengan bentuk teorema Green, namun perlu dicatat bahwa permukaan yang digunakan dalam teorema Green adalah permukaan datar, sedangkan permukaan yang digunakan dalam teorema Stoke tidak perlu berupa permukaan datar. ontoh Hitunglah integral ( V n dσ pada permukaan yang berbentuk kubah (setengah bola yang dinyatakan dengan persamaan x 2 + y 2 + z 2 = a 2 dengan z 0 jika V = 4yî + xĵ + 2zˆk. Dengan menggunakan persamaan 6.12 dapat diperoleh bentuk rotasi dari medan vektor V, yaitu V = 3ˆk Permukaan yang digunakan dalam integral tersebut adalah permukaan setengah bola dengan jari-jari a. Vektor normal permukaan terse
23 6.9 Teorema Stoke 151 but dinyatakan dengan Selanjutnya dapat diperoleh n = r xî + yĵ + zˆk = r a ( V n = 3ˆk r a = 3 z a Kemudian dengan menggunakan sistem koordinat bola, dapat diperoleh hubungan Sehingga z = r cos θ dσ = r 2 sin θdθdφ perm. stgh. bola 3 z a dσ = 2π π/2 φ=0 θ=0 2π = 3a 2 dφ 0 3 a cos θ a 2 sin θ dθdφ a π/2 0 sin θ cos θdθ = 3πa 2 Integral tersebut dapat juga dihitung menggunakan teorema Stoke. Bila menggunakan teorema Stoke, integral permukaan tersebut dapat diubah menjadi integral garis (lintasan. Dalam hal ini kurva tertutup yang digunakan adalah lingkaran berjejari a yang berpusat di titik pusat koordinat. Jika digunakan sistem koordinat silinder dua dimensi (polar maka dapat dinyatakan Sehingga Dengan demikian dr = adθ( sin θî + cos θĵ V dr = a 2 dθ( 4 sin 2 θ + cos 2 θ Karena lingkaran V dr = a 2 2π θ=0 ( 4 sin 2 θ + cos 2 θdθ
24 152 Analisa Vektor sin 2 axdx = x 2 cos 2 axdx = x 2 sin 2ax 4a sin 2ax + 4a +, dan + sehingga akan diperoleh lingkaran V dr = a 2 2π θ=0 ( 4 sin 2 θ + cos 2 θdθ = 3πa 2 Bila menggunakan teorema Stoke dapat dipahami bahwa integral tersebut juga dapat dihitung menggunakan bentuk permukaan lainnya asalkan permukaan tersebut dibatasi oleh kurva tertutup yang identik yaitu lingkaran berjejari a dan berpusat di pusat koordinat. Misalnya saja dapat digunakan permukaan datar berbentuk lingkaran (lingkaran di bidang xy. Bila digunakan permukaan ini, maka arah normal permukaan adalah k. Sehingga Selanjutnya ( V n = 3ˆk ˆk = 3 ( V ndσ = 3 dσ = 3πa 2 Terbukti bahwa hasil yang diperoleh sama dengan hasil dari cara sebelumnya, namun terlihat bahwa hitungan yang terakhir ini jauh lebih sederhana dan singkat.
