EFISIENSI DAN AKURASI GABUNGAN METODE FUNGSI WALSH DAN MULTIGRID UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM LINEAR

Transkripsi

1 EFISIENSI DAN AKURASI GABUNGAN METODE FUNGSI WALSH DAN MULTIGRID UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM LINEAR Masduk Jurusan Penddkan Matematka FKIP UMS Abstrak. Penyelesaan persamaan ntegral Fredholm lnear dengan menggunakan metode fungs Walsh telah dkembangkan. Masng-masng suku dar persamaan ntegral dekspanskan dalam deret fungs Walsh berhngga. Untuk mendekat kernel dar persamaan ntegralnya dgunakan deret fungs Walsh rangkap berhngga dar Blyth et.al. Dengan cara demkan, dhaslkan sstem persamaan lnear. Untuk menyelesakan sstem persamaan yang dperoleh dgunakan metode teras Pcard. Untuk menngkatkan efsens dan akuras penyelesaan dengan metode fungs Walsh dterapkan skedul multgrd. Terdapat tga skedul multgrd, yatu V-cycle, W-cycle, dan FMVcycle. Pada skedul V-cycle dan W-cycle dmanfaatkankan skema koreks grd coarse. Sedangkan pada skedul FMV-cycle dmanfaatkan teras tersarang dan skema koreks grd coarse secara bersamaan. Peneltan n akan membandngkan efsens dan akuras ketga skedul multgrd untuk menyelesakan persamaan ntegral Fredholm lnear. Ekspermen numerk menunukkan bahwa penerapan skedul FMV-cycle, khususnya untuk m=3 dan tga level perhtungan, memberkan hasl yang lebh efsen dan akurat darpada skedul V-cycle maupun W-cycle. Selan tu skedul V- cycle lebh efsen dbandngkan dengan skedul W-cycle. Kata kunc: Persamaan Integral Fredholm Lnear, Fungs Walsh, Multgrd PENDAHULUAN Persamaan ntegral serng muncul dalam permasalahan d bdang fska, teknk, ekonom, bolog, matematka terapan dan lan sebaganya. Model sepert lau pertumbuhan penduduk, lau kelahran, transfer radas, aerodnamka, proses penyarngan asap rokok, merupakan modelmodel yang dsakan dalam bentuk persamaan ntegral. Fungs Walsh yang merupakan fungs gelombang perseg yang lengkap ortonormal telah dgunakan dalam bdang yang cukup luas dantaranya analss sstem komunkas, analss spektral, sstem radar, spektroskop dan lan sebaganya (Beauchamp (1975)). Brggs (1988) telah memberkan tga skedul multgrd yatu V-cycle, W-cycle, dan FMV-cycle. Pada skedul V-cycle dan W-cycle dmanfaatkan skema koreks grd coarse. Sedangkan pada skedul FMV-cycle dmanfaatkan skema koreks grd coarse dan teras tersarang. Wdyanngsh (1) telah menunukkan bahwa skedul V-cycle mampu menngkatkan efsens dar metode fungs Walsh dalam menyelesakan persamaan ntegral Fredholm lnear. Demkan uga Masduk (3) telah menunukkan bahwa skedul FMV-cycle mampu menngkatkan efsens dan akuras metode fungs Walsh dalam menyelesakan persamaan ntegral Fredholm lnear. Dalam peneltan n, penelt akan menggunakan ketga skedul multgrd untuk menyelesakan persamaan ntegral Fredholm lnear. Selanutnya dtentukan efsens dan akurasu tap skedul yang dgunakan dalam menyelesakan persamaan ntegral Fredholm lnear tpe dua yang mempunya bentuk. Efsens dn Akuras Gabungan Metode Fungs Walsh dan Multgrd... (Masduk) 75

