PENYELESAIAN MASALAH PANAS BALIK (BACKWARD HEAT PROBLEM)

Transkripsi

1 PENYELESAIAN MASALAH PANAS BALIK (BACKWARD HEAT PROBLEM) Rcha Agustnngsh, Drs. Lukman Hanaf, M.Sc. Jurusan Matematka, Fakultas MIPA, Insttut Teknolog Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Aref Rahman Hakm, Surabaya 60 Emal: Abstrak- Suatu persamaan panas balk (backward heat equaton) tdak dapat dselesakan secara analts. Hal n dsebabkan karena panas yang telah berdfus tdak dapat kembal ke ttk awal. Persamaan panas balk (backward heat equaton) n merupakan persamaan dfferensal yang lner, sehngga penyelesaannya tdak dapat dtemukan secara analtk melankan secara numerk. Dar berbaga macam metode numerk yang ada, dalam Tugas Akhr n menggunakan metode Beda Hngga Mau dalam menyelesakan persamaan tersebut. Setelah proses dskrtsas dengan metode Beda Hngga Mau, maka akan dtemukan matrks dar persamaan panas balk tersebut. Selanutnya, matrks tersebut dsmulaskan ke dalam program Matlab. Kata kunc: Backward Heat Equaton, Metode Beda Hngga Mau, analtk, numerk, lner. I. Pahuluan Perpndahan panas atau heat transfer adalah lmu yang meramalkan perpndahan energ yang terad karena adanya perbedaan temperatur dantara ba atau materal. Ilmu perpndahan panas tdak hanya mencoba menelaskan bagamana energ panas tu berpndah dar suatu ba ke ba lannya, tetap uga dapat meramalkan lau perpndahan yang terad pada konds-konds tertentu.[] Masalah backward, berkatan dengan persamaan panas yang mengacu pada masalah pencaran dstrbus temperatur awal dar masalah forward. Suatu persamaan panas balk (backward heat equaton) banyak dgunakan dalam aplkas teor hdrodnamka. Namun, persamaan n pada dasarnya sukar dselesakan secara analts. Hal n dsebabkan karena panas yang telah berdfus tdak dapat kembal ke ttk awal. Penyelesaan secara numerk dar suatu persamaan matemats kadang-kadang hanya memberkan nla perkraan yang mekat nla yang benar (eksak) darpada penyelesaan analts, sehngga dalam penyelesaan numerk tersebut terdapat kesalahan terhadap nla eksak.[5] II. Pekatan Numerk Persamaan panas balk (backward heat equaton) tersebut termasuk persamaan dfferensal yang non-lnear. Persamaan dfferensal merupakan persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan perubahannya. Persamaan dfferensal mempunya banyak ragam dan ens mula dar yang mudah dselesakan hngga yang sult dselesakan, mula dar yang sederhana sampa yang sangat kompleks. Dalam hal n, metode numerk dapat dgunakan untuk menyelesakan persamaan dfferensal dengan menggunakan bantuan komputer sebaga alat htung, ketka metode analtk sult dgunakan. Pada beberapa bentuk persamaan dfferensal, khususnya pada persamaan dfferensal non-lnear, penyelesaan analtk sult sekal dlakukan sehngga metode numerk dapat menad penyelesaan yang dsarankan. Ada beberapa metode yang dapat dgunakan untuk menyelesakan persamaan dfferensal, antara lan: metode Euler, metode pekatan dengan deret Taylor, metode Runge-Kutta, dan metode-

