Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR"

Transkripsi

1 VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya, vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan skalar adalah besaran yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah. Coba sebutkan apa saja yang termasuk vektor dan apa saja yang termasuk skalar? Ya, panjang, waktu, volume, serta usaha termasuk skalar, sedangkan yang termasuk vektor adalah kecepatan, gaya, perpindahan, dan percepatan. Selain contoh di atas, coba Anda sebutkan contoh vektor dan skalar yang lainnya! Perpindahan merupakan salah satu contoh vektor. Bagaimana menghitung besar perpindahan? Sebelumnya, coba Anda perhatikan gambar berikut! Apa itu perpindahan? C A B A : titik awal A : titik awal C : titik akhir C : titik akhir Apakah yang dapat Anda lihat dari gambar di atas? Dari gambar di atas, seorang anak berlari dengan lintasan dari titik A ke titik B, dan berakhir di titik C. Anak tersebut mengalami perpindahan, karena terjadi perubahan posisi dari titik A ke titik C. Jadi, perpindahan adalah perubahan posisi yang terjadi dalam selang waktu tertentu. Kemudian, bagaimanakah kita mengukur perpindahannya? Jika kita mengukur besar perpindahan, maka kita mengukur panjang dari titik awal ke titik akhir lintasan. Sehingga besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah 1

2 panjang lintasan dari titik A ke titik C, sedangkan arah perpindahannya adalah dari titik A ke titik C. Berikut ini definisi vektor secara lengkap. Secara grafik Coba lihat gambar di bawah ini! P O Apa yang Anda lihat pada gambar di atas? Ada sebuah anak panah yang berawal di titik O dan berujung di titik P. Gambar tersebut merupakan sebuah vektor, dimana titik O adalah titik pangkal (titik awal) vektor dan titik P adalah titik akhir (titik ujung) vektor. Titik ujung vektor menunjukkan arah yang dituju. Secara analisis Vektor dilambangkan oleh sebuah huruf. Anak panah diletakkan di atas huruf atau dengan menebalkan huruf tersebut, yang menandakan bahwa vektor memiliki arah. Jadi, vektor OP dilambangkan dengan. Besar dinyatakan dengan. Setelah Anda mengetahui definisi vektor secara grafik dan aljabar, maka selanjutnya akan dijelaskan mengenai aljabar vektor. Aljabar Vektor Vektor juga memiliki operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Penjelasannya sebagai berikut. 1. Dua buah vektor dan dikatakan sama jika vektor-vektor tersebut memiliki besar/panjang dan arah yang sama tanpa memandang titik-titik awalnya. Jadi seperti pada gambar dibawah ini. pada gambar disamping, terlihat bahwa dan memiliki besar/panjang yang sama dan arah yang dituju pun sama. Oleh karena itu,, walaupun titik awal/pangkalnya berbeda. 2

3 2. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor, tetapi memiliki besar/panjang yang sama dinyatakan oleh, dinyatakan dalam gambar berikut. pada gambar disamping, terlihat bahwa dan memiliki besar/panjang yang sama namun arah yang dituju berbeda (berlawanan). 3. Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dan ditulis dengan, adalah sebuah vektor yang dibentuk dengan menempatkan titik pangkal vektor pada titik ujung vektor, dan kemudian menghubungkan titik pangkal vektor dengan titik ujung vektor. Perhatikanlah contoh berikut. Misalkan dan seperti gambar berikut. Untuk mencari resultan, maka letakkan titik pangkal ujung, sehingga diperoleh gambar berikut. pada titik Resultan yang diperoleh adalah dengan membuat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung. Jadi, resultan yang dihasilkan merupakan vektor dimana titik pangkalnya berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung. 3

4 4. Selisih dari vektor-vektor dan ditulis dengan, dapat didefinisikan dengan resultan. Perhatikan contoh berikut. Untuk mencari sama juga artinya dengan mencari, maka Anda perlu mencari terlebih dulu. Berikut ini akan diperlihatkan. Setelah itu, dapat dicari resultan dengan menggunakan cara no.3 di atas. Buat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung vektor, maka merupakan vektor dimana titik pangkalnya berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung. Sehingga, dapat kita lihat pada gambar di bawah ini. 5. Hasil kali sebuah vektor dengan sebuah skalar adalah sebuah vektor yang besarnya kali besarnya. Arah vektor ini memiliki arah 4

