KONTRUKSI MODEL DINAMIK PERTUMBUHAN ALGA DAN PENGARUHNYA PADA PERUBAHAN KADAR NITROGEN

Transkripsi

1 Prosiding KNM XV, Juni Juli, Manado Hlm KONTRUKSI MODEL DINAMIK PERTUMBUHAN ALGA DAN PENGARUHNA PADA PERUBAHAN KADAR NITROGEN WIDOWATI, SUTIMIN, TARITA IS,, Jurusan Matmatia FMIPA Univrsitas Dipongoro, Jl. Prof. Sodharto, SH, Kampus Tmbalang Smarang Abstra. Pada papr ini dimuaan pngontrusian modl dinami prtumbuhan alga dan pngaruhnya pada prubahan adar nitrogn diprairan. Modl dinami yang diprolh mrupaan sistm prsamaan difrnsial non-linar dngan mpat variabl. Variabl trsbut adalah alga, amonia, nitrit, dan nitrat. Modl prtumbuhan alga yang diprolh mrupaan modl logisti. Dari hasil simulasi diprolh bahwa prtumbuhan alga mncapai maximum pada hari tujuh dngan apasitas daya tampung alga adalah 78, 64 x 4 /ml. Dari hasil simulasi diprolh bahwa prubahan adar amonia, nitrit, dan nitrat dipngaruhi olh prubahan padatan alga. Apabila padatan alga smain tinggi, maa adar amonia dan nitrit smain tinggi pula. Sdangan apabila padatan alga smain tinggi, maa adar nitrat smain rndah dan sbalinya. Kata unci : Pmodlan matmatia, nitrogn, alga, titi stimbangan, stabilan. Pndahuluan Silus nitrogn mrupaan srangaian pross yang mndsripsian transformasi nitrogn. Pross-pross trsbut mnghubungan rasi prubahan onsntrasi antara amonia, nitrit, dan nitrat dngan padatan alga. Mula-mula nitrogn organi yang masu dalam prairan aan trurai mnjadi nitrogn amonia. Pross ini dinamaan amonifiasi. Dngan bantuan batri Nitrosomonas dan Nitrobactr, nitrogn amonia aan mngalami rasi nitrifiasi mnjadi nitrogn nitrit yang brlanjut mnjadi nitrogn nitrat. Nitrogn-amonia dan nitrat ini scara brsama-sama digunaan olh alga untu fotosintsis. Pross ini dinamaan asimilasi nitrogn anorgani olh alga []. Pmodlan matmatia mrupaan salah satu bidang matmatia yang dapat digunaan untu mrprsntasian prubahan onsntrasi amonia, nitrit, dan nitrat pada prairan dalam prnyataan matmatia. Modl dinami nitrogn untu sistm pada prairan sungai tlah dibahas olh bbrapa pnliti [4, 6]. Kmudian, Bucly, t.al [] mngaji masalah optimisasi yang brhubungan dngan prairan dan nitrogn. Slanjutnya, Djambov dan Rusva [] mngmuaan masalah pmodlan matmatia dari osidasi homogn

2 WIDOWATI, SUTIMIN, TARITA IS nitrogn dalam produsi nitric acid pada tanaman. Modl dinami non-linar yang mrprsntasian dinamia osistm dari utrofiasi pada badan air yang disbaban olh nutrin tlah dianalisis olh Misra [5]. Smntara itu brdasaran silus nitrogn, Brown dan Barnwll[] mngmuaan prubahan onsntrasi amonia, nitrit, dan nitrat yang mlibatan modl sponnsial alga. Widowati, d [8] tlah mngaji pmodlan matmatia dan analisis numri dari prubahan onsntrasi amonia, nitrit, dan nitrat mlalui sprimn dilaboratorium dngan sampl brasal dari prairan Poldr Tawang Smarang. Slanjutnya pada papr ini, dibahas pngaruh prtumbuhan alga pada prubahan adar amonia, nitrit, dan nitrat. Prtimbangan aan trbatasan cahaya, nutrin, andungan osign, luas prmuaan prairan ttap, dan dngan mngasumsian tida ada pross migrasi maa dapat dionstrusi modl logisti dari prtumbuhan alga. Hubungan antara modl logisti prtumbuhan alga dngan prubahan adar amonia, nitrit, dan nitrat dirprsntasian dalam sistm prsamaan difrnsial non-linar. Kmudian dari sistm trsbut dicari titi stimbangannya. Analisa stabilan dilauan mlalui pngajian nilai ign dari matris Jacobian sistm trlinarisasi.. Pmbahasan.. Pmodlan Matmatia Pada bagian ini diaji tntang modl matmatia yang dionstrusi dari prsamaan logisti dan prsamaan Brown and Barnwll. Misalan A(t) adalah padatan alga pada saat t yang dinyataan dalam jumlah sl/ml dan K adalah apasitas daya tamping (carrying capacity). Paramtr δ mnunjuan daya tumbuh alga yang dipngaruhi olh laju prtumbuhan, rspirasi, dan pngndapan alga, modl logisti yang mngilustrasian prubahan jumlah sl alga adalah dimana δ µ ρ d μ ρ σ d da A δ A, () K σ : laju prtumbuhan loal alga (prhari), : laju rspirasi loal alga (prhari), : laju pngndapan loal alga ( mtr/hari), : rata-rata dalaman prairan (mtr),