25 Paket Soal Bab 6 1. Suatu vektor gaya mempunyai komponen (1, 2, 3 dan bekerja di titik (3, 2, 1. Tentukanlah vektor momen gaya terhadap titik pusat koordinat dan momen terhadap masing-masing sumbu koordinat. 2. Gerak suatu benda dinyatakan dengan vektor posisi r = rû r dalam sistem koordinat polar. Tentukan kecepatan dan percepatan benda tersebut. 3. Tentukanlah persamaan garis normal (garis yang tegak lurus permukaan x 2 y + y 2 z + z 2 x + 1 = 0 di titik (1, 2, 1 dan juga persamaan bidang singgung di titik tersebut. 4. Tentukanlah gradien permukaan φ = z sin y xz di titik (2, π/2, 1 dan tentukan arah penurunan yang paling cepat dari nilai fungsi φ di titik tersebut. 5. Untuk medan vektor berikut, hitunglah divergensi dan rotasinya: a. V = x sin yî + cos yĵ + xyˆk b. V = x 2 yî + y 2 xĵ + xyzˆk 6. Untuk medan skalar berikut, hitunglah laplaciannya: a. φ = x 2 y 2 b. φ = xy(x 2 + y 2 5z 2 c. φ = 7. Untuk r = xî + yĵ + zˆk, hitunglah ( r a. (ˆk r b. r ( r c. r 1 x2 + y 2 + z 2 8. Suatu medan gaya dinyatakan dalam bentuk F = (y +zî (x+zĵ +(x+ yˆk. Tentukanlah usaha yang dilakukan oleh gaya untuk menggerakkan benda dalam lintasan berikut: a. lingkaran x 2 + y 2 = 1 pada bidang xy dengan arah berlawanan arah jarum jam. b. lingkaran x 2 + z 2 = 1 pada bidang xz dengan arah berlawanan arah jarum jam. c. garis dari pusat koordinat sepanjang sumbu x sampai titik (1, 0, 0 dilanjutkan garis sejajar sumbu z sampai titik (1, 0, 1 dilanjutkan garis 153
26 154 Paket Soal Bab 6 sejajar bidang yz sampai titik (1, 1, 1 dan kemudian kembali ke titik pusat koordinat melalui garis x = y = z. d. lengkungan dengan persamaan x = 1 cos t, y = sin t, z = t dari titik pusat koordinat ke titik (0, 0, 2π kemudian kembali ke titik pusat koordinat melalui garis sepanjang sumbu z. 9. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F = x 2 yî xy 2 ĵ dengan lintasan a dan b antara titik (1, 1 dan (4, 2 seperti ditunjukkan dalam gambar berikut y (1, 1 a (4, 2 b x 10. Gunakan teorema Green untuk menghitung integral lintasan tertutup xydx + x 2 dy dengan adalah lintasan tertutup seperti ditunjukkan gambar berikut y y = 1/ x x Hitunglah integral lintasan (x sin x ydx+(x y 2 dy dengan adalah segitiga yang titik sudutnya (0, 0, (1, 1 dan (2, Hitunglah integral (y 2 x 2 dx + (2xy + 3dy sepanjang sumbu x dari (0, 0 sampai ( 5, 0 kemudian sepanjang lengkungan busur lingkaran dari ( 5, 0 ke (1, Hitunglah integral r ˆn dσ pada seluruh permukaan silinder yang dibatasi x 2 + y 2 = 1, z = 0 dan z = 3, dengan r = xî + yĵ + zˆk. 14. Hitunglah integral V dτ pada kubus satuan yang terletak di oktan pertama (first octant jika V = (x 3 x 2 yî + (y 3 2y 2 + yxĵ + (z 2 1ˆk.
27 Hitunglah integral ( V ˆn dσ pada bagian permukaan z = 9 x 2 9y 2 di atas bidang xy jika V = 2xyî + (x 2 2xĵ x 2 z 2ˆk.
28
Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciSuryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Bab 4 Integral Garis dan Teorema Green 4. Integral Garis Definisi : Misal suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan adalah medan vektor
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciIntegral Vektor. (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TK 47 Matematika III Integral Vektor (Pertemuan VII) Dr. AZ Jurusan Teknik ipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Teorema Gauss Definisi : Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup
Lebih terperinciPertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1.
