Penyelesaian persamaan integral Volterra linear secara numerik menggunakan

Transkripsi

1 PENYELESAIAN PERSAMAAN INEGRAL VOLERRA LINEAR DENGAN MEODE FUNGSI WALSH DAN FMV-CYCLE HE SOLUION OF VOLERRA LINEAR INEGRAL EQUAION USING WALSH FUNCION MEHOD AND FMV-CYCLE Masduk Jurusan Penddkan Bolog FKIP Unverstas Muhaadyah Surakarta ABSRAK Penyelesaan persaaan ntegral Volterra lnear secara nuerk enggunakan fungs Walsh telah dkebangkan. Masng-asng suku dar persaaan ntegralnya dekspanskan dala deret Walsh berhngga untuk peotongan suku pertaa. Dengan cara dekan dhaslkan bentuk sste persaaan lnear. Sste persaaan lnear yang dperoleh selanjutnya dselesakan dengan enggunakan etode teras Pcard. Untuk enngkatkan efsens penyelesaan yang dlakukan dengan etode teras Pcard dterapkan skea ultgrd, khususnya FMV-cycle. Dala peneltan n FMV-cycle dterapkan pada dua kasus yang telah dselesakan dengan V-cycle oleh Wdyanngsh dkk. Eksperen nuerk enunjukkan bahwa penerapan FMV-cycle apu enngkatkan efsens penyelesaan persaaan ntegral Volterra lnear. Kata kunc: persaaan ntegral, etode fungs Walsh, FMV-cycle ABSRAC he soluton of Volterra lnear ntegral equaton usng Walsh functons was developed. Each ter of the ntegral equaton was epanded as fnte Walsh seres for truncaton. he result n the usage of ths ethod are lnear equaton systes. hese systes are solved wth Pcard teraton ethod. In order to prove the effcency of the soluton wth Pcard teraton ethod s proposed ultgrd schea, especally FMV-cycle. In ths research, FMV-cycle schea s proposed n two cases that solved wth V-cycle by Wdyanngsh et. al. Nuercal eperent shows that FMV-cycle does prove the effcency of the soluton of Volterra lnear ntegral equaton. Keywords: ntegral equaton, Walsh functon ethod, FMV-cycle 38 Jurnal Peneltan Sans & eknolog, Vol. 6, No. 2, 25: 38-52

2 PENDAHULUAN Persaaan ntegral serng uncul dala perasalahan d bdang fska, teknk, ekono, bolog, ateatka terapan dan lan sebaganya. Model sepert laju pertubuhan penduduk, laju kelahran, transfer radas, aerodnaka, proses penyarngan asap rokok, erupakan odel-odel yang dsajkan dala bentuk persaaan ntegral. Golberg (978, -58) eberkan beberapa bentuk persaaan ntegral. Sedangkan Jerr (985) engklasfkaskan persaaan ntegral berdasarkan batas ntegrasnya kedala dua bentuk yatu persaaan ntegral Volterra dan Fredhol. Golberg (978, -58) telah eberkan beberapa etode nuerk untuk enyelesakan persaaan ntegral, khususnya persaaan ntegral Fredhol, dantaranya etode pendekatan kernel, quadrature, galerkn, seanaltk, dan proyeks. Fungs Walsh yang erupakan fungs gelobang perseg yang lengkap ortonoral telah dgunakan dala bdang yang cukup luas dantaranya analss sste kounkas, analss spektral, sste radar, spektroskop dan lan sebaganya (lhat Beauchap, 975). ahun 973, Corrngton (973, ) enggunakan etode fungs Walsh untuk enyelesakan persaaan ntegral dan persaaan dferensal. Dar eksperen nuerk, Corrngton enypulkan bahwa fungs Walsh dapat dgunakan untuk endapatkan penyelesaan pendekatan dar persaaan ntegral, khususnya persaaan ntegral Volterra. Selanjutnya Chen dan Hsao (975, ) serta Blyth dan Uljanov (996, ; 996, 37-43) asng-asng enggunakan etode fungs Walsh untuk enyelesakan asalah varasonal serta persaaan ntegral Fredhol. Dar kedua eksperen yang dlakukan enunjukkan bahwa etode fungs Walsh apu eberkan galat yang lebh kecl dbandngkan apabla dgunakan etode yang telah ada, sepert etode Galerkn ataupun ddle pont ethod. Multgrd pada awalnya dkebangkan untuk enyelesakan asalah syarat batas yang serng uncul dala fska terapan. D sn, doan dar asalah syarat batas dbuat dskrt yatu dengan ebagnya enjad grd-grd berhngga, sehngga dperoleh suatu sste persaaan aljabar (lnear aupun nonlnear). Dengan cara dekan, penyelesaan asalah syarat batas dapat dlakukan dengan enyelesakan sste persaaan yang dperoleh. D dala peneltan n etode ultgrd yang dgunakan adalah Full Multgrd V (FMV)-cycle yang erupakan etode ultgrd yang lengkap karena telah eanfaatkan secara bersaa skea koreks grd coarse dan teras tersarang (lhat Brggs (988)). Haslnya keudan dbandngkan dengan penyelesaan persaaan ntegral Volterra lnear apabla dgunakan gabungan etode fungs Walsh dan V-cycle yang telah dlakukan oleh Wdyanngsh (2, 55-6) dan Wdyanngsh dkk. (2) untuk engetahu efsens kedua etode. Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Lnear... (Masduk) 39