3 Kontrusi modl dinami prtumbuhan alga dngan δ >, K >, µ >, ρ >, σ dan d >. Misalan N (t), N (t), dan N (t) brturut-turut mnyataan onsntrasi amonia, nitrit, dan nitrat saat t dalam mg/l. Konsntrasi amonia, nitrit, dan nitrat trsbut aan mngalami prubahan brdasaran rasi nitrifiasi (nitritasi dan nitratasi) []. Pada pross nitritasi, batri dari gnus Nitrosomas aan mngubah amonia mnjadi nitrit dngan laju prhari. Slanjutnya pada pross nitratasi, batri dari gnus Nitrobactr aan mngubah nitrit mnjadi nitrat dngan laju prhari. Bntos juga brpngaruh dalam prubahan onsntrasi amonia. Bntos adalah sjnis hwan-hwan cil yang hidup di dasar prairan. Kanaragaman bntos trgantung atas dalaman air, smain dalam prairan anaragaman bntos aan smain mnurun []. Bntos yang mlauan mtabolism aan mngsrsian nitrogn-amonia dalam prairan shingga onsntrasi amonia aan mningat. Pross mtabolism bntos dipngaruhi olh cahaya. Misalan σ mrupaan onstanta yang mnyataan tingat sumbr bntos dalam g/m prhari dan d adalah dalaman prairan σ dalam mtr, maa mg/l adalah onsntrasi amonia yang disrsian d bntos yang dipngaruhi olh dalaman prairan. Prbandingan onsntrasi amonia dan nitrat yang digunaan olh alga brdasaran fator prfrnsi amonia (P). Shingga apabila saat t onsntrasi amonia yang digunaan adalah P bagian, maa onsntrasi nitrat yang digunaan adalah -P bagian. Fungsi asimilasi amonia dan nitrat pada saat t adalah ` > PN( t) F( t) PN ( t) + ( P) N ( t) (a) ( P) N( t) ( F( t)) (b) PN ( t) + ( P) N ( t) Apabila α adalah total nitrogn yang trdapat dalam alga (mg-n/mg-a) dan μ adalah laju prtumbuhan alga maa total asimilasi amonia dan nitrat olh alga brturut-turut dapat dinyataan dngan F( t) αµ A( t) dan F( t)) αµ A( t) Modl prubahan onsntrasi amonia, nitrit, dan nitrat [] adalah (. ( t) σ N( t) + F( t) αµ A( t ), ( a) d

4 WIDOWATI, SUTIMIN, TARITA IS ( t ) N ( t ) N( t ), ( b) (t ) N(t ) ( F( t )) αµ A(t ), ( c) dngan σ >, d >, α >, P, >, dan >. Jia prsamaan (a- b) disubsitusian dalam prsamaan (a) dan (c) srta untu pnydrhanaan pnulisan trgantungan fungsi trhadap t dihilangan, maa diprolh modl dinami nitrogn yang braitan dngan prtumbuhan alga. Modl ini mrupaan sistm prsamaan diffrnsial dngan mpat variabl sbagai briut da A δ A, K σ PN N + αµ A, d PN + ( P) N, N N ( P) N N αµ A, (4) PN + ( P) N dngan A ( ), N (), N (), dan N ()... Kstabilan dari Solusi Kstimbangan Modl Misalan titi E(A, N, N, N ) mnyataan titi stimbangan untu alga, amonia, nitrit, dan nitrat dari modl prubahan nitrogn pada sistm prsamaan (4). Titi stimbangan trsbut dapat diprolh jia mmnuhi da,,, dan. Slanjutnya, dapat diprolh titi stimbangan dari sistm (4), E(A, N, N, N ) dngan A K, N C, C, N PC ( P )( αµ K C ) N, dimanaσ αµ Kd, C >. Prilau dari sistm prsamaan diffrnsial non-linar (4) di sitar titi stimbangan dapat diaji dngan mlinarisasi sistm trsbut. Jnis stabilan dari titi stimbangan trsbut ditntuan brdasaran nilai ign dari matris Jacobian dari sistm trlinarisasi. Salah satu mtod plinaran adalah spansi Taylor di sitar titi stimbangan. Misalan A A A,