2 1 y = g( + K( ) dt, (1.1) dengan g( dan kernel K( dketahu serta y adalah fungs lnear yang akan dtentukan. Ulanov dan Blyth (1996, ; 1996, 61-68) mengembangkan algortma baru (selanutnya dsebut dengan metode fungs Walsh) untuk menyelesakan persamaan ntegral Fredholm (1.1) dengan mengekspanskan tap suku dar persamaan ntegralnya dengan deret fungs Walsh berhngga dan kernelnya ddekat dengan deret fungs Walsh rangkap berhngga, yatu y cw, g gw, dan K( a W W (, (1.) n dengan, =,1,,..., m, m =, n N. Dengan pendekatan (1.), persamaan (1.1) dapat dsakan sebaga sstem persamaan lnear c + m = gm Amcm dengan m ( a ) A =. (1.3) Dengan demkan menyelesakan persamaan (1.3) dentk dengan menyelesakan persamaan ntegral Fredholm (1.1) dengan menggunakan metode fungs Walsh. Ulanov dan Blyth menyelesakan persamaan (1.3) dengan metode langsung. Ekspermen numerk menunukkan bahwa penyelesaan persamaan ntegral Fredholm lnear menggunakan metode fungs Walsh konvergen secara kuadratk. Untuk menngkatkan efsens penyelesaan dengan metode fungs Walsh dgunakan skedul multgrd. Gambar ketga skedul multgrd 3 level dtunukkan pada Gambar 1,, dan 3. Pada skedul V-cycle, setap level dkunung sebanyak dua kal. Dengan demkan baya perhtungan (Unt Work) untuk melakukan sekal sweep V-cycle dengan masng-masng level dperlukan sekal teras adalah m UW m/ m/4 Gambar : Skedul W-cycle tga level Sedangkan pada skedul W-cycle, unt work untuk melakukan sekal sweep dengan masng-masng level dperlukan sekal teras adalah m UW + + Κ Gambar 3: Skedul FMV-cycle tga level Pada skedul FMV-cycle, setap level dkunung sebanyak n untuk n N. Dengan demkan unt work untuk melakukan sekal sweep FMV-cycle dengan masng-masng level dperlukan sekal teras adalah Gambar 1: Skedul V-cycle tga level 76 MIPA, Vol. 17, No. 1, Januar 7: 75-8

3 m Κ UW Peneltan n bertuuan untuk membandngkan efsens dan akuras ketga skedul mulgrd dalam menyelesakan persamaan ntegral Fredholm lnear. Untuk mengetahu efsens dar skedul yang dgunakan dlhat dar banyaknya unt work yang dperlukan untuk mencapa galat tolerans tertentu. Sedangkan untuk mengetahu tngkat akuras dar ketga skedul dlhat dar besarnya error absolut yang dhaslkan. METODE PENELITIAN Metode peneltan n adalah ekspermen secara numerk, artnya algortma yang telah dturunkan selanutnya dterapkan dalam tga kasus persamaan ntegral Fredholm lnear yang telah dplh. Dalam peneltan n dplh kasus yang penyelesaan eksaknya telah terseda. Dengan demkan keefsenan dan keakuratan ketga skedul multgrd dapat dtunukkan. Untuk mplementas programnya dgunakan software Matlab HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam peneltan n ketga skedul multgrd dterapkan pada tga kasus persamaan ntegral Fredholm lnear yang terseda penyelesaan eksaknya. Untuk menyelesakan persamaan ntegral Fredholm lnear tpe dua sepert pada persamaan (1.1) dlakukan langkah-langkah sebaga berkut: 1. Mengekspanskan masng-masng suku dar persamaan (1.1) dengan deret fungs Walsh berhngga dan rangkap berhngga, yatu m 1 m y cw (, 1 g gw (, = K( m 1 m 1 = = = a W W ( (3.1) untuk menyederhanakan penulsan persamaan (3.1) dgunakan konvens penumlahan Ensten, sehngga persamaan (3.1) menad y c W, g gw, dan K( a W W (, (3.). Dengan menggunakan persamaan (3.), maka persamaan ntegral (1.1) dapat dtulskan sebaga berkut 1 cw = gw ( + aw W ( ckwk ( dt cw = gw + a W c W ( W ( dt 1 k k (3.3) 3. Dengan menggunakan sfat keortonormalan fungs Walsh, maka persamaan (3.3) dapat dsakan sebaga berkut. c W = gw + aw ck atau c = g + a c (3.4) k persamaan (3.4) membentuk sstem persamaan lnear c m =g m +A m c m (3.5) 4. Selanutnya persamaan (3.5) dselesakan dengan skedul V-cycle, W-cycle, dan FMVcycle. Untuk menyelesakan ketga kasus dbuat program dengan menggunakan software Matlab. Hasl dar smulas numerk untuk masng-masng kasus dberkan sebaga berkut. Kasus 1. Dberkan persamaan ntegral Volterra lnear yang dambl dar Jerr (1985) x y = sn + cos( x dt (3.6) yang mempunya penyelesaan eksak. Menurut Efsens dn Akuras Gabungan Metode Fungs Walsh dan Multgrd... (Masduk) 77