5 yang sama atau berlawanan dengan, bergantung pada apakah positif atau negatif. Jika, maka adalah sebuah vektor nol. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Misalkan vektor, yaitu dengan 2cm Karena skalar, maka adalah 4 cm dan panjang adalah cm cm Berikut sifat-sifat aljabar vektor. Sifat-sifat Aljabar Vektor Jika, dan adalah vektor-vektor dan serta adalah skalar-skalar, 6. maka 1. Hukum Komutatif Penjumlahan 2. Hukum Asosiatif Penjumlahan 3. Hukum Komutatif Perkalian 4. Hukum Asosiatif Perkalian 5. Hukum Distributif 6. Hukum Distributif CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika A dan B seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gambarkanlah A 2B 5

6 B A Langkah-langkahnya sebagai berikut. a. Buat vektor -2B, di mana panjangnya 2 B dan arahnya berlawanan dengan arah B b. Pindahkan -2B dengan meletakkan titik pangkalnya pada titik ujung A c. Hubungkan titik pangkal A dengan titik ujung -2B yang baru dipindahkan, maka didapat A 2B -2B A -2B A Contoh 2 Sebuah bus bergerak sejauh 50 km menuju arah timur, kemudian dilanjutkan sejauh 25 km menuju timur laut. a. Gambarkanlah dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut. Gunakan skala 1 cm mewakili 10 km. b. Jika R adalah resultan dari perpindahan yang dilakukan bus tersebut, hitung panjang dan arah dari R dengan menggunakan grafik dan secara analitik. a. Untuk menggambar grafik perpindahan yang dilakukan bus, pertamatama buat sumbu koordinat dan namai masing-masing sesuai dengan arah mata angin. Gunakan skala 1: , artinya untuk 1 cm mewakili 1 km. Kemudian, gambar perpindahan sejauh 50 km ke arah timur dengan membuat garis (OA) sepanjang 5 cm ke arah timur. Perpindahan 25 km kerah timur laut digambar dengan membuat garis (AB) sepanjang 2,5 cm ke arah timur laut. Lalu, hubungkan titik awal ke titik akhir setelah perpindahan, garis ini dinamakan resultan perpindahan (BO = R). Sehingga diperoleh gambar berikut ini. 6

7 Utara B R O Ѳ A Timur Gambar 3 b. Secara grafik: Besar resultan perpindahan dapat ditentukan dengan mengukur panjang R, panjang R setelah diukur ternyata 7 cm. Ini berarti R = 7 x 10 km = 70 km. Arah R ditentukan dengan menggunakan busur derajat, setelah diukur diperoleh arah R = ke sebelah utara dari timur. Secara analitik: Untuk menghitung panjang R secara analitik gunakan rumus menghitung panjang sisi sebuah segitiga berkenaan dengan dalil kosinus, yaitu: R 2 = OA 2 + AB 2 2 OA AB cos = cos = 4892,7670 R = 69,9483 Selanjutnya menghitung arah R, gunakan dalil sinus. Misalkan yang merupakan arah R Akibatnya, dengan arah ke sebelah utara dari timur. LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong 7

8 Latihan 1 Jika vektor-vektor A, B, dan C seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gambarkan R = A 2B C A B C Langkah-langkahnya sebagai berikut: a. Buat vektor -2B dimana panjangnya dan arahnya dengan arah B b. Pindahkan dengan meletakkan di..a c. Buat vektor... dimana panjangnya dan arahnya.. dengan d. Pindahkan C dengan meletakkan.. di ujung e. Hubungkan titik pangkal dengan titik. sehingga diperoleh A 2B C Sehingga diperoleh gambar A + 2B C berikut ini. Latihan 2 Sederhanakanlah 8

9 Latihan 3 Misalkan titik-titik P(1, -2), Q(-3, 4), dan R(2, -3). Dapatkanlah (a) PQ, (b) QR, (c) PQ QR, (d) -3RP (a) PQ = ( , ) = (-4,...) (b) QR = ( ,... 4) = (...,... ) (c) PQ QR = (-4,...) (...,... ) = ( , ) = (..., 13) (d) -3RP = -3(... 2, ) = -3(...,...) = (...,... ) Latihan 3 Sebuah pesawat terbang menempuh jarak 200 km ke arah barat dan kemudian 150 km ke arah ke sebelah utara dari barat. Tentukan pergeseran resultan a. secara grafis, b. secara analitis. a. Secara grafis Gambar vektor perpindahan resultan Skala U B O T Misalkan vektor perpindahan ke arah barat adalah A dan di sebelah utara dari barat sebagai B, resultan perpindahan R. Dengan menggunakan penggaris diperoleh resultan perpindahan R dan 9