2 metode predktor-korektor sepert metode Adam Moulton. Hanya saa metodemetode pekatan n menyebabkan penyelesaan yang dhaslkan bukanlah penyelesaan umum dar persamaan dfferensal, tetap penyelesaan khusus dengan nla awal dan nla batas yang dtentukan. Permasalahan persamaan dfferensal n merupakan permasalahan yang banyak dtemu ketka analsa yang dlakukan tergantung pada waktu dan nlanya mengalam perubahan-perubahan berdasarkan waktu. Hampr banyak model matemats d dalam lmu teknk menggunakan pernyataan dalam persamaan dfferensal.[3] 2. Persamaan Panas Balk (Backward Heat Equaton) Masalah alran panas yang mengalr pada sebuah medum konktor menempat sebuah daerah, msal, tdak bergantung pada fluks panas d sepanang batasan daerah yang dformulaskan dalam persamaan berkut : u t vu xx = 0, x Ω, t > 0, t > 0 u x, 0 = u 0 x, x Ω dmana u x, t adalah temperatur dan u 0 x adalah dstrbus temperatur awal. adalah suatu doman (daerah asal), ν adalah sebuah konstanta panas. Masalah tersebut basanya dsebut dengan masalah forward dalam konteks persamaan alran panas. Masalah backward berkatan dengan persamaan panas yang mengacu pada masalah pencaran dstrbus temperatur awal dar masalah forward. Sepert yang telah dketahu bahwa dstrbus temperatur akhr v 0 x pada waktu T dberkan oleh : u t vu xx = 0, x Ω, t 0, T u x, 0 = u 0 x, x Ω 2 Perubahan varabel t menad t T memberkan persamaan dar masalah backward v x, t = u x, T t d sebaga berkut :[5] v t vv xx = 0, x Ω, t 0, T v x, 0 = v 0 x, x Ω Metode Beda Hngga Jka u = u(x) dekspanskan menurut deret Taylor, maka: u x + h = u x + h d u x + d 2 2! 2 u x + (2.47) u x h = u x h d u x + d 2 2! 2 u x (2.48) Beberapa skema numerk dar metode Beda Hngga, yatu:. Beda Hngga Mau Dar Persamaan (2.47),maka ddapatkan : u x + h u x = h d u x + = u x+h u x h + O h (2.4) Persamaan (2.4) dsebut persamaan beda hngga mau. Jka menggunakan notas beda hngga dengan u x = h, persamaan (2.4) menad : = u + u h 2.Beda Hngga Munr Dar persamaan (2.48), maka ddapatkan : u x h u x = h d u x + = u x h u x h + O h (2.50) Persamaan (2.50) dsebut persamaan beda hngga munr. Jka menggunakan notas beda hngga dengan u x = h, persamaan (2.50) menad : 2

3 dt = u u h 3. Beda Hngga Pusat Jka persamaan (2.47) dkurang dengan persamaan (2.48), maka ddapatkan : u x + h u x h = 2h + (2.5) u x + h u x h = 2h + u x + h u x h = + O 2h Persamaan (2.52) dsebut persamaan beda hngga tengah untuk turunan parsal pertama.jka menggunakan notas beda hngga dengan u x = h, maka persamaan (2.52) menad: = u + u 2 h Jka persamaan(2.47) dtambahkan dengan persamaan (2.48) maka ddapatkan: u x + h + u x h = 2u x + d2 u 2 + (2.53) u x + h 2u x + u x h = d2 u 2 + u x+h 2u x +u x h d2 u d x 2(2.54) Persamaan (2.54) dsebut persamaan beda hngga tengah untuk turunan parsal kea. Jka menggunakan notas beda hngga dengan u x = h, maka persamaan (2.54) menad : d 2 u = u + 2u +u 2 Dantara beberapa skema metode beda hngga, dgunakan metode beda hngga mau untuk pskrtan dan metode beda hngga pusat untuk pskrtan d2 u 2.[7] III. Metodolog Peneltan Metode yang dlakukan dalam pengeraan Tugas Akhr n durutkan dalam beberapa langkah, yatu: 3. Stud Lteratur Dalam tahap n dlakukan analsa permasalahan yang akan dbahas, yatu persamaan panas balk (backward heat equaton). Selan tu, dalam tahap n uga dpelaar mengena teor-teor terkat yang akan dgunakan dalam pembahasan pada tahap berkutnya. 3.2 Mencar penyelesaan dar persamaan panas balk (backward heat equaton) menggunakan metode Beda (2.52) Hngga Mau Tahap n melput pencaran penyelesaan numerk dar persamaan panas balk (backward heat equaton) dengan menggunakan metode Beda hngga Mau. 3.3 Melakukan smulas dengan Matlab Setelah dlakukan pskrtsasan, pada tahap n dlakukan smulas dengan menggunakan software MATLAB sehngga dapat menamplkan hasl teras pada persamaan panas balk (backward heat equaton) tersebut. 3.4 Analsa hasl smulas Pada tahap n dlakukan analsa dar hasl smulas yang telah dperoleh dar tahap sebelumnya. Dmana yang danalsa adalah proses penyelesaan persamaan panas balk tersebut. 3.5 Kesmpulan dan Saran Pada tahap akhr n dlakukan penarkan kesmpulan dar hasl pembahasan sebelumnya. Selanutnya dberkan saran untuk perbakan pada peneltan selanutnya. IV. Perhtungan dan Pembahasan Bab n menelaskan bagamana mengmplementaskan metode Beda Hngga Mau dalam menyelesakan 3