5 Kontrusi modl dinami prtumbuhan alga 5 N N N, N N N, dan N N N. Shingga diprolh sistm prsamaan dalam bntu matris sbagai briut d A Z d N XN ( P) d N d N XN P XA N XA N dngan X P( P ) αµ, PN + ( P ) N, A Z δ K, dan matris Jacobiannya adalah XA N XA N A N N N, (5a) J Z XN ( P) XN P XAN XAN Prsamaan aratristi matris J yaitu ( Z )( λ) λ + λ( + + M + M ) XAN XAN [ + + M + M + M ]. λ, (5b) XA dngan N XA M, N M. Prsamaan (5b) mmpunyai pnylsaian λ, λ Z, dan solusi dari polinomial drajat dua λ + aλ + a dngan a + + M + M, a +. Nilai a dan a. Hal ini mudah + M + M M ditunjuan, arna a 4 ( α µ K + αµ KC + Pα µ K + P C PCαµ K dan ) 5

6 WIDOWATI, SUTIMIN, TARITA IS a Pαµ KC + PC P + αµ K C ( P)( + C ) PC + αµ K C Misalan λ dan λ masing-masing adalah aar-aar dari λ + a λ + a, λ dan λ dapat dinyataan sbagai a + a 4a λ dan a a 4a λ. Prilau sistm di sitar titi stimbangan E(A, N, N, N ) aan stabil jia Z <, λ <, dan λ <. Dalam hal ini, haruslah a >. Karna λ slalu brnilai ngatif, shingga agar nilai λ < maa a > a 4a atau a >. Prilau sistm di sitar titi stimbangan E(A, N, N, N ) tida stabil jia Z > atau λ > atau λ >. Apabila λ dan λ duanya brnilai positif maa a < dan a >. Apabila λ dan λ brlawanan tanda maa a <... Simulasi Numri Sbagai vrifiasi dari modl dinami yang dimuaan, maa pada bagian ini dibrian simulasi untu mnylidii pngaruh prtumbuhan alga trhadap prubahan onsntrasi nitrogn-amonia, nitrit, dan nitrat. Brdasaran data dari Widowati, d [8] yang tlah mlauan sprimn di laboratorium, disini diprolh data prtumbuhan alga dalam jumlah sl/ml x 4. Dmiian juga, untu data onsntrasi amonia, nitrit, dan nitrat diambil dari hasil pnlitian Widowati, d [7, 8]. Sdangan untu paramtr-paramtr yang lain, nilainya didapatan dari Brown, L.C and Barnwll []. Pnggunaan QUALE-Uncas trhadap variasi input data paramtr pada suatu prairan dapat diprolh suatu analisis snsitivitas yang mnjadi pnntu dalam nilai intrval stiap paramtrnya. Tanpa mngurangi umuman, pada simulasi numri ini diambil nilai paramtr-paramtr dalam intrval trsbut, sprti di bawah ini

7 Kontrusi modl dinami prtumbuhan alga 7 α,8 µ,5 ρ, dngan δ, 75 ; σ, 55 P, 7, 7N ( t ) σ F, dan 6 658, 7N ( t ) +, 9N ( t ) d,. Nilai dari paramtr K 78, 64, 84, dan 64,, dicari mnggunaan mtod uadrat trcil dngan softwar MAPLE. Dari sini, diprolh modl prubahan onsntrasi amonia, nitrit, nitrat yang braitan dngan prtumbuhan alga sbagai briut da A,75A, 78, 64, 7N, 84N + 6, 658, 84A,, 7N +, 9N,84N 64, N,,9N,64N,84A. (6),7N +,9N Grafi solusi dari sistm prsamaan diffrnsial non-linar di atas yang mnyataan prubahan jumlah sl alga, adar nitrogn-amonia, nitrit, dan nitrat trhadap watu dibrian pada Gambar dan Gambar. Gambar. Prubahan padatan alga dan adar amonia trhadap watu Dari Gambar dan trlihat bahwa prtumbuhan alga mncapai maximum pada hari tujuh dngan apasitas daya tampung 78,64 x 4. Kadar amonia mncapai maximum sitar 47,5 mg/l dan adar nitrit mncapai maximum pada nilai,55. Sdangan adar nitrat aan mnurun siring 7