10 dengan menggunakan busur derajat diperoleh sudut.. Maka R besarnya dengan arah ke sebelah utara dari b. Secara analitis R 2 = A 2 + B 2-2 A B cos - cos Jadi R Dari hukum sinus Sin.... maka... jadi C besarnya km dan arahnya... ke.. dari.. LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor V = 3i + 4j dan W = 5i +2j. Hitunglah panjang sisi-sisi segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Latihan 2 Diketahui vektor-vektor A, B, C dan D. 10

11 A B C D Bentuklah a. 3A 2B (C D) b. C + (A B + 2D) Latihan 3 Sebuah mobil bergerak sejauh 100 km menuju ke arah barat, kemudian dilanjutkan sejauh 60 km menuju barat laut, dan 80 km menuju timur. 11

12 a. Gambarkan dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut. Untuk itu gunakan skala 1 cm untuk mewakili 20 km b. Jika R adalah perpindahan yang dilakukan oleh bus tersebut, hitunglah panjang dan arah R dengan menggunakan grafik dan secara analitik 12

13 Kunci Jawaban Latihan 1 : 5,, 10 Latihan 3 : b. besarnya 80 km, arahnya ke sebelah utara dari barat Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 13

14 Materi pokok pertemuan ke 2: 4. Vektor satuan 5. Komponen vektor dan vektor komponen 6. Himpunan vektor kolinear dan takkolinear URAIAN MATERI Vektor satuan Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu satuan. Jika sebuah vektor yang diketahui dan adalah sebuah vektor satuan, maka vektor satuannya dapat dituliskan dengan dimana. Vektor Basis Satuan Vektor basis satuan dalam Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam. Pilih dua vektor satuan dan sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan y positif dan berpangkal di O. O Vektor dan disebut dengan vektor-vektor basis di. Vektor basis satuan dalam Pada sistem koordinat dalam, terdapat tiga vektor satuan, yaitu vektor satuan,, dan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x, y, dan z positif dan berpangkal di O. 14

15 O Vektor Posisi Vektor posisi dalam Jika dan adalah vektor-vektor basis di yaitu vektor satuan yang masingmasing sejajar dan searah dengan sumbu x dan sumbu y dan berpangkal di titik O dalam, maka sebarang vektor dari titik O ke titik P(x,y) dalam bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis dan. Sehingga, vektor posisi titik P diberikan oleh dimana ; disebut vektor-vektor komponen. adalah komponen vektor adalah komponen vektor pada sumbu x pada sumbu y Vektor disebut vektor posisi titik P, karena komponenkomponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P. Panjang/besar dari dinyatakan oleh, dimana. Vektor posisi dalam Vektor-vektor basis dalam adalah vektor-vektor satuan,, dan yang masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu x, y, dan z positif dan berpangkal di titik O. 15

16 Vektor posisi titik P(x,y,z) diberikan oleh Panjang/besar dari dinyatakan oleh, dimana Secara umum untuk sebarang vektor pada yang mempunyai komponenkomponen vektor,, dan dapat dituliskan dalam bentuk,, dan disebut vektor-vektor komponen dari pada sistem koordinat tegak lurus X, Y, dan Z. z y x Panjang vektor diberikan oleh

17 Kemudian jika vektor satuan dari, maka Berikut sifat-sifat aljabar vektor. Sifat-sifat aljabar vektor: Misalkan, dan adalah vektor-vektor, dan adalah skalar, maka berlaku sifat-sifat: a. (komutatif pada penjumlahan) b. (asosiatif pada penjumlahan) c. (identitas pada penjumlahan) d. (identitas pada perkalian) e. (distributif perkalian skalar terhadap vektor) f. (distributif) g. jika dan hanya jika h. i. Himpunan vektor yang bergantung linear dan bebas linear Himpunan vektor disebut bergantung linear jika dan hanya jika ada himpunan skalar yang tidak semuanya nol, sehingga. Jika himpunan skalar semuanya nol, maka himpunan vektor tersebut dikatakan bebas linear. Beberapa sifat dari himpunan vektor yang bergantung linear: 1. Jika dan adalah dua vektor kolinear/sejajar, maka kedua vektor tersebut bergantung linear. 2. Jika,, dan adalah tiga buah vektor yang terletak pada sebuah bidang, maka ketiga vektor tersebut bergantung linear. 17