4 persamaan panas balk (backward heat equaton). Model dar persamaan backward n akan ddskrtsas, sampa akhrnya dperoleh sebuah matrks, selanutnya akan dalankan dengan program matlab. Dskrtsas Model : u t vu xx = 0, x Ω, t 0, T u x, 0 = u 0 x, x Ω U t νu xx = 0, x ε 0,, t > 0 U t = νu xx Syarat awal : U x 0, t = 0, t > 0 U x, t = 0, t > 0 Syarat batas : U x, 0 = x x ; x ε 0, U t νu xx = 0, xε 0,, t > 0 U t = νu xx U t = ν 2 U x 2 + U U = ν U + 2U +U k dengan : x = h, = 0,,2,, n t = k, = 0,,2,, m U + = kν U + 2U + U U + = ru + + U, msal r = kν 2rU + ru + U U + = ru + 2r U + ru + Syarat awal : U x 0, t = 0, t > 0 U x = U + U = 0 2h U + = U untuk = 0 U = U U x, t = 0, t > 0 U + = U 2 Stud Kasus : Msal : k = 00 ν = 0 r = kν = h = = 0 00 Pada saat x = 0, maka : U + 0 = ru + 2r U 0 + ru Konds batas pada x = 0 yatu : U U = 0 2h U = U Maka menad : U + 0 = 2rU + 2r U 0 Pada saat x =, maka : U + 0 = ru + 2r U 0 + ru Konds batas pada x = yatu : U U = 0 2h U = U Maka menad : U + 0 = 2rU + 2r U 0 Karena batas dar x adalah (0,), maka nla x terdr atas : 0 ; 0, ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0, ;. Syarat batas : U x, 0 = x x U 0 = x x Untuk x = 0 = 0 U 0 0 = 0 0 = 0 x = 0, = U 0 = 0, 0, = 0,0 x = 0,2 = 2 U 0 2 = 0,2 0,2 = 0,6 x = 0,3 = 3 U 0 3 = 0,3 0,3 = 0,2 x = 0,4 = 4 U 0 4 = 0,4 0,4 = 0,24 4

