PENERAPAN MIN PLUS ALGEBRA PADA PENENTUAN RUTE TERCEPAT DISTRIBUSI SUSU

Transkripsi

1 J. Math. and Its ppl. E-ISSN: P-ISSN: X Vol. 4, No. 2, Dsmbr 207, 5-24 PENERPN MIN PLUS LGEBR PD PENENTUN RUTE TERCEPT DISTRIBUSI SUSU Vivi Suwanti, Poht Bintoto 2, Riski Nur Istiqomah Dinullah 3 Univrsitas Kanjuruhan Malang, vivi_dvbatghost@unikama.ac.id 2 Univrsitas Kanjuruhan Malang, poht_bintoto@unikama.ac.id 3 Univrsitas Kanjuruhan Malang, ky2_zahra@unikama.ac.id bstrak Pnlitian ini brtujuan untuk mncari rut trcpat yang bisa ditmpuh untuk mistribusikan susu dari produsn di darah Kpanjn Malang k Pabrik pngolah di darah Tanggulangin dngan mnggunakan algoritma Min Plus lgbra. Mtod pnlitian yang digunakan adalah kualitatif dskriptif. Tahap pnlitian yang dilakukan mliputi ) obsrvasi lapangan, 2) pmbuatan prototip program Matlab Min plus algbra, 3) prhitungan rut trcpat mnggunakan program Matlab, dan 4) analisis data. Dari hasil pnlitian didapat digraf sarah yang trdiri dari 0 titik sbagai rprsntasi rut pngiriman. Dngan mnggunakan prototip program Matlab didapat jalur yang trcpat yang dapat dilalui adalah produsn jalan Raya Kbon gung Gadang jalur rjosari jalur jalan Raya Malang Pandaan lanjut tol pabrik pngolah dngan waktu tmpuh 34 mnit. Katakunci: min plus algbra, distribusi, trcpat PENDHULUN Distribusi susu mrupakan salah satu aspk pnting dalam rantai industri pnghasil dan pngolah susu. Tingkat ktpatan waktu dalam prjalanan harus slalu diprhatikan untuk mnjaga kualitas susu yang dikirimkan. Olh karna itu dibutuhkan mtod pncarian jalur trpk untuk fisinsi pross prjalanan. 5

2 6 Pnrapan Min Plus lgbra pada Pnntuan Rut Trcpat Dis Pada matmatika, tlah banyak ditmukan algoritma-algoritma untuk mncari jalur trpk. Salah satunya adalah dngan mnggunakan min plus algbra. Scara umum aljabar min-plus analog dngan aljabar maxplus, atau dapat dikatakan kdua struktur aljabarnya isomorfis. [] Dfinisi. Dibrikan R : R { } dngan R adalah himpunan smua bilangan ral dan :. Pada R didfinisikan oprasi brikut: a b min( a, b) dan a b a b, untuk stiap a, b R. [] R adalah smiring idmpotm komutatif dngan lmn idntitas trhadap adalah 0 dan lmn idntitas trhadap adalah :. Dfinisi.2 Suatu jaringan lintasan sarah S adalah suatu graf brarah brbobot trhubung kuat taksiklik S = (V, ), dngan V = {, 2,,..., n} yang mmnuhi kondisi: jika (i, j), maka i < j.[] Dalam jaringan lintasan sarah ini, titik mnyatakan prsimpangan, arc/garis mnyatakan suatu jalan, sdangkan bobot busur mnyatakan jarak, shingga bobot dalam jaringan slalu positif. Torma. Dibrikan suatu jaringan lintasan sarah dngan n titik dan adalah matriks bobot graf brarah dngan ntri a ij bobot arc, jika i j dan titik i trhubung k titik j. Vktor saat-mulai, jika i j atau titik i tidak trhubung k titik j paling awal titik i dapat dilalui dibrikan olh x * b dimana n n dngan ntri ij * n E, dngan E matriks brordo 0, jika i j, jika i j dan T xn mrupakan waktu minimal untuk mlintasi jaringan. [] b 0. Lbih lanjut Torma.2 Dibrikan suatu jaringan lintasan sarah dngan n titik dan adalah matriks bobot graf brarah brbobot jaringan trsbut. Vktor saat-pnylsaian paling lambat titik dibrikan olh x dimana T b x n [] T * b