18 3. Jika,,, dan adalah empat buah vektor yang terletak dalam ruang dimensi tiga, maka keempat vektor tersebut bergantung linear. CONTOH SOAL Contoh 1 Jika A = 3i + 2j + 4k, B = i + 3j - 2k, dan C = 2i j. Carilah a. A + 2B C, b. A + 2B C, c. vektor satuan dari A + 2B C. a. A + 2B + C = (3i + 2j + 4k) + 2(i + 3j - 2k) - (2i j) = (3i + 2i - 2i) + (2j + 6j + j) + (4k 4k) = 3i + 9j b. A + 2B + C = = c. Misalkan u adalah vektor satuan dari A + 2B C, maka u = Contoh 2 Apakah A = 3i + j dan B = -i + 3j bergantung linear? Jika A dan B bergantung linear, maka skalar a dan b tidak keduanya nol sehingga aa + bb =0 a(3i + j) + b(-i + 3j) = 0 karena i dan j takkolinear, maka (3a b)i + (a + 3b)j = 0 sehingga 3a b = 0 (1) a + 3b = 0 (2) dari (1) dan (2) diperoleh a = 0 dan b = 0. Jadi, karena semua skalarnya 0 sehingga aa + bb = 0. Maka vektor A dan B tidak bergantung linear (bebas linear). 18

19 LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika A = 3i j 4k, B = -2i + 4j 3k, dan C = i + 2j k. Carilah a. 2A B + 3C, b. A + B + C, c. 3A 2B + 4C, dan d. vektor satuan yang sejajar dengan 3A 2B + 4C a. 2A B + 3C = 2 ( ) -... = ( ( - - i j k b. A + B + C = + A + B + C =.. c. 3A 2B + 4C ) + =... 3A 2B + 4C =.. d. Vektor satuan yang sejajar dengan 3A 2B + 4C = Latihan 2... Misalkan A = i j + 2k, B = 2i + 2j + k, dan C = 3i + j + 2k. Selidiki apakah A, B, dan C bergantung linear?. Jika A, B, dan C bergantung linear, maka skalar a, b dan c tidak semuanya nol sehingga aa + bb + cc =0 a(i b c = 0 Karena i, j, dan k takkolinear, maka (a + )i + ( + 2b )j k = 0 19

20 sehingga + 2b = 0 (1).. (2).. (3) Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh 4b.. (4) Eliminasi persamaan (2) dan (3) diperoleh (5) Eliminasi persamaan (4) dan (5) diperoleh b Substitusi b ke persamaan diperoleh c Substitusi b dan c ke persamaan (1) sehingga diperoleh a Jadi, karena terdapat skalar a, b, c yang sehingga aa + bb + cc = 0. Maka A, B, dan C.. linear. LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Carilah vektor satuan yang sejajar dengan resultan dari vektor-vektor r1 = -5i + 4j + 2k dan r2 = 3i + 2j + k. 20

21 Latihan 2 Dalam tiap-tiap kasus berikut apakah vektor-vektornya bebas linear atau bergantung linear: a. A = 2i + j 3k, B = i 4k, C = 4i + 3j k b. A = i 3j + 2k, B = 2i 4j k, C = 3i + 2j k 21

22 Latihan 3 Jika a dan b adalah vektor-vektor takkolinear dan A = (x + 4y)a + (2x + y + 1)b dan B = (y 2x + 2)a + (2x 3y 1)b, maka carilah x dan y sehingga 3A = 2B. 22

23 Kunci Jawaban Latihan 1 : Latihan 2 : a. bebas linear, b. bergantung linear Latihan 3 : x = 2 dan y = -1 Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini di tempat kosong di bawah 23

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal

Lebih terperinci

Perkalian Titik dan Silang

Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut

Lebih terperinci

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada

Lebih terperinci

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :

Lebih terperinci

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

B a b 2. Vektor. Sumber:www.tallship.org

B a b 2. Vektor. Sumber:www.tallship.org a b 2 Vektor Sumber:www.tallship.org Pada bab ini, nda akan diajak untuk dapat menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya dengan cara melakukan penjumlahan vektor. Pernahkah nda mengarungi lautan

Lebih terperinci

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi

Lebih terperinci

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor

Lebih terperinci

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan

Lebih terperinci

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,

Lebih terperinci

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : 1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR B A B B A B

BESARAN VEKTOR B A B B A B Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?