5 x = 0,5 = 5 U 0 5 = 0,5 0,5 = 0,25 x = 0,6 = 6 U 0 6 = 0,6 0,6 = 0,24 x = 0,7 = 7 U 0 7 = 0,7 0,7 = 0,2 x = 0,8 = 8 U 0 8 = 0,8 0,8 = 0,6 x = 0, = U 0 = 0, 0, = 0,0 x = = 0 U 0 0 = = 0 U + = ru + 2r U + ru + nla r = 0 = 0 U + 0 = 2rU + 2r U 0 = 20U + ( )U 0 = U + = ru 0 + 2r U + ru 2 = 0U 0 + U + 0U 2 = 2 U 2 + = ru + 2r U 2 + ru 3 = 0U + U 2 + 0U 3 = 3 U 3 + = ru 2 + 2r U 3 + ru 4 = 0U 2 + U 3 + 0U 4 = 4 U + 4 = ru 3 + 2r U 4 + ru 5 = 0U 3 + U 4 + 0U 5 = 5 U + 5 = ru 4 + 2r U 5 + ru 6 = 0U 4 + U 5 + 0U 6 = 6 U + 6 = ru 5 + 2r U 6 + ru 7 = 0U 5 + U 6 + 0U 7 = 7 U + 7 = ru 6 + 2r U 7 + ru 8 = 8 = 0U 6 + U 7 + 0U 8 dan U + 8 = ru 7 + 2r U 8 + ru = 0U 7 + U 8 + 0U = U + = ru 8 + 2r U + ru 0 = 0U 8 + U + 0U 0 = 0 U + 0 = 2rU + 2r U 0 = 20U + U 0 Maka matrks yang bsa dbentuk yatu sebaga berkut : u 0 u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u u 0 + = M-fle dar penyelesaan persamaan panas balk tersebut adalah sebaga berkut : clear all; clc; %make an matrx N=nput('teras yang dngnkan'); M=; A=zeros(M); x=[0:0.:]; =0;=0; whle +2<=M&&+2<=M =+; =+; f == A(,+)=20; else f == A(+,)=20; else u 0 u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u u 0 5

6 A(+,)=0; A(,+)=0; =-;=-; whle +<=M&&+<=M =+;=+; A(,)=-; v0=randn(m,); for =:M u0()=x()*(-x()); a=[0::n]; for =:N u(,:)=(a*u0')'; u0=u(,:); plot(a,u(,:),'*-') plot(a,u(2,:),'*-') plot(a,u(3,:),'*-') plot(a,u(4,:),'*-') plot(a,u(5,:),'*-') plot(a,u(6,:),'*-') plot(a,u(7,:),'*-') plot(a,u(8,:),'*-') plot(a,u(,:),'*-') plot(a,u(0,:),'*-') V. Kesmpulan dan Saran. Persamaan panas balk tersebut bsa dselesakan dengan menggunakan salah satu metode numerk yatu metode Beda Hngga Mau, hal n karena waktu yang dhtung adalah waktu yang beralan ke depan, oleh sebab tu dgunakan metode Beda Hngga Mau. 2. Dar pskrtsasan dengan metode Beda Hngga Mau, telah dhaslkan sebuah matrks. 3. Matrks yang dhaslkan akan dsmulaskan dengan menggunakan program Matlab. 4. Hasl smulas berupa grafk-grafk yang bentuknya berubah-ubah menurut teras yang dmasukkan. [2]. Hetrck, Beth MC, et al Regularzaton of Backward Heat Equaton Va Heatlets. Electroncs Journal of Dfferental Equaton. Vl 2008 (2008). Pp. -8. [3]. Jonathan Goodman, et al The Backward Equaton. Mathematcs n Fnance Program. Courant Insttute of Mathematcal Scences, NYU. [4]. Luknanto, Doko. 20. Metode Numerk. UGM. [5]. Ternat, Faben, et al. 20. Two Stable Methods wth Numercal Experments for Solvng the Backward Heat Equaton. Elsever BV. [6]. Smth, G.D. 85. Numercal Soluton of Partal Dfferental Equatons : Fnte Dfference Methods. Oxford Appled Mathematcs and Computng Scence Seres. [7]. Sofyant, W Deteks Gangguan Konks Panas pada Batang Logam Menggunakan Metode Ensemble Kalman Flter. Tugas Akhr. Surabaya. Insttut Teknolog Sepuluh Nopember. [8]. Xao-lang, Cheng, et al Iteratve Methods for a Forward- Backward Heat Equaton n Two Dmenson. Appled Mathematc J. Chnese Unv. Vol 25, No.. VI. Daftar Pustaka []. Boulton, Lyonelle,et al. 20. On the Stablty of Forward-Backward Heat Equaton. Herot-Watt Unversty Press. Unted Kngdom. 6