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik
Lebih terperinciMatematika Dasar INTEGRAL PERMUKAAN
Matematika asar INTEGRAL PERMUKAAN Misal suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan merupakan proyeksi pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i +
Lebih terperinciIntegral Garis. Sesi XIII INTEGRAL 12/7/2015
2//25 Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TK 85 Pengampu : Achfas Zacoeb esi XIII INTEGRAL e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 823398339 Integral Garis Dari Gambar.,
Lebih terperinciAljabar Vektor. Sesi XI Vektor 12/4/2015
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI Vektor e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 Aljabar Vektor Vektor juga memiliki
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 7 INTEGRAL PERMUKAAN Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI
Lebih terperinciPertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes
Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes Standar Kompetensi : 1. Memahami Teorema Green Kompetensi Dasar : 1. Menyebutkan kembali pengertian
Lebih terperinci1 Energi Potensial Listrik
FI101 Fisika Dasar II Potensial Listrik 1 Energi Potensial Listrik gus Suroso (agussuroso@fi.itb.ac.id) Pada kuliah sebelumnya, telah dibahas besaran-besaran gaya dan medan elektrostatik yang timbul akibat
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciProgram Studi Teknik Mesin S1
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMATIKA TEKNIK 2 KODE/SKS : IT042227 / 2 SKS Pertemuan Pokok Bahasan dan TIU 1 Pendahuluan Mahasiswa mengerti tentang mata kuliah Matematika Teknik 2 : bahan ajar,
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciPEMBAHASAN KISI-KISI SOAL UAS KALKULUS PEUBAH BANYAK (TA 2015/2016)
PEMBAHAAN KII-KII OAL UA KALKULU PEUBAH BANYAK (TA 5/6) Arini oesatyo Putri DEEMBER 3, 5 UNIVERITA ILAM NEGERI UNAN GUNUNG DJATI BANDUNG Pembahasan oal Kisi-Kisi UA Kalkulus Peubah Banyak Tahun Ajaran
Lebih terperinciDr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
SISTEM-SISTEM KOORDINAT Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Sistem Koordinat Kartesian Dalam sistem koordinat Kartesian, terdapat tiga sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, dan z. Suatu titik
Lebih terperinciKINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK
KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang. Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 10 Kalkulus Vektor. Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 )
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 10 Kalkulus Vektor Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 30 日 ( 日 ) Kalkulus Vektor Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciBAB VI INTEGRAL LIPAT
BAB VI INTEGRAL LIPAT 6.1 Pendahuluan Pada kalkulus dan fisika dasar, kita melihat sejumlah pemakaian integral misal untuk mencari luasan, volume, massa, momen inersia, dsb.nya. Dalam bab ini kita ingin
Lebih terperinciIntegral yang berhubungan dengan kepentingan fisika
Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
Lebih terperinciSP FISDAS I. acuan ) , skalar, arah ( ) searah dengan
SP FISDAS I Perihal : Matriks, pengulturan, dimensi, dan sebagainya. Bisa baca sendiri di tippler..!! KINEMATIKA : Gerak benda tanpa diketahui penyebabnya ( cabang dari ilmu mekanika ) DINAMIKA : Pengaruh
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral (Stokes Theorem) Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Stokes Theorem Review : Pada pembahasan sebelumnya, kepadatan sirkulasi atau curl pada bidang dua dimensi
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciGambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus
BAB 7. GERAK ROTASI 7.1. Pendahuluan Gambar 7.1 Sebuah benda bergerak dalam lingkaran yang pusatnya terletak pada garis lurus Sebuah benda tegar bergerak rotasi murni jika setiap partikel pada benda tersebut
Lebih terperinciFISIKA XI SMA 3
FISIKA XI SMA 3 Magelang @iammovic Standar Kompetensi: Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan masalah Kompetensi Dasar: Merumuskan hubungan antara konsep torsi,
Lebih terperinciKINEMATIKA. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
KINEMATIKA Fisika Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran
Lebih terperinciListrik Statik. Agus Suroso
Listrik Statik Agus Suroso Muatan Listrik Ada dua macam: positif dan negatif. Sejenis tolak menolak, beda jenis tarik menarik. Muatan fundamental e =, 60 0 9 Coulomb. Atau, C = 6,5 0 8 e. Atom = proton
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x,y) pada = {(x,y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciDERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)
DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan
Lebih terperinciMedan Magnet oleh Arus Listrik
Medan Magnet oleh Arus Listrik Agus Suroso Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandung Agus Suroso (FTETI-ITB) Medan Magnet oleh Arus Listrik 1 / 24 Materi 1 Hukum Biot-Savart
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciFI2202 Listrik Magnet: Magnetostatika
FI2202 Listrik Magnet: Magnetostatika Agus Suroso 1 Sem. 2 2017-2018 Topik magnetostatika diawali dengan pembahasan mengenai gaya Lorentz (yaitu interaksi antara medan magnetik dengan muatan listrik yang
Lebih terperinciKonsep Usaha dan Energi
1/18 FISIKA DASAR (TEKNIK SISPIL) USAHA DAN ENERGI Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Konsep Usaha dan Energi Disamping perumusan hukum newton,
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 6 INTEGRAL GARIS Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciTeorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green
TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan
Lebih terperinciBINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD.
BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD hanisantosa@gmail.com 2 BAB 1 PENDAHULUAN Atom, Interaksi Fundamental, Syarat Matematika, Syarat Fisika, Muatan Listrik, Gaya Listrik, Pengertian
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan V) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Operator Del Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. A. Tinjauan Pustaka. 1. Vektor
BAB II LANDASAN TEORI A. Tinjauan Pustaka 1. Vektor Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak
Lebih terperinciDinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA
Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 MOMEN GAYA DAN MOMEN INERSIA Dalam gerak translasi gaya dikaitkan dengan percepatan linier benda, dalam gerak rotasi besaran yang dikaitkan dengan percepatan
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinciPengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciPertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : 1. Memahami Integral Kalkulus dari Vektor. 2. Memahami Integral Garis,
Lebih terperinciFisika Dasar I (FI-321)
Fisika Dasar I (FI-321) Topik hari ini (minggu 2) Gerak dalam Satu Dimensi (Kinematika) Kerangka Acuan & Sistem Koordinat Posisi dan Perpindahan Kecepatan Percepatan GLB dan GLBB Gerak Jatuh Bebas Mekanika
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinci3. ORBIT KEPLERIAN. AS 2201 Mekanika Benda Langit. Monday, February 17,
3. ORBIT KEPLERIAN AS 2201 Mekanika Benda Langit 1 3.1 PENDAHULUAN Mekanika Newton pada mulanya dimanfaatkan untuk menentukan gerak orbit benda dalam Tatasurya. Misalkan Matahari bermassa M pada titik
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinciBAB 1 Keseimban gan dan Dinamika Rotasi
BAB 1 Keseimban gan dan Dinamika Rotasi titik berat, dan momentum sudut pada benda tegar (statis dan dinamis) dalam kehidupan sehari-hari.benda tegar (statis dan Indikator Pencapaian Kompetensi: 3.1.1
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciDinamika. DlNAMIKA adalah ilmu gerak yang membicarakan gaya-gaya yang berhubungan dengan gerak-gerak yang diakibatkannya.
Dinamika Page 1/11 Gaya Termasuk Vektor DlNAMIKA adalah ilmu gerak yang membicarakan gaya-gaya yang berhubungan dengan gerak-gerak yang diakibatkannya. GAYA TERMASUK VEKTOR, penjumlahan gaya = penjumlahan
Lebih terperincimomen inersia Energi kinetik dalam gerak rotasi momentum sudut (L)
Dinamika Rotasi adalah kajian fisika yang mempelajari tentang gerak rotasi sekaligus mempelajari penyebabnya. Momen gaya adalah besaran yang menyebabkan benda berotasi DINAMIKA ROTASI momen inersia adalah
Lebih terperinciSoal-Jawab Fisika Teori OSN 2013 Bandung, 4 September 2013
Soal-Jawab Fisika Teori OSN 0 andung, 4 September 0. (7 poin) Dua manik-manik masing-masing bermassa m dan dianggap benda titik terletak di atas lingkaran kawat licin bermassa M dan berjari-jari. Kawat
Lebih terperinciListrik Statik. Agus Suroso
Listrik Statik Agus Suroso Muatan Listrik Ada dua macam: positif dan negatif. Sejenis tolak menolak, beda jenis tarik menarik. Muatan fundamental e =, 60 0 9 Coulomb. Atau, C = 6,5 0 8 e. Atom = proton
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciDetektor Medan Magnet Tiga-Sumbu
Detektor Medan Magnet Tiga-Sumbu Octavianus P. Hulu, Agus Purwanto dan Sumarna Laboratorium Getaran dan Gelombang, Jurdik Fisika, FMIPA, UNY ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis bentuk sensor
Lebih terperinciBAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA
142 LAMPIRAN III BAHAN AJAR PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA Pernahkan kamu melempar sebuah bola tenis atau bola voli ke atas? Apa lintasan yang terbuat dari lemparan bola tersebut ketika bola itu jatuh
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinci1 Nama Anggota 1:Darul Afandi ( ) Jawaban soal No 40. -
Universitas Jember Jurusan Matematika - FMIPA MAM 56 Deadline: Wednesday, 9 ; :55 Analisis Kompleks Tugas Template Jawaban Nama Kelompok: Group J Nama Anggota:. Darul Afandi (8). Wahyu Nikmatus Sholihah
Lebih terperinciFisika Dasar I (FI-321)
Fisika Dasar I (FI-321) Topik hari ini (minggu 2) Gerak dalam Satu Dimensi (Kinematika) Kerangka Acuan & Sistem Koordinat Posisi dan Perpindahan Kecepatan Percepatan GLB dan GLBB Gerak Jatuh Bebas Mekanika