3 Persaaan Integral Volterra Lnear Bentuk uu persaaan ntegral, sebagaana dberkan oleh Jerr (985) adalah sebaga berkut. b( ) h ( ) ) = g( ) + K(, t, ) dt. () Apabla b()=, aka persaaan () enjad a h ( ) ) = g( ) + K(, t, ) dt, (2) a dan dsebut sebaga persaaan ntegral Volterra. Apabla h()=, persaaan ntegral (2) enjad y ( ) = g( ) + K(, t, ) dt, (3) a dan dsebut sebaga persaaan ntegral Volterra tpe dua. Apabla y lnear, aka persaaan (3) dapat dtulskan sebaga berkut. y ( ) = g( ) + K(, dt, (4) a dan dsebut sebaga persaaan ntegral Volterra lnear tpe dua. Peneltan n hanya akan ebahas persaaan ntegral Volterra lnear tpe dua dengan g() dan K dketahu serta y adalah fungs lnear yang akan dtentukan. Fungs Walsh ahun 922, Radeacher (dala Sloss dan Blyth, 994, ) engebangkan hpunan fungs gelobang perseg tdak lengkap ortonoral pada [,]. Selanjutnya, tahun 923, Walsh (923, 5-24) engebangkan hpunan fungs gelobang perseg yang lengkap ortonoral, yang selanjutnya dsebut sebaga fungs Walsh. Chen dan Hsao (975, ) endefnskan fungs Walsh sebaga berkut. W ( ) = W ( ) = r ( ) W = 2 ( ) [ r2 ( )] [ r ( )] 4 Jurnal Peneltan Sans & eknolog, Vol. 6, No. 2, 25: 38-52

4 M b b q q b Wn ( ) = [ rq ( )] [ rq ( )] K[ r ( )] dengan 2 q = Log( n) + n = b q q 2 q. 2 + bq.2 + K+ b.2 dan bq, bq, bq 2, K, b adalah blangan bner. Grafk epat fungs Walsh yang pertaa dtunjukkan pada Gabar. W () W () - - W 2 () W 3 () /2 - - Gabar. Epat Fungs Walsh Pertaa Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Lnear... (Masduk) 4