Lebih terperinci

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK 1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR DIFERENSIASI VEKTOR Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor URAIAN MATERI Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor, maka bisa dinyatakan sebagai fungsi

Lebih terperinci

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52 FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. BAB II V E K T O R Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat

Lebih terperinci

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat] 1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA

PERSAMAAN BIDANG RATA 1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata

Lebih terperinci

Aljabar Vektor. Sesi XI Vektor 12/4/2015

Aljabar Vektor. Sesi XI Vektor 12/4/2015 Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb Sesi XI Vektor e-mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 Aljabar Vektor Vektor juga memiliki

Lebih terperinci

VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran

VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang

Lebih terperinci

BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR

BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR A. Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menyadari kebesaran Tuhan yang menciptakan dan mengatur alam jagad raya melalui pengamatan fenomena alam fisis dan pengukurannya. 2.1 Menunjukkan

Lebih terperinci

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan

Lebih terperinci

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus

Lebih terperinci

VEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.

VEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu. VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA VEKTOR

MODUL MATEMATIKA VEKTOR MODUL MATEMATIKA VEKTOR Kementerian Pendidikan Nasional Universitas Negeri Manado Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Pendidikan Matematika 007 Kata Pengantar Modul pembelajaran ini dirancang

Lebih terperinci

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat, VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,

Lebih terperinci

BAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom

BAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan

Lebih terperinci

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR. a. Unsur-Unsur Vektor. b. Notasi Vektor

MATEMATIKA. Sesi VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR. a. Unsur-Unsur Vektor. b. Notasi Vektor MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR Vektor adalah ruas garis yang memiliki nilai dari arah. Nilai vektor disini adalah panjang vektor. Vektor adalah notasi

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

BAB II BESARAN VEKTOR

BAB II BESARAN VEKTOR BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

BAB 2 ANALISIS VEKTOR

BAB 2 ANALISIS VEKTOR BAB ANALISIS VEKTOR A. Tujuan Umum Mahasiswa memahami pengertian vektor, operasi vektor, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kaedah aljabar vektor. B. Tujuan Khusus Mahasiswa dapat memahami konsep

Lebih terperinci

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,

Lebih terperinci

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor . Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)

Lebih terperinci

Rudi Susanto, M.Si VEKTOR

Rudi Susanto, M.Si VEKTOR Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi

Lebih terperinci

Vektor Ruang 2D dan 3D

Vektor Ruang 2D dan 3D Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

VEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor

VEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor VEKTOR GAYA Perkalian dan Pembagian vektor dengan scalar Jika vektor dikalikan dengan nilai positif maka besarnya meningkat sesuai jumlah pengalinya. Perkalian dengan bilangan negatif akan mengubah besar

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

PanGKas HaBis FISIKA. Vektor

PanGKas HaBis FISIKA. Vektor Vektor PanGKas HaBis FISIKA Mari kita pandang sebuah perahu yang mengarungi sebuah sungai. Perahu itu, misalnya, berangkat dari dermaga menuju pangkalan bahan bakar. Jika dermaga dipakai sebagai titik

Lebih terperinci

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,

Lebih terperinci

Bab 1 : Skalar dan Vektor

Bab 1 : Skalar dan Vektor Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar Vektor-1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar Vektor-1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Matematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar Vektor-1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Kuantitas Skalar dan Vektor Kuantitas Fisis dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Kuantitas skalar:

Lebih terperinci

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1 1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai

Lebih terperinci

Kata. Kunci. E ureka Jika kalian mempunyai rekaman terjadinya tsunami, tontonlah bersama teman-teman kalian. Kemudian, jawablah pertanyaanpertanyaan

Kata. Kunci. E ureka Jika kalian mempunyai rekaman terjadinya tsunami, tontonlah bersama teman-teman kalian. Kemudian, jawablah pertanyaanpertanyaan Kata Kunci Vektor Resultan vektor Penjumlahan vektor Penguraian vektor Dot product Cross product Di bab sebelumnya, kalian telah mempelajari besaran dan satuan. Pada bab ini, kita akan mempelajari pembagian

Lebih terperinci

FISIKA KINEMATIKA GERAK LURUS

FISIKA KINEMATIKA GERAK LURUS K-13 Kelas X FISIKA KINEMATIKA GERAK LURUS TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan. 1. Menguasai konsep gerak, jarak, dan perpindahan.. Menguasai konsep kelajuan

Lebih terperinci

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang

Lebih terperinci

Soal Latihan 2. Vektor. 1. Perhatikan gambar di bawah ini!