4 Golberg (1979) persamaan ntegral (3.6) dapat dnyatakan sebaga persamaan ntegral Fredholm 1 y = sn + K( dt (3.7) dengan cos( x, t x K ( =., x < t 1 Untuk menyelesakan persamaan (3.7) dgunakan ketga skedul multgrd. Pada tap skedul dgunakan tga level perhtungan dengan level tertngg adalah m = 3. selan tu pada tap level dlakukan sebanyak dua kal teras. Banyaknya pengulangan skedul, unt work dan error yang dperlukan oleh masng-masng skedul untuk menyelesakan persamaan (3.7) dberkan pada Tabel 3.1. Tabel 3.1: Pengulangan skedul, unt work dan error penyelesaan persamaan (3.7) Metode Pengulangan Unt Skedul Work Error x 1-6 FMV-cycle x level x x x 1-6 W-cycle x 1-6 level x 1-6 V-cycle 3 level x x x x x x 1-5 Berdasarkan Tabel 3.1, penyelesaan dengan FMV-cycle 3 level dbatas sampa tga kal pengulangan skedul. Hal n dsebabkan setelah tga kal pengulangan ternyata error yang dhaslkan cenderung stabl. Demkan uga untuk W-cycle dan V-cycle dbatas sampa lma kal pengulangan skedul karena pengulangan berkutnya errornya cenderung stabl. Selan tu, apabla dlhat besarnya unt work dan error yang dhaslkan pada keadaan stabl maka skedul FMV-cycle memerlukan UW dengan error sebesar x 1-7. Sedangkan skedul W-cycle dan V-cycle memerlukan masng-masng sebesar 8.75 UW dan 5.65 UW dengan error sebesar x 1-6 dan x 1-5. Dar besar unt work dan error yang dhaslkan maka dapat dsmpulkan bahwa penerapan skedul FMV-cycle lebh efsen dan akurat apabla dbandngkan dengan skedul W-cycle maupun V-cycle. Sedangkan untuk skedul W-cycle dan V-cycle apabla dlhat unt work yang dperlukan untuk mencapa keadaan error yang stabl maka skedul V-cycle lebh efsen darpada W-cycle. Tetap apabla dlhat error yang dhaslkan maka skedul W-cycle lebh akurat dbandngkan dengan skedul V-cycle. Dengan demkan efsens dan akuras penyelesaan persamaan ntegral Fredholm (3.7) untuk ketga skedul multgrd dapat dsakan sepert pada tabel 3. berkut. Tabel 3.: Efsens dan Akuras Skedul Multgrd Keterangan: > = lebh dar Kasus. Dberkan persamaan ntegral Volterra lnear yang dambl dar Jerr (1985) y Kategor Efsens Akuras x x t = x + e dt (3.8) Skedul Multgrd FMV-cycle > V-cycle > W-cycle FMV-cycle > W-cycle > V-cycle yang mempunya penyelesaan eksak 3x 3x 3x = x + e (1 3xe e ). Persamaan 9 (3.8) dapat dnyatakan sebaga persamaan ntegral Fredholm lnear, yatu 78 MIPA, Vol. 17, No. 1, Januar 7: 75-8