5 Sfat Integral Fungs Walsh Menurut Corrngton (973, ), setap ntegral fungs Walsh dapat dsajkan sebaga deret fungs Walsh dengan n=,,2, dan d erupakan koefsen deret fungs Walsh ke-. Blyth (997, 66-72) enulskan pendekatan ntegral fungs Walsh sebaga deret dengan koefsen dapat dtentukan dengan enggunakan atrk operasonal P yang telah dberkan oleh Chen dan Hsao. Apabla (8) aka = f ( ) = cw ( ), f ( dt = bw ( ) (9) b M b = P c M c = dengan P / 2 2 I / P = 2 I / 2 dan P2 =. 4 Wn ( ) d = = d W ( Selanjutnya untuk enulskan deret seaca (9) dgunakan konvens penjulahan Ensten dengan adalah blangan bner antara hngga -. Metode Multgrd Masng-asng suku dar persaaan ntegral Volterra (4) dapat dekspanskan ke dala deret fungs Walsh berhngga ( suku). Ekspans dengan enggunakan deret fungs Walsh enghaslkan sste persaaan lnear. c = g + K c atau A c =g, () dengan A =I -K, dan I adalah atrks denttas serta K adalah atrks orde dar K. Dengan dekan enyelesakan persaaan () dentk dengan enyelesakan persaaan (4) dengan enggunakan etode fungs Walsh. 42 Jurnal Peneltan Sans & eknolog, Vol. 6, No. 2, 25: 38-52

6 Selanjutnya ddefnskan W sebaga grd berukuran, yatu doan pada [,] pada fungs Walsh dbag enjad subnterval dengan asngasng berukuran /. Grd W selanjutnya dsebut dengan grd level. Notas c dan v enunjukkan penyelesaan eksak dan pendekatan. Huruf tebal, v salnya, dpaka untuk enyajkan vektor. Penyelesaan pendekatan v pada grd level tertentu, sal pada grd level, dtuls dengan v. Sedangkan eleen ke- dar vektor tersebut dtuls dengan v,. Dala peneltan n dgunakan galat dan resdual, yang dnotaskan dengan e dan r, untuk engetahu kebakan dar penyelesaan pendekatan. Galat dan resdual pada grd level ddefnskan dengan e =c -v dan r =g -A v. Dengan dekan, penyelesaan A v =g dengan pendekatan awal c ekuvalen dengan penyelesaan A c =r dengan pendekatan awal c =. Full Multgrd V (FMV)-cycle Pada V-cycle hanya dgunakan koreks grd coarse untuk endapatkan penyelesaan pendekatan. Sedangkan de teras tersarang belu danfaatkan. Iteras tersarang dgunakan untuk endapatkan nla awal yang bak bag grd fne. Pada algorta Full Multgrd V-cycle, koreks grd coarse dan de teras tersarang dgunakan secara bersaa-saa. Dengan dekan penyelesaan yang dperoleh akan lebh efsen. Skea Full Multgrd V-cycle tga level dtunjukkan pada Gabar 2. /2 /4 Gabar 2: Skea Full Multgrd V-cycle tga level Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Lnear... (Masduk) 43

7 Brggs (988) enyajkan algorta FMV-cycle sebaga berkut. - Algorta FMV-cycle v FMV ( v, g ) Step : Apabla W grd coarsest, lanjutkan step 3 / 2 Jka tdak g I (g A v ) / 2 v / 2 v / 2 FMV (v / 2,g / 2) Step 2: Lakukan v v + I / 2v / 2 Step 3: Lakukan v MV ( v, g ) l kal. Unt Work Algorta FMV-cycle Dperhatkan grd dens satu yang terdr dar =2 n ttk dengan n adalah blangan bulat postf. Dasuskan untuk elakukan sekal sweep untuk enyelesakan sste persaaan lnear pada grd fnest (berorde ), sal, eerlukan 2 operas artetk. Brggs (988) enyatakan satuan untuk elakukan 2 operas artetk dengan unt work (UW). Selanjutnya, pada W /2 dengan atrks orde /2 /2, untuk elakukan sekal sweep dperlukan 2 /4 operas artetk yang ekuvalen dengan ¼ UW. Dekan seterusnya, sehngga operas artetk yang dperlukan pada grd level tertentu adalah ¼ operas artetk dar grd level sebelunya. Pada etode Full Multgrd V-cycle, setap level dkunjung sebanyak 2n untuk n Î N. Dengan dekan baya perhtungan untuk elakukan sekal sweep Full Multgrd V-cycle dengan asng-asng level dperlukan sekal teras adalah UW. 2 MEODE PENELIIAN Metode peneltan n adalah eksperen secara nuerk, artnya algorta yang telah dturunkan selanjutnya dterapkan dala kasus-kasus persaaan 44 Jurnal Peneltan Sans & eknolog, Vol. 6, No. 2, 25: 38-52