3 Vivi Suwanti, Poht Bintoto, Riski Nur Istiqomah Dinullah 7 Dfinisi.3 Suatu jalan ( i, j) dalam jaringan lintasan sarah S disbut jalan trpk jika x i xi dan x j x j [] Brdasarkan [3], min plus algbra slalu bnar scara matmatis untuk prhitungan jarak trpk srta mudah ditrapkan baik scara manual maupun bahasa pmrograman. Pada pnlitian ini, istilah jarak trpk diganti dngan rut trcpat dngan prtimbangan bahwa pada praktik distribusi, jalan dngan jarak yang lbih pk blum tntu dapat ditmpuh dalam waktu yang lbih cpat. danya faktor kmactan dapat mmprlambat waktu tmpuh suatu jalan. Hal ini dissuaikan pada pmodlan jaringan lintasan sarah dimana bobot arc-nya diganti dngan waktu tmpuh dari satu titik k titik brikutnya. Olh karna itu, pnlitian ini brtujuan untuk mnmukan rut trcpat pngiriman susu dngan mnggunakan min plus algbra. 2 METODE Pnlitian ini mrupakan pnlitian yang brtujuan untuk mnrapkan algoritma min plus algbra pada prmasalahan rut trpk/trcpat jalur distribusi susu. Olh karna itu mtod yang digunakan adalah mtod pnlitian kualitatif dngan jnis dskriptif. Objk pada pnlitian ini adalah salah satu pnghasil susu sgar di Malang yang mlakukan pngiriman k pabrik di ara Tanggulangin. Data pada pnlitian ini brupa ) jnis karaan yang digunakan, 2) rut-rut yang bisa dilalui, 3) waktu tmpuh tiap titik prsimpangan. Tknik pngumpulan data yang dilakukan pada pnlitian ini mliputi () wawancara, (2) obsrvasi lapangan, dan (3) dokumntasi. Langkah-langkah pnlitian yang dilakukan adalah ) studi litratur, 2) pngmbangan prototip program min plus algbra mnggunakan Matlab, 3) pngambilan data lapangan pada salah satu produsn susu ara Malang, dan 4) mnrapkan prototip program srta mnganalisis hasil dngan kondisi praktik.

4 8 Pnrapan Min Plus lgbra pada Pnntuan Rut Trcpat Dis 3 HSIL DN PEMBHSN Brdasarkan hasil pngambilan data lapangan mngnai jalur pngiriman susu dari Kpanjn k pabrik pngolah di Tanggulangin, didapatkan data sbagai brikut. a. Pngiriman dilakukan dngan mnggunakan mobil tangki shingga mobil tidak mlalui jalur tngah kota. b. Waktu prjalanan tlah ditambah dngan prkiraan tingkat kmactan. c. Untuk mnuju Tanggulangin, satu-satunya jalur kluar truk dari Malang adalah mlalui jalan raya rjosari. d. Brdasarkan wawancara yang dilakukan pada sopir truk tangki, waktu tmpuh dalam praktik pngiriman susu dari Kpanjn k pabrik adalah brkisar antara 2,5-3 jam dngan asumsi adanya kmactan rutin pada jalur Malang Surabaya. Rut yang dapat dilalui olh mobil pngiriman susu dapat divisualisasikan dalam digraf brikut ini. Gambar. Visualisasi digraf jalur truk Ktrangan: : titik awal Produsn susu 2 : jalur jalan Raya Curung Rjo 3 : jalur jalan Raya Kbon gung 4 : jalur jalan Raya Bululawang 5 dan 6 : ara trminal Gadang 7 : jalur rjosari 8 : jalur jalan Raya Malang-Pandaan dilanjutkan jalur non tol