Soal Latihan 2. Vektor. 1. Perhatikan gambar di bawah ini! Soal Latihan Vektor 1. Perhatikan gambar di bawah ini! Tiga buah gaya F1, F, dan F3 memiliki arah dan besar seperti pada gambar berikut ini. Hubungan yang benar untuk ketiga gaya tersebut adalah... a.

Lebih terperinci

Modul Sifat dan Operasi Gaya. Ir.Yoke Lestyowati, MT

Modul Sifat dan Operasi Gaya. Ir.Yoke Lestyowati, MT Modul Sifat dan Operasi Gaya Ir.Yoke Lestyowati, MT Konten E-Learning IDB 7in1 Terintegrasi PDITT 2015 BAB I SIFAT DAN OPEASI GAYA 1.1. Capaian Pembelajaran 1.1.1. Umum 1. Mampu menggunakan teori gaya

Lebih terperinci

BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.

BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat. .. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik

Lebih terperinci

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu

Lebih terperinci

VEKTOR Matematika Industri I

VEKTOR Matematika Industri I VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali

Lebih terperinci

1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1

1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1 Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

VEKTOR Matematika Industri I

VEKTOR Matematika Industri I VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali

Lebih terperinci

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu

Lebih terperinci

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis

Lebih terperinci

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH BAB I VEKTOR Pendahuluan B esaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam bentuk angkaangka. Besaran fisika dapat dibagi menjadi besaran pokok dan besaran

Lebih terperinci

VEKTOR. Matematika Industri I

VEKTOR. Matematika Industri I VEKTOR Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali vektor

Lebih terperinci

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.

Lebih terperinci

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian

Lebih terperinci

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang

Lebih terperinci

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = = VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang

Lebih terperinci

2.2 kinematika Translasi

2.2 kinematika Translasi II KINEMATIKA PARTIKEL Kompetensi yang akan diperoleh setelah mempelajari bab ini adalah pemahaman dan kemampuan menganalisis serta mengaplikasikan konsep kinematika partikel pada kehidupan sehari-hari

Lebih terperinci

MENJUMLAH VEKTOR. No Besaran Skalar Besaran Vektor

MENJUMLAH VEKTOR. No Besaran Skalar Besaran Vektor MENJUMLAH VEKTOR Kompetensi Siswa 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2. Mengembangkan perilaku (jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli, santun, ramah lingkungan, gotong royong,

Lebih terperinci

Penjumlahan Vektor. Edisi Kedua. Untuk SMA kelas X. (Telah disesuaikan dengan KTSP)

Penjumlahan Vektor. Edisi Kedua. Untuk SMA kelas X. (Telah disesuaikan dengan KTSP) Penjumlahan Vektor Edisi Kedua Untuk SMA kelas X (Telah disesuaikan dengan KTSP) Lisensi Dokumen : Copyright 008 009 GuruMuda.Com Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara bebas

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA

SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA 1 KEGIATAN BELAJAR 6 SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah

Lebih terperinci

Pengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT

Pengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar

Lebih terperinci

Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan dibagi waktu yang diperlukan untuk perubahan tersebut.

Percepatan rata-rata didefinisikan sebagai perubahan kecepatan dibagi waktu yang diperlukan untuk perubahan tersebut. PERCEPATAN Sebuah benda yang kecepatannya berubah tiap satuan waktu dikatakan mengalami percepatan. Sebuah mobil yang kecepatannya diperbesar dari nol sampai 90 km/jam berarti dipercepat. Apabila sebuah

Lebih terperinci

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang

Lebih terperinci

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1 VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor

Lebih terperinci

VEKTOR YUSRON SUGIARTO

VEKTOR YUSRON SUGIARTO VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian

Lebih terperinci

TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL

TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL 7 th International Junior Science Olympiad (IJSO) 11 th Initational World Youth Mathematics Intercity Competition (IWYMIC) MODUL FISIKA GERAK (Sumber: College Physics,

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Sekolah : SMA Negeri 1 Kayen Mata pelajaran : Fisika Kelas/Semester : X/1 Materi Pokok : Vektor Alokasi Waktu : 12 x 45 menit A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

PENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm

PENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm PENGUKURAN BESARAN A. Pengertian Mengukur Mengukur adalahmembandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang dijadikan standar satuan. Misalnya kita mengukur panjang benda, dan ternyata panjang benda

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas

Lebih terperinci

Materi Aljabar Linear Lanjut

Materi Aljabar Linear Lanjut Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA 1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor

Lebih terperinci