8 ntegral Volterra lnear yang telah dplh. Dala peneltan n dplh kasus yang penyelesaan eksaknya telah terseda, khususnya kasus-kasus yang telah dselesakan dengan etode V-cycle. Selanjutnya hasl nuerk dar etode FMVcycle dbandngkan dengan hasl nuerk dar V-cycle. Dengan dekan keefsenan etode yang baru dkebangkan dapat dtunjukkan. HASIL DAN PEMBAHASAN Dala peneltan n skea FMV-cycle dterapkan pada dua kasus persaaan ntegral Volterra lnear yang telah dselesakan oleh Wdyanngsh dkk. (2) dengan enggunakan skea V-cycle. Selanjutnya akan dbandngkan keefsenan kedua skea ultgrd tersebut. Untuk enyelesakan kedua kasus dengan enggunakan software Matlab. Kasus. Dberkan persaaan ntegral Volterra lnear yang erupakan persaaan tpe convoluton yang dabl dar Jerr (985) ) = ( dt () yang epunya penyelesaan eksak dala bentuk ) = dt + t dt ) = sn. Persaaan (2) dapat dtuls (2) Dengan engekspanskan asng-asng suku dar persaaan (2) dengan deret Walsh y ( ) cw ( ), hw ( ) = = persaaan (2) dapat dsajkan dala bentuk c W ( ) = h W ( ) h W ( ) c jw j ( dt + h W ( c W ( dt Dengan enggunakan sfat perkalan fungs Walsh dan pendekatan ntegral dar Blyth (997, ), persaaan (2) dapat dtulskan sebaga berkut c W ( ) = h W ( ) h [ p ] c W ( ) [ p ] h c W ( ) (3) k kj j k + sr r j Persaaan (3) ebentuk sste persaaan lnear j j s j Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Lnear... (Masduk) 45

9 c = h H P c + P H c (4) dengan H = [ hj ] = [ h j ] dana, j =,,..., - dtuls sebaga blangan bner dengan Å adalah operas penjulahan odulo 2. Untuk enye-lesakan persaaan (6) dgunakan etode teras Pcard c [ + ] = h ( H P P H ) c [ ] dengan nla awal [] c = [,,,,...,] Selanjutnya dterapkan skea FMV-cycle untuk eperbak penyelesaan dar etode teras Pcard. Dala peneltan n dgunakan level tertngg = 64. Unt work dan galat teras dar penyelesaan persaaan (4) dsajkan dala tabel. abel. Unt Work dan Galat Iteras Penyelesaan Persaaan (4) Metode Unt Work Galat Iteras FMV-cycle 5 level FMV-cycle 4 level FMV-cycle 3 level FMV-cycle 2 level Iteras Pcard abel enunjukkan bahwa unt work yang dperlukan FMV-cycle untuk encapa galat tolerans sebesar -3 lebh kecl dbandngkan apabla dgunakan etode teras Pcard. apak pula bahwa FMV-cycle 2 level eberkan unt work terkecl apabla dbandngkan dengan FMV-cycle 5 level, 4 level aupun 3 level, akan tetap perbedaan unt worknya tersebut tdak terlalu besar. Dengan dekan FMV-cycle 2 level erupakan plhan yang cukup bak untuk enyelesakan persaaan (4). Unt work yang dperlukan oleh etode Iteras Pcard pada = 64 sebesar 6.. Sedangkan pada FMV-cycle dperlukan sebesar 2.5. Dengan dekan skea FMV-cycle apu enngkatkan efsens sebesar 3.5 UW. 46 Jurnal Peneltan Sans & eknolog, Vol. 6, No. 2, 25: 38-52