5 Vivi Suwanti, Poht Bintoto, Riski Nur Istiqomah Dinullah 9 9 : jalur jalan Raya Malang-Pandaan dilanjutkan jalur tol Pandaan Surabaya 0 : titik akhir pabrik pngolah di Tanggulangin Jarak pada digraf adalah waktu tmpuh dari satu titik k titik lain. Waktu tmpuh dinyatakan dalam satuan mnit. Untuk titik yang tidak trhubung maka ntri matriks adalah dimana. Bntuk matriks jarak tlah dissuaikan dngan bntuk matriks pada [2] dan []. Rprsntasi matriks jarak untuk graf pada gambar adalah sbagai brikut ini Prhitungan min plus algbra dapat dilakukan dngan alur sprti pada algoritma brikut ini. lgoritma pncarian rut trcpat min plus algbra Input : matriks bobot Output : saat mulai paling awal x, saat mulai paling lambat x Mulai Hitung * n E Hitung b x * Hitung T b x n Hitung * ) ( ) ( n T T T E Hitung * b x T Waktu tmpuh=0;

6 20 Pnrapan Min Plus lgbra pada Pnntuan Rut Trcpat Dis p= For i=2 to n if x x thn i i Hitung waktu tmpuh = waktu tmpuh + waktu tmpuh (p,i); Masukkan titik (p,i) dalam rangkaian rut p=i Slsai Brdasarkan alur prhitungan pada algoritma, prototip program min plus algbra dapat dibuat. Command program Matlab untuk min plus algbra adalah sbagai brikut. Program utama %minplus vivi jaringan lintasan sarah clc; clar; =input('masukkan matriks bobot = ') b=[]; =inf; [m,n]=siz(); E=[]; for i=:m for j=:n if i==j E(i,j)=0; ls E(i,j)=; %mncari x for i=:n if i== b(i)=0; ls b(i)=; bt=transpos(b); b=e; for i=:n-

7 Vivi Suwanti, Poht Bintoto, Riski Nur Istiqomah Dinullah 2 b=plusmin(b,pangkatmin(,i)); x=kalimin(b,bt); %mncari x t=transpos(); tb=e; for i=:n- tb=plusmin(tb,pangkatmin(t,i)); b=[]; for i=:n if i==n b(i)=-(x(n)); ls b(i)=; bt=transpos(b); x=-(kalimin(tb,bt)); %mmbandingkan x dan x jarak=0; disp('rangkaian rut trcpat adalah sbagai brikut'); p=; for i=2:n if x(i)==x(i) fprintf('(%d, %d), ',p,i); if i<=p jarak=jarak+(p,i); ls jarak=jarak+(i,p); p=i; fprintf('dngan total rut trcpat = %d', jarak); Function transpos matriks function B=transpos(C) [n,m]=siz(c); B=[]; for i=:n for j=:m b(i,j)=c(j,i); Function pnjumlahan matriks min plus algbra function m=plusmin(,b) if siz()==siz(b) [m,n]=siz();

8 22 Pnrapan Min Plus lgbra pada Pnntuan Rut Trcpat Dis for i=:m for j=:n m(i,j)=min((i,j),b(i,j)); ls disp('ukuran matriks brbda'); Function prkalian matriks min plus algbra function h=kalimin(,b) [m,n]=siz(); [k,r]=siz(b); %if n==k for i=:m for j=:r h(i,j)=inf; for l=:n h(i,j)=min(h(i,j),(i,l)+b(l,j)); %disp(h); %ls %disp('matriks tidak bisa dikalikan'); Function prpangkatan matriks min plus algbra function p=pangkatmin(,n) p=; if n== p=; ls for i=:n- p=kalimin(p,); Hasil prhitungan rut trcpat dngan min plus algbra mnggunakan program Matlab dapat dilihat pada gambar brikut.