5 1 y = x + K( dt, (3.9) dengan e K( =, x t, t x x < t 1 Untuk menyelesakan persamaan (3.9) dgunakan ketga skedul multgrd. Pada tap skedul dgunakan tga level perhtungan dengan level tertngg adalah m = 3. selan tu pada tap level dlakukan sebanyak dua kal teras. Banyaknya pengulangan skedul, unt work dan error yang dperlukan oleh masng-masng skedul untuk menyelesakan persamaan (3.9) dberkan pada Tabel 3.3. Tabel 3.3: Pengulangan, unt work dan error penyelesaan persamaan (3.9) Metode Pengulangan Unt Skedul Work Error FMVcycle x x 1-6 level x x 1-5 W-cycle 3 level V-cycle 3 level x x x x x x x x x 1-4 Berdasarkan Tabel 3.3, penyelesaan dengan FMV-cycle 3 level dbatas sampa tga kal pengulangan skedul. Hal n dsebabkan setelah tga kal pengulangan ternyata error yang dhaslkan cenderung stabl. Demkan uga untuk W-cycle dan V-cycle dbatas sampa lma kal pengulangan skedul karena pengulangan berkutnya errornya cenderung stabl. Selan tu, apabla dlhat besarnya unt work dan error yang dhaslkan pada keadaan stabl maka skedul FMV-cycle memerlukan UW dengan error sebesar 1.35 x 1-6. Sedangkan skedul W-cycle dan V-cycle memerlukan masng-masng sebesar 8.75 UW dan 5.65 UW dengan error sebesar x 1-4 dan x 1-4. Dar besar unt work dan error yang dhaslkan maka dapat dsmpulkan bahwa penerapan skedul FMV-cycle lebh efsen dan akurat apabla dbandngkan dengan skedul W-cycle maupun V-cycle. Sedangkan untuk skedul W-cycle dan V-cycle apabla dlhat unt work yang dperlukan untuk mencapa keadaan error yang stabl maka skedul V-cycle lebh efsen darpada W-cycle. Tetap apabla dlhat error yang dhaslkan maka skedul W-cycle lebh akurat dbandngkan dengan skedul V-cycle. Dengan demkan efsens dan akuras penyelesaan persamaan ntegral Fredholm (3.9) untuk ketga skedul multgrd dapat dsakan sepert pada tabel 3.4 berkut. Tabel 3.4: Efsens dan Akuras Skedul Multgrd Kategor Efsens Akuras Keterangan: > = lebh dar Skedul Multgrd FMV-cycle > V-cycle > W-cycle FMV-cycle > W-cycle > V-cycle KESIMPULAN DAN SARAN Ekspermen numerk menunukkan bahwa penerapan gabungan metode fungs Walsh dan skedul FMV-cycle, khususnya untuk m = 3 dengan tga level perhtungan, mampu memberkan penyelesaan persamaan ntegral Fredholm lnear yang lebh efsen dan akurat dbandngkan apabla dterapkan skedul V-cycle maupun W-cycle. Selan tu skedul V-cycle, untuk ketga kasus, lebh efsen dbandngkan dengan skedul W-cycle. Algortma penyelesaan persamaan ntegral yang lebh efsen dan akurat mash merupakan bdang yang cukup luas. Penerapan pada kasus-kasus yang lan akan memperluas kesmpulan yang dberkan. Efsens dn Akuras Gabungan Metode Fungs Walsh dan Multgrd... (Masduk) 79

6 DAFTAR RUJUKAN Beauchamp, K. G., 1975, Walsh Functon and Ther Applcatons, Academc Press, London. Blyth, W. F. and Ulanov, V., 1996, Numercal Soluton of Weakly Sngular Fredholm Integral Equatons usng Walsh Functons, Computatonal Technques and Applcatons: CTAC95, Hal: Golberg, M. A., 1973, Soluton Methods for Integral Equatons, Theory and Applcatons, Plenum Press, New York. Jerr, A. J., 1985, Introducton to Integral Equatons wth Applcatons, Marcel Dekker Inc., New York. Masduk, 3, Efsens Metode Fungs Walsh dan FMV-cycle untuk Menyelesakan Persamaan Integral Fredholm Lnear, Jurnal MIPA, Vol. 13, No., Hal: Ulanov, V., and Blyth, W. F., 1996, Numercal Soluton of Urysohn Integral Equaton usng Walsh Functon, The Role of Mathematcs n Modern Engneerng: 1 st Bennal Engneerng Mathematcs Conference: AEMC94 (Alan K. Easton and Joseph M. Stener, eds), The Engneerng Mathematcs Group (EMG), Australan and New Zealand Industral and Appled Mathematcs (ANZIAM), Australan Mathematcs Socety and Student Ltterature, Hal: Wdyanngsh, P., 1, Gabungan Metode Fungs Walsh dan V-cycle dalam Penyelesaan Persamaan Integral Fredholm Lnear, Dpresentaskan pada Semnar Nasonal Matematka yang dselenggarakan oleh UNY, Yogyakarta, 1 Aprl 1. 8 MIPA, Vol. 17, No. 1, Januar 7: 75-8