10 Berdasarkan unt work yang dhaslkan oleh asng-asng etode pada kasus, FMV-cycle lebh efsen dbandngkan etode teras Pcard. Dengan dekan FMV-cycle erupakan plhan terbak untuk enyelesakan persaaan ntegral ( 2) dbandngkan etode teras Pcard. Selanjutnya penyelesaan yang dlakukan dengan FMV-cycle dbandngkan dengan penyelesaan V-cycle yang telah dlakukan oleh Wdyanngsh dkk. (2) untuk engetahu keefsenan kedua skea ultgrd tersebut. Perbandngan unt work kedua skea ultgrd untuk encapa galat tolerans -3 dtunjukkan pada tabel 2. abel 2. Unt Work Skea FMV-cycle dan V-cycle Level Unt Work V-cycle FMV-cycle abel 2 enunjukkan bahwa pada level 3, 4, dan 5 skea V-cycle enunjukkan tngkat efsens yang lebh bak dbandngkan FMV-cycle, akan tetap perbedaan unt work kedua skea tersebut kecl. Sedangkan pada level 2 skea FMV-cycle enunjukkan tngkat efsens yang lebh bak dbandngkan V-cycle dengan perbedaan unt work yang cukup sgnfkan yatu sebesar 2 UW. Apabla dgunakan plhan 2 level untuk enyelesakan persaaan ntegral (4) aka FMV-cycle enunjukkan tngkat efsens yang lebh bak dbandngkan V-cycle. Dengan kata lan, penggunaan skea FMV-cycle lebh akurat dbandngkan V- cyle. Kasus 2. Dberkan persaaan ntegral Volterra lnear yang dabl dar Jerr (985) ) = sn + 2 cos( dt (5) yang epunya penyelesaan eksak y = dala bentuk ( ) e. Persaaan (5) dapat dtuls ) = sn + 2cos cost dt + 2sn sn t dt (6) Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Lnear... (Masduk) 47

11 Dengan engekspanskan asng-asng suku dar persaaan (6) dengan deret Walsh y ( ) cw ( ), sn q W ( ), cos l W ( ) = enghaslkan sste persaaan lnear = = c = q + ( 2L P L + 2Q P Q ) c (7) dengan L = [ lj ] = [ l j ] dan Q = [ qj ] = [ q j ] dana, j =,,..., - dtuls sebaga blangan bner dengan Å adalah operas penjulahan odulo 2. Unt work dan galat teras dar penyelesaan persaaan (7) dsajkan dala tabel 3. abel 3. Unt Work dan Galat Iteras Penyelesaan Persaaan (7) Metode Unt Work Galat Iteras FMV-cycle 5 level FMV-cycle 4 level FMV-cycle 3 level FMV-cycle 2 level Iteras Pcard abel 3 enunjukkan bahwa unt work yang dperlukan FMV-cycle untuk encapa galat tolerans sebesar -7 lebh kecl dbandngkan apabla dgunakan etode teras Pcard. apak pula bahwa FMV-cycle 2 level eberkan unt work terkecl apabla dbandngkan dengan FMV-cycle 5 level, 4 level aupun 3 level, akan tetap perbedaan unt worknya tersebut tdak terlalu besar. Dengan dekan FMV-cycle 2 level erupakan plhan yang cukup bak untuk enyelesakan persaaan (7). Unt work yang dperlukan oleh etode Iteras Pcard pada = 64 sebesar 5.. dengan galat teras Sedangkan pada FMV-cycle hanya dperlukan sebesar 2.5 UW untuk endapatkan galat teras sebesar Dengan dekan skea FMV-cycle apu enngkatkan efsens sebesar 2.5 UW. 48 Jurnal Peneltan Sans & eknolog, Vol. 6, No. 2, 25: 38-52