9 Vivi Suwanti, Poht Bintoto, Riski Nur Istiqomah Dinullah 23 masukkan matriks bobot = [inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;29 inf inf inf inf inf inf inf inf inf; 28 inf inf inf inf inf inf inf inf inf; 35 inf inf inf inf inf inf inf inf inf; inf 7 7 inf inf inf inf inf inf inf; inf inf inf 7 0 inf inf inf inf inf; inf inf inf inf inf inf inf inf; inf inf inf inf inf inf 45 inf inf inf; inf inf inf inf inf inf 45 inf inf inf; inf inf inf inf inf inf inf inf]; = Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 29 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 28 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 35 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7 7 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 7 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 45 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 45 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf rangkaian rut trcpat adalah sbagai brikut (, 3), (3, 5), (5, 7), (7, 9), (9, 0), dngan total rut trcpat = 34>> Gambar 2. Hasil prhitungan min plus algbra dngan program Matlab Brdasarkan hasil prhitungan pada gambar 2 diktahui rut trcpat yang bisa dilalui adalah : (, 3), (3, 5), (5, 7), (7, 9), (9, 0) produsn jalan Raya Kbon gung trminal gadang jalur arjosari jalur jalan Raya Malang Pandaan lanjut tol pabrik di Tanggulangin. Total waktu yang diprlukan adalah 34 mnit atau 2 jam 4 mnit. Waktu yang tmpuh hasil prhitungan ini mrupakan hasil minimal ssuai dngan Suprayitno [3] yang mnyatakan bahwa min plus algbra mampu mnjamin bahwa prosdurnya slalu mmbrikan jawaban yang bnar. Hal ini juga dibuktikan olh Watanab & Watanab [4] yang mnyatakan bahwa ktunggalan nilai ign pada matriks dngan input min plus algbra datang dari bobot rata-rata minimal dari sirkuit yang brssuaian dngan matriks trsbut. 4 Ksimpulan Pntapan jalur trpk pada pngiriman dapat diprhitungkan dngan mnggunakan min plus algbra. Panjang lintasan pada min plus algbra

10 24 Pnrapan Min Plus lgbra pada Pnntuan Rut Trcpat Dis mrupakan waktu tmpuh dari satu titik k titik brikutnya. Dngan mnggunakan prototip program Matlab didapat jalur yang trcpat yang dapat dilalui adalah produsn jalan Raya Kbon gung trminal gadang jalur arjosari jalur jalan Raya Malang Pandaan lanjut tol pabrik pngolah. Lama waktu yamg diprlukan adalah 34 mnit atau 2 jam 4 mnit. Untuk slanjutnya disarankan untuk mlakukan pnrapan min plus algbra pada masalah distribusi yang lbih komplks dngan nod yang lbih banyak. Slain itu, program yang dikmbangkan dapat lbih diprbaiki lagi baik dalam sgi codding maupun tampilan shingga diprolh program yang lbih mudah digunakan olh umum. 5 Pustaka [] Rudhito, M.., ljabar Max Plus dan Pnrapannya, Univrsitas Sanata Dharma, Yogyakarta, 206. [2] Subiono, ljabar Min-Max Plus dan Trapannya, Jurusan Matmatika-ITS, Surabaya, 205 [3] Suprayitno, H., Corrctnss Proof of Min-plus lgbra for Ntwork Shortst-Paths Simultanous Calculation Journal of Tchnology and Social Scinc (JTSS),,, 6-69, 207. [4] Watanab, S. & Watanab, Y., Min Plus lgbra and Ntwork RIMS Kokyuroku Bssatsu, B47, 4-54, Rsarch Institut for Mathmatical Scincs, Kyoto Univrsity, 204. [5] Hidrgott, B., Olsdr, G.J., Woud, Jacob van dr, Max Plus at Work: Modlling and nalisys of Synchronizd Systms: Cours on Max- Plus lgbra and Its pplication, Princton Univrsity Prss, Nw Jrsy, 2006 [6] Schuttr, B. D., Max-lgbraic Systm Thory for Discrt Evnt Systms, Thsis Ph.D., Katholik Univrsitit Luvn, Hvrl, 996.