8 WIDOWATI, SUTIMIN, TARITA IS dngan brtambahnya watu. Dari plot ini juga trlihat bahwa solusi dari sistm dinami non-linar (.6) aan mnuju titi ttap trtntu yang brarti juga stabil. Gambar. Prubahan adar nitrit dan nitrat trhadap watu Slanjutnya dislidii pngaruh prubahan jumlah sl (padatan) alga trhadap prubahan onsntrasi nitrogn. Pngaruh prtumbuhan alga (A) dngan prubahan adar nitrogn-amonia(n ), nitrogn-nitrit(n ), dan nitrogn-nitrat(n ) dibrian pada gambar briut. Gambar. Hubungan prubahan padatan alga dngan prubahan adar nitrogn Gambar di atas mnunjuan bahwa smain mningat jumlah sl (padatan alga) maa onsntrasi amonia dan nitrit smain mmbsar sdangan onsntrasi nitrat aan smain cil. Untu mnganalisa stabilan dari titi stimbangan, batas atas dari C diambil 47,5. Hal ini diarnaan C mrupaan titi stimbangan dari amonia. Tlah diprolh bahwa amonia mncapai maximum pada nilai 47,5 mg/l. Shingga didapat nilai C pada intrval < C 47,5. Untu simulasi numri ini, dipilih C, 648 yang

9 Kontrusi modl dinami prtumbuhan alga 9 mrupaan rata-rata onsntrasi amonia dari data[7]. modl dinami (.6) adalah E (, N, N, N ) Titi stimbangan A dngan A 78, 64 ; N,648 ; N, 48; N, 99. Nilai ign dari matris Jacobian adalah λ,75; λ,67; λ 4,6; λ. Karna 4 smua nilai ign dari matri Jacobian untu sistm trlinarisasi adalah urang dari atau samadngan nol maa prilau solusi modl trlinarisasi di sitar titi stimbangan adalah stabil.. Pnutup Prilau dinami adar nitrogn pada prairan yang braitan dngan modl logisti prtumbuhan alga tlah diaji scara analiti. Pada saat prtumbuhan alga mncapai carrying capacity (A K), titi stimbangan untu nitrogn-amonia, nitrogn-nitrit, dan nitrogn-nitrat adalah N C, C, N N PC. Brdasaran analisis stabilan, P)( αµ K C) ( diprolh bahwa prilau sistm di sitar titi stimbangan stabil untu < C 47,5. Dari hasil simulasi diprolh bahwa adar nitrogn-amonia, nitrit, dan nitrat aan stabil dan mnuju suatu titi ttap. Slain itu juga diprolh bahwa prubahan adar nitrogn dipngaruhi olh prubahan padatan alga. Smain tinggi padatan alga, smain tinggi pula adar nitrogn-amonia dan nitrogn-nitrit sdangan onsntrasi nitrogn-nitrat smain mnurun. Ucapan Trima Kasih. Papr ini mrupaan bagian dari hasil Pnlitian Fundamntal tahun 9 dngan Surat Prjanjian Plasanaan Hibah Pnlitian Multi Tahun Nomor: 4.A/H7./KP/9, tanggal 8 Mart 9. Trima asih pnulis sampaian pada Univrsitas Dipongoro maupun DIKTI yang tlah mnduung pnlitian ini. Daftar Pustaa []. T.N. Bucly, J.M. Millr, and G.D. Farquhar, Th mathmatics of lind optimisation for watr and nitrogn us in a canopy, Silva Fnnica, 6,, ,. []. L.C. Brown and T.O. Barnwll, Th Enhancd Stram Watr Quality Modls QualE and QualE-Uncas: Documntation and Usr Manual, Environmntal Rsarch Laboratory US Environmntal Protction Agncy Athns, Gorgia, 987. []. P. Djambov and N. Rusva, Modlling of nitrogn oxid oxidation in nitric acid production, Journal of th Univrsity of Chmical Tchnology and Mtallurgy, 4,, 4-44, 6. [4]. KIWE, Kora Watr Rsourcs Corporation, Dvlopmnt of Watr Quality Managmnt Systm for th Wst Tarum Canal (WTC) of Citarum Rivr Basin 9

10 WIDOWATI, SUTIMIN, TARITA IS (CRB) in Wst Java Provinc,. [5]. A.K. Misra, Mathmatical modling and analysis of utrophication of watr bodis causd by nutrints, Nonlinar Analysis: Modlling and Control,, 4, 5-54, 7. [6]. P.G. Whithad and R.J. Williams, A dynamic nitrogn balancd modl for rivr systms, IAHS Publ., 9, 89-99, 98. [7]. Widowati, Hrmin P.S, and Sutimin, Laporan Pnlitian, Konstrusi Modl Dinami Nitrogn untu mmprdisi Bban Limbah Masimum: Studi Kasus Poldr Tawang Smarang, Univrsitas Dipongoro, Smarang, 9. [8]. Widowati, Hrmin P.S, and Sutimin, Mathmatical Modling and Analysis of Ammonia, Nitrit, and Nitrat Concntration: Cas Study in Poldr Tawang Smarang, Indonsia, Procdings of th IICMA, Gadjah Mada Univrsity, ogyaarta, 56-57, 9.