12 Berdasarkan unt work yang dhaslkan oleh asng-asng etode pada kasus, FMV-cycle lebh efsen dbandngkan etode teras Pcard. Dengan dekan FMV-cycle erupakan plhan terbak untuk enyelesakan persaaan ntegral (7) dbandngkan etode teras Pcard. Selanjutnya penyelesaan yang dlakukan dengan FMV-cycle dbandngkan dengan penyelesaan V-cycle yang telah dlakukan oleh Wdyanngsh dkk. (2) untuk engetahu tngkat efsens kedua skea ultgrd tersebut. Perbandngan unt work kedua skea ultgrd untuk encapa galat tolerans -7 dsajkan dala tabel 4. abel 4: Unt Work Skea FMV-cycle dan V-cycle Unt Work Level V-cycle FMV-cycle abel 4 enunjukkan bahwa pada level 2, 4, dan 5 skea V-cycle enunjukkan tngkat 5 efsens yang lebh 2.7 bak dbandngkan FMV-cycle, 3.5 akan tetap perbedaan unt work kedua skea tersebut kecl (.25.8 UW). Sedangkan pada level 4 3 skea FMV-cycle 2.66 enunjukkan tngkat efsens 3.44 yang lebh bak dbandngkan 3 V-cycle dengan 5.25 perbedaan unt work yang 3.2 cukup sgnfkan yatu sebesar.925 UW. Apabla dgunakan plhan 2 level untuk enyelesakan persaaan 2 ntegral (7) aka 2.25 FMV-cycle dan V-cycle eberkan 2.5 tngkat efsens yang hapr saa. etap apabla dgunakan plhan 3 level untuk enyelesakan persaaan ntegral (7) aka FMV-cycle enunjukkan tngkat efsens yang lebh bak dbandngkan V-cycle. Dengan kata lan, penggunaan skea FMV-cycle lebh akurat dbandngkan V-cyle. SIMPULAN DAN SARAN Eksperen nuerk enunjukkan bahwa penggabungan fungs Walsh dan skea ultgrd khususnya FMV-cycle apu enngkatkan efsens penyelesaan persaaan ntegral Volterra lnear dbandngkan apabla dgunakan Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Lnear... (Masduk) 49

13 etode teras Pcard. Lebh jauh, penggunaan skea FMV-cycle pada level tertentu (level 2 pada kasus dan level 3 pada kasus 2) eberkan tngkat efsens yang lebh bak dbandngkan skea V-cycle. Peneltan lanjutan yang dapat dsarankan adalah pengebangan algorta penyelesaan persaaan ntegral Volterra yang lebh efektf dan efsen. Peneltan tentang kestablan etode ultgrd juga erupakan bdang yang ash terbuka luas. Selan tu perluasan kasus persaaan ntegral Volterra yang dselesakan akan eberkan kespulan yang lebh luas. UCAPAN ERIMAKASIH Penelt ucapkan terakash khususnya kepada Lebaga Peneltan Unv. Muhaadyah Surakarta yang telah ebaya peneltan n. Selanjutnya kepada Drs. Bud Murtyasa, M.Ko yang telah berseda enjad konsultan untuk pebuatan progra dengan atlab. Kepada para dosen senor dan tean sejawat yang telah eberkan asukan-asukan dala senar peneltan saya ucapkan banyak terakash. DAFAR PUSAKA Beauchap, K. G., 975, Walsh Functon and her Applcatons, Acadec Press, London. Blyth, W. F., 997, Effcent and Accurate Paraeter Estaton for lnear, Blnear and Nonlnear Systes usng Walsh Functon, Proceedng of Workshop on Scentfc Coputng Hong Kong 997, edtor G. H. Golub, S. H. Lu, F.. Luk, dan R. J. Pleons, Sprnger, Hal: Blyth, W. F., May, R. L., and Wdyanngsh, P., 997, he Soluton of Integral Equatons usng Walsh Functon and A Multgrd Approach, Coputatonal echnques and Applcatons: CAC97 Proceedngs of Eght Bennal Conference, edtor J. Noye, M. uebner, and A. Gll, Coputatonal Matheatcs Group, World Scentfc Publshng Co, Hal: Blyth, W. F. and Uljanov, V., 996, Nuercal Soluton of Weakly Sngular Fredhol Integral Equatons usng Walsh Functons, Coputatonal echnques and Applcatons: CAC95, Hal: Brggs, B. L., 988, A Multgrd utoral, Second ed., Socety for Industral and Appled Matheatcs, Phladelpha. 5 Jurnal Peneltan Sans & eknolog, Vol. 6, No. 2, 25: 38-52

14 Chen, C. F. and Hsao, C. H., 975, A Walsh Seres Drect Method for Solvng Varatonal Probles, Journal of he Frankln Insttute, Vol: 4, No: 3, Hal: Corrngton, M. S., 973, Soluton of Dfferental Equatons wth Walsh Functon, IEEE ransactons on Crcut heory, No: 5, Hal: Golberg, M. A., 978, Soluton Methods for Integral Equatons: A Survey of Nuercal Methods for Integral Equatons, Plennu Press, New York, Hal: -58. Jerr, A. J., 985, Introducton to Integral Equatons wth Applcatons, Marcel Dekker Inc., New York. Paley, R. E. A., 932, A Rearkable Seres of Orthogonal Functons, Proceedng London Matheatcs Socety, Vol: 34, Hal: Sloss, B. G., and Blyth, W. F., 984, A-pror Error Estates for Corrngton s Walsh Functon Method, Journal of Frankln Insttute, Vol: 33B, No: 3, Hal: Uljanov, V., and Blyth, W. F., 996, Nuercal Soluton of Urysohn Integral Equaton usng Walsh Functon, he Role of Matheatcs n Modern Engneerng: frst Bennal Engneerng Matheattcs Conference: AEMC94 (Alan K. Easton and Joseph M. Stener, eds), he Engneerng Matheatcs Group (EMG), Australan and New Zealand Industral and Appled Matheatcs (ANZIAM), Australan Matheatcs Socety and Student Ltterature, Hal: Walsh, J. L., 923, A Closed Set of Noral Orthogonal Functons, Aercan Journal of Matheatcs, No: 45, Hal: Wdyanngsh, P., 2, Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Lnear dengan Metode Fungs Walsh dan Ekstrapolas Rchardson, Makalah dpresentaskan pada Senar Nasonal Mateatka yang dselenggarakan oleh HAMPPS UGM Yogyakarta, Septeber. Wdyanngsh, P., 2, Effcency of Walsh Functon Method n Solvng Lnear Volterra Integral Equatons usng V-cycle, MIHMI, Vol: 6, No: 3, Hal: Wdyanngsh, P., 2, Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Nonlnear dengan Fungs Walsh dan Ekstrapolas Rchardson, Makalah dsapakan dala Senar Nasonal Mateatka dan Konferda Mateatka VII HM Jateng-DIY d UII Yogyakarta, Februar. Penyelesaan Persaaan Integral Volterra Lnear... (Masduk) 5

15 Wdyanngsh, P. dan Masduk., 2, Penerapan Metode Fungs Walsh dan Ekstrapolas Rchardson untuk Menyelesakan Persaaan Integral Volterra Nonlnear, Makalah dsapakan dala Senar Nasonal Mateatka dan Konferda Mateatka VII HM Jateng-DIY d UII Yogyakarta, Februar. Wdyanngsh, P., Sutra, dan Pratw, H., 2, Penyelesaan Persaaan Integral Volterra dengan Metode Fungs Walsh dan Pendekatan Multgrd, echncal Report Jurusan Mateatka FMIPA UNS Surakarta. 52 Jurnal Peneltan Sans & eknolog, Vol. 6, No. 2, 25: 38-52