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1991
Matematika EBTANAS Tahun 99 EBT-SMA-9-0 Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 x x x = 4 x = x = x = x = EBT-SMA-9-0 Salah satu akar persamaan kuadrat mx 3x + = 0 dua kali akar yang lain, maka nilai
Lebih terperinciKoordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola. Tim Kalkulus II
Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola Tim Kalkulus II Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciSaat mempelajari gerak melingkar, kita telah membahas hubungan antara kecepatan sudut (ω) dan kecepatan linear (v) suatu benda
1 Benda tegar Pada pembahasan mengenai kinematika, dinamika, usaha dan energi, hingga momentum linear, benda-benda yang bergerak selalu kita pandang sebagai benda titik. Benda yang berbentuk kotak misalnya,
Lebih terperinciFISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO
i FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO Departemen Fisika Universitas Airlangga, Surabaya E-mail address, P. Carlson: i an cakep@yahoo.co.id URL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com Puji
Lebih terperinciDINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR
DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR Fisika Kelas XI SCI Semester I Oleh: M. Kholid, M.Pd. 43 P a g e 6 DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR Kompetensi Inti : Memahami, menerapkan, dan
Lebih terperinciKONSEP USAHA DAN ENERGI
KONSEP USAHA DAN ENERGI 1/18 FISIKA DASAR (TEKNIK SISPIL) USAHA DAN ENERGI Mirza Satriawan Physics Dept. Gadjah Mada University Bulaksumur, Yogyakarta email: mirza@ugm.ac.id Konsep Usaha dan Energi Disamping
Lebih terperinciKinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:
Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Modul 1
Modul 1 Analisis Vektor Paken Pandiangan, S.Si., M.Si. A nalisis vektor mulai dikembangkan pada pertengahan abad ke19. Pada saat ini merupakan bagian yang sangat penting bagi mereka yang mendalami ilmu
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 3 TURUNAN PARSIAL Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciBab 3. Sistem Koordinat Ortogonal. 3.1 Sistem Koordinat Kartesian. cakul fi5080 by khbasar; sem
Bab 3 cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011 Sistem Koordinat Ortogonal Sistem koordinat merupakan cara pandang terhadap suatu masalah. Penggunaan sistem koordinat yang berbeda dalam menyelesaikan suatu
Lebih terperinciPAKET 3 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 2009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA
Kumpulan Soal - Soal Latihan UN Matematika IPA SMA dan MA 009. (Suprayitno) 33 PAKET 3 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA PETUNJUK UMUM. Kerjakan semua soal - soal ini menurut
Lebih terperinci1 Posisi, kecepatan, dan percepatan
1 Posisi, kecepatan, dan percepatan Posisi suatu benda pada suatu waktu t tertentu kita tulis sebaai r(t). Jika saat t = t 1 benda berada pada posisi r 1 r(t 1 ) dan saat t = t 2 > t 1 benda berada pada
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinci4.4. KERAPATAN FLUKS LISTRIK
4.4. KERAPATAN FLUKS LISTRIK Misalkan D adalah suatu medan vektor baru yang tidak bergantung pada medium dan didefinisikan oleh Didefinisikan fluks listrik dalam D sebagai Dalam satuan SI, satu garis fluks
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)
DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 5 INTEGRAL LIPAT Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI -
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciBentuk Volumetric Irisan Kerucut (Persiapan Modul Cara Menghitung Volume Irisan Kerucut)
Bentuk Volumetric Irisan Kerucut (Persiapan Modul Cara Menghitung Volume Irisan Kerucut) izky Maiza,a), Triati Dewi Kencana Wungu,b), Lilik endrajaya 3,c) Magister Pengajaran Fisika, Fakultas Matematika
Lebih terperinci1 Posisi, kecepatan, dan percepatan
1 osisi, kecepatan, dan percepatan osisi suatu benda pada suatu waktu t tertentu kita tulis sebaai r(t). Jika saat t = t 1 benda berada pada posisi r 1 r(t 1 ) dan saat t = t 2 > t 1 benda berada pada
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinci